立體空間共點力的平衡問題類型豎直分力與重力平衡例1如圖1所示，用桿秤稱量中藥。三根長度相同的細繩對稱地系于圓形秤盤上。中藥和秤盤的總質量為m，則當桿秤穩定時()圖1A.每根細繩的拉力大小為eq\f(mg,3)B.增加細繩長度時每根繩拉力均減少C.增加細繩長度時秤砣應向右移動D.增加細繩長度時手對秤拉力增大答案B解析設每根細繩與豎直方向的夾角為θ，根據受力平衡有3FTcosθ＝mg，可得FT＝eq\f(mg,3cosθ)>eq\f(mg,3)，故A錯誤；增加細繩長度時，細繩與豎直方向的夾角θ變小，則cosθ變大，每根繩拉力均減少，故B正確；增加細繩長度時，桿右端受到拉力大小等于中藥和秤盤的總重力mg保持不變，則秤砣位置不變，手對秤拉力不變，故C、D錯誤。1.如圖2所示，篝火晚會中某同學用三根等長的輕桿交叉做成簡易的燒烤架放在水平地面上，交叉固定點為O，再用一根輕繩將質量為m的燒水鍋靜止懸掛在O點。已知三根輕桿與豎直方向的夾角均為30°，重力加速度為g，則每根輕桿對O點的作用力為()圖2A.eq\f(2\r(3),9)mg B.eq\f(2,3)mg C.eq\f(1,3)mg D.eq\f(\r(3),3)mg答案A解析根據共點力平衡，三根桿對O點的彈力沿豎直方向的分力之和等于鍋的重力，有3Fcos30°＝mg，解得F＝eq\f(2\r(3),9)mg，故A正確。類型立體空間變平面例2(2024·沈陽市高三質量監測)如圖3甲所示為一直角斜槽，斜槽的棱MN與水平面的夾角為θ，兩槽面關于豎直面對稱。圖乙是斜槽的截面圖，一個橫截面為正方形的物塊恰能沿此斜槽勻速下滑。若兩槽面的材料相同，則物塊和槽面之間的動摩擦因數為()圖3A.eq\f(1,2)tanθ B.eq\f(\r(2),2)tanθ C.tanθ D.eq\r(2)tanθ答案B解析對物塊受力分析，如圖所示，在垂直于斜槽的平面內，有2FNcos45°＝mgcosθ，在物塊下滑方向，有2f＝mgsinθ，其中f＝μFN，聯立解得μ＝eq\f(\r(2),2)tanθ，B正確。2.(2024·河北衡水高三期中)如圖4所示，解放軍戰士在水平地面上拉著輪胎做勻速直線運動進行負荷訓練，運動過程中保持雙肩及兩繩的端點A、B等高。兩繩間的夾角為θ＝60°，所構成的平面與水平面間的夾角恒為α＝53°，輪胎重為G，地面對輪胎的摩擦阻力大小恒為f，則每根繩的拉力大小為()圖4A.eq\f(2\r(3),9)f B.eq\f(\r(3),2)f C.eq\f(5\r(3),9)f D.eq\f(2\r(3),3)f答案C解析設每根繩的拉力為F，則這兩根繩拉力的合力F合＝2Fcoseq\f(θ,2)，方向沿兩繩夾角的角平分線，與水平面的夾角為α，輪胎受力分析如圖所示，則F合cosα＝f，解得F＝eq\f(f,2cosαcos\f(θ,2))＝eq\f(5\r(3),9)f，故A、B、D錯誤，C正確。1.(2023·江蘇卷，7)如圖1所示，“嫦娥五號”探測器靜止在月球平坦表面處。已知探測器質量為m，四條腿與豎直方向的夾角均為θ，月球表面的重力加速度為地球表面重力加速度g的eq\f(1,6)。每條腿對月球表面壓力的大小為()圖1A.eq\f(mg,4) B.eq\f(mg,4cosθ) C.eq\f(mg,6cosθ) D.eq\f(mg,24)答案D解析由于探測器靜止在月球平坦表面處，月球表面對每條腿的支持力都豎直向上，則4FN＝m·eq\f(1,6)g，解得FN＝eq\f(mg,24)，根據牛頓第三定律可知每條腿對月球表面的壓力大小為eq\f(mg,24)，D正確，A、B、C錯誤。2.(2024·福建泉州模擬)港珠澳大橋的人工島創新圍島填土在世界范圍內首次提出深插式圓鋼筒快速成島技術，1600t起重船“振浮8號”吊起巨型鋼筒直接固定在海床上插入到海底，然后在中間填土形成人工島，如圖2甲，每個圓鋼筒的直徑為22.5m，高度為55m，質量為550t，由若干根特制起吊繩通過液壓機械抓手連接鋼筒。某次試吊將一個圓鋼筒吊在空中，每根繩與豎直方向的夾角為30°，如圖乙所示，每根繩所能承受的最大拉力為8.0×105N，圖乙中僅畫出兩根起吊繩，則至少需要多少根繩子才能成功起吊(eq\r(3)＝1.732，g＝10m/s2)()圖2A.7根 B.8根 C.9根 D.10根答案B解析設n根繩拉力在豎直方向的分量之和與重力大小相等、方向相反，則mg＝nFcos30°，由題知F≤8.0×105N，得n≥eq\f(mg,Fcos30°)＝eq\f(550×103×10,8.0×105×\f(\r(3),2))≈7.94，即至少需要8根繩子才能成功起吊，故B正確。3.(多選)(2024·廣東東莞高三月考)如圖3所示，三條繩子的一端都系在細直桿頂端，另一端都固定在水平地面上，將桿豎直緊壓在地面上，若三條繩長度不同，下列說法正確的有()圖3A.三條繩中的張力大小都相等B.桿對地面的壓力大于自身重力C.繩子對桿的拉力在水平方向的合力為零D.繩子拉力的合力與地面對桿的支持力是一對平衡力答案BC解析三條繩的長度不同，說明三條繩中的張力與豎直方向的夾角不相同，由于桿保持靜止，因此三條繩中張力在水平方向的分力的合力應為零，三力的大小不可能相等，故A錯誤，C正確；由于桿在豎直方向合力為零，三繩中張力在豎直方向有分力，所以桿對地面的壓力大于重力，故B正確；由于桿受繩的拉力、重力及支持力，因此繩拉力在豎直方向分力與重力的合力等于支持力，故D錯誤。4.(2024·江蘇南京模擬預測)如圖4所示，質量為M、半徑為R的光滑勻質球，用一根長度也為R的細線懸掛在互相垂直的兩豎直墻壁交線處的P點，則球對任一墻壁的壓力大小為()圖4A.eq\f(\r(2),4)Mg B.eq\f(\r(2),2)MgC.eq\f(\r(3),3)Mg D.eq\f(\r(6),6)Mg答案B解析對球進行受力分析，球受重力Mg、繩子的拉力T及兩個墻壁對它的支持力，兩個支持力大小相等，夾角為90°，設支持力的大小為FN、繩子與豎直墻壁交線的夾角為θ，根據幾何知識可知球心到豎直墻壁交線的垂直距離為d＝eq\r(R2＋R2)＝eq\r(2)R，故sinθ＝eq\f(d,2R)＝eq\f(\r(2),2)，解得θ＝45°，在豎直方向上根據受力平衡可得Tcosθ＝Mg，解得T＝eq\r(2)Mg，在水平方向上根據受力平衡可知兩個墻壁對球的支持力的合力大小等于繩子拉力T的水平分力的大小，即eq\r(Feq\o\al(2,N)＋Feq\o\al(2,N))＝Tsinθ，解得FN＝eq\f(\r(2),2)Mg，根據牛頓第三定律可得球對任一墻壁的壓力大小為eq\f(\r(2),2)Mg，故B正確。5.(2024·山東模擬預測)孔府是中國傳統建筑的杰出代表，采用了瓦片屋頂，屋頂結構可簡化為如圖5，弧形瓦片靜止在兩根相互平行的傾斜椽子正中間。已知椽子與水平面夾角均為θ，瓦片質量為m，重力加速度為g，則()圖5A.每根椽子對瓦片的摩擦力大小為0.5mgsinθB.每根椽子對瓦片的支持力大小為0.5mgcosθC.椽子對瓦片支持力的合力大小為mgD.椽子對瓦片作用力的合力大小為mgcosθ答案A解析摩擦力方向與椽子平行，兩根椽子對瓦片的摩擦力的合力為mgsinθ，所以每根椽子對瓦片的摩擦力大小為0.5mgsinθ，故A正確；兩根椽子對瓦片的支持力的合力為mgcosθ，瓦片有弧度，所以每根椽子對瓦片的支持力大小不是0.5mgcosθ，故B、C錯誤；椽子對瓦片的作用力包括支持力和摩擦力，合力大小為mg，故D錯誤。6.(多選)張鵬同學在家幫媽媽洗完衣服后，把衣服掛在如圖6所示的晾衣架上晾曬，A、B為豎直墻壁上等高的兩點，AO、BO為長度相等的兩根輕繩，CO為一根輕桿。轉軸C在AB中點D的正下方，AOB在同一水平面上。∠AOB＝60°，∠DOC＝30°，衣服質量為m，重力加速度為g。則()圖6A.CO桿所受的壓力大小為2mgB.CO桿所受的壓力大小為eq\f(2\r(3),3)mgC.AO繩所受的拉力大小為eq\r(3)mgD.BO繩所受的拉力大小為mg答案AD解析以O點為研究對象，O點受到衣服的拉力FT、CO桿的支持力F1和繩AO、BO的拉力，設繩AO和繩BO拉力的合力為F，作出O點的