１用定義計算（證明）例２用行列式定義計算一、計算（證明）行列式解

評注本例是從一般項入手，將行標按標準順序排列，討論列標的所有可能取到的值，并注意每一項的符號，這是用定義計算行列式的一般方法．注意２利用范德蒙行列式計算例４計算利用范德蒙行列式計算行列式，應根據范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據范德蒙行列式計算出結果。解上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知

評注本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質（如提取公因子、調換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式．３用化三角形行列式計算例５計算解提取第一列的公因子，得

評注本題利用行列式的性質，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式．化零時一般盡量選含有１的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有１，則可適當選取便于化零的數，或利用行列式性質將某行（列）中的某數化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點，則應充分利用這些特點，應用行列式性質，以達到化為三角形行列式之目的．４用降階法計算例６計算解

評注本題是利用行列式的性質將所給行列式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數可降低1階，如此繼續進行，直到行列式能直接計算出來為止（一般展開成二階行列式）．這種方法對階數不高的數字行列式比較適用．５用拆成行列式之和計算例７證明６用遞推法計算例８計算解由此遞推，得如此繼續下去，可得評注７用數學歸納法例９證明證對階數n用數學歸納法評注計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應用．在計算時，首先要仔細考察行列式在構造上的特點，利用行列式的性質對它進行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法．小結矩陣一、矩陣的運算二、逆矩陣的運算及證明三、矩陣的分塊運算典型例題例１計算一、矩陣的運算解解由此得例２例３解用定義求逆陣二、逆矩陣的運算及證明注分析矩陣方程解證例５三、矩陣的分塊運算同理可得：例6解（１）根據分塊矩陣的乘法，得（２）由（１）可得１初等變換的定義換法變換倍法變換消法變換初等變換逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換．反身性傳遞性對稱性２矩陣的等價三種初等變換對應著三種初等矩陣．３初等矩陣由單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣．（１）換法變換：對調兩行（列），得初等矩陣．（２）倍法變換：以數（非零）乘某行（列），得初等矩陣．（３）消法變換：以數乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩陣．經過初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩陣，其特點是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個臺階只有一行，臺階數即是非零行的行數，階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元，也就是非零行的第一個非零元．例如４行階梯形矩陣經過初等行變換，行階梯形矩陣還可以進一步化為行最簡形矩陣，其特點是：非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其它元素都為0．例如５行最簡形矩陣對行階梯形矩陣再進行初等列變換，可得到矩陣的標準形，其特點是：左上角是一個單位矩陣，其余元素都為0．例如６矩陣的標準形所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標準形是這個等價類中形狀最簡單的矩陣．定義７矩陣的秩定義定理行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數．８矩陣秩的性質及定理定理定理９線性方程組有解判別定理

齊次線性方程組：把系數矩陣化成行最簡形矩陣，寫出通解．

非齊次線性方程組：把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據有解判別定理判斷是否有解，若有解，把增廣矩陣進一步化成行最簡形矩陣，寫出通解．10線性方程組的解法定理11初等矩陣與初等變換的關系定理推論一、求矩陣的秩二、求解線性方程組三、求逆矩陣的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法典型例題求矩陣的秩有下列基本方法（１）計算矩陣的各階子式，從階數最高的子式開始，找到不等于零的子式中階數最大的一個子式，則這個子式的階數就是矩陣的秩．一、求矩陣的秩（２）用初等變換．即用矩陣的初等行（或列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個數，而初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩陣中非零行（或列）的個數就是原矩陣的秩．第一種方法當矩陣的行數與列數較高時，計算量很大，第二種方法則較為簡單實用．例１求下列矩陣的秩解對施行初等行變換化為階梯形矩陣

注意在求矩陣的秩時，初等行、列變換可以同時兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形．當方程的個數與未知數的個數不相同時，一般用初等行變換求方程的解．當方程的個數與未知數的個數相同時，求線性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換法和克萊姆法則．二、求解線性方程組例２求非齊次線性方程組的通解．解對方程組的增廣矩陣進行初等行變換，使其成為行最簡單形．由此可知，而方程組(1)中未知量的個數是，故有一個自由未知量.例３當取何值時，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解．解法一系數矩陣的行列式為從而得到方程組的通解解法二用初等行變換把系數矩陣化為階梯形三、求逆矩陣的初等變換法例４求下述矩陣的逆矩陣．解

注意用初等行變換求逆矩陣時，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換．同樣地，用初等列變換求逆矩陣時，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換．四、解矩陣方程的初等變換法或者例５解分量全為實數的向量稱為實向量．分量全為復數的向量稱為復向量．１向量的定義定義向量的相等零向量分量全為0的向量稱為零向量．負向量向量加法２向量的線性運算數乘向量向量加法和數乘向量運算稱為向量的線性運算，滿足下列八條運算規則：除了上述八條運算規則，顯然還有以下性質：若干個同維數的列（行）向量所組成的集合叫做向量組．定義３線性組合定義４線性表示定理定義定義５線性相關定理定理定義６向量組的秩等價的向量組的秩相等．定理矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩．定理設向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩．推論１推論２推論３（最大無關組的等價定義）設向量組是向量組的部分組，若向量組線性無關，且向量組能由向量組線性表示，則向量組是向量組的一個最大無關組．７向量空間定義設為維向量的集合，如果集合非空，且集合對于加法及數乘兩種運算封閉，那么就稱集合為向量空間．定義８子空間定義９基與維數向量方程１０齊次線性方程組解向量解向量的性質性質１性質２定義定理定義向量方程１１非齊次線性方程組解向量的性質性質１性質２解向量向量方程的解就是方程組的解向量．（１）求齊次線性方程組的基礎解系１２線性方程組的解法第一步：對系數矩陣進行初等行變換，使其變成行最簡形矩陣第三步：將其余個分量依次組成階單位矩陣，于是得齊次線性方程組的一個基礎解系（２）求非齊次線性方程組的特解將上述矩陣中最后一列的前個分量依次作為特解的第個分量，其余個分量全部取零，于是得即為所求非齊次線性方程組的一個特解．一、向量組線性關系的判定二、求向量組的秩三、向量空間的判定四、基礎解系的證法五、解向量的證法典型例題一、向量組線性關系的判定研究這類問題一般有兩個方法方法1從定義出發整理得線性方程組方法２利用矩陣的秩與向量組的秩之間關系判定例１研究下列向量組的線性相關性解一整理得到解二分析證明證明向量組的一個部分組構成最大線性無關組的基本方法就是：分析根據最大線性無關組的定義來證，它往往還與向量組的秩相聯系．證明求一個向量組的秩，可以把它轉化為矩陣的秩來求，這個矩陣是由這組向量為行（列）向量所排成的．如果向量組的向量以列（行）向量的形式給出，把向量作為矩陣的列（行），對矩陣作初等行（列）變換，這樣，不僅可以求出向量組的秩，而且可以求出最大線性無關組．二、求向量組的秩若矩陣經過初等行（列）變換化為矩陣，則和中任何對應的列（行）向量組都有相同的線性相關性．解判斷向量的集合是否構成向量空間，需看集合是否對于加法和數乘兩種運算封閉．若封閉，則構成向量空間；否則，不構成向量空間．解三、向量空間的判定例６證明與基礎解系等價的線性無關的向量組也是基礎解系．四、基礎解系的證法分析(3)方程組的任一解均可由該向量組線性表示．(1)該組向量都是方程組的解；(2)該組向量線性無關；要證明某一向量組是方程組的基礎解系，需要證明三個結論:證明

注當線性方程組有非零解時，基礎解系的取法不唯一，且不同的基礎解系之間是等價的．五、解向量的證法證明注意(1)本例是對非齊次線性方程組的解的結構作進一步的分析和討論，即非齊次線性方程組一定存在著個線性無關的解，題中(2)的證明表明了它的存在性．

(3)對非齊次線性方程組，有時也把如題中所給的個解稱為的基礎解系，所不同的是它的線性組合只有當線性組合系數之和為1時，才是方程組的解．

(2)對齊次線性方程組，當時，有無窮多組解，其中任一解可由其基礎解系線性表示．定義１向量內積的定義及運算規律定義向量的長度具有下列性質：２向量的長度定義３向量的夾角所謂正交向量組，是指一組兩兩正交的非零向量．向量空間的基若是正交向量組，就稱為正交基．定理定義４正交向量組的性質施密特正交化方法第一步正交化第二步單位化定義５正交矩陣與正交變換方陣為正交矩陣的充分必要條件是的行（列）向量都是單位向量，且兩兩正交．定義若為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換．正交變換的特性在于保持線段的長度不變．定義６方陣的特征值和特征向量７有關特征值的一些結論定理定理屬于同一個特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量．８有關特征向量的一些結論定義矩陣之間的相似具有(1)自反性；(2)對稱性；(3)傳遞性．９相似矩陣１０有關相似矩陣的性質若與相似，則與的特征多項式相同，從而與的特征值亦相同．

(4)能對角化的充分必要條件是有個線性無關的特征向量．(5)有個互異的特征值，則與對角陣相似．１１實對稱矩陣的相似矩陣定義１２二次型二次型與它的矩陣是一一對應的．定義１３二次型的標準形１４化二次型為標準形定義１５正定二次型１６慣性定理注意１７正定二次型的判定一、證明所給矩陣為正交矩陣典型例題二、將線性無關向量組化為正交單位向量組三、特征值與特征向量的求法四、已知的特征值，求與相關矩陣的特征值五、求方陣的特征多項式六、關于特征值的其它問題七、判斷方陣可否對角化八、利用正交變換將實對稱矩陣化為對角陣九、化二次型為標準形一、證明所給矩陣為正交矩陣證明將線性無關向量組化為正交單位向量組，可以先正交化，再單位化；也可同時進行正交化與單位化．二、將線性無關向量組化為正交單位向量組解一先正交化，再單位化解二同時進行正交化與單位化第三步將每一個特征值代入相應的線性方程組，求出基礎解系，即得該特征值的特征向量．三