PAGE1專題13二次函數的綜合應用課標要求考點考向1．通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義．2．能畫二次函數的圖象，通過圖象了解二次函數的性質，知道二次函數系數與圖象形狀和對稱軸的關系．3．會求二次函數的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值，能解決相應的實際問題．4．知道二次函數和一元二次方程之間的關系，會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解.綜合應用考向一最值問題考向二交點問題考向三線段問題考向四角度問題考向五三角形問題考向六四邊形問題考向七面積問題考點綜合應用?考向一最值問題1.（2024?德州）已知拋物線，為實數．(1)如果該拋物線經過點，求此拋物線的頂點坐標．(2)如果當時，的最大值為4，求的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用待定系數法求出函數表達式，然后化成頂點式，從而解得答案；（2）先求出函數的對稱軸為，判斷函數的開口向上，判斷出當時，取最大值4，代入從而求得答案；【詳解】（1）解：該拋物線經過點解得頂點坐標為（2）解：對稱軸為，函數圖象開口向上，當時，取最大值4解得，2.（2024?濟寧）已知二次函數的圖像經過，兩點，其中a，b，c為常數，且．(1)求a，c的值；(2)若該二次函數的最小值是，且它的圖像與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C．①求該二次函數的解析式，并直接寫出點A，B的坐標；【答案】(1)，(2)①該二次函數的解析式為：；，【分析】（1）先求得，則可得和關于對稱軸對稱，由此可得，進而可求得；（2）①根據拋物線頂點坐標公式得，由此可求得，進而可得拋物線的表達式為，進而可得，；【詳解】（1）解：∵的圖像經過，∴，∴和關于對稱軸對稱，∴，，，∴，．（2）解：①∵，，∴，∵，∵解得，∵，且，∴，∴，∴該二次函數的解析式為：，當時，，解得，，∴，．3.（2024?日照）已知二次函數（a為常數）．(1)求證：不論a為何值，該二次函數圖象與x軸總有兩個公共點；(2)當時，該二次函數的最大值與最小值之差為9，求此時函數的解析式；【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）令，則，根據根的判別式求得，得到不論a為何值，方程總有兩個不相等的實數根，進而即可得證；（2）由二次函數的解析式得到圖象對稱軸為直線，最大值為4，判斷，得到當時，y取得最小值，最小值為，根據二次函數的最大值與最小值之差為9，即可列出方程，求解后進行取舍即可解答；【詳解】（1）證明：令，則，∵，∴不論a為何值，方程總有兩個不相等的實數根，∴二次函數圖象與x軸總有兩個公共點．（2）解：由二次函數的解析式得，函數圖象對稱軸為直線，最大值為4．，，∴當時，y取得最小值，最小值為，，解得或（舍去），二次函數的解析式為．4.（2024?威海）已知拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．(1)若拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．試判斷下列每組數據的大?。ㄌ顚?、或）：①________；②________；③________．(2)若，，求b的取值范圍；(3)當時，最大值與最小值的差為，求b的值．【答案】(1)；；；(2)(3)b的值為或．【分析】本題考查根與系數的關系，二次函數圖像與性質，不等式性質，二次函數最值情況，解題的關鍵在于熟練掌握二次函數圖像與性質．（1）根據根與系數的關系得到，以及，即可判斷①，利用二次函數的圖像與性質得到，進而得到，利用不等式性質變形，即可判斷②③．（2）根據題意得到，結合進行求解，即可解題；（3）根據題意得到拋物線頂點坐標為，對稱軸為；當時，，當時，，由最大值與最小值的差為，分以下情況①當在取得最大值，在取得最小值時，②當在取得最大值，在頂點取得最小值時，③當在取得最大值，在頂點取得最小值時，建立等式求解，即可解題．【詳解】（1）解：與x軸交點的坐標分別為，，且，，且拋物線開口向上，與x軸交點的坐標分別為，，且．即向上平移1個單位，，且，①；，，即②；，即③．故答案為；；；；（2）解：，，，，；（3）解：拋物線頂點坐標為，對稱軸為；當時，，當時，，①當在取得最大值，在取得最小值時，有，解得（舍去）；②當在取得最大值，在頂點取得最小值時，有，解得（舍去）或，③當在取得最大值，在頂點取得最小值時，有，解得（舍去）或；綜上所述，b的值為或．?考向二交點問題1.（2024?德州）已知拋物線，為實數．(1)如果該拋物線經過點，求此拋物線的頂點坐標．(3)點，點，如果該拋物線與線段（不含端點）恰有一個交點，求的取值范圍．【答案】(1)(3)或【分析】（1）利用待定系數法求出函數表達式，然后化成頂點式，從而解得答案；（3）當，，當時，，當交點在線段之間時，那么且，或者當時，，從而解得答案；【詳解】（1）解：該拋物線經過點解得頂點坐標為（3）解：當，當時，當交點在線段之間時，當時，解得；當時，解得；綜上，或．2.（2024?日照）已知二次函數（a為常數）．(1)求證：不論a為何值，該二次函數圖象與x軸總有兩個公共點；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）令，則，根據根的判別式求得，得到不論a為何值，方程總有兩個不相等的實數根，進而即可得證；【詳解】（1）證明：令，則，∵，∴不論a為何值，方程總有兩個不相等的實數根，∴二次函數圖象與x軸總有兩個公共點．?考向三線段問題解題技巧已知線段端點若AB∥x軸，則，，如果能確定A,B兩點的相對位置，則線段的長不需要加絕對值，用右側點的橫坐標減去左側點的橫坐標即可；若AB∥y軸，則，，如果能確定A,B兩點的相對位置，則線段的長不需要加絕對值，用上方點的縱坐標減去下方點的縱坐標即可；若AB既不是水平的線段，也不是豎直的線段，則需要利用勾股定理求長，1.（2024?煙臺）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，，，對稱軸為直線，將拋物線繞點旋轉后得到新拋物線，拋物線與軸交于點，頂點為，對稱軸為直線．(1)分別求拋物線和的表達式；(2)如圖，點的坐標為，動點在直線上，過點作軸與直線交于點，連接，．求的最小值；【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求出點A、B、C坐標，再用待定系數法求出拋物線的表達式，求出其頂點坐標，由旋轉可知拋物線的二次項系數為原來的相反數，頂點坐標與拋物線的頂點坐標關于原點對稱，即可求解；（2）將點F向右平移2個單位至，則，，過點D作直線的對稱點為，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，因此，即可求解；【詳解】（1）解：設對稱軸與x軸交于點G，由題意得，∵對稱軸為直線，∴，∴，∴，將A、B、C分別代入，得：，解得：，∴，∴，頂點為∵拋物線繞點旋轉后得到新拋物線，∴拋物線的，頂點為，∴的表達式為：，即（2）解：將點F向右平移2個單位至，則，，過點D作直線的對稱點為，連接，∴，∵，∴直線為直線，∵軸，∴，對于拋物線，令，則，∴，∵點D與點關于直線對稱，∴點，∵軸，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，當點三點共線時，取得最小值，而，∴的最小值為；2.（2024?淄博）如圖，拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側），其中，是方程的兩個根，拋物線與軸相交于點．(1)求該拋物線對應的函數表達式；(2)已知直線與，軸分別相交于點，．②過拋物線上一點作直線的平行線．與拋物線相交于另一點．設直線，相交于點．連接，．求線段的最小值．【答案】(1)(2)②線段的最小值為【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程得出，，再利用待定系數法求解即可；（2）②設Mx1,y1，Nx2,y2，設直線的解析式為：，求出直線的解析式為，直線的解析式為；聯立得：，由韋達定理得出，將Mx1,y1代入，得，求出，同理可得，聯立，得出，推出點在直線上運動，求出，作點關于直線的對稱點，連接交直線于，連接，則，由軸對稱的性質可得，則，由兩點之間線段最短可得：線段的最小值的最小時為，再由勾股定理計算即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，，∴，，∵拋物線與軸相交于，兩點，∴，解得：，∴該拋物線對應的函數表達式為；（2）解：②∵過拋物線上一點作直線的平行線．與拋物線相交于另一點．∴設Mx1,y1，N設直線的解析式為，將代入得，解得：，∴直線的解析式為，設直線的解析式為，將代入得，∴直線的解析式為；聯立得：，∴，將Mx1,y1代入，∴，∴，解得：，將Nx2,y2代入，∴，∴，解得：，聯立，得出，∴點在直線上運動，在中，令，則，即，如圖，作點關于直線的對稱點，連接交直線于，連接，則，，由軸對稱的性質可得，∴，∴由兩點之間線段最短可得：線段的最小值的最小時為，∵，∴線段的最小值為．3.（2024?東營）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是拋物線上的一個動點．

(1)求拋物線的表達式；(2)當點在直線下方的拋物線上時，過點作軸的平行線交于點，設點的橫坐標為t，的長為，請寫出關于的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系數法求出函數解析式即可；（2）先求出，再用待定系數法求出直線的解析式為：，可得出，，從而可得，再求出自變量取值范圍即可；【詳解】（1）解：拋物線與軸交于，兩點，，解得，該拋物線的解析式為：；（2）解：二次函數中，令，則，，設直線的解析式為：．將，代入得到：，解得，直線的解析式為：，過點作軸的平行線交于點，設點的橫坐標為t，，，，點在直線下方的拋物線上，；?考向四角度問題1.（2024?煙臺）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，，，對稱軸為直線，將拋物線繞點旋轉后得到新拋物線，拋物線與軸交于點，頂點為，對稱軸為直線．(1)分別求拋物線和的表達式；(3)如圖，點的坐標為，動點在拋物線上，試探究是否存在點，使？若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(3)存在，或【分析】（1）先求出點A、B、C坐標，再用待定系數法求出拋物線的表達式，求出其頂點坐標，由旋轉可知拋物線的二次項系數為原來的相反數，頂點坐標與拋物線的頂點坐標關于原點對稱，即可求解；（3）當點P在直線右側拋物線上時，可得，作H關于直線的對稱點，則點在直線上，可求直線的表達式為，聯立，解得：或（舍），故；當點P在直線左側拋物線上時，延長交y軸于點N，作的垂直平分線交于點Q，交y軸于點M，過點E作軸于點K，則，可得，可證明出，由，得，設，則，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直線表達式為：，聯立，解得：或（舍），故．【詳解】（1）解：設對稱軸與x軸交于點G，由題意得，∵對稱軸為直線，∴，∴，∴，將A、B、C分別代入，得：，解得：，∴，∴，頂點為∵拋物線繞點旋轉后得到新拋物線，∴拋物線的，頂點為，∴的表達式為：，即（3）解：當點P在直線右側拋物線上時，如圖：∵拋物線，∴∵軸，∴，∵，∴，∴，作H關于直線的對稱點，則點在直線上，∵點的坐標為，直線：，∴，設直線的表達式為：y=kx+bk≠0，代入，,得：，解得：，∴直線的表達式為，聯立，得：，解得：或（舍），∴；②當點P在直線左側拋物線上時，延長交y軸于點N，作的垂直平分線交于點Q，交y軸于點M，過點E作軸于點K，則，如圖：∵垂直平分，∴，∴，∴，∵∴，∴，由點得：，∵，∴，∴，∴，設，∴，，在和中，由勾股定理得，∴，解得：或（舍）∴，∴，∴，設直線表達式為：，代入點N，E，得：，解得：∴直線表達式為：，聯立，得：，整理得：解得：或（舍），∴，綜上所述，或．【點睛】本題是一道二次函數與角度有關的綜合題，考查了待定系數法求函數解析式，三角形三邊關系求最值，平行四邊形的判定與性質，中心對稱圖形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解決本題的關鍵．2.（2024?淄博）如圖，拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側），其中，是方程的兩個根，拋物線與軸相交于點．(1)求該拋物線對應的函數表達式；(2)已知直線與，軸分別相交于點，．①設直線與相交于點，問在第三象限內的拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；【答案】(1)(2)①；【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程得出，，再利用待定系數法求解即可；（2）①在中，令得出，在中，令得出，從而得出，即，待定系數法求得直線的解析式為，聯立，得出，作軸于，則，，，求出，，由正切的定義得出，證明，得出，求出直線的解析式為，聯立，計算即可得解；【詳解】（1）解：∵，∴，∴，，∴，，∵拋物線與軸相交于，兩點，∴，解得：，∴該拋物線對應的函數表達式為；（2）解：①在中，令，，解得，即，在中，令，則，即，∴，∴，設直線的解析式為，將，代入解析式得，解得：，∴直線的解析式為，聯立，解得，∴，如圖，作軸于，則，，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，設直線的解析式為，將代入得：，解得：，∴直線的解析式為，聯立，解得：或，∵點在第三象限，∴；?考向五三角形問題易錯易混滿足已知三角形條件的動點位置可能不止一個，應該考慮到所有情況；不要忽略三角形存在的條件，比如是否滿足兩邊之和大于第三邊.1.（2024?泰安）如圖，拋物線的圖象經過點，與軸交于點A，點．(1)求拋物線的表達式；(2)將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線，求拋物線的表達式，并判斷點是否在拋物線上；(3)在軸上方的拋物線上，是否存在點，使是等腰直角三角形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，點在拋物線上(3)存在，點的坐標為：或【分析】本題主要考查了求二次函數的解析式、二次函數與幾何的綜合、二次函數圖像的平移等知識點，靈活利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來成為解題的關鍵．（1）將點D的坐標代入拋物線表達式，求得a的值即可；（2）由題意得：，當x=1時，，即可判斷點是否在拋物線上；（3）分為直角、為直角、為直角三種情況，分別運用全等三角形的判定與性質，進而確定點E的坐標，進而確定點P的坐標．【詳解】（1）解：將點的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，則拋物線的表達式為：．（2）解：由題意得：，當時，，故點在拋物線上．（3）解：存在，理由如下：①當為直角時，如圖1，過點作且，則為等腰直角三角形，，，，，，∴，，∴點，當時，，即點在拋物線上，∴點即為點；②當為直角時，如圖2，同理可得：，∴，，∴點，當時，，∴點在拋物線上，∴點即為點；③當為直角時，如圖3，設點Ex,y同理可得：，∴且，解得：且，∴點，當時，，即點不在拋物線上；綜上，點的坐標為：或．?考向六四邊形問題1.（2024?濟南）在平面直角坐標系中，拋物線經過點，頂點為；拋物線，頂點為．(1)求拋物線的表達式及頂點的坐標；(2)如圖1，連接，點是拋物線對稱軸右側圖象上一點，點是拋物線上一點，若四邊形是面積為12的平行四邊形，求的值；【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用待定系數法求解出拋物線的解析式，再轉化為頂點式，即可得到頂點坐標；（2）連接，過點作軸，交延長線于點，過點作，垂足為，與軸交于，設點的橫坐標為．設直線的表達式為，解方程組得到直線的表達式為，則，求得，求得于是得到，解方程得到，根據平移的性質得到，將代入，解方程即可；【詳解】（1）解：拋物線過點得解得拋物線的表達式為頂點；（2）解：如圖，連接，過點作軸，交延長線于點，過點作，垂足為，與軸交于，設點的橫坐標為．設直線的表達式為由題意知解得直線的表達式為的面積為12，，解得（舍）點先向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到點將代入得解得．?考向七面積問題解題技巧（1）求三角形的面積時，如果有一條邊平行于x軸或者y軸，則一般以它為底進行求解；（2）若所求多邊形各頂點坐標已知，則可以利用間接法，過各頂點作水平或者豎直的線，通過“大-小”或者“小+小”即可求解.1.（2024?濟南）在平面直角坐標系中，拋物線經過點，頂點為；拋物線，頂點為．(1)求拋物線的表達式及頂點的坐標；(3)如圖2，連接，點是拋物線對稱軸左側圖像上的動點（不與點重合），過點作交軸于點，連接，求面積的最小值．【答案】(1)，(3)【分析】（1）利用待定系數法求解出拋物線的解析式，再轉化為頂點式，即可得到頂點坐標；（3）過作軸，垂足為，過點作軸，過點作軸，與交于點，設且，求得拋物線的頂點，得到，推出，解方程得到當時，，根據三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】（1）解：拋物線過點得解得拋物線的表達式為頂點；（3）解：如圖，過作軸，垂足為，過點作軸，過點作軸，與交于點，設且拋物線的頂點，易得當時，點橫坐標最小值為，此時點到直線距離最近，的面積最小最近距離即邊上的高，高為：面積的最小值為．2.（2024?濟寧）已知二次函數的圖像經過，兩點，其中a，b，c為常數，且．(1)求a，c的值；(2)若該二次函數的最小值是，且它的圖像與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C．①求該二次函數的解析式，并直接寫出點A，B的坐標；②如圖，在y軸左側該二次函數的圖像上有一動點P，過點P作x軸的垂線，垂足為D，與直線交于點E，連接，，．是否存在點P，使？若存在，求此時點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)①該二次函數的解析式為：；，②存在，P點橫坐標為：或或【分析】（1）先求得，則可得和關于對稱軸對稱，由此可得，進而可求得；（2）①根據拋物線頂點坐標公式得，由此可求得，進而可得拋物線的表達式為，進而可得，；②分兩種情況進行討論：當點P在點A右側時，當點P在點A左側時，分別畫出圖形，求出點P的坐標即可．【詳解】（1）解：∵的圖像經過，∴，∴和關于對稱軸對稱，∴，，，∴，．（2）解：①∵，，∴，∵，∵解得，∵，且，∴，∴，∴該二次函數的解析式為：，當時，，解得，，∴，．②設直線的表達式為：，則，解得，∴直線的表達式為：，當點P在點A右側時，作于F，如圖所示：設，則，，則，,，∵，，，∴，∵，，解得：，，∴點P橫坐標為或；當點P在點A左側時，作于F，如圖所示：設，則，，則，,，∵，，，∴，∵，，解得：，（舍去），∴點P橫坐標為，綜上所述，P點橫坐標為：或或．【點睛】本題考查了二次函數與一次函數綜合，二次函數與幾何綜合，利用待定系數法求二次函數和一次函數的表達式．熟練掌握“三角形面積水平寬鉛錘高”是解題的關鍵．3.（2024?青島）如圖①，中，中，，邊與重合，且頂點E與邊上的定點N重合，如圖②，從圖①所示位置出發，沿射線方向勻速運動，速度為；同時，動點O從點A出發，沿方向勻速運動，速度為，與交于點P，連接，設運動時間為．解答下列問題：(2)設四邊形的面積為S，求S與t的函數關系式；【答案】(2)【難度】0.4【分析】（2）如圖所示，過點O分別作的垂線，垂足分別為H、G，先由勾股定理得到，再解直角三角形得到，再證明，然后解直角三角形求出的長，最后根據進行求解即可；【詳解】（2）解：如圖所示，過點O分別作的垂線，垂足分別為H、G，在中，由勾股定理得，∴，∵，∴；由（1）可知，，∴，，在中，，在中，，在中，，∴，∴；4.（2024?日照）已知二次函數（a為常數）．(3)若二次函數圖象對稱軸為直線，該函數圖象與x軸交于兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．點C關于對稱軸的對稱點為D，點M為的中點，過點M的直線l（直線l不過兩點）與二次函數圖象交于兩點，直線與直線相交于點P．①求證：點P在一條定直線上；②若，請直接寫出滿足條件的直線l的解析式，不必說明理由．【答案】(3)①證明見解析；②或【分析】（3）①根據對稱軸為直線，求得，得到二次函數解析式為．令，求得，令，求得，從而．設，采用待定系數法求得直線的解析式為．把點代入，得到．同理求得直線的解析式為，直線的解析式為．聯立直線，，求得點．設點P所在的定直線的解析式為，代入點P的坐標可求得，從而得證點P在定直線上；②根據，得到，化簡得到，由①知，從而，分兩種情況分別討論：當時或，根據①中的點P的橫坐標可得，整理得，結合，即可求出m，n的值，進而得到，的值，從而得到直線l的解析式．同理可求出當時直線l的解析式，即可解答．【詳解】（3）①證明：對稱軸為直線，∴∴二次函數解析式為．令，則，解得或，則，令，則，則∴．設，由題意知，且均不為0，2．設直線的解析式為，，解得，∴直線的解析式為．（記為①式）又直線過點，，即．同理設直線的解析式為，把代入得解得，直線的解析式為．（記為②式）同理得直線的解析式為．（記為③式）由②③式聯立得，解得．若點P在一條定直線上，設點P所在直線解析式為，代入點P的坐標得，將①式代入化簡得，由對應系數相等得，∴點P所在直線解析式為，即點P在一條定直線上．②解：直線l的解析式為或理由：，∴，，，，∴，由①知，∴，∴當時，，整理得．又，∴整理得，解得（不符合題意，舍去），，，直線l的解析式為；當時，，整理得．又，整理得，解得（不符合題意，舍去），，∴直線l的解析式為．綜上所述，當時，直線l的解析式為或．【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，待定系數法求解析式，二次函數與方程，二次函數與坐標軸的交點等，綜合運用相關知識是解題的關鍵．一、解答題1．（2024·山東濰坊·二模）如圖1是一個半圓和拋物線的一部分圍成的封閉圖形，稱為“蛋圓”，已知A，B，C，D分別為“蛋圓”與坐標軸的交點，其中半圓直徑，圓心，拋物線部分的最大值為．(1)求“蛋圓”中的拋物線的表達式及線段的長．(2)如圖2，連接，點P為線段BD上方“蛋圓”上一點，過點P作交于點E，交于點F，求的最大值．(3)點Q為“蛋圓”上任意一點，過點Q作交于H，是否存在點Q使得和相似．若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或，，【分析】（1）由待定系數法求出函數表達式，進而求解；（2）由，得到，即可求解；（3）當點在半圓上時，在中，則，即可求解；當點在拋物線上時，則或，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：，當時，，解得：，則拋物線的表達式為：，則點；連接，則，則；（2）解：∵半圓直徑，圓心，∴設的解析式為y=kx+bk≠0把，代入y=kx+bk≠0得∴直線的表達式為：，設點，則點，則點，∴，∴，∴，故的最大值為：；（3）解：存在，理由：由點、、的坐標得，，當和相似時，則或，當點在半圓上時，如圖：連接，當時，設，則，在中，則，即，解得：，∴，∴，∵點在第三象限，則點；連接，當時，設，則，在中，則，即解得：∴∴∵點在第四象限，則點；當點在拋物線上時，則設點，則，則解得：（正值已舍去）把代入，解出即點；則設點，則，則解得：（負值已舍去）把代入，解出即點；綜上，或，，【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到解直角三角形、勾股定理，相似三角形的判定與性質等，分類求解是解題的關鍵．2．（2024·山東聊城·一模）如圖，二次函數的圖象交x軸于，B4,0兩點，交y軸于點C．動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向終點B運動．當點P運動到線段上時，過點P作軸，交線段于Q，交拋物線于點D，設運動的時間t秒．

(1)求a，b的值．(2)連接，當t為何值時的值最大，此時的面積為多少？(3)作線段的垂直平分線交直線于點M，連接，隨著點P的運動，當點M在直線的上方且時，求點D的坐標．【答案】(1)(2)，2(3)【分析】本題主要考查了二次函數綜合，一次函數與幾何綜合，全等三角形的性質與判定等等：（1）利用待定系數法求解即可；（2）先求出直線的函數關系式是．再求出，得到，，即可得到，則當時，QD最大值為2，再根據三角形面積計算公式求解即可．（3）過點M作軸于E，延長與過B點垂直于x軸的直線交于點F，連接．證明．得到，，進而得到，推出，，則，解得：，此時，可知P點的橫坐標是1，D點的橫坐標也是1，據此求解即可．【詳解】（1）解：把，B4,0代入拋物線解析式中，得，解得：∴二次函數的關系式為．∴，．（2）解：∵C點的坐標是，∴可設直線的函數關系式是．根據題意，得，解得：，∴直線的函數關系式是．，，，，∴當時，QD最大值為2，，，即當時，QD值最大，此時的面積為2．

（3）解：過點M作軸于E，延長與過B點垂直于x軸的直線交于點F，連接．

，，，，又，，．，，∴，，，，解得：，此時，可知P點的橫坐標是1，D點的橫坐標也是1．把代入中，得∴點D的坐標是．3．（2024·山東濟南·三模）如圖，拋物線M過點，與x軸交于點A和點B（點A在點B左側），與y軸交于點C，頂點D的坐標為．(1)求拋物線M的表達式和點A的坐標；(2)點F是線段上一動點，求周長的最小值；(3)平移拋物線M得到拋物線N，已知拋物線N過點D，頂點為P，其對稱軸與拋物線M交于點Q，若，直接寫出點P的坐標．【答案】(1)，(2)最小值為(3)P的坐標為或【分析】（1）利用待定系數法求出表達式然后求出點A的坐標即可；（2）首先得到直線的表達式為：，作E關于的對稱點，則，設垂足為G，則點G為E與的中點，勾股定理求出，，進而求解即可；（3）拋物線N由拋物線M平移得到，求出拋物線N的表達式為，得到頂點P的坐標為，，作于H，則，在中，，得到，進而列方程求解即可．【詳解】（1）∵頂點D的坐標為，設二次函數表達式為將點代入得∴拋物線M的表達式為：當時，或1，∵點A在點B左側，∴點A的坐標為；（2）當時，，∴點C的坐標為∴設直線的表達式為：故解得∴，，，，作E關于的對稱點，則，設垂足為G，則點G為E與的中點，∴所在直線垂直于y軸，關于的對稱點，∴點的坐標為，∴點G的橫坐標為將代入得，∴點G的坐標為，∵，，∴，∴即周長的最小值為；（3）∵拋物線N由拋物線M平移得到，設拋物線N的表達式為將點代入得：，∴拋物線N的表達式為∴頂點P的坐標為，將代入，，∴，作于H，則，∵∴點H為點P和點Q的中點，∴∴又∵∴在中，∴，∴或∴解第一個方程可得（舍），解第二個方程可得（舍），將代入P點坐標，P的坐標為或．【點睛】本題是二次函數的綜合題，涉及到的知識點有二次函數圖像上點的坐標特征、二次函數的性質、待定系數法求一次函數和二次函數的解析式，并靈活運用分類討論及數形結合的思想分析解決問題是解題的關鍵．4．（24-25九年級上·山東濟寧·期中）已知：拋物線經過A?2,0，與直線交x軸于點B，交y軸于點C，點P是拋物線對稱軸上一動點．(1)求拋物線的解析式；(2)當的值最小時，求點P的坐標；(3)在線段下方拋物線上一點F，連接，當面積最大時，求F點坐標及面積最大值．【答案】(1)(2)(3)，4【分析】（1）先求出點，然后用待定系數法求解即可；（2）求出拋物線對稱軸為直線，可得點A關于對稱軸直線對稱點B點坐標為，則與對稱軸為直線的交點即為點P，此時，的值最小，進而可求出點P的坐標為；（3）過F作軸于點H，交于點G，設，則G為，根據列出函數解析式，然后利用二次函數的性質即可求解．【詳解】（1）解：∵直線，令，得∴把點A?2,0和C為代入拋物線得解得∴拋物線的解析式為（2）解：由拋物線的對稱軸為直線，∴點A關于對稱軸直線對稱點B點坐標為把點B點坐標為代入得，∴直線解析式為∵拋物線對稱軸為直線，點A與點B關于對稱軸直線x=1對稱，則與對稱軸為直線的交點即為點P，此時，的值最小．∵直線，當時，，∴點P為．∴當的值最小時，點P的坐標為（3）解：過F作軸于點H，交于點G，設，則G為，∴∵，∴當m=2時，為最大值為4，，∴∴為最大值為4時，F坐標為【點睛】本題考查了一次函數與坐標軸的交點，待定系數法求函數解析式，二次函數的圖象與性質，軸對稱的性質，二次函數與幾何綜合，數形結合是解答本題的關鍵．5．（2024·山東青島·模擬預測）矩形中，E為中點．點從A點出發，以每秒1個單位的速度沿向點運動，同時點從點出發，同樣以每秒1個單位的速度沿向點運動．過作垂直于AD于，過作垂直于于，連接、．兩點同時出發，一點到達終點，兩點同時停止運動，設運動時間為．(1)是否存在某一時刻，使、、三點共線？是否存在某一時刻，？（選作一題）(2)設的面積為，求與的關系式，并求是否存在某一時刻，面積最大？如果存在，求出面積最大值，如果不存在，說明理由．(3)是否存在某一時刻，使得位于的垂直平分線上？如果存在，求值；如果不存在，說明理由．(4)連接，是否存在某一時刻，使平分？是否存在某一時刻，使平分？如果存在，請求出值；如果不存在，說明理由．（選作一題）【答案】(1)見解析(2)12(3)(4)平分時，；平分時，【分析】（1）①連接，過點E作于點H，當B、P、F三點共線時，，根據矩形性質、中點定義和勾股定理得到，，根據得到，得到，由余弦定義得到，解得；②當時，，得到，求得，根據余弦定義得到，求得；（2）根據余弦定義得到，求出，根據，得到，求出，得到根據三角形面積公式得到，得到時，y取得最大值12（3）過點Q作于點K，根據矩形性質和線段垂直平分線性質得到，，求得；（4）①當平分時，設與交于點L，判定，∴，過點Q作于點N，判定，得到，求得，得到，根據，∴得到，根據，，得到，得到，解得；②當平分時，根據，求出，過點L作于點M,則，得到，根據正切定義求出，，根據相似三角形性質得到，得到，即得．【詳解】（1）解：①連接，過點E作于點H，∵，∴當時，B、P、F三點共線，∵矩形中，，∴，∴，∵E是中點，∴，∴，∵，，∴，∴,∴，∴，，∴，∵，∴，∴；②當時，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，解得，；（2）解：存在．理由：∵,，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴當時，y取得最大值，最大值為12；（3）解：存在．理由：過點Q作于點K，則四邊形是矩形，當垂直平分時，，∴，∴（4）解：存在．理由：①當平分時，設與交于點L，∵，∴，∵，∴，∴，過點Q作于點N，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，由（1）知，，，∴，∴，∴，∴；②當平分時，∵，∴，∴，過點L作于點M，則，∴，∵，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，．【點睛】本題主要考查了矩形和相似三角形綜合．熟練掌握矩形性質，相似三角形的判斷和性質，二次函數性質，線段垂直平分線性質，角平分線性質，勾股定理解直角三角形，銳角三角函數定義，分類討論，是解決問題的關鍵．6．（2024·山東煙臺·一模）如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于點A、C，與y軸交于點B，并且經過不同的兩點、，當時，總有．直線l經過點B和點C，點D為拋物線的頂點，連接．

(1)求b的值；(2)請求出四邊形的面積；(3)直線l繞點C逆時針旋轉，與直線重合時終止運動，在旋轉過程中，直線l與線段交于點P，點P與點A、B不重合，點M為線段的中點．①過點P作于點E，于點F，連接，在旋轉的過程中的大小是否發生變化，若不變化，求出的度數；若發生變化，請說明理由；②在①的條件下，連接，直接寫出線段的最小值．【答案】(1)(2)15(3)①不變化，；②【分析】此題是二次函數綜合題，考查了二次函數的圖象和性質、等腰直角三角形的判定和性質，數形結合是解題的關鍵．（1）根據題意可得到對稱軸為直線，即可求出b的值；（2）連接，求出，根據即可求出答案；（3）①證明，同理得到，得到，求出，即可得到；②由①知，為等腰直角三角形，則，當時，最短，此時取得最小值，求出，根據得到，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵當，∴此拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，（2）連接，由（1）得：，∴拋物線的表達式為，∴點D的坐標為，令，則，解之得：，∴令，則∴點B的坐標為0,4，則∴∴四邊形的面積為15.（3）①不變化，理由：∵于點E，點M為線段的中點，∴，∴，∴，同理可得：，∴∵，，∴，∴即在旋轉的過程中，的大小不變，其度數為；②∵由①知，為等腰直角三角形，∴當時，最短，此時取得最小值，∵，，∴，解得∴即線段的最小值為．7．（2024·山東濟南·模擬預測）如圖1，拋物線L：與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，已知．(1)求m的值；(2)點D是直線下方拋物線L上一動點，當的面積最大時，求點D的坐標；(3)如圖2，在（2）條件下，將拋物線L向右平移1個單位長度后得到拋物線M，設拋物線M與拋物線L的交點為E，，垂足為F．證明是直角三角形．【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）由題意可知，將點A的坐標代入拋物線L即可得出m的值；（2）設點D的坐標，表達的面積，并根據二次根式的性質可得出結論；（3）由題可知，則點F是的中點，可求出的長，取的中點H，則是的中位線，則軸，由平移可得出拋物線M的解析式，聯立可得點E的坐標，求出點E的坐標，即可得出軸，進而可得結論．【詳解】（1）解：，，在拋物線L：，，解得：，故答案為：；（2）令，解得：或，，令，則，，；過點D作y軸的平行線于點G，設，則，，，當時，的面積最大，，；（3）證明：如圖，連接，，，，是的中點，，:，在中，，，過點F作于點H，，點是的中點，是的中位線，，軸，將拋物線L向右平移1個單位長度后得到拋物線M，則：，令，解得：，，，軸，，即是直角三角形．【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法，等腰三角形的性質，勾股定理等，中位線性質定理，含角直角三角形特征，熟練掌握相關知識是解題關鍵．8．（23-24九年級上·山東日照·期中）如圖，已知拋物線的圖象是由拋物線的圖象平移得到，且與x軸交于A，B兩點，C為第四象限拋物線上一動點，連接，作軸于D，設C點橫坐標為m．

(1)求A、B兩點坐標；(2)求的最大值；(3)當時，①在拋物線上找一點N，使的內心在x軸上，求點N的坐標；②M是拋物線對稱軸上一動點，在①的條件下，是否存在點M，使是以為腰的等腰三角形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)①；②或【分析】（1）已知拋物線的圖象是由拋物線的圖象平移得到，則，即可求解；（2）設，由，即可求解；（3）①作點C關于x軸的對稱點，則，連接并延長與拋物線交于點N，由圖形的對稱性可知N為所求的點，即可求解；②當時，列出等式即可求解；當時，同理可解．【詳解】（1）解：（1）∵拋物線的圖象是由拋物線的圖象平移得到，∴，即拋物線的表達式為：，令，則或，即點A、B的坐標分別為：；（2）解：設點，則，，∴，即的最大值為：；（3）解：當時，點；①作點C關于x軸的對稱點，則，連接并延長與拋物線交于點N，

設過點A、的直線解析式為：，則有：，解得：，將直線和拋物線的解析式聯立得：，解得：（不合題意的值已舍去），∴；②存在,∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∵點M在拋物線對稱軸上，∴設點，由點A、M、N的坐標得，，，當時，即，解得：，即點M的坐標為：；當時，則，解得：，即點M的坐標為：，綜上，點M的坐標為：或．【點睛】本題主要考查二次函數的綜合應用，涉及待定系數法求函數解析式，二次函數圖象的平移，二次函數的性質，等腰三角形的性質，勾股定理；關鍵是要會用待定系數法求拋物線的解析式，第二問中三角形的內角到三邊的距離是相等的，可考慮作關于x軸的對稱圖形，此方法比較簡潔，當題目中出現相等的角時，一般要考慮它們的三角函數值相等；第三問注意有兩種情況，不要出現遺漏．9．（2024·山東淄博·一模）已知拋物線與x軸交于點，點，與y軸交于點．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖，若直線下方的拋物線上有一動點，過點作軸平行線交于，過點作的垂線，垂足為，求周長的最大值；(3)若點在拋物線的對稱軸上，點在軸上，是否存在以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由；(4)將拋物線向左平移個單位，再向上平移個單位，得到一個新的拋物線，問在軸正半軸上是否存在一點，使得當經過點的任意一條直線與新拋物線交于，兩點時，總有為定值？若存在，求出點坐標及定值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點的坐標為，，(4)存在，定點，的值為【分析】（1）把，點代入，得出關于、的二元一次方程組，解方程組求出、的值，即可得答案；（2）根據拋物線解析式求出點坐標，利用待定系數法求出直線解析式，設，則，根據，及、兩點坐標得出是等腰直角三角形，利用表示出的周長，利用二次函數的性質求出最大值即可得答案；（3）根據拋物線解析式求出對稱軸為直線，點坐標為，點Q坐標為，根據平行四邊形對角線中點的坐標相同，分、、為對角線三種情況，列方程組求出、的值即可得答案；（4）根據平移規律得出新的拋物線解析式為，設的解析式為，，，則，聯立拋物線與直線的解析式得，利用一元二次方程根與系數的關系用、、、分別表示和，代入，根據為定值得出值及定值即可．【詳解】（1）解：∵，在拋物線上，∴，解得：，∴拋物線的表達式為：．（2）∵拋物線的表達式為：，∴當時，，∴，設直線的解析式為，∵，，∴，解得：∴直線的解析式為，設其中，則，∴∵，，∴∵軸，∴，∵，∴是等腰直角三角形，，∴的周長，∴當時，的周長有最大值，．（3）由題意知，拋物線的對稱軸為直線，，，設點坐標為，點Q坐標為，①當為對角線時，，解得：，∴，②當為對角線時，，解得：，∴，③當為對角線時，，解得：，解得：，綜上所述，存在點，以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，點的坐標為，，．（4）當拋物線向左平移1個單位，向上平移4個單位后，得到新的拋物線，即，設的解析式為，點坐標為，點坐標為，則，聯立新拋物線與直線的解析式得：∴，∴，，，同理，，，∵為定值，∴，解得：，當時，，∴定點的值為4．【點睛】本題考查二次函數的綜合，包括待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖像的平移、求一次函數解析式、平行四邊形的性質、求二次函數的最大值、一元二次方程根與系數的關系，綜合性強，熟練掌握相關的性質及規律是解題關鍵10．（22-23九年級上·山東濱州·期中）如圖，拋物線與軸交于、，與軸交于．(1)求拋物線的解析式；(2)若點在拋物線上，且，求點的坐標；(3)已知線段DE與線段關于平面內某點成中心對稱，其中DE的兩端點剛好一個落在拋物線上，一個落在對稱軸上，求出落在拋物線上的點的坐標．參考：若點、，則線段的中點坐標為．【答案】(1)(2)(，(，(3)或【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；（2）設點的坐標為，根據已知條件得出的值，代入解析式即可求解；（3）根據題意，則線段DE與線段構成平行四邊形，根據中點坐標公式，即可求解．【詳解】（1）拋物線與軸交于、，解得拋物線解析式為．（2）設點的坐標為，由題意：，，．

當時，解得，

當時，解得滿足條件的點有個，即(，(，．（3）由拋物線解析式得對稱軸為直線x=1當點落在對稱軸左側的拋物線上，點落在對稱軸上時，點與點對稱，此時CE中點的橫坐標為，設點的坐標為，根據公式可得，解得將代入得此時落在拋物線上的點的坐標為

當點落在對稱軸右側的拋物線上，點落在對稱軸上時，點與點對稱，此時BD中點的橫坐標為，

設點的坐標為，根據公式可得，解得將代入得此時落在拋物線上的點的坐標為．

綜上所述當線段DE與線段關于平面內某點成中心對稱時，落在拋物線上的點的坐標為或．【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，待定系數法求解析式，面積問題，中心對稱的性質，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．11．（2023·山東青島·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線；與x軸交于點A和C，與y軸交于點B．點P為直線上方拋物線上一動點，過點P作軸于點Q，交線段于點M，已知點，且．(1)求拋物線的函數表達式；(2)求當M是中點時的P點坐標；(3)作，垂足為N，連接，．請從下列兩個問題中任選一個問題完成．問題①：求的最大值；問題②：求的面積最大值．(4)連接，當x為何值時，四邊形為平行四邊形？四邊形能為菱形嗎？若能求出P點坐標；若不能，說明理由．【答案】(1)；(2)點；(3)選①當時，的最大值為，理由見解析；②的面積最大值為6．(4)時，四邊形是平行四邊形；不可能為菱形，理由見解析．【分析】（1）可求出點坐標為，將、點坐標代入解析式求出、的值，即可求出函數解析式；（2）根據題意可得：

；（），有，可證∽，可得，即，這里的，可求出關于的一元二次方程的解，從而求出、的值，進而求出點坐標；（3）①設，有∽，則，從而求出，，，再證∽，有，即，得到關于的函數關系式，再求最大值即可；②為定值，故求面積最大值，相當于求最大值，在①的基礎上再計算面積即可求解；（4）根據平行四邊形的性質，當時，四邊形是平行四邊形，此時有，求解出即可；此時，，，那么，所以，所以不可能為菱形．【詳解】（1）解：∵，，∴∴，解得，．

∴（2）解：由題意知：點B當M時中點時，

；（）∵軸∴∴∽∴，即．

∴解得，（舍去）．∴

，即點．（3）解：由勾股定理得，，∵∽∴，即，∴，，，∵，，∴，∵，∴∽，∴，即∴=，∴當時，的最大值為；②，當取最大值時，面積最大，最大面積為：；故的面積最大值為6．（4）解：∵，∴當時，四邊形是平行四邊形，即，，解得，∴時，四邊形是平行四邊形，此時，，，那么所以，所以不可能為菱形．【點睛】本題考查了利用待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的性質、相似三角形的判定及性質、坐標與圖形、平行四邊形的性質等知識點，構建相似三角形，找到相應線段的等量關系是求解的關鍵．12．（2023·山東淄博·二模）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線經過，，三點．

(1)求拋物線的表達式；(2)如圖2，設點P是拋物線上在第一象限內的動點（不與B，C重合），過點P作，垂足為點D，點P在運動的過程中，以P，D，C為頂點的三角形與相似時，求點P的坐標；(3)在y軸負半軸上是否存在點N，使點A繞點N順時針旋轉后，恰好落在第四象限拋物線上的點M處，且使，若存在，請求N點坐標，若不存在，請說明理由．（請在備用圖中自己畫圖）【答案】(1)(2)或(3)，圖見解析【分析】（1）利用待定系數法解答，即可求解；（2）先證明，可得，然后分兩種情況討論：當時，當時，即可求解；（3）過作交于點，過點作，交的延長線于點，則，設與軸交于，證明，可得，從而得到平分，再求出的解析式，可得，再由，可求出點N的坐標，即可．【詳解】（1）解：將三點坐標代入中，得，，解得，，所以拋物線表達式為：．（2）解：根據題意，得：，∴，，又，，，，當時，

，，，，點的縱坐標為4，當時，有，解得或（舍），點的坐標為；當時，，作軸于點，過點作軸交于點，如圖，

，，，，，設直線的解析式為，把點代入得：，解得：，∴直線的解析式為，設，則，，在中，由勾股定理得，，即，解得，，

綜上，點的坐標為：或．（3）解：過作交于點，過點作，交的延長線于點，則，

，設與軸交于，由旋轉得：，，，，，，平分，，，

，的解析式為：，，解得：，，設，，，解得：，所以，點坐標為．【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合題，涉及了二次函數，一次函數的性質，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，熟練掌握二次函數，一次函數的性質，相似三角形的判定和性質，利用分類討論思想解答是解題的關鍵．13．（2022·山東泰安·模擬預測）如圖，拋物線經過點，且交軸于點，點是軸正半軸上的動點，交拋物線于點，軸交線段的延長線于點，作直線，交軸于點，交軸于點(1)求拋物線的解析式．(2)當為何值時，點恰好與點重合(3)當時，請直接寫出線段的值．【答案】(1)(2)當時，點恰好與點重合(3)或【分析】（1）直接把點P坐標代入拋物線解析式中進行求解即可；（2）先求出點A的坐標為，根據點恰好與點重合，得到點D即為直