8.6.3課時2面面垂直的性質定理第八章立體幾何初步1.理解平面與平面垂直的性質定理,并能用文字、符號和圖形語言描述定理.2.能應用面面垂直的性質定理證明相關問題.3.理解“垂直”之間的相互轉化.1.二面角及其相關概念從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角．βαlOAB平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°．2.兩個平面互相垂直的定義

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．平面α與β垂直，記作α⊥β．定理

如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.圖形語言表示符號語言表示

a?α，a⊥β?α⊥β.這個定理說明，可以由直線與平面垂直證明平面與平面垂直.線面垂直線線垂直面面垂直3.兩個平面互相垂直的判定定理如果兩個平面互相垂直，根據已有的研究經驗，我們可以先研究一下其中一個平面中的一條直線與另一個平面具有什么位置關系？探究：如圖，設α⊥β,α∩β=a,則β內任意一條直線b與a有什么位置關系？相應地，b與α有什么位置關系？為什么？

αβbab與a平行或相交.當b//a時，b//α;當b與a相交時，b與α也相交.特別地，當b⊥a

時，如圖，設b與a的交點為A，過點A在α內作直線c⊥a,αβbacA則b，c所成的角就是二面角α-a-β的平面角.∵α⊥β，∴b⊥c.又∵b⊥a，a和c是α內的兩條相交直線，∴b⊥α.平面與平面垂直的性質定理定理

兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.圖形語言表示αβal符號語言表示

α⊥β，α∩β=l，a?β，a⊥l?a⊥α.這個定理說明，由平面與平面垂直可以得到直線與平面垂直.面面垂直線面垂直

這個性質定理可以用于解決現實生活中的問題.例如，裝修房子時，要在墻壁上畫出與地面垂直的直線，只需在墻壁上畫出地面與墻壁的交線的垂線即可.⑴定理成立的條件有三個：①兩個平面互相垂直；②直線在其中一個平面內；③直線與兩平面的交線垂直．⑵定理的實質是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直；⑶已知面面垂直時，可以利用此定理轉化為線面垂直，再轉化為線線垂直．三個條件缺一不可直線與平面垂直平面與平面垂直判定性質注

意定理:兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.

設平面α⊥平面β，點P在平面α內，過點P作平面β的垂線a，則直線a與平面α具有什么位置關系？

我們知道，過一點只能作一條直線與已知平面垂直.因此，如果過一點有兩條直線與平面垂直，那么這兩天直線重合.

如圖，設α∩β＝c，過點P在平面α內作直線b⊥c．由平面與平面垂直的性質定理可知，b⊥β．因為過一點有且僅有一條直線與平面β垂直，所以直線a與直線b重合，因此a

?α．

如果兩個平面垂直，那么經過第一個平面內一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內．

對于兩個平面互相垂直的性質，我們一個平面內的直線與另一個平面的特殊位置關系.如果直線不在兩個平面內，或者把直線換成平面，你又能得到哪些結論？

下面的例子就是其中的一些結果.【例1】如圖，已知平面

⊥平面β,直線a滿足a⊥β,

a

,判斷a與

的位置關系．解：∴b⊥β，在

內作垂直于

與β交線的直線b，∵

⊥β，又a⊥β，∴a//

．∴a//b.ba

β又a

?

,即直線a與平面

平行．

如果兩個平面垂直，那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內．【例2】如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥平面PAB．分析：要證明BC⊥平面PAB，需證明BC垂直于平面PAB內的兩條相交直線.

由已知條件易得BC⊥PA．再利用平面PAB⊥平面PBC，過點A作PB的垂線AE，由兩個平面垂直的性質可得BC⊥AE．PABC【例2】如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥平面PAB．證明：PABC如圖，過點A作AE⊥PB，垂足為E，∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，∴AE⊥平面PBC，∵BC?平面PBC，∴AE⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC,又PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB.【例3】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，EF⊥A1D,EF⊥AC，求證：EF//BD1．證明：連接A1C1，由于AC//A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1C1∩A1D＝A1，∴EF⊥平面A1C1D，①∴BB1⊥A1C1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，又∵四邊形A1B1C1D1為正方形，∴A1C1⊥B1D1，CDC1D1B1A1BAEF∵BB1∩B1D1=B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1?平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1，同理可證DC1⊥BD1，而A1C1∩DC1=C1，∴BD1⊥平面A1C1D，②由①②可得

EF//BD1．拓展：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，EF⊥A1D,EF⊥AC.求EF的長．解：連接A1C1，由于AC//A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1C1∩A1D＝A1，∴EF⊥平面A1C1D，

∴EF的長等于AC到平面A1C1D的距離，又AC//A1C1，A1C1?平面A1C1D，而AC到平面A1C1D的距離等于三棱錐C-A1C1D的高，設高為h,CDC1D1B1A1BAEF

直線、平面之間的位置關系可以相互轉化：知識歸納1.兩個平面互相垂直的性質定理圖形語言表示符號語言表示

定理

兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.α⊥β，α∩β=l，a?β，a⊥l?a⊥α.αβal2.證明線面垂直的兩種方法線線垂直→線面垂直；面面垂直→線面垂直

證明：如圖,設AC∩BD=G,連接EG,FG.又CF?平面ACEF，則EF=CG=CE.∴BD⊥平面ACEF，∴四邊形CEFG為菱形，∴BD⊥AC.

∴CF⊥EG.∵四邊形ABCD為正方形，又EF∥AC，又平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC，∴CF⊥平面BDE.∴BD⊥CF.又BD∩EG=G,解：⑴∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥平面AED.

∴CD⊥AD，又∵平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，DECAB又∵EA?平面AED，∴CD⊥EA.⑵如圖