第1講集合

知識(shí)梳理

1、元素與集合

（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.

（2）元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號(hào)分別記為：和.

（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（venn圖）.

（4）常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號(hào)

數(shù)集自然數(shù)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)實(shí)數(shù)集

集集

符號(hào)NN或ZQR

N

說明：

①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何

一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.給定集合A{1,2,3,4,5}，可知1A,在該集合中，

6A,不在該集合中；

②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出

現(xiàn)的.

集合A{a,b,c}應(yīng)滿足abc.

③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合A{1,2,3,4,5}和B{1,3,5,2,4}是同

一個(gè)集合.

④列舉法

把集合的元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.

具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，

再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.

2、集合間的基本關(guān)系

（1）子集（subset）：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中任意一個(gè)元素都

是集合B中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作

AB（或BA），讀作“A包含于B”（或“B包含A”）.

（2）真子集（propersubset）：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我們稱

集合A是集合B的真子集，記作AB（或BA）.讀作“A真包含于B”或“B真包含A”.

（3）相等：如果集合A是集合B的子集（AB，且集合B是集合A的子集（BA），

此時(shí)，集合A與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作AB.

（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的

子集，是任何非空集合的真子集.

3、集合的基本運(yùn)算

（1）交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B

的交集，記作AB，即AB{x|xA,且xB}．

（2）并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為A與B

的并集，記作AB，即AB{x|xA,或xB}．

（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集

合相對(duì)于全集的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合的補(bǔ)集，記作，即且．

AUACUACUA{x|xU,xA}

4、集合的運(yùn)算性質(zhì)

（1）AAA，A，ABBA．

（2）AAA，AA，ABBA．

（），，．

3ACUAACUAUCUCUAA

【解題方法總結(jié)】

（1）若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n1個(gè)，非空子集有

2n1個(gè)，非空真子集有2n2個(gè)．

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．

（）．

3ABABAABBCUBCUA

（）．

4CU(AB)(CUA)(CUB),CU(AB)(CUA)(CUB)

必考題型全歸納

題型一：集合的表示：列舉法、描述法

2

例1．（2024·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知集合A1,0,1，Bm|m1A,m1A，則集

合B中所有元素之和為（）

A．0B．1C．－1D．2

例2．（2024·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）對(duì)于兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合A和B，我們把集合

x∣xab,aA,bB記作AB.若集合A0,1,B0,1，則AB中元素的個(gè)數(shù)為

（）

例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義集合ABxyxA且yB.已知集合

A2,4,6，B1,1，則AB中元素的個(gè)數(shù)為（）

【解題總結(jié)】

1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點(diǎn)是直觀、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

題型二：集合元素的三大特征

例4．（2024·北京海淀·校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合M2m1,m3，若3M，則實(shí)數(shù)

m=（）

A．0B．1C．0或1D．0或1

2

例5．（2024·江西·金溪一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合A1,a,b，Ba,a,ab，若AB，

則a2023b2022（）

A．1B．0C．1D．2

2

例6．（2024·北京東城·統(tǒng)考一模）已知集合Axx20，且aA，則a可以為（）

3

A．－2B．－1C．D．2

2

【解題方法總結(jié)】

1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性。

2、研究?jī)蓚€(gè)或者多個(gè)集合的關(guān)系時(shí)，最重要的技巧是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系。

題型三：元素與集合間的關(guān)系

2

例7．（2024·河南·開封高中校考模擬預(yù)測(cè)）已知Ax∣xax10，若2A，且3A，

則a的取值范圍是（）

551051010

A．,B．,C．,D．,

223233

2

例8．（2024·吉林延邊·統(tǒng)考二模）已知集合A=xax-3x+2=0的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)

a的值為（）

99

A．B．0C．或0D．無解

88

x2y2

例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合Ax,y1,xZ,yZ，則A中

42

元素的個(gè)數(shù)為（）

A．9B．10C．11D．12

【解題方法總結(jié)】

1、一定要牢記五個(gè)大寫字母所表示的數(shù)集，尤其是N與N*的區(qū)別．

2、當(dāng)集合用描述法給出時(shí)，一定要注意描述的是點(diǎn)還是數(shù)，是還是．

題型四：集合與集合之間的關(guān)系

例10．（多選題）（2024·山東濰坊·統(tǒng)考一模）若非空集合M,N,P滿足：MNN,MPP，

則（）

A．PMB．MIPM

e

C．NPPD．MpN

k1

例11．（2024·江蘇·統(tǒng)考一模）設(shè)Mxx,kZ，Nxxk,kZ，則（）

22

A．MNB．NMC．M=ND．MN

2

例12．（2024·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知集合Ax|xx120，

22

Bx|x3mx2mm10}，若“xA”是“xB”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的

取值范圍為（）

55

A．[-3,2]B．1,3C．1,D．2,

22

例13．（2024·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知集合Axx1，Bx2xa0，若AB，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．2,B．2,C．,2D．,2

【解題方法總結(jié)】

1、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別.

2、判斷集合之間關(guān)系的兩大技巧：

（1）定義法進(jìn)行判斷

（2）數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行判斷

題型五：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算

例14．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知集合Axx3n2,nN，B6,7,10,11，

則集合AB的元素個(gè)數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

1

例15．（2024·河北張家口·統(tǒng)考二模）已知集合Ax|x24x0，Bx|0，

3x

痧

則RARB（）

A．2,3B．3,4C．,23,D．,34,

例16．（2024·廣東·統(tǒng)考一模）已知集合M{x∣xx20},N{x∣x10}，則下列Venn

圖中陰影部分可以表示集合{x∣1x2}的是（）

A．B．

C．D．

例17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)

典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來

精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國(guó)大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀

看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開國(guó)大典》的有

26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開

國(guó)大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國(guó)大典》的有6人，三支短視頻全觀看了

的有3人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為________.

【解題方法總結(jié)】

1、注意交集與并集之間的關(guān)系

2、全集和補(bǔ)集是不可分離的兩個(gè)概念

題型六：集合與排列組合的密切結(jié)合

例18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)集合Xa1,a2,a3,a4N，定義：集合

*

Yaiajai,ajX,i,jN,ij，集合Sxyx,yY,xy，集合

x

Tx,yY,xy，分別用|S|，|T|表示集合S，T中元素的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論可能成立

y

的是（）

A．|S|6B．|S|16C．|T|9D．|T|16

例19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合A，B滿足AB1,2,3，若AB，且A&B，

B&A表示兩個(gè)不同的“AB互襯對(duì)”，則滿足題意的“AB互襯對(duì)”個(gè)數(shù)為（）

A．9B．4C．27D．8

例20．（2024·北京·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知集合A滿足：①AN，

②x,yA,xy，必有xy2，③集合A中所有元素之和為100，則集合A中元素個(gè)數(shù)最

多為（）

A．11B．10C．9D．8

【解題方法總結(jié)】

利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個(gè)數(shù)的問題，需要運(yùn)用分析與轉(zhuǎn)化的思

想方法

題型七：集合的創(chuàng)新定義

例21．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合A,B，定義ABxxA，且xB．若

A{x|x2k1,kN}，B{x|x3k1,kN}，將集合AB中的元素從小到大排列得

到數(shù)列an，則a7a30（）

A．55B．76C．110D．113

例22．（多選題）（2