設有如下函數次/),試分別畫出它們的波形,

⑸砥/—l)dt(6)J：(產+3(-3)力(7)2[/(丁川丁

00兀嚴J兀I

)cos(twf--)J(z)dr=cos^—)J(r)dr=—

(3)I%一節(T)dr=|%一3節⑺山=105⑺山=1(4)「r<y(r-l)d/=「^(/-l)d/=1

Jo_J()_Jo_J-ooJ-O0

(5)|t-1)dt=Jt-1)dt=l(6)=0(7)=2

3-1如圖2-1所示系統，試以〃c(/)為輸出列出其微分方程。

解由圖示，有—

i="+。*9又i二J.x)出故+,、ri

1RdrL小)sc%(，)()用c豐“e

19—.

—(ws—wc)=—+CUQ從而得

LR-----------------

3-3設有二階系統方程)，〃(f)+4y'⑺+4y?)=0在某起始狀態下的0+起始值為

>'(0+)=1,y'(0+)=2試求零輸入響應。

21

解由特征方程萬+42+4=0得九=石=-2那么零輸入響應形式為)％(/)=(A+A2t)e-

由于)以0+)=4=1-2Ai+A2=2所以4=4故有力⑺=(1+4/)6咒/>0

3-4如題2-7圖一階系統，對(a)求沖激響應，和〃L,對(b)求沖激響應〃c和d并畫出它們的波形。

(a)

對于圖(b)?C'電路，有方程(b)

C——=i,-即u]H----=—&當is=戊，)時>那么

dtRRCC

RC

/?(/)=uc(t)=—e雙'?￡(/)同時，電流ic=C'^二演，)-----e-e(t)

CdrRC

3-5設有一階系統方程)/(，)+3)0=/'?)+/(，)試求其沖激響應//(t)和階躍響應$(/)。

解因方程的特征根％=-3,故有內(。=6一3，.￡(/)當人(。=次/)時，那么沖激響應

Kt)=2(/)*[N⑺+5(力=演。-2e3.￡”)階躍響應

3.10算子法求下列系統的沖激響應力⑺。(a)y\t)+3/(/)+2y(z)=5f\t)+7/(r)

(b)):(/)+2y(/)+.￥(/)=2/(r)+3/(r)

解：(a)系統的算子方程(方+3p+2)y(/)=(5〃+7)/(/)從而H(p)=.P+7二_十二^

p-+3P+2p+1p+2

23

從而6Q)=+—mt)=2e-l+^>0S)(p2+2〃+l)y(f)=(2〃+3)/()

p+1p+2

H(p)=a2。｝=--!—r+—^―從而/??)=[--^—7+—^―]b(f)=te1+2e7,r>0

p~+2〃+l(p+1)"p+1(/?+l)-p+\

3-11試求以下卷積。(a)￡(r+3)*6(t-5)(b)戊f)*2(c)&'?￡1，)**，)

解⑶按定義4z+3)*&/-5)=/￡(7+3)6?-7-5)<17考慮到丁〈-3時，￡(ZM-3)=0；7>/-5時,

f/-5

￡(t-r-5)=0,故a/+3)*￡(J5)=]3dr=/—2,r>2

(b)由次/)的特點，故次/)*2=2(c)fe-'a1)*特￡)=陸—依＞)]'=(小-酎上網。)

f的，式。

3-12對圖示信號，求力(/)*￡(/)。2—

解⑷先借用階躍信號表示力(/)和及(/),|||

即力(。=241)-2al)⑸

爾,)*及(，)=[2網/)-2aI)]*[a/)-“，44f-202/

.,(b)

因為

"f)*&/)=fldr=/￡(/)故有

Jo

力(I)*及⑺=2砥E)-2(1)&t-\)-2(t-2)at-2)+2(/-3Mr-3)

(b)根據次z)的特點,那么力(z)*用，)=力(/)*既，)+小片2)+次什2)]=力(口+力(，-2)+力(汁2)

3-13試求以下卷積。(a)(1-廠加⑺*夕⑺*￡0)

(b)e-32⑺*g[e?3⑺]解⑸因為因'⑺*￡(/)=-")=，⑺,故

dt

(b)因為已一節?)=5(。，故

3-14設有二階系統方程)，〃“)+3)，'(，)+2y(0=4&Q)試求零狀態響應

解因系統的特征方程為*+34+2=。解得特征根4=-1,A2=-2

故特征函數X2")=e**e勾=(e-'*e-2，)g⑺

-/-2z-2r-/

零狀態響應y(t)=43")*x2(r)=43'⑺*(e*e)s(t)=(8e-4e)￡(，)

3-15如圖系統，九⑺二//一1),飽(/)=￡(/)試求系統的沖激響應皿/)。

解由圖關系，有

所以沖激響應力Q)=)C)=x(r)*〃2(f)=k'―方制」

即該系統輸出一個方波。

3-16如圖系統，R=&=ldL=1H,C=IFo試求沖激響應wc(f)。

解由KCL和KVL,可得電路方程為

代入數據得Wc+2”；+2〃c=?")+S")

特征根42=-1±ji故沖激響應〃c(r)為〃c?)=(/*/為

3-19一線性時不變系統,在某起始狀態下,當輸入Hf)=十/)呵,5￡H|nJMyi(t)=t)；當輸入貝r)

=-￡(t)時，全響應J2(/)=e-3/-￡(t),試求該系統的沖激響應收t)O

解因為零狀態響應/)TS(f)，-6<t)->-5(t)故有>,1(t)=%(/)+$(/)=3e-3/-itt)J2(t)=>zi(t)-s(t)

=e-M*t)從而有y(f)-y2(t)=2s(t)=r)即s(f)=e-3r-4t)

故沖激響應Mf)=s(f)="f)-3e-3，.&i)

例4.7設有時間信號/?)=當業，試求其頻譜函數F(w).解：這里f⑴為偶函數，且可以表示

加

4-1求題3-1圖所示周期信號的三角形式的傅里葉級數表示式。:

解對于周期鋸齒波信號，在周期(0,T)內可表示為///Iz

J⑺=7系數旬=下(/⑺"=〒<下dUy。

所以三角級數為

4-3試求以下信號的頻譜函數c(I)/(力二e.洲(2)/(。=e“sin&/?￡(/)

解(1)廠(g)=「/(r)e-jftA,dr=f°e2/e-jr,J,dr+f"e2ley'^t=

“為2-j?2+j/y4+啰~

(2)F(@)=,：/(/把一加出=1)%-“'?二(e"%'—e-j如)e-泗山

4-4求題34圖示信號的傅里葉變換。

解(a)因為

'1*1<：T

AO=<

0,|為奇函數，故

(b)yu)為奇函數,故

4-8設1/)為調制信號，其頻譜「(⑷如題圖4-7所示，cos劭z為高頻載波，那么播送發射的調幅信號

x(/)可表示為x(/)=A|1+/)]cosw試求x(r)的頻譜,并大致畫出其圖形。

解因為調幅信號M/)=Acos劭/+mAJtI)cosob/

故其變換

式中，&劭為;(/)的頻譜。.

X3

4-10試求信號7U)=l+2

解因為1-2冗次@)2cos

故有F((o)=2冗[次①)+次止

4-11對于如題3-6圖所示I

F(0)=4zSa2(竺)證因為

2

41一區|；\t\<T

0,\t\>T

那么

4-11試利用傅里葉變換的性質，求題圖所示信號

譜函數。解由于力(，)的A=2,r=2,故其變換

口⑼=4向節)=4Sa2(0)根據尺度特性有

c2K(2(o)=8Sa2(2^i再由調制定理得

A")=/g)COS加C尸2(⑼

4-15如題4-1圖示RC系統,輸入為方波山(，)，試用卷積定理求響應〃2")。

?i(0

解因為RC電路的頻率響應為1

而響應?2(t)=?i(/)*/?(r)

I

故由卷積定理，得Ui(co)=U\(co)*”(jo)而二」一u-—(l-e-J")

J0

反變換得〃2。)=(l-e-，W)-[l-e-(/-1)k(z-1)

4

4-16設系統的頻率特性為”(。)=-------小用頻域法求系統的沖激響應和階躍響應。解沖激響

jo+2

應，故版/)=F-][H(a))]=4e^r-3)^(r-3)而階躍響應頻域函數應為

22r"1

=2兀33)+(----------------)/'所以階躍響應s“)=2l-e5-".￡(-3)

\a)j3+2L」

4.19設系統頻域特性為由對稱性，且用g(w)表示頻域門函數，那么：

H(w)=<6;0,|K|>6,若系統輸入/'⑺=sin4/"?cos6/,求系統響回，⑺.

4-22題4-8圖所示（a）和（b）分別為單邊帶通信中幅度調制與解調系統。輸入/（/）的頻譜和頻率特性

M（j⑷、42（j⑷如下圖,試畫出M/）和的頻譜圖。

,Z12

|cm*M

解由調制定理知O)

7；(0=fScos05c4(⑼=，/3+在)+」夕「d「

-*J。，63-v.0?.3y

X(@)=￡(/)?〃](./@)又因為

/2(/)=X(r)COS69c/—E(⑼=g[X(&+&c)+X(69-69cj]所以

它們的頻譜變化分別如圖P4-8所示，設牧,他。

。-0.-4*.??.

4-23一濾波器的頻率特性如下圖，當輸入為所示的./i

WZ/

，⑺

解因為輸入yu）為周期沖激信號，故⑴

F助二兀所以貝。的頻譜

n="=1,1=2…IIIj

-2-1

當〃=(),±1,±2時，對應H(jo)才有輸出，故y(0)=/"17：c!r\小、、+賈研2兀）］反變

換得></)=2(1+cos2nr)<rz'

4-24如題4-9圖所示系統，設輸入信號的頻譜R告定，試畫出

的頻譜。

解設工⑺=/Q）cos50f,故由調制:

〃）=*3+5。）”（加5。）］從

-20O20-50-30SOa-30030

它僅在|上|二（30?50）內有值。再設入⑺=/2（r）cos30/那么有

6（3）二’尸2（0+30）+E（/-30）］即吊（。）是&（。）的再頻移。進而得響應的頻譜為

y（0）="（。）?H式j①）其結果僅截取-20<20的局部。以上過程的頻譜變化如下圖。

4.27設信號卅）的頻譜如圖（a）所示，

當該信號通過圖（b）系統后，證明）”）恢更為人以

/

50

所以輸出

即M。包含了用）的全部信息F（3）,故恢復了"）。

4-26如題圖4-4所示是一個實際的信號加工系統，試寫€0$0

解由圖可知輸出y（f）=￡l/W-/（r-r0）］出

取上式的傅氏變換，得—

J①

故頻率特性

3%K2

例設F(s)=求f(t)。解尸(§)=-----------=-----1"2具‘11

($+1)($+2)(s+l)(s+2)s+1s+1

%=(S+1*(S)LT=-1K=(S+2)F(S)|S_=2所以尸(s)=-----+------那么

2=2S+1S+1

f(t)=-e-,+2e-21

例5.18：如下圖電路系統，0=1F,L=1/2H,R1=0.2Q,R2=1Q,uc(0-)=0,iL(0-)=2A,試

求電感電壓uL(t)o

例。5.16如下圖電路系統，tWO時電路已處于穩態。設R1=4Q,R2=2Q,L=1H,C=1F,試求t

20時的響應uc(r)o

5-1求以下函數的單邊拉氏變換。

(1)2-e-/(2)b(f)+e"(3)e2/cosr(4)sin2r+3cos2/

解(1)F(5)=fAX?(2-e-1/)e-i,dry=4--?------=-^--

%S5+1S(S+1)

⑵F(s)=「UQ)+e-3,]e_5,df=1+—

Jo-5+3

⑶F(5)=￡(e_2zcosr)e-'7dz=￡"-(ej/+e-j/)e-2/-e-v/dr

if111_s+2

2(s+2-js+2+j,($+2)2+1(4)F(5)=￡(sin2t+3cos2t)e"di

1(1113/1112+3s

-----H-------;------;=-

2兒-2/s+2力21s-2/s+2j)s+4

5-2求以下題5-2圖示各信號的拉氏變換。

解(a)因為工(f)=￡?)—￡((—%)

而￡(。一>一,￡[t—Zo)—>—e""

ss(a)

故工(，)-^-(1-e"1)(b)因為/(/)=——一，0)[=—￡(t)---￡(，一，0)

S，o，o，o

又因為上￡?)-」￡(/To)fd+」一)「

%s'o'o$st0

故有3")->J--(-+"-把f=」一(1一e-"。)--e-“。

SZoSSt()5*7。S

5-5利用微積分性質，求題5-3所示信號的拉氏變換。

解先對yu)求導，那么

故對應的變換片(s)=-(1-2e-v+2C-3T-e")

s

所以八)=gj約

ss~

L/、5+1

5-9用局部分式法求以下象函數的拉氏反變換。(1)F(s)==-------

s+5$+6

2s2+9+214

(2)F(s)=—1——(3)尸G)=-----(4)F(s)=----y(5)

s(s2+\)/+3S+2S(S+2/

解(1)

s+15+1_k[k2

尸⑸二匕=(S+2/(S)L2=7k2=(s+3)尸(s*=3=2

s~+5s+6(s+2)(5+3)s+25+3

-12

故有F(s)=所以/("二(—e-2'+2e-力把⑺

s+2s+3

2s2+s+2ABs+C

(2)F(s)=可得A=s/(5^^=2

5(52+l)s'+1

2I

又2/+$+2=AS2+A+B$2+CS可得B=O,c=1F(5)=-4

s2+\

所以/Q)=(2+sinf)cQ)

k\

(3)F(s)=——----=------------+缶匕=("1"(況一

s?+3s+2(5+l)(s+2)s+1

1-1

k2=(s+2)F(5)|i=2=7故有尸(s)=-----F-----故/⑴二小一'—?^)5")

S+15+2

43+2)2%k+122

⑷"EII故匕=5/(5'必=1

故有尸⑻丁丁-E所以阿=(-—-的

5-12設系統微分方程為)，〃(/)+4y'Q)+3y(t)=2/()+f(t)

}'(0_)=l,/(0_)=1,/(r)=e-2/-40o試用s域方法求零輸入響應和零狀態響應。

解對系統方程取拉氏變換得

S2Y(S)-sy(O_)-)，'(0_)+4sY(s)-4y(0_)+3y(s)=2s/⑸+尸(s)從而

?(0)+y'(())+4y(())?2$+l

VG)=?F(s)由于F(s)=------

52+45+3s2+45+35+2

故Y(s)=------------+-----------------------

『+4s+3,(s+2)(/+4s+3)

75i5

求反變換得'公(/)=-e-z--e-3/(r)=--e-z+3e-2/--

全響應為y(t)=3e-z+3e_2f-5e^,/>0

5-13設某LTI系統的微分方程為_/(/)+5y'a)+6yQ)=3/()求其沖激響應和階躍響應。

33

解對方程取拉氏變換，得系統函數"($)二十二——=----:------當yu)=s(f)時，用s)=i,得

s-+5s+6(s+2Xs+3)

y(s)=H(s)=------------從而h(t)=3e-2/-3e-3z,r>0

(s+2Xs+3)

當/(，)=￡(/)時，F(5)=-,得y(s)='"(s)=c----J——=—+—1+——7

sss(s+2)(s+3)ss+2s+3

2f3/

故得y(t)=s(t)=0.5-1.5e-+e-,r>0

f(t)=￡⑴

5-18如題5-10圖所示電路，Us=28V,L=4H,C=-F,R=12C,R=R3=2Qo當/=0時S斷開,

42

設開關斷開前電路已穩定，求也0后響應〃c(/)。

Us

解初始狀態在，二0一時求得不(0)==2AWc(0_)=——?/?,=4V

R[+R]R+R]-

對于圖(b)S域模型，列出關于Gc(s)的節點方程，即

28..

1VI籍十1解得〃⑸二篝餐3s+8

12+4JL產⑸=($+2)2

-2/

可得uc(r)=7-2(f+1.5)e(i>0)

例6?9設有反應控制系統如下圖，為使系統穩定，試確定K的取值范圍。

y“)

解：由圖可得系統函數H(s)=(s+l)(：+2)=

I---檢----

1丁($+1乂"2)

二-------------按二階系統穩定條件,3+K>0,k>-36-1某系統函數H(s)的零、極點分布如題

J+(3+K)s+2

6-3圖所示，假設沖激響應的初值力(0+)=2,求系統函數”(s),并求出h(t).

解由圖示零、極點分布，應有H(s)=-----乜貯——7

(f⑻

(s+l)-+—

又因為/i(0)=limsH(s)=H(0)=2故有H(s)=進一步可表示為

+圖

5+11

H(s)=22所以

㈤

3+四(§+1)2+初

2

*4

6-3某系統函數”(5)的零、極點分布如題6-4圖所示，且從=________達式。

°”曲

解從圖可知系統的零點為zi=0,Z2=-2,Z3=-3極點為5戶-

*--------j2

52.3=-2±j2故系統函數

0Q

6-4在題6-1圖示系統中,44)=b(f-l),%(f)=￡⑴一￡(了-2),試求-j2)和沖激響應

例I),并畫出其波形。

一九⑺---1

解因為X")=/?)*/%?)+/(/)

故

耳(s)=F(s)Ha(s)+F(5)=[l+HaW]戶(s)而Y(s)=X(s)4a(s)?Hh(s)

其中"a(s)=e-s,”b(s)=-(l-e-2s)所以y(s)=(1+e-s)e-s」(1一e"s).F(s)

故“($)=2=(1+，9二力.6，1e+/一丁_。)

F(s)