第=PAGE1*2-11頁共=SECTIONPAGES1*22頁◎第=PAGE1*22頁共=SECTIONPAGES1*22頁白城實驗高級中學2025年第一次模擬考試數(shù)學試卷.一、單項選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝，圖中陰影部分為集合M，則M中元素的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】∵lnx＜1，∴0＜x＜e，∴B＝(0，e)，∴A∩B＝{1，2}，∴M＝{－1，0，3}，∴M中元素的個數(shù)為3，故選C.2.某學校組隊參加辯論賽，在1名男生和4名女生中選出4人分別擔任一、二、三、四辯，在男生入選的條件下，男生擔任一辯的概率是（）A.14 B.13 C.12【答案】A【解析】在1名男生和4名女生中選出4人分別擔任一、二、三、四辯，在男生入選的條件下，男生擔任一辯的概率是P=A故選：A.3.已知函數(shù)fxA.?x∈R，使得B.方程fx=m有兩個不同實根，則實數(shù)mC.?x∈0,1，使得D.若fa≥f2?a，則實數(shù)【答案】D【解析】對?x∈R，都有所以?x∈R,f(x)+f(?x)=0，當x>0時，f(x)=x+1易知f(x)在0,1上單調(diào)遞增，此時f(x)∈0當x>1時，f(x)=∴f(x)在1,+∞∴x>0時，f(x)∈0∴x<0時，f(x)∈?而f(0)=0，所以m=x∈0,1時，2此時f(x)?f(2?x)==x+1而函數(shù)p(x)=x+1?3?x在0所以對?x∈0綜上，a≤0時，2?a≥2，此時a∈0,1時，2?a∈a≥1時，2?a∈0故選：D.4.若復數(shù)m+i2+iA.13 B.?1 C.?12【答案】D【解析】m+i2+i則2?m=0，即m=2.故選：D.5.若a>1，則4a+1A.4 B.6 C.8 D.無最小值【答案】C【解析】若a>1，則4a+1當且僅當4a?1=1所以4a+1故選：C.6.已知函數(shù)fx，gx的定義域為R，且fx?g1+x=2．若y=fx+3A.37B.35C.33D.31【答案】C【解析】由y=gx+2?12是奇函數(shù)可知，函數(shù)所以gx+g4?x將其代入fx?g1+x=2，得又y=fx+3所以函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=3對稱，則f由f3?x+gx=3，得由gx+g4?x=1，得則gx+4+g8+x=1，所以由fx?g1+x=2，f3由gx+g4?x=1，得g1由gx得g1+g5=1，g2即g1所以36+g1故選：C．7.已知函數(shù)fx=cosA.π18，0 B.π9，0 C.2【答案】C【解析】函數(shù)fx得到圖象的解析式為y=cos3x+π得到函數(shù)的解析式為y=cos令3x?π6=k當時，x=2π所以點2π9，0故選:C.8.某農(nóng)機合作社于今年初用98萬元購進一臺大型聯(lián)合收割機，并立即投入生產(chǎn).預計該機第一年（今年）的維修保養(yǎng)費是12萬元，從第二年起，該機每年的維修保養(yǎng)費均比上一年增加4萬元.若當該機的年平均耗費最小時將這臺收割機報廢，則這臺收割機的使用年限是（）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B【解析】設第n年的維修保養(yǎng)費為an萬元，數(shù)列an的前n項和為Sn據(jù)題意，數(shù)列an則p=S當且僅當2n=98n，即n=7時，所以這臺冰激凌機的使用年限是7年.故選:B.二、多項選擇題（本大題共4小題.每題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）9.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，φ<π2）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f(x)A.A=1B.g(x)的解析式為y=2C.7π2,0D.g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是3kπ?【答案】ABD【解析】依題意，由圖象可知A=1，34T=π因為ω>0，所以2πω=π，則因為fx的圖象過點π3,1則2π3+φ=π又φ<π2，則φ=?將函數(shù)f(x)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到y(tǒng)=sin縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到y(tǒng)=2sin向左平移3π4個單位長度，得到函數(shù)因為g7令?3π2+2k所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是3kπ?11故選：ABD.10.某市2017年到2022年常住人口變化圖如圖所示，則（）A.2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為38萬B.2017年到2022年這6年的常住人口呈遞增趨勢C.2017年到2022年這6年的常住人口的第60百分位數(shù)為703.54萬D.2017年到2022年這6年的常住人口的中位數(shù)為717.02萬【答案】AD【解析】由圖可知，2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為(萬)，A正確；這6年的常住人口前3年呈遞增趨勢，后三年也遞增，但后三年的常住人口低于前3年，B錯誤；2017年到2022年這6年的常住人口按照從小到大的順序排列為698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，，所以第60百分位數(shù)為730.50萬，中位數(shù)為（萬），C錯誤，D均正確.故選：AD.11.已知直線l:y=?3x+mm≠0與雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)交于M,N兩點，PA.2 B.3 C.22 D.【答案】BC【解析】由題意知?ba≠?3，即?c2由y=?3x+mx2aΔ=則x1+x得P?3ma即b2>3a2,故選：BC三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）12.已知f(x?1)為偶函數(shù)，且f(x)在?1,+∞上單調(diào)遞增，若f(a?1)≤f(1)，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】[?【解析】因為f(x?1)為偶函數(shù)，所以f(x?1)=f(?x?1)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=又f(x)在[?1,+∞)上單調(diào)遞增，所以|a?1+1|≤1+1，解得?2≤a≤2．故答案為：[?2,213.已知點M(2,0)，N(3,0)，點P是拋物線C：y2＝3x上一點，則PM→【答案】5【解析】設P(x,y)，則PM→＝(2-x,-y)，PN→＝(3-x,-從而PM→·PN→＝(3-x)(2-x)+y2＝x2-5x因為點P在拋物線C上，所以y2＝3x，所以PM→·PN→＝(3-x)(2-x)+y2＝x2-5x+6+3x＝x＝(x-1)2+5≥5，當且僅當x＝1時取等號．故答案為：5.14.已知復數(shù)z滿足(3+4i)z=5i，則其共軛復數(shù)z【答案】?【解析】依題意，z=5i3+4所以zˉ的虛部為?故答案為：?3四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.在平面直角坐標系xOy中，已知點M，點P到點M的距離比點P到x軸的距離大，記P的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)過點P(x0，y0)(其中x0≠0)的兩條直線分別交C于E，F(xiàn)兩點，直線PE，PF分別交y軸于A，B兩點，且滿足|PA|＝|PB|.記k1為直線EF的斜率，k2為C在點P處的切線斜率，判斷k1＋k2是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.【答案】解(1)由題可知，點P到點M的距離與P到直線y＋＝0的距離相等，軌跡一：點P的軌跡是以M為焦點，直線y＋＝0為準線的拋物線，此時p＝，所以C的方程為x2＝y(tǒng).軌跡二：點P的軌跡在y軸上，x＝0(y≤0)，綜上所述，C的方程為x2＝y(tǒng)或x＝0(y≤0)．(2)當直線PE、PF不是切線時，因為|PA|＝|PB|，所以△PAB為等腰三角形，即直線PE與PF的斜率存在且互為相反數(shù)，即kPE＋kPF＝0.設點E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，直線PE的方程為y－y0＝k(x－x0)，聯(lián)立直線PE與拋物線方程，消去y并整理得2x2－kx＋kx0－y0＝0，于是x1＋x0＝，故x1＝－x0，因為直線PE與PF的斜率互為相反數(shù)，令－k代替k，得x2＝－－x0，所以k1＝＝＝2(x1＋x2)＝－4x0，又y′＝4x，所以k2＝4x0，即k1＋k2＝0，當PE與PF有一條為切線，則P為切點，不妨設PF為切線，所以點F與點B重合，因|PA|＝|PB|，所以∠PAB＝∠PBA，若k1＋k2＝0，則∠PBA＝∠EBA，所以∠PAB＝∠EBA，即PE∥BE，矛盾．綜上所述，k1＋k2不為定值．16.如圖1，在四邊形ABCD中，E為DC的中點，AC∩BD=O,AC⊥BD,CO=DO.將△ABD沿BD折起，使點A到點P，形成如圖2所示的三棱錐P?BCD.在三棱錐P?BCD中，PO⊥CO，記平面PEO、平面PDC、平面PBC分別為α,β,γ.(1)證明:α⊥β；(2)若AB=2,DC=22,AO=BO，求【答案】(1)證明在三棱錐P?BCD中，∵CO=DO,E為DC的中點，∴CD⊥EO.由已知得PO⊥BD,PO⊥CO,BD∩CO=O,BD?平面BCD,CO?平面BCD.∴PO⊥平面BCD.又∵CD?平面BCD,∴PO⊥CD.∵EO∩PO=O,EO?平面PEO,PO?平面PEO,∴CD⊥平面PEO.又∵CD?平面PDC，∴平面PEO⊥平面PDC，即α⊥β.(2)解由(1)知OC、OD、OP兩兩垂直.分別以OD→,OC→,根據(jù)已知得，P(0,0∴PB→由(1)知CD⊥平面PEO，故CD→是平面PEO設n→=x,y,z則PB→?n→=?x?z=0∴n→=(2,?1,?2)∴cos設α與γ的夾角的大小為θ，則0≤θ≤π且cosθ=|∴θ=π∴α與γ的夾角的大小等于π417.如圖，在正四棱臺中，.（1）證明：；（2）若為的中點，求直線與平面的夾角的正弦值.【答案】（1）證明設，，連接，則平面且平面，又，所以，，則，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以，即，所以.（2）解由（1）可知，所以，，設平面的法向量為，則，取，設直線與平面的角為，則，所以直線與平面的夾角的正弦值為.18.如圖①，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝CD＝2，AB＝4，E為AB的中點，以DE為折痕把△ADE折起，連接AB，AC，得到如圖②的幾何體，在圖②的幾何體中解答下列問題．(1)證明：AC⊥DE；(2)請從以下兩個條件中選擇一個作為已知條件，求平面DAE與平面AEC夾角的余弦值．①四棱錐A－BCDE的體積為2；②直線AC與EB所成角的余弦值為.【答案】(1)證明在圖①中，連接CE(圖略)，因為DC∥AB，CD＝AB，E為AB的中點，所以DC∥AE，且DC＝AE，所以四邊形ADCE為平行四邊形，所以AD＝CE＝CD＝AE＝2，同理可證DE＝2，在圖②中，取DE的中點O，連接OA，OC(圖略)，則OA＝OC＝，因為AD＝AE＝CE＝CD，所以DE⊥OA，DE⊥OC，因為OA∩OC＝O，OA，OC?平面AOC，所以DE⊥平面AOC，因為AC?平面AOC，所以DE⊥AC.(2)解若選擇①：由(1)知DE⊥平面AOC，DE?平面BCDE，所以平面AOC⊥平面BCDE，且交線為OC，所以過點A作AH⊥OC交OC于點H(圖略)，則AH⊥平面BCDE，因為S四邊形BCDE＝2，所以四棱錐A－BCDE的體積VA－BCDE＝2＝×2·AH，所以AH＝OA＝，所以AO與AH重合，所以AO⊥平面BCDE，建立如圖所示的空間直角坐標系，則O(0,0,0)，C(－,0,0)，E(0,1,0)，A(0,0,)，易知平面DAE的一個法向量為＝(,0,0)，設平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)，因為＝(,1,0)，＝(,0,)，所以取n＝(1,－,－1)，設平面DAE與平面AEC的夾角為θ，則cosθ＝＝＝，所以平面DAE與平面AEC夾角的余弦值為.若選擇②：因為DC∥EB，所以∠ACD即為異面直線AC與EB所成的角，在△ADC中，cos∠ACD＝＝，所以AC＝，所以OA2＋OC2＝AC2，即OA⊥OC，因為DE⊥平面AOC，DE?平面BCDE，所以平面AOC⊥平面BCDE，且交線為OC，又OA?平面AOC，所以AO⊥平面BCDE，建立如圖所示的空間直角坐標系，則O(0,0,0)，C(－,0,0)，E(0,1,0)，A(0,0,)，易知平面DAE的一個法向量為＝(,0,0)，設平面AEC的法向量為n＝(