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文檔簡介

8.5.2直線與平面平行的判定（二）平面與平面平行的判定定理

如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行。符號表示：

定理引申：當兩個平面平行，其中一個平面內的任何一條直線均與另一個平面平行。由此，我們得到了直線-平面間平行的關系圖：直線與直線平行直線與平面平行平面與平面平行引申性質性質判定判定

平面與平面平行的定理引申，給了我們一種證明直線與平面平行的新思路，當應用“第一類方法”在平面內尋找和已知直線平行的直線遇到困難時，我們可以通過已知直線尋找或構造一個和原有平面平行的平面，進而得到直線與平面平行的證明。我們把這類通過尋找或構建面面平行來證明線面平行的線面平行判定方法稱為“第二類方法”。ABCGEFPD例1：如圖，在四棱錐P-ABCD中，E，F，G分別是PC，PD，BC的中點，求證：ABCGEFPD本例如果應用“第一類方法”，需取AD中點H，連FH，GH后，先證明E,F,G,H四點共面（），再通過得到。我們雖然找到了平面內和已知直線PA平行的直線FH，但也對原有平面表達進行了拓展（面EFG面EFHG），還需附加共面的證明。HABCGEFPD觀察圖形，容易發現包含直線PA的平面PAB中的另兩條直線PB、AB，均平行于平面EFG，由此即可得平面PAB∥平面EFG，那么也就得到了PA∥平面EFG。ABCGEFPDABCGEFPD“第二類方法”通過尋找或構建包含已知直線的平面，通過面面平行來得到線面平行，比“第一類方法”更具空間特色，并且可以解決不方便在平面內找到直線和已知直線平行或不方便證明平面內相關直線和已知直線平行的線面平行證明問題。比如將本例更改為在AB上任選一點H，證明PH∥平面EFG。ABCMNPD回顧上一講中的例3，我們也可以用“第二類方法”加以證明：欲證明MN∥平面PAD，可以通過MN尋找或構建一個與平面PAD平行的平面，很明顯圖形內沒有已知的包含MN的平面與平面PAD平行，所以我們需要構建一個符合條件的平面。這個構建過程可以想象成用刀沿MN“切”出一個平面與面PAD平行。ABCMNPD類似于“第一類方法”，在切出這個平面的過程中，切面與棱CD的交點H是我們關注的重點。在連接NH和MH后，我們要構建的和已知平面PAD平行的平面就找到了。從形式上看，這個“尋點-連線-證明”的過程和“第一類方法”是統一的。HABNMSDC例2：如圖，S是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M，N分別是SA，BD上的點，且求證：MN∥平面SBC.ABNMSDCPEABB1DA1CC1

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