PAGE1-第1講空間幾何體的三視圖、表面積與體積一、選擇題1.如圖是一個正方體，A，B，C為三個頂點，D是棱的中點，則三棱錐A-BCD的正視圖和俯視圖是(注：選項中的上圖為正視圖，下圖為俯視圖)()解析：選A．正視圖和俯視圖中棱AD和BD均看不見，故為虛線，易知選A．2．(2024·武漢市調研測試)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為CD的中點，則三棱錐A-BC1M的體積VA-BC1M＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,12)解析：選C．Veq\s\do6(A-BC1M)＝Veq\s\do6(C1-ABM)＝eq\f(1,3)S△ABM·C1C＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB×AD×C1C＝eq\f(1,6).故選C．3．(2024·昆明市質量檢測)一個三棱柱的三視圖如圖所示，則該三棱柱的側面積為()A．12eq\r(3) B．24C．12＋eq\r(3) D．24＋2eq\r(3)解析：選B．依據三視圖可知該三棱柱的直觀圖如圖所示，所以該三棱柱的側面積S＝[2eq\r((\r(3))2＋12)＋2]×4＝(2×2＋2)×4＝24.4．(2024·蓉城名校第一次聯考)已知一個幾何體的正視圖和側視圖如圖1所示，其俯視圖用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個直角邊長為1的等腰直角三角形(如圖2所示)，則此幾何體的體積為()A．1 B．eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)解析：選B．依據直觀圖可得該幾何體的俯視圖是一個直角邊長分別是2和eq\r(2)的直角三角形(如圖所示)，依據三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，且三棱錐的高為3，所以體積V＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×2×eq\r(2))×3＝eq\r(2).故選B．5．(2024·昆明市質量檢測)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．4＋eq\f(2π,3) B．4＋eq\f(4π,3)C．12＋eq\f(2π,3) D．12＋eq\f(4π,3)解析：選C．三視圖對應的幾何體是一個半球與一個長方體的組合體，半球的半徑為1，體積為eq\f(2π,3)，長方體的長、寬、高分別為2、2、3，體積為12.所以組合體的體積為12＋eq\f(2π,3).故選C．6．(2024·合肥市其次次質量檢測)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中俯視圖由兩個半圓和兩條線段組成，則該幾何體的表面積為()A．17π＋12 B．12π＋12C．20π＋12 D．16π＋12解析：選C．由三視圖知，該幾何體是一個由大半圓柱挖去一個小半圓柱得到的，兩個半圓柱的底面半徑分別為1和3，高均為3，所以該幾何體的表面積為eq\f(1,2)×2π×3×3＋eq\f(1,2)×2π×1×3＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)π×32－\f(1,2)π×12))＋2×2×3＝20π＋12，故選C．7．(2024·濟南市學習質量評估)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．5 B．eq\f(16,3)C．6 D．8解析：選C．該幾何體是以左視圖為底面的五棱柱，高為2，底面積為2×1＋eq\f(1,2)×2×1＝3，故其體積為3×2＝6.8．(2024·江西七校第一次聯考)一個半徑為1的球對稱削去了三部分，其俯視圖如圖所示，那么該立體圖形的表面積為()A．3π B．4πC．5π D．6π解析：選C．由題中俯視圖可知該球被平均分成6部分，削去了3部分，剩余的3部分為該幾何體，所以該立體圖形的表面積為2×π×12＋3×π×12＝5π，故選C．9．(2024·廣州市綜合檢測(一))一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該幾何體的表面積為()A．eq\f(13π,2) B．7πC．eq\f(15π,2) D．8π解析：選B．由三視圖可知該幾何體是一個圓柱體和一個球體的四分之一的組合體，則所求的幾何體的表面積為eq\f(1,4)×4π×12＋π×12＋π×12＋2π×1×2＝7π，選B．10．(2024·重慶市七校聯合考試)已知正三棱錐的高為6，內切球(與四個面都相切)的表面積為16π，則其底面邊長為()A．18 B．12C．6eq\r(3) D．4eq\r(3)解析：選B．由題意知，球心在三棱錐的高PE上，設內切球的半徑為R，則S球＝4πR2＝16π，所以R＝2，所以OE＝OF＝2，OP＝4.在Rt△OPF中，PF＝eq\r(OP2－OF2)＝2eq\r(3).因為△OPF∽△DPE，所以eq\f(OF,DE)＝eq\f(PF,PE)，得DE＝2eq\r(3)，AD＝3DE＝6eq\r(3)，AB＝eq\f(2,\r(3))AD＝12.故選B．11．(2024·福州市質量檢測)如圖，網格紙上的小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A．32 B．16C．eq\f(32,3) D．eq\f(80,3)解析：選D．由三視圖知，該幾何體為直三棱柱ABC-A1B1C1割去一個小三棱錐D-ABC后剩余的部分，如圖所示，故所求幾何體的體積為eq\f(1,2)×43－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×42×2＝eq\f(80,3).故選D．12．(2024·高考全國卷Ⅰ)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為()A．eq\f(3\r(3),4) B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\f(3\r(2),4) D．eq\f(\r(3),2)解析：選A．記該正方體為ABCD-A′B′C′D′，正方體的每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，即共點的三條棱A′A，A′B′，A′D′與平面α所成的角都相等．如圖，連接AB′，AD′，B′D′，因為三棱錐A′-AB′D′是正三棱錐，所以A′A，A′B′，A′D′與平面AB′D′所成的角都相等．分別取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中點E，F，G，H，I，J，連接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六點共面，平面EFGHIJ與平面AB′D′平行，且截正方體所得截面的面積最大．又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝eq\f(\r(2),2)，所以該正六邊形的面積為6×eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3\r(3),4)，所以α截此正方體所得截面面積的最大值為eq\f(3\r(3),4)，故選A．二、填空題13．(一題多解)(2024·南昌市第一次模擬測試)底面邊長為6，側面為等腰直角三角形的正三棱錐的高為________．解析：法一：由題意得，三棱錐的側棱長為3eq\r(2)，設正三棱錐的高為h，則eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3eq\r(2)×3eq\r(2)×3eq\r(2)＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×36h，解得h＝eq\r(6).法二：由題意得，三棱錐的側棱長為3eq\r(2)，底面正三角形的外接圓的半徑為2eq\r(3)，所以正三棱錐的高為eq\r(18－12)＝eq\r(6).答案：eq\r(6)14．(2024·高考全國卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點，PC＝2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為eq\r(3)，那么P到平面ABC的距離為____________．解析：如圖，過點P分別作PE⊥BC交BC于點E，作PF⊥AC交AC于點F.由題意知PE＝PF＝eq\r(3).過P作PH⊥平面ABC于點H，連接HE，HF，HC，易知HE＝HF，則點H在∠ACB的平分線上，又∠ACB＝90°，故△CEH為等腰直角三角形．在Rt△PCE中，PC＝2，PE＝eq\r(3)，則CE＝1，故CH＝eq\r(2)，在Rt△PCH中，可得PH＝eq\r(2)，即點P到平面ABC的距離為eq\r(2).答案：eq\r(2)15．(2024·高考天津卷)已知四棱錐的底面是邊長為eq\r(2)的正方形，側棱長均為eq\r(5).若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為________．解析：由題可得，四棱錐底面對角線的長為2，則圓柱底面的半徑為eq\f(1,2)，易知四棱錐的高為eq\r(5－1)＝2，故圓柱的高為1，所以圓柱的體積為π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×1＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)16.(2024·高考全國卷Ⅰ)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長改變時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________．解析：由題意可知，折起后所得三棱錐為正三棱錐，當△ABC的邊長改變時，設△ABC的邊長為a(a>0)cm，則△ABC的面積為eq\f(\r(3),4)a2，△DBC的高為5－eq\f(\r(3),6)a，則正三棱錐的高為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(\r(3),6)a))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a))\s\up12(2))＝eq\r(25－\f(5\r(3),3)a)，所以25－eq\f(5\r(3),3)a>0，所以0<a<5eq\r(