浙江專用2024年高考數(shù)學一輪復習講練測專題5.1平面向量的概念及線性運算講含解析_第1頁
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PAGEPAGE1第01講平面對量的概念及運算講1.平面對量的實際背景及基本概念:理解平面對量及幾何意義,理解零向量、向量的模、單位向量、向量相等、平行向量、向量夾角的概念.2.向量的線性運算:駕馭向量加法、減法、數(shù)乘的概念,并理解其幾何意義.3.高考預料:(1)以考查向量的線性運算、共線為主,且主要是在理解它們含義的基礎上,進一步解題,如利用向量的線性運算求參數(shù)等;(2)考查單位向量較多.(3)經(jīng)常以平面圖形為載體,借助于向量的坐標形式等考查共線等問題;也易同解析幾何學問相結合,以工具的形式出現(xiàn)..4.備考重點:(1)理解相關概念是基礎,駕馭線性運算的方法是關鍵;(2)留意與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等交匯問題,留意運用數(shù)形結合的思想方法.學問點1.向量的概念1.向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.2.零向量:長度等于0的向量,其方向是隨意的.3.單位向量:長度等于1個單位的向量.4.平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共線向量,規(guī)定:0與任一向量共線.5.相等向量:長度相等且方向相同的向量.6.相反向量:長度相等且方向相反的向量.【典例1】(2024·重慶高二期末)下列命題中,正確的個數(shù)是()①單位向量都相等;②模相等的兩個平行向量是相等向量;③若,滿意且與同向,則;④若兩個向量相等,則它們的起點和終點分別重合;⑤若,則.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】A【解析】對于①,單位向量的大小相等,但方向不肯定相同,故①錯誤;對于②,模相等的兩個平行向量是相等向量或相反向量,故②錯誤;對于③,向量是有方向的量,不能比較大小,故③錯誤;對于④,向量是可以自由平移的矢量,當兩個向量相等時,它們的起點和終點不肯定相同,故④錯誤;對于⑤,時,,,則與不肯定平行.綜上,以上正確的命題個數(shù)是0.故選A.【易錯提示】有關平面對量概念的留意點(1)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量,它們均與起點無關.(3)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量.解題時,不要把它與函數(shù)圖象的移動混淆.(4)兩向量起點相同,終點相同,則兩向量相等;但兩相等向量,不肯定有相同的起點和終點.(5)零向量和單位向量是兩個特別的向量.它們的模確定,但方向不確定.【變式1】設a0為單位向量,下列命題中:①若a為平面內(nèi)的某個向量,則a=|a|·a0;②若a與a0平行,則a=|a|a0;③若a與a0平行且|a|=1,則a=a0,假命題的個數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量,a與|a|a0的模相同,但方向不肯定相同,故①是假命題;若a與a0平行,則a與a0的方向有兩種狀況:一是同向,二是反向,反向時a=-|a|a0,故②③也是假命題.綜上所述,假命題的個數(shù)是3.學問點2.平面對量的線性運算向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律:;(2)結合律:減法求a與b的相反向量-b的和的運算叫做a與b的差三角形法則二.向量的數(shù)乘運算及其幾何意義1.定義:實數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫向量的數(shù)乘,記作λa,它的長度與方向規(guī)定如下:①|(zhì)λa|=|λ||a|;②當λ>0時,λa的方向與a的方向相同;當λ<0時,λa的方向與a的方向相反;當λ=0時,λa=0.2.運算律:設λ,μ是兩個實數(shù),則:①;②;③.【典例2】(2024年新課標I卷理)在△中,為邊上的中線,為的中點,則()A.B.C.D.【答案】A【解析】依據(jù)向量的運算法則,可得,所以,故選A.【總結提升】平面對量的線性運算技巧(1)不含圖形的狀況:可干脆運用相應運算法則求解.(2)含圖形的狀況:將它們轉化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì),把未知向量用已知向量表示出來求解.【變式2】(2024·浙江高一期末)已知點G為的重心,若,,則=()A. B. C. D.【答案】B【解析】設是中點,則,又為的重心,∴.故選B.學問點3.共線向量共線向量定理:向量a(a≠0)與b共線,當且僅當有唯一一個實數(shù)λ,使得b=λa.【典例3】(2024·浙江高一期末)在梯形中,已知,,點在線段上,且,則()A. B.C. D.【答案】C【解析】因為,,所以,所以.故選C.【規(guī)律方法】1.平面對量共線定理的三個應用2.求解向量共線問題的留意事項(1)向量共線的充要條件中,當兩向量共線時,通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量,留意待定系數(shù)法和方程思想的運用.(2)證明三點共線問題,可用向量共線來解決,但應留意向量共線與三點共線的區(qū)分與聯(lián)系,當兩向量共線且有公共點時,才能得到三點共線.(3)直線的向量式參數(shù)方程:A,P,B三點共線?eq\o(OP,\s\up16(→))=(1-t)·eq\o(OA,\s\up16(→))+teq\o(OB,\s\up16(→))(O為平面內(nèi)任一點,t∈R).【變式3】(2024·廣東高考模擬(文))如圖所示,中,,點E是線段AD的中點,則A. B.C. D.【答案】C【解析】如圖所示,,,,,.故選:C.考點1向量的有關概念【典例4】給出下列命題:①的充要條件是且;②若向量與同向,且,則;③由于零向量的方向不確定,故零向量不與隨意向量平行;④若向量與向量平行,則向量與的方向相同或相反;⑤起點不同,但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量;⑥任一向量與它的相反向量不相等.其中真命題的序號是________.【答案】⑤【解析】①當與是相反向量時,滿意且,但≠,故①假;②向量不能比較大小,故②假;③與隨意向量平行,故③假;④當與中有零向量時,由于零向量的方向是隨意的,故④假;⑤由相等向量定義知,⑤真;⑥的相反向量仍是,故⑥假.【易錯提示】(1)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關系:eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量,-eq\f(a,|a|)是與a反方向的單位向量.(2)兩個向量不能比較大小,只可以推斷它們是否相等,但它們的模可以比較大小.(3)兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合,易忽視重合這一條件.(4)幾個重要結論①向量相等具有傳遞性,非零向量的平行具有傳遞性;②向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量.【變式4】給出下列命題:①兩個具有共同終點的向量,肯定是共線向量;②若是不共線的四點,則=是四邊形為平行四邊形的充要條件;③若a與b同向,且|a|>|b|,則a>b;④λ,μ為實數(shù),若λa=μb,則a與b共線.其中假命題的個數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.4【答案】【解析】①不正確.當起點不在同始終線上時,雖然終點相同,但向量不共線.②正確.∵=,∴||=||且∥.又∵是不共線的四點,∴四邊形是平行四邊形.反之,若四邊形是平行四邊形,則且與方向相同,因此=.③不正確.兩向量不能比較大小.④不正確.當時,a與b可以為隨意向量,滿意λa=μb,但a與b不肯定共線.選.考點2平面對量的線性運算【典例5】(2024·浙江高一月考)如圖所示,點是正六邊形的中心,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】,本題正確選項:【總結提升】1.常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則,一般共起點的向量求和用平行四邊形法則,求差用三角形法則,求首尾相連向量的和用三角形法則.2.找出圖形中的相等向量、共線向量,將所求向量與已知向量轉化到同一個平行四邊形或三角形中求解.【變式5】(2024·廣東高考模擬(理))已知,,三點不共線,且點滿意,則()A. B.C. D.【答案】A【解析】已知,,三點不共線,且點滿意,所以=+=)()+=,所以,故選:A考點3利用向量線性運算求參數(shù)【典例6】(2024·北京高考模擬(文))設為的邊的中點,,則的值分別為()A. B. C. D.【答案】A【解析】∵()-∴mn故選:A.【總結提升】利用平面對量的線性運算求參數(shù)的一般思路(1)沒有圖形的精確作出圖形,確定每一個點的位置.(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉化,轉化為要求的向量形式.(3)比較、視察可知所求.【變式6】(2024·山東高考模擬(文))在正方形中,為的中點,若,則的值為()A. B. C. D.1【答案】B【解析】由題得,.故選:B考點4共線向量及其應用【典例7】設兩個非零向量a與b不共線.(1)若eq\o(AB,\s\up16(→))=a+b,eq\o(BC,\s\up16(→))=2a+8b,eq\o(CD,\s\up16(→))=3(a-b),求證:A,B,D三點共線;(2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.【答案】(1)見解析;(2)k=±1.【解析】(1)證明:∵eq\o(AB,\s\up16(→))=a+b,eq\o(BC,\s\up16(→))=2a+8b,eq\o(CD,\s\up16(→))=3(a-b),∴eq\o(BD,\s\up16(→))=eq\o(BC,\s\up16(→))+eq\o(CD,\s\up16(→))=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5eq\o(AB,\s\up16(→)),∴eq\o(AB,\s\up16(→)),eq\o(BD,\s\up16(→))共線.又∵它們有公共點B,∴A,B,D三點共線.(2)假設ka+b與a+kb共線,則存在實數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.又a,b是兩個不共線的非零向量,∴k-λ=λk-1=0.消去λ,得k2-1=0,∴k=±1.【總結提升】共線向量定理應用時的留意點(1)向量共線的充要條

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