PAGEPAGE1第01講平面對(duì)量的概念及運(yùn)算講1.平面對(duì)量的實(shí)際背景及基本概念：理解平面對(duì)量及幾何意義，理解零向量、向量的模、單位向量、向量相等、平行向量、向量夾角的概念.2.向量的線性運(yùn)算：駕馭向量加法、減法、數(shù)乘的概念，并理解其幾何意義.3.高考預(yù)料：（1）以考查向量的線性運(yùn)算、共線為主，且主要是在理解它們含義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步解題，如利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)等；（2）考查單位向量較多.（3）經(jīng)常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標(biāo)形式等考查共線等問(wèn)題；也易同解析幾何學(xué)問(wèn)相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)．.4.備考重點(diǎn)：(1)理解相關(guān)概念是基礎(chǔ)，駕馭線性運(yùn)算的方法是關(guān)鍵；(2)留意與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等交匯問(wèn)題，留意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.學(xué)問(wèn)點(diǎn)1．向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：長(zhǎng)度等于0的向量，其方向是隨意的．3．單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．5．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．6．相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．【典例1】（2024·重慶高二期末）下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）①單位向量都相等；②模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量；③若，滿意且與同向，則；④若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合；⑤若，則．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【解析】對(duì)于①，單位向量的大小相等，但方向不肯定相同，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量或相反向量，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，向量是有方向的量，不能比較大小，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，向量是可以自由平移的矢量，當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí)，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不肯定相同，故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，時(shí)，，，則與不肯定平行．綜上，以上正確的命題個(gè)數(shù)是0．故選A．【易錯(cuò)提示】有關(guān)平面對(duì)量概念的留意點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆．(4)兩向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不肯定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)．(5)零向量和單位向量是兩個(gè)特別的向量．它們的模確定，但方向不確定．【變式1】設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0，假命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不肯定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種狀況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.學(xué)問(wèn)點(diǎn)2．平面對(duì)量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：；(2)結(jié)合律：減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則二．向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義1．定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作λa，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.2．運(yùn)算律：設(shè)λ，μ是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則：①；②；③.【典例2】（2024年新課標(biāo)I卷理）在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.【總結(jié)提升】平面對(duì)量的線性運(yùn)算技巧(1)不含圖形的狀況：可干脆運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解．(2)含圖形的狀況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解．【變式2】（2024·浙江高一期末）已知點(diǎn)G為的重心，若，，則=()A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)是中點(diǎn)，則，又為的重心，∴．故選B．學(xué)問(wèn)點(diǎn)3．共線向量共線向量定理：向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.【典例3】（2024·浙江高一期末）在梯形中，已知，，點(diǎn)在線段上，且，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋裕?故選C.【規(guī)律方法】1.平面對(duì)量共線定理的三個(gè)應(yīng)用2.求解向量共線問(wèn)題的留意事項(xiàng)(1)向量共線的充要條件中，當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，留意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．(2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)留意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)分與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線．(3)直線的向量式參數(shù)方程：A，P，B三點(diǎn)共線?eq\o(OP,\s\up16(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(OB,\s\up16(→))(O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，t∈R)．【變式3】（2024·廣東高考模擬（文））如圖所示，中，，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，則A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示，，，，，．故選：C．考點(diǎn)1向量的有關(guān)概念【典例4】給出下列命題：①的充要條件是且；②若向量與同向，且，則；③由于零向量的方向不確定，故零向量不與隨意向量平行；④若向量與向量平行，則向量與的方向相同或相反；⑤起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；⑥任一向量與它的相反向量不相等．其中真命題的序號(hào)是________．【答案】⑤【解析】①當(dāng)與是相反向量時(shí)，滿意且，但≠，故①假；②向量不能比較大小，故②假；③與隨意向量平行，故③假；④當(dāng)與中有零向量時(shí)，由于零向量的方向是隨意的，故④假；⑤由相等向量定義知，⑤真；⑥的相反向量仍是，故⑥假．【易錯(cuò)提示】(1)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量，－eq\f(a,|a|)是與a反方向的單位向量．(2)兩個(gè)向量不能比較大小，只可以推斷它們是否相等，但它們的模可以比較大小．(3)兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件．(4)幾個(gè)重要結(jié)論①向量相等具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性；②向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．【變式4】給出下列命題：①兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，肯定是共線向量；②若是不共線的四點(diǎn)，則＝是四邊形為平行四邊形的充要條件；③若a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中假命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4【答案】【解析】①不正確．當(dāng)起點(diǎn)不在同始終線上時(shí)，雖然終點(diǎn)相同，但向量不共線．②正確．∵＝，∴||＝||且∥.又∵是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形是平行四邊形．反之，若四邊形是平行四邊形，則且與方向相同，因此＝.③不正確．兩向量不能比較大小．④不正確．當(dāng)時(shí)，a與b可以為隨意向量，滿意λa＝μb，但a與b不肯定共線．選.考點(diǎn)2平面對(duì)量的線性運(yùn)算【典例5】（2024·浙江高一月考）如圖所示，點(diǎn)是正六邊形的中心，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，本題正確選項(xiàng)：【總結(jié)提升】1.常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．2.找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解．【變式5】（2024·廣東高考模擬（理））已知，，三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)滿意，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】已知，，三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)滿意，所以=+=）（）+=，所以，故選：A考點(diǎn)3利用向量線性運(yùn)算求參數(shù)【典例6】（2024·北京高考模擬（文））設(shè)為的邊的中點(diǎn)，，則的值分別為()A． B． C． D．【答案】A【解析】∵（）-∴mn故選：A．【總結(jié)提升】利用平面對(duì)量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路(1)沒(méi)有圖形的精確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置．(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式．(3)比較、視察可知所求．【變式6】（2024·山東高考模擬（文））在正方形中，為的中點(diǎn)，若，則的值為（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由題得，.故選：B考點(diǎn)4共線向量及其應(yīng)用【典例7】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up16(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up16(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up16(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）k＝±1.【解析】(1)證明：∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up16(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up16(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up16(→))，∴eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BD,\s\up16(→))共線．又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．(2)假設(shè)ka＋b與a＋kb共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.【總結(jié)提升】共線向量定理應(yīng)用時(shí)的留意點(diǎn)(1)向量共線的充要條