小學數學工程問題經典例題解析?一、工程問題基本概念與公式1.基本概念工程問題是小學數學應用題中的重點內容，它主要研究工作總量、工作效率和工作時間這三個量之間的關系。工作總量：指的是完成一項工作的總體任務量，通常用"1"來表示，也可以是具體的數量。工作效率：表示單位時間內完成的工作量，它是衡量工作快慢的指標。工作時間：完成工作所花費的時間。2.基本公式工作總量=工作效率×工作時間工作效率=工作總量÷工作時間工作時間=工作總量÷工作效率

二、經典例題解析

（一）簡單的工程問題1.例題一項工程，甲單獨做需要10天完成，乙單獨做需要15天完成。兩人合作，幾天可以完成這項工程？2.解析首先，我們把這項工程的工作總量看作"1"。根據公式，甲的工作效率=工作總量÷甲的工作時間=1÷10=1/10；乙的工作效率=工作總量÷乙的工作時間=1÷15=1/15。兩人合作的工作效率就是甲、乙工作效率之和，即1/10+1/15。通分計算：1/10+1/15=3/30+2/30=5/30=1/6。再根據工作時間=工作總量÷工作效率，可得兩人合作完成這項工程需要的時間為：1÷1/6=6（天）。3.總結這類簡單工程問題，關鍵在于明確工作總量、分別求出各自工作效率，進而求出合作工作效率，最后利用公式算出工作時間。

（二）工作效率變化的工程問題1.例題一項工程，甲單獨做要20天完成，乙單獨做要30天完成。甲先做了幾天后，剩下的由乙接著做，共用25天完成。甲、乙各做了多少天？2.解析設甲做了x天，則乙做了（25x）天。甲的工作效率是1÷20=1/20，乙的工作效率是1÷30=1/30。根據工作總量=甲的工作量+乙的工作量，可列方程：1/20×x+1/30×(25x)=1去括號得：1/20×x+25/301/30×x=1移項得：1/20×x1/30×x=125/30通分計算：3/60×x2/60×x=30/3025/301/60×x=5/30x=5/30×60=10（天）那么乙做的天數為2510=15（天）。3.總結對于工作效率變化的工程問題，可通過設未知數，根據工作總量的關系列方程求解。要注意找出題目中的等量關系，合理設未知數表示工作量。

（三）多人合作的工程問題1.例題一項工程，甲、乙合作需要8天完成，乙、丙合作需要9天完成，甲、丙合作需要18天完成。那么甲、乙、丙三人合作，需要多少天完成？2.解析設甲、乙、丙三人的工作效率分別為甲、乙、丙。已知甲+乙=1/8①乙+丙=1/9②甲+丙=1/18③①+②+③得：2×（甲+乙+丙）=1/8+1/9+1/18通分計算：2×（甲+乙+丙）=9/72+8/72+4/72=21/72=7/24則甲+乙+丙=7/24÷2=7/48根據工作時間=工作總量÷工作效率，三人合作完成這項工程需要的時間為：1÷7/48=48/7（天）3.總結多人合作的工程問題，通常需要先求出各組合的工作效率之和，再通過適當的運算求出整體的工作效率，最后計算工作時間。這里通過將三個等式相加求出三人效率和是解題關鍵。

（四）有休息情況的工程問題1.例題一項工程，甲單獨做需要12天完成，乙單獨做需要18天完成。兩人合作，中間甲休息了2天，乙也休息了若干天，結果10天完成了任務。乙休息了幾天？2.解析甲工作的時間是102=8（天）甲的工作效率是1÷12=1/12甲完成的工作量是1/12×8=2/3那么乙完成的工作量是12/3=1/3乙的工作效率是1÷18=1/18乙工作的時間是1/3÷1/18=6（天）所以乙休息的時間是106=4（天）3.總結對于有休息情況的工程問題，要明確每個人實際工作的時間，根據各自工作效率求出工作量，進而算出休息時間。需注意工作時間的準確計算和工作量與工作效率、工作時間的對應關系。

（五）工程問題中的周期問題1.例題一項工程，甲單獨做要6小時完成，乙單獨做要10小時完成。如果按甲、乙；甲、乙......的順序交替工作，每次1小時，那么需要多少小時才能完成？2.解析甲1小時完成的工作量是1÷6=1/6乙1小時完成的工作量是1÷10=1/10甲乙各做1小時看作一個周期，一個周期完成的工作量是1/6+1/10=5/30+3/30=8/30=4/151÷4/15=3（周期）......3/153個周期后完成的工作量是4/15×3=4/5還剩下的工作量是14/5=1/5此時輪到甲做，甲完成剩下的1/5需要的時間是1/5÷1/6=6/5=1.2（小時）總共需要的時間是3×2+1.2=7.2（小時）3.總結工程問題中的周期問題，關鍵是找出周期的工作量，通過計算周期數和剩余工作量來確定總時間。要注意周期的循環規律以及每個周期內不同人工作量的計算。

（六）水管問題（工程問題的特殊形式）1.例題一個水池，有甲、乙兩個進水管，丙是排水管。單開甲管12小時可將水池注滿，單開乙管15小時可將水池注滿，單開丙管20小時可將滿池水放完。現在三管齊開，幾小時可將空水池注滿？2.解析甲管的注水效率是1÷12=1/12乙管的注水效率是1÷15=1/15丙管的排水效率是1÷20=1/20三管齊開時的實際注水效率是1/12+1/151/20通分計算：1/12+1/151/20=5/60+4/603/60=6/60=1/10根據工作時間=工作總量÷工作效率，注滿空水池需要的時間是1÷1/10=10（小時）3.總結水管問題與工程問題類似，只是要注意進水管和排水管的工作效率的正負關系。進水管效率為正，排水管效率為負，通過計算實際的凈注水效率來求解注滿或排空水池的時間。

三、鞏固練習

（一）基礎練習題1.一件工作，甲單獨做15天完成，乙單獨做20天完成。兩人合作，多少天可以完成這件工作的3/4？2.修一條路，甲隊單獨修要12天完成，乙隊每天修30米。如果兩隊合修，6天完成全長的2/3。這條路全長多少米？3.一項工程，甲、乙合作6天可以完成，乙、丙合作8天可以完成，甲、丙合作12天可以完成。三人合作多少天可以完成？

（二）提高練習題1.一項工程，甲單獨做需要20天完成，乙單獨做需要30天完成。甲先做了若干天后，由乙接著做，共用26天完成。甲做了多少天？2.一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成。如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天。這項工程由甲單獨做需要多少天完成？3.一個水池，裝有甲、乙兩根進水管和一根排水管丙。空池時，單開甲管5分鐘可注滿，單開乙管10分鐘可注滿。注滿水后，單開丙管15分鐘可將水放完。如果在空池時，將甲、乙、丙三管齊開，2分鐘后關閉乙管，還要多少分鐘可注滿水池？

（三）拓展練習題1.打印一份稿件，甲單獨打要12小時完成，乙單獨打要15小時完成。現在甲、乙兩人輪流工作。甲工作1小時，乙工作2小時；甲工作2小時，乙工作1小時；甲工作1小時，乙工作2小時......如此交替下去，打印這份稿件共要多少小時？2.一項工程，甲、乙合作12天完成。若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成這項工程的5/12。如果這項工程由甲、乙單獨做，各需多少天？3.有兩個同樣的倉庫A和B，搬運一個倉庫里的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時。甲和丙在A倉庫，乙在B倉庫，同時開始搬運。中途丙又轉向幫助乙搬運。最后，兩個倉庫同時搬完，丙幫助甲、乙各多少時間？

四、練習題答案

（一）基礎練習題答案1.甲的工作效率是1/15，乙的工作效率是1/20。兩人合作完成3/4需要的時間是：3/4÷(1/15+1/20)=3/4÷(4/60+3/60)=3/4÷7/60=45/7（天）2.設這條路全長x米。甲隊的工作效率是x÷12=x/12兩隊合修6天完成全長的2/3，可列方程：6×(x/12+30)=2/3x1/2x+180=2/3x2/3x1/2x=1801/6x=180x=1080（米）3.甲、乙合作效率是1/6，乙、丙合作效率是1/8，甲、丙合作效率是1/12。三人合作效率是(1/6+1/8+1/12)÷2=(4/24+3/24+2/24)÷2=9/48=3/16三人合作完成需要的時間是1÷3/16=16/3（天）

（二）提高練習題答案1.設甲做了x天，則乙做了（26x）天。甲的工作效率是1/20，乙的工作效率是1/30。可列方程：1/20×x+1/30×(26x)=11/20×x+26/301/30×x=11/60×x=126/301/60×x=4/30x=8（天）2.設甲的工作效率為x，乙的工作效率為y，丙的工作效率為z。根據題意可得：13×(x+y+z)=1①2z=4y=x+y②由②得：x=y，z=2y代入①得：13×(y+y+2y)=113×4y=1y=1/52x=1/52甲單獨做需要52天完成。3.甲的注水效率是1/5，乙的注水效率是1/10，丙的排水效率是1/15。三管齊開2分鐘完成的工作量是2×(1/5+1/101/15)=2×(6/30+3/302/30)=2×7/30=7/15還剩下的工作量是17/15=8/15關閉乙管后，甲丙合作的注水效率是1/51/15=2/15還需要的時間是8/15÷2/15=4（分鐘）

（三）拓展練習題答案1.甲1小時完成1/12，乙2小時完成2×1/15=2/15，甲2小時完成2×1/12=1/6，乙1小時完成1/15。一個周期（6小時）完成的工作量是1/12+2/15+1/6+1/15=5/60+8/60+10/60+4/60=27/60=9/201÷9/20=2（周期）......2/202個周期后完成的工作量是9/20×2=9/10還剩下的工作量是19/10=1/10此時輪到甲做，甲完成剩下的1/10需要的時間是1/10÷1/12=6/5=1.2（小時）總共需要的時間是2×6+1.2=13.2（小時）2.設甲的工作效率為x，乙的工作效率為y。根據題意可得：12×(x+y)=1①3x+8y=5/12②由①得：x+y=1/12，x=1/12y代入②得：3×(1/12y)+8y=5/121/43y+8y