目錄Ⅲ淺析向量方法在初等數學中的應用摘要向量作為現代數學的重要標志，已成為中學數學中的一個有力工具。本文通過幾何、代數、三角函數等方面的例題來闡述向量方法在中學數學中的應用。在解決某些問題時，利用向量的線性運算、數量積、模和有關性質進行解題，可大大降低問題的難度，且直觀、思路清晰易于入手，往往能達到化繁為簡，化難為易的目的，它體現了中學數學教學中所提倡的“一題多解”的思想。向量還具有數形結合的特點，以數證形，以形化數，展現向量解題的靈活，有利于提升學生的思維能力。關鍵詞向量方法；幾何；代數；三角函數目錄TOC\o"1-3"\h\u引言 第1章向量的基本概念向量的定義向量：既有大小又有方向的量稱為向量。向量的模：向量的大小即向量的長度（或稱模），記作。零向量：長度為的向量稱為零向量，記作。單位向量：長度為的向量稱為單位向量。相等向量：當向量、的長度，方向分別相同時稱向量、為相等向量，即。相反向量：當向量、的長度相同，方向不同時稱向量、為相反向量，即。平行向量或共線向量：向量方向相同或相反的非零向量，記作。向量的表示代數表示：當用大寫字母表示時，以為向量起點，向量箭頭的終點為，則該向量為。當用小寫字母表示時，只需一個小寫字母，再在字母上方加箭號，例如、等。坐標表示：在平面直角坐標系中，分別取軸與軸方向相同的兩個單位向量、作為基底，對平面內任意向量，有且只有一對系數、使，此時為向量的平面坐標，記。其中是投影到軸的坐標，是投影到軸的坐標；在空間直角坐標系，單位向量為與軸方向相同的基底，對任意向量，有且只有一對系數、、使，且為向量的三維坐標，記。若在平面直角坐標系中，有，，則。幾何表示：向量是一條有向線段，有向線段的長度是向量的大小，箭頭指的方向是向量的方向。向量的運算向量的加法運算：求兩個向量之和的運算為向量加法運算。運算法則：三角形法則圖1.1加法三角形法則三角形法則的特點在于兩向量首尾相接，兩向量的和等于第一個向量起始點指向最后一個向量終點的向量，其適用于任何向量。符號語言：。平行四邊形法則圖1.2加法平行四邊形法則平行四邊形法則的特點在于兩向量與所求向量之和的向量起始點一致，根據圖1.2可知，兩向量之和為兩向量所構成平行四邊形的對角線，其適用于不共線的向量之和。符號語言：。坐標語言：若，，則。運算律交換律：；結合律：；向量的數乘運算：實數與向量的積為向量的數乘運算，記。向量數乘的性質：模：。方向：當時，與的方向相同；當時，；當時，與的方向相反。分配律：；。結合律：。向量的數量積運算：已知非零向量、，有，為、的夾角，且；向量的數量積結果是一個數量，無方向；其中蘊含的幾何意義為的長度與投影在上的長度的乘積。數量積的性質：若、非零向量為，。若與方向相同，；若與方向相同，；其中或。數量積夾角公式：。若，當且僅當時，等號成立。向量的基本定理共線定理：在的前提下，使得向量與共線的充要條件是：存在唯一實數，有的關系式，然而共線向量也就是平行向量，即，。設，，則，向量與任意向量共線或平行。垂直定理：若向量與垂直，則。分解定理：設在同一平面內有兩個不平行的向量、，并且以這兩向量為基底，那么在此平面內的任意向量均可被表示成（、），有且只有一對系數、。定比分點公式：若，則定比分點公式為。若，，，則有，。當，為中點。平移公式：現由點沿著向量，得到點，形成的平移公式為。第2章向量方法在幾何上的應用第2章向量方法在幾何上的應用構成幾何的基本元素為點、線、面、體，可組成不計其數的幾何圖形。在初等數學中處理平面或立體幾何問題的解決方法也比比皆是，各有各的奇招，但不乏有些問題運用尋常的方法來解答是復雜的、繁瑣的[3]。向量作為眾多基礎數學工具之一，具有數形結合的特點，在幾何問題面前宛如一把利刃，或復雜問題向量化，或抽象問題數量化，進一步降低學習者理解抽象問題的難度。因此在某一些問題上采用向量方法進行運算解答，更易研究幾何之間各元素的關系，如有平行、垂直、距離等問題。2.1向量在平面幾何上的應用在平面幾何中，基本幾何圖形由點、線、面這一些基本要素構成。然而觸及幾何要素數量、位置關系的問題千變萬化。此時借助平面向量，將題目翻譯成向量語言，并進行運算或判斷，給予這類問題的解答一條新的思路。因此，本部分探討平行、垂直、定點、長度、面積、定值類型的問題[3]，學會合理運用向量方法，鍛煉平面思維能力。2.1.1平行問題例1如圖2.1，已知，，分別為的四等分點，且，.求證：且.圖2.1證明、分別為的四等分點，且，， . 故且.分析在平面幾何上，平行問題的解決可借助向量的基底思路，再結合向量的線性運算和向量共線定理，其中平行向量也稱作共線向量。而該題要尋找的關系，利用題目所提供的信息進行向量線性運算便可得出，再依據向量共線定理，該題即可得證。2.1.2垂直問題例2已知在平面內，四邊形兩組對邊的平方和相等.求證：該四邊形兩條對角線相互垂直.圖2.2證明在四邊形，并其內任取一點，設、、、，則、、、.由題意可知，即，即，.分析該題為純文字陳述的問題，可轉換成向量問題，通過已知的量關系表示未知量的關系。而垂直問題在向量解決方法中，需要證所求兩條線段向量的數量積為0。2.1.3三線共點與三點共線問題例3證明三角形的三條中線相交于一點[4].圖2.3證明如圖2.3所示，在中取點分別為的中點，連接相交于點，令、，則，，. 設，則. 由于與共線，有，解得， ， 又與相交于點， 、、三點共線，即在上， 故、、相交于點，即三角形三條中線共點. 分析該題是一道文字證明題，簡潔的言語間蘊含著豐富的信息。題目明面上是在求三線共點，其實也在考察對向量各知識點間的應用聯系。該題把判斷兩條線段的交點是否在第三條線段之上作為解題的關鍵點，轉而去證明三點共線，共線問題就要回到共線定理上。該題還可以用向量的方法從同一向量的角度出發。因而從不同角度考慮問題，解題策略也有所不同。在幾何中共點、共線、共面的問題不可忽視，向量方法可為這些問題適當提供解題策略。2.1.4長度問題例4在中，，，，求的長度.解由于，，， 即，解得 ， 即分析此題運用向量法來解恰到好處，將線段的長度轉化為向量的模與向量運算相結合，無需借助平面直角坐標系，便可簡便求解。2.1.5面積問題例5在平行四邊形中，，，且，求的面積最大值.解，，， . 由于四邊形為平行四邊形，則平行四邊形為矩形， ，，即為的中點，為上靠近的三等分點， 令，，即， 由基本不等式得， 當且僅當，即時取等號， ，可得 ， 故平行四邊形的面積的最大值為分析本題考察平行四邊形面積最值問題，由于題中提供的向量條件易證出該平行四邊形是矩陣，面積便可等于求的值，借助基本不等式的知識點求解出最大值。2.1.6定值問題例6如圖2.4所示，在中，，，與相交于點，設，，過點作直線，分別交線段、于點、，記，.求證為定值.圖2.4證明三點共線，可設，由于，，，，即.又三點共線，可設，三點共線，可設，由于，，則，，與不共線，解得，，解得，故.分析該題用三點共線中的向量表示，若三點共線，,且的形式。再通過同一向量不同參數表示的系數相等，定值問題便可算出。2.2向量在解析幾何上的應用在解析幾何中常常借助平面直角坐標系輔助解題，并且以平面幾何為基礎[5]。向量表示坐標化，可使難以在平面幾何下求解的問題另辟蹊徑。其中，與直線、圓、圓錐曲線等平面曲線知識交匯的題目，是解析幾何的一大特色。解決此類型題的過程中，簡單干練的向量公式憑借轉化思想、函數與方程思想和數形結合思想等數學思想相互結合顯得靈活巧妙，可開拓學生的思維，培養對問題的分析能力。高考命題中向量與解析幾何組合的綜合題也很盛行[6]。2.2.1軌跡方程與取值范圍問題例7在平面直角坐標系中，以為坐標原點，已知直線：與軸相交于點，為直線上的動點，在軸正半軸分別有、兩點，且滿足，、為坐標平面內的動點，且，，.圖2.5（1）求動點的軌跡方程；（2）過點的直線與點的軌跡交于相異兩點、，設與的夾角為（），求直線斜率的取值范圍.解（1）依題意得，、、，設，，即，且、、不共線，在直線上.又，，為的中點，，因此又在的垂直平分線上，可得,由拋物線定義可知，的運動軌跡為拋物線，且以作為焦點，為準線，故動點的軌跡方程為.（2）設，，將與聯立可得，根據韋達定理可知，，，，又，由于、為拋物線上的點，為拋物線的焦點，依據拋物線的性質拋物線上點到焦點的距離等于其到準線的距離，因此，，，，即，解得，故直線斜率.分析本題是在考察平面向量與圓錐曲線應用的結合，充分利用了向量作為解題工具的特點。第一小題尋找軌跡方程，從所求動點相關的向量關系著手，與坐標圖形聯系，試圖判斷出動點的運動路徑，由于，判斷出該曲線為拋物線，軌跡方程便可獲得。第二小題是斜率的范圍確定，斜率大傾斜度與角度有關，可借助向量數量積的夾角公式與圓錐曲線知識點相互融合進行求解。2.2.2共線問題例8已知，，，求證、、三點共線.解設平面直角坐標系的原點為，可得，，，,,,故、、三點共線.分析本題利用向量的坐標表示法，展示共線問題的另一種向量解題思路，運用坐標運算降低推理難度。其實也可通過構建函數解析式求證，但常規解法易形成思維定式。2.2.3證明類問題例9已知雙曲線，、為雙曲線兩焦點，若點在雙曲線上，求證：點在以為直徑的圓上.證依題意得、，由于點在雙曲線上，解得，、，，則，故點在以為直徑的圓上.分析此題利用向量數量積坐標表示和性質、雙曲線性質與圓的性質的結合，從結論上看是在求直徑所對的圓周角是直角，接著轉換到雙曲線上判斷與的夾角度數，最后因為垂直，借助在向量坐標表示下的數量積為的特點。同樣運用轉化思想，本題也可從相互垂直的兩直線斜率相乘為，也是一種不錯的常規解法，但與向量聯系，解題更靈活，運算更簡便點。2.3向量在立體幾何上的應用三維圖形的題目對于學生的空間想象能力及其重視，空間向量在立體幾何問題中也可展示其獨特的一面，其數形結合的特性也將被充分利用，以“形”推“形”的傳統方法將不再成為唯一。立體幾何中存在線線、線面、面面之間的關系、角度、距離問題[7]等純幾何類題型，如果用傳統邏輯推導對于基本元素的空間位置的掌握需要非常清晰，而采用向量，可借助以數代形，避免空間想象的復雜。常見用向量解決立體幾何問題的方法有基底分析法和引入空間直角坐標系。現從平行、垂直、二面角問題出發。2.3.1平行問題例10如圖2.6所示，設是長方形外任意一點，在上，在上，若，證明直線平面.圖2.6圖2.7證以為坐標原點，建立如圖2.7所示的空間直角坐標系，設，，，，則，，，，.由于，則設，,,，,又、平面，平面，直線平面.分析本題引用空間直角坐標系，將向量坐標化，以算代證，并借助線線平行的共線定理，找尋線面平行關系。在解決空間線面平行時，也可從平面法向量與直線垂直時，兩數量積為驗證，推廣到面面平行，平面法向量的應用更加實用。2.3.2垂直問題例11如圖2.8，在四面體中，、、、、、分別為棱、、、、、的中點，且.求證：，，.圖2.8證設，，，依據題目所含信息，可得，，，，，，則，，.，即.，又，，即，同理可證，.分析此題采用向量基底分析法，運用基向量表示對應線段的向量，由于是證明線線垂直的題型，判斷數量積為是關鍵。在立體幾何中，線面垂直和面面垂直也可通過這樣的向量語言來將幾何問題轉化為向量運算，以形為輔，以算為主，數形相融。2.3.3二面角例12如圖2.9，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，是的中點，作交于點,求二面角的正弦值.圖2.9圖2.10解以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖2.10所示的空間直角坐標系，設，則，，，，因此，，.,.又已知，，、平面，平面，可得平面，即為平面的法向量.設平面的法向量為，則解得，令，得，，即.設二面角的平面角為，，則，故二面角的正弦值大小為.分析二面角在生活中無處不在，運用向量求解這一類問題，也將向量與生活聯系更加密切。該題是在求解二面角的正弦值，首先需了解二面角的定義，接著運用坐標表示的向量構造兩平面的法向量，導入向量數量積的夾角公式即可求解，其中向量的夾角范圍不可忽略[8]。如果按照幾何法進行求解需將二面角轉換成平面角，然而圖形的復雜程度成為這一條件判斷中的牽絆。第3章向量方法在代數上的應用第3章向量方法在代數上的應用代數是數學中十分重要的基礎分支，其與數的關系極為密切。常規的思路是以“數”換“數”的推到與運算。向量具有良好的運算特性，其也富含幾何意義，在初等代數中不等式、等式、函數、線性規劃、數列、復數等方面的問題，還可將“數”化作“形”，依據圖形特點找尋突破點，為其解題方法提供一條新途徑，讓學生解題方法的局限性得以緩解。因向量方法的不斷推廣與探索，方法新穎，簡潔清晰的特點逐漸出現在大眾視野中。初等代數下的題型變化多端，分析題目關鍵點尤為重要。向量常不按常理出牌，其在代數上并不是都是程序性解題也可靈活多變，因此學生學習向量時不應一味追求公式解題，而是要理解向量知識間的聯系，與代數有何交匯點。3.1向量在不等式證明上的應用例13已知.證明：.證構造向量，，設與的夾角為，，則，，由于，可得，.又，，即，兩側同平方，整理得.分析不等式的證明方法甚多，此題從向量數量積的方面入手，首先依據不等式的形式構建兩個合適向量，利用向量不等式進行不等式推導，實質上是將向量數量積與柯西不等式相結合。缺點是向量的構造因題而異，或難或易。3.2向量在等式證明上的應用例14證明.證構造向量，， ，又有，故.分析本題證明等式的問題上，借助向量數量積公式進行解答，需自行構造向量，但構造向量有風險，易構造的題目解答起來順風順水，反之解題的關鍵就在這個向量的構造上。3.3向量在函數最值問題中的應用例15求函數在什么情況下有最小值，值為多少[9].解整理原函數得， 構建向量，， 則，當且僅當與同向，即時取等號，則由，得，，故當時，有最小值，值為.分析本題借助了向量的三角不等式，，根據題目選擇正確關系式，本題選擇，構造向量時需注意此時與需要為所求的結果服務。現在要求函數最小值，關系式要取等號，則向量構造需滿足，才能有正解。3.4向量在數列問題中的應用例16已知正數數列中，，，，且，求數列的通項公式.解依題意得， 化簡得， 為正數數列，即則數列為等比數列，首項，公比，.分析本題從向量坐標表示法和向量垂直的數量關系入手，從而得到數列的關系，接著在數列知識體系下，對問題進行求解。向量知識與數列知識交匯點較少，聯系不夠深入，常出現的題型比較直白[10]。3.5向量在復數問題中的應用例17復平面中有、、三點，其中復數對應的點為，將向量繞原點按逆時針方向旋轉，得到向量，而向量對應的復數為，求點在復平面內的坐標.解點對應復數，且向量繞原點按逆時針方向旋轉，則，即對應的復數為.設，點對應的復數為，由于，則，即，解得，，故點在復平面內的坐標.分析復數的形式為，其中為坐標系上的點，也可表示成向量，從而復數問題可以運用向量坐標表示復數，轉換為向量旋轉問題，結合復數幾何意義進行處理，其實也可采用三角函數定義法進行解答[2]。第4章向量方法在三角函數中的應用第4章向量方法在三角函數中的應用三角函數與向量的聯系也十分密切，三角函數也具備數形相融的性質，所涉及領域的異常廣泛，向量與三角函數的交匯，正是強強聯手，相輔相成，為各自領域的研究提供更多幫助。對于三角恒等變換、三角形形狀的判定、正余弦定理的證明等等，向量方法起著一定的推動作用；向量的數量積也依托著三角函數才足以形成。4.1向量與三角函數及恒等變換結合例18給一個平面向量正弦積的新定義，（為、的夾角），在中，其三條邊分別為、、，并且三邊滿足，判斷該三角形的類型是（）.、等腰三角形 、銳角三角形 、等邊三角形 、直角三角形解選【等腰三角形】.設，，，與的夾角為，與的夾角為，由于，則，即.，，，又在中，、，、均大于零，整理化簡得，即，故該三角形為等腰三角形.分析本題因題中給出正弦積的新定義，從此入手，結合正弦定理與二倍角公式進行整理。然而三角函數問題中還需考慮角度范圍。例19設，，，，.（1）若，求.（2）若，求的值.解（1）， ，即， 解得. 又由于，則. （2）， 又， ， 則，即。 解得，可知與同號. 由于，且， ，即，， 故.分析本題考查向量坐標與三角函數的應用，第一小題運用到了平行向量的共線性質；第二小題從向量的模入手，通過三角函數運算以及其特殊性質進行求解。4.2向量與三角函數圖像與性質結合例20已知向量，，且.（1）求函數的最小正周期、單調遞增區間；（2）將按向量平移后得到的函數圖象，求向量.解（1）， ，則函數最小正周期為. 又因， 解得，. 所以函數單調遞增區間為，且.（2）設，則平移公式為（*），由平移公式（*）代入得：，移項整理得.又因為與本質上是同一函數，則，，故，且.分析該題第一小題是對向量坐標與三角函數性質的簡單結合，通過向量數量積坐標公式引出所需函數，再依據函數性質進行判斷。第二小題則考察到向量的平移公式，由于已知平移前后函數，向量坐標才能夠得出。致謝語總結總結向量的應用領域廣且實用性強，從幾何、代數、三角函數來看便可足以驗證。在幾何中有平面幾何、解析幾何、立體幾何，向量的基底公式、坐標表示與精煉有力的公式定理，在一些復雜題目的解決上優于常規的邏輯推理法；在代數中有不等式、等式、函數、線性規劃、數列、復數，向量對于這些問題中的一些特殊問題可以給予特殊的解法，例如題中無向量數據，可通過構造向量進行求解，常能使解題更加靈活與簡潔。在三角函數中，向量的引入也可為其提供嶄新策略。因此理解性學習向量的概念、公式、定理，以此延伸向量與初等數學各領域的知識交匯部分，去解決新的和不熟悉的題目，鍛煉知識的靈活運用[11]。“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”，這是華羅庚曾說過的[6]。學好向量，以形化數，以數證形，對于一些抽象繁瑣的問題，便可因轉換成向量問題，簡潔明了，有利于學生思維能力的培養與學習數學信心的建立。當然向量不是常勝將軍，利刃出鞘時也具備兩面性，或優或劣，其局限性存在如下：（1）在一些常規與向量解法都能夠簡單解答的題目，向量的優點便被弱化，對于數學能力中等及以下的學生，常規解法更穩，向量解法雖然新穎巧妙，可能在考試期間無法及時想出。向量工具是一種解題策略，并不是唯一，可以把這當作思維拓展訓練。（2）構造向量的難易程度忽高忽低，向量構造存在許多不確定因素，許多向量在構造時都無從下手，可能需要嘗試多次。（3）立體幾何中即使向量能夠使抽象問題簡化，但也需要有一定的空