PAGE1-課后限時集訓2命題及其關系、充分條件與必要條件建議用時：45分鐘一、選擇題1．已知命題p：“正數a的平方不等于0”，命題q：“若a不是正數，則它的平方等于0”，則q是p的()A．逆命題 B．否命題C．逆否命題 D．否定B[命題p：“正數a的平方不等于0”可寫成“若a是正數，則它的平方不等于0”，從而q是p的否命題．]2．原命題“設a，b，c∈R，若a＞b，則ac2＞bc2”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數為()A．0 B．1C．2 D．4C[當c＝0時，ac2＝bc2，所以原命題是假命題；由于原命題與逆否命題的真假一樣，所以逆否命題也是假命題；逆命題為“設a，b，c∈R，若ac2＞bc2，則a＞b”，它是真命題；由于否命題與逆命題的真假一樣，所以否命題也是真命題．綜上所述，真命題有2個．]3．設x∈R，則“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B[2－x≥0，則x≤2，(x－1)2≤1，則－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，據此可知：“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分條件．]4．設x∈R，則“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”是“x3＜1”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)，得0＜x＜1，所以0＜x3＜1；由x3＜1，得x＜1，不能推出0＜x＜1.所以“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”是“x3＜1”的充分而不必要條件．故選A.]5．(2024·慶陽模擬)有下列命題：①“若x＋y＞0，則x＞0且y＞0”的否命題；②“矩形的對角線相等”的否命題；③“若m＞1，則mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命題；④“若a＋7是無理數，則a是無理數”的逆否命題．其中為真命題的是()A．①②③ B．②③④C．①③④ D．①④C[①的逆命題為“若x＞0且y＞0，則x＋y＞0”為真，故否命題為真；②的否命題為“不是矩形的圖形對角線不相等”，為假命題；③的逆命題為“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集為R，則m＞1”，∵當m＝0時，解集不是R，∴應有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,Δ＜0，))即m＞1.∴③是真命題；④原命題為真，逆否命題也為真．綜上得①③④為真命題，故選C.]6．下列說法正確的是()A．命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題是“若x2＝1，則x≠1”B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分條件C．命題“若x＝y，則sinx＝siny”的逆否命題是真命題D．“tanx＝1”是“x＝eq\f(π,4)”的充分不必要條件C[對A項，由原命題與否命題的關系知，原命題的否命題是“若x2≠1，則x≠1”，即A錯誤；因為x2－x－2＝0?x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x2－x－2＝0”，反之，由“x2－x－2＝0”推不出“x＝－1”，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分不必要條件，即B錯誤；因為由x＝y能推出sinx＝siny，即原命題是真命題，所以它的逆否命題是真命題，故C正確；由x＝eq\f(π,4)能推出tanx＝1，但由tanx＝1推不出x＝eq\f(π,4)，所以“x＝eq\f(π,4)”是“tanx＝1”的充分不必要條件，即D錯誤．]7．若x＞2m2－3是－1＜x＜4的必要不充分條件，則實數m的取值范圍是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．[－1,1]D[∵x＞2m2－3是－1＜x＜4的必要不充分條件，∴(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故選D.]二、填空題8．在△ABC中，“A＝B”是“tanA＝tanB”的________條件．充要[由A＝B，得tanA＝tanB，反之，若tanA＝tanB，則A＝B＋kπ，k∈Z.∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴A＝B，故“A＝B”是“tanA＝tanB”的充要條件．]9．設p：實數x，y滿意x＞1且y＞1，q：實數x，y滿意x＋y＞2，則p是q的________條件．(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)充分不必要[當x＞1，y＞1時，x＋y＞2肯定成立，即p?q，當x＋y＞2時，可令x＝－1，y＝4，即qp，故p是q的充分不必要條件．]10．直線x－y－k＝0與圓(x－1)2＋y2＝2有兩個不同交點的充要條件是________．k∈(－1,3)[直線x－y－k＝0與圓(x－1)2＋y2＝2有兩個不同交點等價于eq\f(|1－0－k|,\r(2))＜eq\r(2)，解之得－1＜k＜3.]1．設a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C[由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.因為a，b均為單位向量，所以a2＝b2＝1，所以a·b＝0，能推出a⊥b.由a⊥b得|a－3b|＝eq\r(10)，|3a＋b|＝eq\r(10)，能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充要條件．]2．王昌齡《從軍行》中兩句詩為“黃沙百戰穿金甲，不破樓蘭終不還”，“攻破樓蘭”是“返回家鄉”的()A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B[“不破樓蘭終不還”的逆否命題為：“若返回家鄉，則攻破樓蘭”，所以“攻破樓蘭”是“返回家鄉”的必要條件．]3．有下列幾個命題：①“若a＞b，則a2＞b2”的否命題；②“若x＋y＝0，則x，y互為相反數”的逆命題；③“若x2＜4，則－2＜x＜2”的逆否命題．其中真命題的序號是________．②③[①原命題的否命題為“若a≤b，則a2≤b2”，錯誤．②原命題的逆命題為“若x，y互為相反數，則x＋y＝0”，正確．③原命題的逆否命題為“若x≥2或x≤－2，則x2≥4”，正確．]4．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜2x＜8，x∈R))))，B＝{x|－1＜x＜m＋1，m∈R}，若x∈B成立的一個充分不必要條件是x∈A，則實數m的取值范圍是________．(2，＋∞)[因為A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜2x＜8，x∈R))))＝{x|－1＜x＜3}，x∈B成立的一個充分不必要條件是x∈A，所以AB，所以m＋1＞3，即m＞2.]1．下面四個條件中，使a＞b成立的充分而不必要的條件是()A．a＞b＋1 B．a＞b－1C．a2＞b2 D．a3＞b3A[a＞b＋1?a＞b，但反之未必成立，故選A.]2．給出下列說法：①“若x＋y＝eq\f(π,2)，則sinx＝cosy”的逆命題是假命題；②“在△ABC中，sinB＞sinC是B＞C的充要條件”是真命題；③“a＝1”是“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0相互垂直”的充要條件；④命題“若x＜－1，則x2－2x－3＞0”的否命題為“若x≥－1，則x2－2x－3≤0”．以上說法正確的是________(填序號)．①②④[對于①，“若x＋y＝eq\f(π,2)，則sinx＝cosy”的逆命題是“若sinx＝cosy，則x＋y＝eq