8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系【學習目標】1.了解空間兩條直線間的位置關系,理解異面直線的定義.2.了解直線與平面間的位置關系,能判斷它們之間的位置關系.3.了解平面與平面間的位置關系,能判斷它們之間的位置關系.【素養達成】直觀想象直觀想象、邏輯推理直觀想象、邏輯推理一、空間中兩條直線的位置關系共面直線相交直線在同一個平面內,有且只有一個公共點平行直線在同一個平面內,沒有公共點異面直線不同在任何一個平面內的兩條直線,沒有公共點【教材挖掘】(P129)分別在兩個平面內的兩條直線一定是異面直線嗎?提示:不一定.可能平行、相交或異面.【版本交融】(人BP99嘗試與發現)在立體幾何中怎樣作異面直線的直觀圖?提示:通常用一個平面或兩個平面襯托,如圖:二、空間中直線與平面的位置關系在平面內有無數個公共點在平面外相交有且只有一個公共點平行沒有公共點【教材挖掘】(P129)“直線與平面不相交”與“直線與平面沒有公共點”是一回事嗎?提示:不是.前者包括直線與平面平行及直線在平面內這兩種情況,而后者僅指直線與平面平行.三、空間中平面與平面的位置關系平行沒有公共點,記作:α∥β相交有一條公共直線【教材挖掘】(P130)兩本書所在的平面可以相交嗎?公共點的個數是多少?提示:可以,有無數個公共點.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)兩條異面直線一定在兩個不同的平面內.(√)(2)若a與b是異面直線且a與c也是異面直線,則b與c是異面直線.(×)提示:b與c可能是相交、平行或異面直線.(3)若直線l上有無數個點都在平面α外,則直線l與平面α平行.(×)提示:直線l與平面α相交或平行.(4)若兩個平面都平行于同一條直線,則這兩個平面平行.(×)提示:兩個平面平行或相交.類型一空間中直線與直線的位置關系(直觀想象)【典例1】(1)若直線a∥b,b∩c=A,則a與c的位置關系是()A.異面 B.相交 C.平行 D.異面或相交【解析】選D.若a∥c,因為a∥b,所以b∥c,這與b∩c=A矛盾,所以a與c不可能平行,但a與c異面、相交都有可能.(2)(多選)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,CC1的中點,以下結論正確的是()A.直線DM與CC1是相交直線B.直線AM與NB是平行直線C.直線MN與CD1是平行直線D.直線AM與DD1是異面直線【解析】選ACD.A中直線DM與直線CC1在同一平面內,它們不平行,必相交,故結論正確.C中MN是△CD1C1的中位線,故結論正確.D中的兩條直線既不相交也不平行,即為異面直線,故結論正確.B中AM與BN是異面直線,故結論不正確.【總結升華】空間兩直線位置關系的判斷(1)判定兩條直線是平行或相交直線,可用平面幾何的方法.(2)判定兩條直線是異面直線的方法:①定義法:即利用異面直線的定義來判斷兩直線不可能在同一平面內;②排除法:判斷兩直線既不平行也不相交.【即學即練】1.三棱錐ABCD的六條棱所在直線成異面直線的有()A.3對 B.4對 C.5對 D.6對【解析】選A.三棱錐ABCD的六條棱所在直線中,成異面直線的有AB和CD,AD和BC,BD和AC,所以三棱錐ABCD的六條棱所在直線成異面直線的有3對.2.(多選)如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,下列結論正確的為()A.直線A1B與直線D1C平行B.直線A1B與直線B1C相交C.直線D1D與直線D1C異面D.直線AB與直線B1C異面【解析】選AD.在長方體ABCDA1B1C1D1中,A1D1∥BC,且A1D1=BC,所以四邊形A1BCD1為平行四邊形,所以A1B∥D1C.直線A1B與直線B1C不同在任何一個平面內,A1B與B1C異面.直線D1D與直線D1C相交于點D1.直線AB與直線B1C不同在任何一個平面內,AB與B1C異面.類型二空間中直線與平面的位置關系(直觀想象、邏輯推理)【典例2】(教材P131T3改編)下列說法正確的是()A.若直線a在平面α外,則a∥αB.若直線a∥b,b?平面α,則a∥αC.若直線a∥平面α,則直線a平行于平面α內的無數條直線D.若直線a平行于平面α內的無數條直線,則a∥α【解析】選C.直線a在平面α外包括兩種情況,即a∥α或a與α相交,所以a和α不一定平行,故A不正確.因為直線a∥b,b?平面α,只能說明a和b無公共點,但a可能在平面α內,所以a不一定平行于α,故B不正確.對于C,比如在正方體ABCDA1B1C1D1中,A1D1∥平面ABCD,A1D1∥AD,所以平面ABCD內任一條平行于AD的直線都與A1D1平行,故C正確.對于D,當a?α時,α內也存在無數條直線與直線a平行,故D不正確.【總結升華】直線與平面位置關系的判斷的關注點(1)通法:要判斷直線在平面內,只要判斷直線上兩點在平面內;要判斷直線與平面相交,只需說明直線與平面只有一個公共點;要判斷直線與平面平行,則必須說明直線與平面沒有公共點.(2)巧法:借助模型(正方體、長方體等).(3)提醒:判斷直線與平面的位置關系時不要遺漏直線在平面內的情況.【即學即練】下列說法中,正確的個數是()①如果兩條平行直線中的一條和一個平面相交,那么另一條直線也和這個平面相交;②經過兩條異面直線中的一條直線,有一個平面與另一條直線平行;③兩條相交直線,其中一條與一個平面平行,則另一條一定與這個平面平行.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.易知①正確,②正確.③中兩條相交直線中一條與平面平行,另一條可能平行于平面,也可能與平面相交,故③錯誤.類型三空間中平面與平面的位置關系(直觀想象、邏輯推理)【典例3】(易錯·對對碰)(1)已知在兩個平面內分別有一條直線,且這兩條直線平行,則這兩個平面的位置關系是____________;

(2)已知在兩個平面內分別有一條直線,且這兩條直線相交,則這兩個平面的位置關系是__________;

(3)已知在兩個平面內分別有一條直線,且這兩條直線異面,則這兩個平面的位置關系是____________.

【解析】(1)如圖,兩平面有平行或相交兩種情況.(2)因為分別在兩個平面內的兩條直線相交,所以兩平面是相交的.(3)如圖,a?α,b?β,a,b異面.由圖知這兩個平面可能平行,也可能相交.答案:(1)平行或相交(2)相交(3)平行或相交【總結升華】1.平面與平面的位置關系的判斷方法(1)平面與平面相交的判斷,主要是以基本事實3為依據找出一個交點;(2)平面與平面平行的判斷,主要是說明兩個平面沒有公共點.2.常見的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上、下底面平行;(2)長方體(正方體)的六個面中,三組相對面平行.【即學即練】1.若兩個平面互相平行,則分別在這兩個平行平面內的直線()A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面【解析】選D.兩個平面內的直線必無交點,所以是異面或平行.2.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是A1B1,BB1的中點,則平面AA1D1D與平面BNC的位置關系是__________,平面AMD1與平面BNC的位置關系是__________.

【解析】因為平面BNC即平面BB1C1C,所以平面AA1D1D與平面BNC平行,平面AMD1與平面BNC相交.答案:平行相交【補償訓練】已知正方體ABCDA1B1C1D1,在圖甲中,E,F分別是D1C1,B1B的中點,請畫出圖甲、圖乙中有陰影的平面與平面ABCD的交線.【解析】在圖甲中,過點E作EN平行于BB1交CD于點N,連接NB,并延長交EF的延長線于點M,連接AM,則AM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.在圖乙中,延長DC,過點C1作C1M∥A1B交DC的延長線于點M,連接BM,則BM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.教材深一度異面直線的判定定理(源于教材例題2)【判定定理】過平面外一點和平面內一點的直線,與平面內不過該點的直線是異面直線.用符號語言可表示為A?α,B∈α,l?α,B?l?AB與l是異面直線(如圖).【典例4】如圖,若P是△ABC所在平面外一點,PA≠PB,PN⊥AB,N為垂足,M為AB的中點,求證:PN與MC為異面直線.【證明】方法一(用異面直線的判定定理):因為PA≠PB,PN⊥AB,N為垂足,M是AB的中點,所以點N與點M不重合.因為N∈平面ABC,P?平面ABC,CM?平面ABC,N?CM,所以PN與MC為異面直線.方法二(用反證法)