2016-2017學年天津市和平區高二（上）期末數學試卷（理科）一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的（）A．充而分不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），動點P滿足|PF1|﹣|PF2|=4，則點P的軌跡是（）A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．不存在3．（3分）在空間直角坐標中，點P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距離是（）A．1 B．2 C．3 D．4．（3分）已知空間兩點A（3，3，1），B（﹣1，1，5），則線段AB的長度為（）A．6 B． C． D．5．（3分）拋物線y2=﹣x的準線方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=6．（3分）焦點在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為，則橢圓的標準方程為（）A． B．C． D．7．（3分）直線l1、l2的方向向量分別為，，則（）A．l1⊥l2 B．l1∥l2C．l1與l2相交不平行 D．l1與l2重合8．（3分）已知在空間四邊形ABCD中，，，，則=（）A． B． C． D．9．（3分）已知F1，F2是雙曲線的兩個焦點，PQ是經過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，若∠PF2Q=90°，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．10．（3分）若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為（）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）11．（5分）頂點在原點，對稱軸是y軸，且頂點與焦點的距離等于6的拋物線標準方程是．12．（5分）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，且其中一條漸近線為，則該雙曲線的標準方程是．13．（5分）已知橢圓的三個頂點B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦點F（c，0），且B1F⊥AB2，則橢圓的離心率為．14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ與的夾角為120°，則λ=．三、解答題（本大題共5小題，共50分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15．（10分）求滿足下列條件的橢圓的標準方程．（1）焦點在y軸上，c=6，；（2）經過點（2，0），．16．（10分）已知A、B為拋物線E上不同的兩點，若拋物線E的焦點為（1，0），線段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求拋物線E的方程；（Ⅱ）求直線AB的方程．17．（10分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M為線段PC的中點，N在線段BC上，且BN=1．（Ⅰ）證明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直線MN與平面PCD所成角的正弦值．18．（10分）已知橢圓+=1（a＞b＞0）過點A（a，0），B（0，b）的直線傾斜角為，原點到該直線的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在實數k，使直線y=kx+2交橢圓于P、Q兩點，以PQ為直徑的圓過點D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．19．（10分）如圖是一個直三棱柱（以A1B1C1為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）設點O是AB的中點，證明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．

2016-2017學年天津市和平區高二（上）期末數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的（）A．充而分不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：當“m＞n＞0”時”方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”成立，即“m＞n＞0”?”方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”為真命題，當“方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”時“m＞n＞0”也成立，即“方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”?“m＞n＞0”也為真命題，故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的充要條件，故選：C．2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），動點P滿足|PF1|﹣|PF2|=4，則點P的軌跡是（）A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．不存在【解答】解：F1（﹣3，0），F2（3，0），動點P滿足|PF1|﹣|PF2|=4，因為|F1F2|=6＞4，則點P的軌跡滿足雙曲線定義，是雙曲線的一支．故選：B．3．（3分）在空間直角坐標中，點P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距離是（）A．1 B．2 C．3 D．【解答】解：∵點P（﹣1，﹣2，﹣3），∴點P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距離是2，故選B．4．（3分）已知空間兩點A（3，3，1），B（﹣1，1，5），則線段AB的長度為（）A．6 B． C． D．【解答】解：空間兩點A（3，3，1），B（﹣1，1，5），則線段AB的長度為|AB|==6．故選：A．5．（3分）拋物線y2=﹣x的準線方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=【解答】解：拋物線y2=﹣x的開口向左，且2p=，∴=∴拋物線y2=﹣x的準線方程是x=故選D．6．（3分）焦點在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為，則橢圓的標準方程為（）A． B．C． D．【解答】解：焦點在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為，可得a+b=10，2c=4，c=2，即a2﹣b2=20，解得a2=36，b2=16，所求橢圓方程為：．故選：C．7．（3分）直線l1、l2的方向向量分別為，，則（）A．l1⊥l2 B．l1∥l2C．l1與l2相交不平行 D．l1與l2重合【解答】解：∵直線l1、l2的方向向量分別為，，∴1×8﹣3×2﹣1×2=0，∴l1⊥l2．故選A．8．（3分）已知在空間四邊形ABCD中，，，，則=（）A． B． C． D．【解答】解：∵在空間四邊形ABCD中，，，，∴==（）﹣=（）﹣=．故選：B．9．（3分）已知F1，F2是雙曲線的兩個焦點，PQ是經過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，若∠PF2Q=90°，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．【解答】解：∵PQ是經過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，∠PF2Q=90°，∴|PF1|=|F1F2|∴=2c，∴e2﹣2e﹣1=0，∵e＞1，∴e=1+．故選：D．10．（3分）若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為（）A．2 B．3 C．6 D．8【解答】解：由題意，F（﹣1，0），設點P（x0，y0），則有，解得，因為，，所以=，此二次函數對應的拋物線的對稱軸為x0=﹣2，因為﹣2≤x0≤2，所以當x0=2時，取得最大值，故選C．二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）11．（5分）頂點在原點，對稱軸是y軸，且頂點與焦點的距離等于6的拋物線標準方程是x2=±24y．【解答】解：頂點在原點，對稱軸是y軸，且頂點與焦點的距離等于6，可得拋物線方程p=12，所求拋物線方程為：x2=±24y．故答案為：x2=±24y．12．（5分）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，且其中一條漸近線為，則該雙曲線的標準方程是．【解答】解：雙曲線與橢圓有相同的焦點（，0），焦點坐標在x軸，雙曲線的一條漸近線為，可得=，a2+b2=13，可得a2=4，b2=9．所求雙曲線方程為：．故答案為：．13．（5分）已知橢圓的三個頂點B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦點F（c，0），且B1F⊥AB2，則橢圓的離心率為．【解答】解：橢圓的三個頂點B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦點F（c，0），且B1F⊥AB2，可得：=0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），解得e=．故答案為：．14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ與的夾角為120°，則λ=．【解答】解：+λ=（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）=（1，﹣λ，λ）．∵+λ與的夾角為120°，∴cos120°==，化為，∵λ＜0，∴λ=．故答案為：．三、解答題（本大題共5小題，共50分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15．（10分）求滿足下列條件的橢圓的標準方程．（1）焦點在y軸上，c=6，；（2）經過點（2，0），．【解答】（1）解：由得，，解得，a=9，∵a2=b2+c2，∴b2=a2﹣c2=81﹣36=45，∵焦點在y軸上，∴橢圓的標準方程為；（2）解：由e=，設a=2k，c=（k＞0），則b=，由于橢圓經過點為（2，0），即為橢圓的頂點，且在x軸上，若點（2，0）為長軸的頂點，則a=2，此時2k=2，∴k=1，得b=1，則橢圓的標準方程為．若點（2，0）為短軸的頂點，則b=2，此時k=2，得a=4，則橢圓的標準方程為．16．（10分）已知A、B為拋物線E上不同的兩點，若拋物線E的焦點為（1，0），線段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求拋物線E的方程；（Ⅱ）求直線AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）令拋物線E的方程：y2=2px（p＞0）∵拋物線E的焦點為（1，0），∴p=2∴拋物線E的方程：y2=4x（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），則y12=4x1，y22=4x2，兩式相減，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）∵線段AB恰被M（2，1）所平分∴y1+y2=2∴=2∴AB的方程為y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．17．（10分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M為線段PC的中點，N在線段BC上，且BN=1．（Ⅰ）證明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直線MN與平面PCD所成角的正弦值．【解答】（本題滿分12分）解：如圖，以A為原點，分別以，，的方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系A﹣xyz，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），M（1，2，1），N（2，1，0），…（3分）（Ⅰ）∵=（2，1，0），=（﹣1，2，1），…（4分）∴?=0…（5分）∴⊥，即AN⊥BM…（6分）（Ⅱ）設平面PCD的法向量為=（x，y，z），…（7分）∵=（2，4，﹣2），=（0，4，﹣2），由，可得，…（9分）解得：，取y=1得平面MBD的一個法向量為=（0，1，2），…（10分）設直線MN與平面PCD所成的角為θ，則由=（﹣1，1，1），…（11分）可得：sinθ=|cos＜，＞|=||==…（12分）18．（10分）已知橢圓+=1（a＞b＞0）過點A（a，0），B（0，b）的直線傾斜角為，原點到該直線的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在實數k，使直線y=kx+2交橢圓于P、Q兩點，以PQ為直徑的圓過點D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵橢圓+=1（a＞b＞0）過點A（a，0），B（0，b）的直線傾斜角為，原點到該直線的距離為，∴，，解得a=，b=1，∴橢圓方程是．（2）將y=kx+2代入，得（3k2+1）x2+12kx+9=0．設P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ為直徑的圓過D（1，0）則PD⊥QD，即（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，又y1=kx1+2，y2=kx2+2，得（k2+x）x1x2+（2k﹣1）（x1+x2）+5=0，又，，代上式，得k=，∵此方程中，△=144k2﹣36（3k2+1）＞0，∴k＞1，或k＜﹣1．∴存在k=﹣滿足題意．19．（10分）如圖是一個直三棱柱（以A1B1C1為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）設點O是AB的中點，證明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．【解答】（本題滿分10分）（1）證明：如圖，以B1為原點，