高一杭州數學試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題[3]分，共[30]分）

1.若函數\(f(x)=2x+1\)在實數集\(\mathbb{R}\)上單調遞增，則\(a\)的取值范圍是（）

A.\(a>1\)

B.\(a\leq1\)

C.\(a<1\)

D.\(a\geq1\)

2.下列各數中，屬于無理數的是（）

A.\(\sqrt{4}\)

B.\(\sqrt{2}\)

C.\(-\sqrt{2}\)

D.\(2\)

3.已知等差數列\{a_n\}的前三項分別為3，5，7，則第10項\(a_{10}\)等于（）

A.25

B.27

C.29

D.31

4.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)的取值范圍在\(\left(0,\pi\right)\)內，則\(\cos\alpha\)的值是（）

A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

B.\(\frac{1}{2}\)

C.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

D.\(-\frac{1}{2}\)

5.已知等比數列\{b_n\}的首項為2，公比為\(\frac{1}{2}\)，則第6項\(b_6\)等于（）

A.\(\frac{1}{32}\)

B.\(\frac{1}{16}\)

C.\(\frac{1}{8}\)

D.2

6.若\(\log_2x+\log_4x=3\)，則\(x\)的值為（）

A.8

B.16

C.32

D.64

7.函數\(y=ax^2+bx+c\)的圖像開口向下，且過點\((1,0)\)，則\(a\)的取值范圍是（）

A.\(a<0\)

B.\(a\geq0\)

C.\(a>0\)

D.\(a\leq0\)

8.在直角坐標系中，點\(P(2,-3)\)關于直線\(y=x\)的對稱點坐標是（）

A.\((-2,3)\)

B.\((2,-3)\)

C.\((-3,2)\)

D.\((3,-2)\)

9.若\(\tan\alpha=3\)，則\(\cos\alpha\)的值是（）

A.\(\frac{\sqrt{10}}{10}\)

B.\(\frac{1}{\sqrt{10}}\)

C.\(\frac{3}{\sqrt{10}}\)

D.\(\frac{\sqrt{10}}{3}\)

10.已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，則\(\tan\alpha\)的值是（）

A.1

B.-1

C.\(\sqrt{2}\)

D.\(-\sqrt{2}\)

二、填空題（每題[3]分，共[30]分）

11.若函數\(f(x)=x^2-4x+3\)在區間\([1,3]\)上單調遞增，則\(a\)的取值范圍是______。

12.在等差數列\{a_n\}中，若\(a_1=3\)，\(a_4=7\)，則該數列的公差\(d\)為______。

13.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\cos\alpha\)的值是______。

14.若等比數列\{b_n\}的首項為1，公比為\(\frac{1}{2}\)，則第6項\(b_6\)為______。

15.在直角坐標系中，點\(A(2,-3)\)關于原點\(O\)的對稱點坐標是______。

16.若\(\tan\alpha=2\)，則\(\cos\alpha\)的值是______。

17.函數\(y=ax^2+bx+c\)的圖像開口向上，且過點\((1,0)\)，則\(a\)的取值范圍是______。

18.若\(\log_2x+\log_4x=3\)，則\(x\)的值為______。

19.在等差數列\{a_n\}中，若\(a_1=3\)，\(a_5=13\)，則該數列的公差\(d\)為______。

20.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\cos\alpha\)的值是______。

三、解答題（每題[10]分，共[40]分）

21.已知函數\(f(x)=2x^2-3x+1\)，求：

（1）函數\(f(x)\)的圖像的頂點坐標；

（2）函數\(f(x)\)在\(x\)軸上的零點。

22.在等差數列\{a_n\}中，已知\(a_1=3\)，\(a_4=7\)，求該數列的公差\(d\)和前10項和\(S_{10}\)。

23.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\cos\alpha\)的值是______，求\(\tan\alpha\)的值。

24.在等比數列\{b_n\}中，已知首項為1，公比為\(\frac{1}{2}\)，求第6項\(b_6\)。

25.在直角坐標系中，點\(A(2,-3)\)關于原點\(O\)的對稱點坐標是______。

四、解答題（每題[10]分，共[40]分）

26.已知函數\(y=ax^2+bx+c\)在\(x\)軸上有一個零點\(x=1\)，且\(a>0\)，求證：該函數的圖像開口向上。

27.在等差數列\{a_n\}中，已知\(a_1=2\)，\(a_n=20\)，求該數列的公差\(d\)和前\(n\)項和\(S_n\)。

28.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\cos\alpha\)的值是______，求\(\tan\alpha\)的值。

29.在等比數列\{b_n\}中，已知首項為3，公比為\(\frac{1}{3}\)，求第6項\(b_6\)。

30.在直角坐標系中，點\(A(2,-3)\)關于直線\(y=x\)的對稱點坐標是______。

五、解答題（每題[10]分，共[40]分）

31.已知函數\(f(x)=x^3-3x^2+4\)，求：

（1）函數\(f(x)\)的導數\(f'(x)\)；

（2）函數\(f(x)\)的極值點。

32.在等差數列\{a_n\}中，已知\(a_1=-5\)，\(a_n=15\)，求該數列的公差\(d\)和前\(n\)項和\(S_n\)。

33.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\cos\alpha\)的值是______，求\(\tan\alpha\)的值。

34.在等比數列\{b_n\}中，已知首項為4，公比為\(\frac{1}{2}\)，求第6項\(b_6\)。

35.在直角坐標系中，點\(A(2,-3)\)關于原點\(O\)的對稱點坐標是______。

六、解答題（每題[10]分，共[40]分）

36.已知函數\(y=ax^2+bx+c\)在\(x\)軸上有兩個零點\(x=-1\)和\(x=4\)，且\(a<0\)，求證：該函數的圖像開口向下。

37.在等差數列\{a_n\}中，已知\(a_1=1\)，\(a_n=21\)，求該數列的公差\(d\)和前\(n\)項和\(S_n\)。

38.已知\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\cos\alpha\)的值是______，求\(\tan\alpha\)的值。

39.在等比數列\{b_n\}中，已知首項為5，公比為\(\frac{1}{5}\)，求第6項\(b_6\)。

40.在直角坐標系中，點\(A(2,-3)\)關于直線\(y=x\)的對稱點坐標是______。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.B.\(a\leq1\)

解析：函數\(f(x)=2x+1\)為一次函數，其斜率\(k=2\)大于0，因此函數在整個實數范圍內單調遞增，不受\(a\)的影響。

2.B.\(\sqrt{2}\)

解析：有理數是可以表示為兩個整數比的形式，而無理數則不能。其中，\(\sqrt{4}=2\)，\(-\sqrt{2}\)，\(2\)均為有理數，而\(\sqrt{2}\)無法表示為兩個整數的比，故為無理數。

3.A.25

解析：由等差數列的定義可知，公差\(d=a_4-a_1=7-3=4\)。則第10項\(a_{10}=a_1+(10-1)\cdotd=3+9\cdot4=39\)，答案應為25，選項A有誤。

4.B.\(\frac{1}{2}\)

解析：由于\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，則\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。但由于\(\alpha\)的取值范圍在\(\left(0,\pi\right)\)內，所以\(\cos\alpha\)應取負值，故答案為\(\frac{1}{2}\)。

5.B.\(\frac{1}{16}\)

解析：等比數列\{b_n\}的首項\(b_1=2\)，公比\(r=\frac{1}{2}\)，則第6項\(b_6=b_1\cdotr^{(6-1)}=2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{16}\)。

6.A.8

解析：由對數運算的性質可得，\(\log_2x+\log_4x=\log_2x+\frac{1}{2}\log_2x=\frac{3}{2}\log_2x\)。所以\(x=2^{\frac{3}{2}}=8\)。

7.A.\(a<0\)

解析：由于函數\(y=ax^2+bx+c\)的圖像開口向下，故\(a\)的值小于0。

8.D.\((3,-2)\)

解析：點\(P(2,-3)\)關于直線\(y=x\)的對稱點坐標可以通過交換\(x\)和\(y\)的值得到，故對稱點為\((3,-2)\)。

9.B.\(\frac{1}{\sqrt{10}}\)

解析：由\(\tan\alpha=3\)可得\(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+9}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)。

10.C.\(\sqrt{2}\)

解析：由于\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，所以\(\tan\alpha=\sqrt{2}\)。

二、填空題

11.\(a>0\)

12.\(d=2\)

13.\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

14.\(b_6=\frac{1}{32}\)

15.\((-3,2)\)

16.\(\cos\alpha=\sqrt{1-\tan^2\alpha}=\sqrt{1-4}=i\)

17.\(a<0\)

18.\(x=2^3=8\)

19.\(d=2\)

20.\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\frac{3}{5}\)

三、解答題

21.

（1）函數\(f(x)\)的頂點坐標為\(\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)=\left(-\frac{-3}{2\cdot2},f\left(-\frac{-3}{2\cdot2}\right)\right)=\left(\frac{3}{4},-\frac{1}{8}\right)\)。

（2）函數\(f(x)\)的零點滿足方程\(2x^2-3x+1=0\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)或\(x=1\)。

22.公差\(d=a_4-a_1=7-3=4\)，前\(n\)項和\(S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(2\cdot3+(n-1)\cdot4)=2n^2+n\)。

23.\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}\)。

24.\(b_6=b_1\cdotr^{(6-1)}=1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{32}\)。

25.\((-3,2)\)。

四、解答題

26.證明：函數\(f(x)\)的圖像開口向上，則\(a>0\)。因為\(x=1\)為\(f(x)\)的零點，所以\(f(1)=2\cdot1^2-3\cdot1+1=0\)。當\(x\neq1\)時，\(f(x)>0\)。故函數\(f(x)\)的圖像開口向上。

27.公差\(d=a_n-a_1=20-(-5)=25\)，前\(n\)項和\(S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(2\cdot(-5)+(n-1)\cdot25)=\frac{25n^2-35n}{2}\)。

28.\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。

29.\(b_6=b_1\cdotr^{(6-1)}=3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^5=\frac{1}{27}\)。

30.\((-3,2)\)。

五、解答題

31.

（1）函數\(f(x)\)的導數\(f'(x)=3x^2-6x\)。

（2）函數\(f(x)\)的極值點滿足\(f'(x)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。又因為\(f''(x)=6x-6\)，\(f''(0)=-6<0\)，\(f''(2)=6>0\)，故\(x=0\)為極小值點，\(x=2\)為極大值點。

32.公差\(d=a_n-a_1=21-(-5)=26\)，前\(n\)項和\(S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(2\cdot(-5)+(n-1)\cdot26)=13n^2-21n\)。

33.\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\frac{3}{5}\)，\(\tan