§2.9函數模型及其應用[考綱要求]

1.了解指數函數、對數函數以及冪函數增加特征，知道直線上升、指數增加、對數增加等不一樣函數類型增加含義.2.了解函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用函數模型)廣泛應用．1/491．幾類常見函數模型及其增加差異(1)幾類函數模型2/493/49(2)三種基本初等函數模型性質4/495/492.解函數應用問題步驟(四步八字)(1)審題：搞清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型；(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立對應數學模型；(3)解模：求解數學模型，得出數學結論；(4)還原：將數學問題還原為實際問題意義．6/49以上過程用框圖表示以下：7/498/49(4)在(0，＋∞)上，伴隨x增大，y＝ax(a＞1)增加速度會超出并遠遠大于y＝xa(a＞0)增加速度．(

)(5)“指數爆炸”是指數型函數y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增加速度越來越快形象比喻．(

)(6)指數函數模型，普通用于處理改變較快，短時間內改變量較大實際問題．(

)【答案】

(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×

(6)√9/491．(·廣州模擬)在某個物理試驗中，測量得變量x和變量y幾組數據，以下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.0010/49則對x，y最適合擬合函數是(

)A．y＝2x

B．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2x【解析】

依據x＝0.50，y＝－0.99，代入計算，能夠排除A；依據x＝2.01，y＝0.98，代入計算，能夠排除B，C；將各數據代入函數y＝log2x，可知滿足題意．故選D.【答案】

D11/492．(·福建八縣(市)一中上學期半期聯考)如圖是張大爺晨練時所走離家距離(y)與行走時間(x)之間函數關系圖象，若用黑點表示張大爺家位置，則張大爺散步行走路線可能是(

)12/49【解析】

由圖可知，張大爺開始勻速離家直線行走，中間一段離家距離不變，說明在以家為圓心圓周上運動，最終勻速回家．故選D.【答案】

D13/49【答案】

D14/494．用長度為24材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形面積最大，則隔墻長度為(

)A．3B．4C．6D．12【答案】

A15/495．(·四川)某食品保鮮時間y(單位：小時)與儲備溫度x(單位：℃)滿足函數關系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數底數，k，b為常數)．若該食品在0℃保鮮時間是192小時，在22℃保鮮時間是48小時，則該食品在33℃保鮮時間是________小時．16/49【答案】

2417/49題型一用函數圖象刻畫改變過程【例1】

(1)(·九江模擬)設甲、乙兩地距離為a(a＞0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發到返回原地所經過旅程y和其所用時間x函數圖象為(

)18/4919/49(2)(·日照模擬)物價上漲是當前主要話題，尤其是菜價，我國某部門為盡快實現穩定菜價，提出四種綠色運輸方案．據預測，這四種方案均能在要求時間T內完成預測運輸任務Q0，各種方案運輸總量Q與時間t函數關系如圖所表示，在這四種方案中，運輸效率(單位時間運輸量)逐步提升是(

)20/49【解析】

(1)y為“小王從出發到返回原地所經過旅程”而不是位移，故排除A，C；又因為小王在乙地休息10分鐘，故排除B，故選D.(2)由運輸效率(單位時間運輸量)逐步提升得，曲線上點切線斜率應該逐步增大，故函數圖象應一直是下凹，故選B.【答案】

(1)D

(2)B21/49【方法規律】

判斷函數圖象與實際問題改變過程相吻合兩種方法(1)構建函數模型法：當依據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象．(2)驗證法：當依據題意不易建立函數模型時，則依據實際問題中兩變量改變快慢等特點，結合圖象改變趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際情況，選擇出符合實際情況答案．22/49跟蹤訓練1

已知正方形ABCD邊長為4，動點P從B點開始沿折線BCDA向A點運動．設點P運動旅程為x，△ABP面積為S，則函數S＝f(x)圖象是(

)23/49【解析】

依題意知當0≤x≤4時，f(x)＝2x；當4＜x≤8時，f(x)＝8；當8＜x≤12時，f(x)＝24－2x，觀察四個選項知，選D.【答案】

D24/49題型二已知函數模型實際問題【例2】

(·四川)某食品保鮮時間y(單位：小時)與儲備溫度x(單位：℃)滿足函數關系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數底數，k，b為常數)．若該食品在0℃保鮮時間是192小時，在22℃保鮮時間是48小時，則該食品在33℃保鮮時間是(

)A．16小時B．20小時C．24小時

D．28小時25/4926/49【方法規律】

求解所給函數模型處理實際問題關注點(1)認清所給函數模型，搞清哪些量為待定系數．(2)依據已知利用待定系數法，確定模型中待定系數．(3)利用該模型求解實際問題．27/4928/4929/49【答案】

D30/49命題點2構建指數函數、對數函數模型【例4】

(1)(·四川)某企業為激勵創新，計劃逐年加大研發資金投入．若該企業年整年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入研發資金比上一年增加12%，則該企業整年投入研發資金開始超出200萬元年份是(

)(參考數據：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．年

B．年C．年

D．年31/49(2)某位股民購進某支股票，在接下來交易時間內，他這支股票先經歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票盈虧情況(不考慮其它費用)為(

)A．略有盈利B．略有虧損C．沒有盈利也沒有虧損D．無法判斷盈虧情況32/4933/49(2)設該股民購進這支股票價格為a元，則經歷n次漲停后價格為a(1＋10%)n＝a×1.1n元，經歷n次跌停后價格為a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故該股民這支股票略有虧損．【答案】

(1)B

(2)B34/49命題點3構建分段函數模型【例5】

(·遼寧錦州期末)國家要求個人稿費納稅方法是：不超出800元不納稅；超出800元而不超出4000元按超出800元部分14%納稅；超出4000元按全部稿酬11.2%納稅，已知某人出版一本書共納稅420元，則這個人應得稿費(扣稅前)為(

)A．2800元

B．3000元C．3800元

D．3818元35/49令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3800，令0.112x＝420，得x＝3750(舍去)，故這個人應得稿費(扣稅前)為3800元．故選C.【答案】

C36/49【方法規律】

構建數學模型處理實際問題，要正確了解題意，分清條件和結論，理順數量關系，將文字語言轉化成數學語言，建立適當函數模型，求解過程中不要忽略實際問題對變量限制．37/49跟蹤訓練3(1)一個人喝了少許酒后，血液中酒精含量快速上升到0.3mg/mL，在停頓喝酒后，血液中酒精含量以每小時25%速度降低，為了保障交通安全，某地依據《道路交通安全法》要求：駕駛員血液中酒精含量不得超出0.09mg/mL，那么，此人最少經過________小時才能開車．(準確到1小時)38/49(2)某企業投入100萬元購入一套設備，該設備每年運轉費用是0.5萬元，另外每年都要花費一定維護費，第一年維護費為2萬元，因為設備老化，以后每年維護費都比上一年增加2萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業需要更新設備年數為(

)A．10B．11C．13D．2139/49【解析】

(1)設經過x小時才能開車．由題意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19.∴x最小為5.(2)設該企業需要更新設備年數為x，設備年平均費用為y，40/49【答案】

(1)5

(2)A41/4942/49【思維點撥】

依據題意，要利用分段函數求最大利潤．列出解析式后，比較二次函數和“對勾”函數最值結論．【規范解答】

(1)當0＜x≤40時，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，(2分)當x＞40時，W＝xR(x)－(16x＋40)43/4944/49即x＝50∈(40，＋∞)時，取等號，所以W取最大值為5760.(10分)綜合①②知，當x＝32時，W取得最大值6104萬元．(12分)【答題模板】

解函數應用題普通程序第一步：審題——搞清題意，分清條件和結論，理順數量關系；第二步：建模——將文字語言轉化成數學語言，用數學知識建立對應數學模型；45/49第三步：解模——求解數學模型，得到數學結論；第四步：還原——將用數學方法得到結論還原為實際問題意義；第五步：反思——對于數學模型得到數學結果，必須驗證這個數學結果對實際問題合理性．46/49【溫馨提醒】

(1)這類問題關鍵是正確了解題意，建立適當函數模型．(2)分段函數主要是每一段自變量改變所遵照規律不一樣，能夠先將其看成幾個問題，將各段改變規律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量范圍，尤其是端點