2010省句中復習拋物線（理科）檢測一、填空題1．拋物線上一點的縱坐標為4，則點與拋物線焦點的距離為_______________。2．拋物線的焦點坐標是______________。3．已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，其上的點到焦點的距離為5，則拋物線方程為______________。4．頂點在原點，坐標軸為對稱軸的拋物線過點(－2,3)，則它的方程是______________。5．動圓經過點且與直線：相切，則的軌跡方程為。6．邊長為1的等邊△AOB，O為原點，AB⊥軸，以O為頂點且過A、B的拋物線方程是。7．在拋物線中，以（-1，-1）為中點的弦所在的直線的方程為。8．拋物線頂點在原點，對稱軸是坐標軸，焦點在直線上，則拋物線的方程為。9．過拋物線（）焦點，且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若，則拋物線方程為。10．若點A的坐標為（3，2），為拋物線的焦點，點是拋物線上的一動點，則取得最小值時點的坐標是______________。11．已知圓，與拋物線的準線相切，則__________。12．拋物線y2=2px（p>0）上一點M與焦點F的距離，則點M的坐標是_______。13．拋物線上兩點、到焦點F的距離分別是，，若，則線段的中點到軸的距離為。14．拋物線的焦點為，準線為，經過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點，，垂足為，則的面積為_______________。二、解答題15．.已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上一點到焦點的距離為5，求拋物線的方程。16．拋物線有一內接直角三角形，直角的頂點在原點，一直角邊的方程是，斜邊長是，求此拋物線方程。17．若拋物線上三點的橫坐標城等差數列，求證：該三點的焦半徑也成等差數列。18．已知拋物線的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M。（I）證明為定值；（II）設的面積為S，寫出的表達式，并求S的最小值。拋物線參考答案一、填空題1．2．3．4．或5．6．7．8．9． 10．（2，2）11．212．（p，±p）13．14．二、解答題15．解：若焦點在軸的正半軸上，可設方程為，準線方程為，，又，得或拋物線的方程為或若焦點在軸的負半軸上，可設方程為，準線方程為，，又，得或拋物線的方程為或故拋物線的方程為或16．解：設為拋物線的內接直角三角形，直角頂點為O，AO邊的方程是，則OB邊方程為由可得A點坐標為由可得B點坐標為∵∴∵，解得∴所求的拋物線方程為17．證明：設，，是拋物線上的三點，橫坐標分別為，焦點為，則，，，成等差數列。18．解：(Ⅰ)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0．設A(x1，y1)，B(x2，y2)．由EQ\O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ\O(FB,\S\UP8(→))，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，EQ\b\lc\{(\a\al(－x\S\do(1)＝λx\S\do(2)①,1－y\S\do(1)＝λ(y\S\do(2)－1)②))將①式兩邊平方并把y1＝EQ\f(1,4)x12，y2＝EQ\f(1,4)x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝EQ\f(1,λ)，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，拋物線方程為y＝EQ\f(1,4)x2，求導得y′＝EQ\f(1,2)x．所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是y＝EQ\f(1,2)x1(x－x1)＋y1，y＝EQ\f(1,2)x2(x－x2)＋y2，即y＝EQ\f(1,2)x1x－EQ\f(1,4)x12，y＝EQ\f(1,2)x2x－EQ\f(1,4)x22．解出兩條切線的交點M的坐標為(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，EQ\f(x\S\do(1)x\S\do(2),4))＝(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－1)．……4分所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))＝(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝EQ\f(1,2)(x22－x12)－2(EQ\f(1,4)x22－EQ\f(1,4)x12)＝0所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))為定值，其值為0．……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝EQ\f(1,2)|AB||FM|．|FM|＝EQ\r(,(\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2))\S(2)＋(－2)\S(2))＝EQ\r(,\f(1,4)x\S\do(1)\S(2)＋\f(1,4)x\S\do(2)\S(2)＋\f(1,2)x\S\do(1)x\S\do(2)＋4)＝EQ\r(,y\S\do(1)＋y\S\do(2)＋\f(1,2)×(－4)＋4)＝EQ\r(,λ＋\f(1,λ)＋2)＝EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ))．因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y＝－1的距離，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋EQ\f(1,λ)＋2＝(EQ