難點09與圓有關的計算常考題型

（5大熱考題型）

麴型盤點N

題型一：正多邊形和圓

題型二：與弧長有關的運算

題型三：與扇形面積有關的計算

題型四：不規則圖形的面積計算

題型五：與圓錐有關的計算

.精淮提分

題型一：正多邊形和圓

【中考母題學方法】

【典例1】（山東青島?中考真題）如圖，正六邊形ABCD硬內接于。，點M在AB上，則/CME的度數

36°C.45°D.60°

【典例2】（2023?上海?中考真題）如果一個正多邊形的中心角是20。，那么這個正多邊形的邊數為

【變式1-1］（2024.內蒙古.中考真題）如圖，正四邊形ABCD和正五邊形CEFGH內接于。，4￡）和所相

交于點則NAMF的度數為（）

27°C.28°D.30°

【變式1-2］（2024?內蒙古通遼?中考真題）如圖，平面直角坐標系中，原點。為正六邊形跖的中心,

防〃X軸，點E在雙曲線y=&（左為常數，左＞0）上，將正六邊形ABCDEF向上平移g個單位長度，點。恰

X

好落在雙曲線上，則上的值為（）

A.473B.3括C.2上D.3

【變式1-3]（2024?山東東營?中考真題）我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中提到著名的“割圓術”,

即利用圓的內接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，

則與圓周合體,而無所失矣”.“割圓術”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率兀的近似值為3.1416,

如圖，。的半徑為1,運用“割圓術”，以圓內接正六邊形面積近似估計。的面積，可得兀的估計值為

逋.若用圓內接正八邊形近似估計。的面積，可得兀的估計值為.

【變式1-4]（2024?山東濰坊?中考真題）【問題提出】

在綠化公園時，需要安裝一定數量的自動噴灑裝置，定時噴水養護，某公司準備在一塊邊長為18m的正方

形草坪（如圖1）中安裝自動噴灑裝置，為了既節約安裝成本，又盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設計合適的

安裝方案.

說明：一個自動噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為r（m）的圓面.噴灑覆蓋率$為待噴灑區域面積，k為

S

待噴灑區域中的實際噴灑面積.

圖1

【數學建模】

這個問題可以轉化為用圓面覆蓋正方形面積的數學問題.

【探索發現】

(1)如圖2,在該草坪中心位置設計安裝1個噴灑半徑為9m的自動噴灑裝置，該方案的噴灑覆蓋率夕=

9

⑵如圖3,在該草坪內設計安裝4個噴灑半徑均為”的自動噴灑裝置；如圖4,設計安裝9個噴灑半徑

9

均為3m的自動噴灑裝置;,以此類推，如圖5,設計安裝1個噴灑半徑均為'm的自動噴灑裝置.與

n

(1)中的方案相比，采用這種增加裝置個數且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請判斷并給出

理由.

(3)如圖6所示，該公司設計了用4個相同的自動噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率夕=1.已

知正方形ABCD各邊上依次取點F,G,H,E,使得AE=3尸=CG=￡歸，設AE=x(m),，。的面積為y(n?b

r的值.

（4）該公司現有噴灑半徑為3&m的自動噴灑裝置若干個，至少安裝幾個這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴

灑覆蓋率夕=1?（直接寫出結果即可）

【中考模擬即學即練】

1.（2024.云南昭通?一模）如圖，正八邊形內接于（0,連接04,08,則/A03的度數為（）

A.55°B.50°C.45°D.40°

2.（2024.河北?模擬預測）如圖，正六邊形ABCDEF和正六邊形均以點。為中心，連接

AG,BH,CI,DJ,EK,FL（A,G,"三點共線），若C/=2,〃=3,則正六邊形砂的邊長為（）

3.（2024?山西太原?模擬預測）如圖，正五邊形MCDE內接于［0,CP與，。相切于點C,則/BCP的度

4.（2024?湖南益陽?模擬預測）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為5,以頂點A為圓心，的長為半徑畫圓,

則圓與正五邊形重疊部分（圖中陰影部分）的面積為（）

H

A.5TIB.7.5KC.871D.IO71

5.（2024?福建泉州?模擬預測）如圖,等邊三角形ABC和正方形。耳G均內接于）。，若EF=2,則BC的

長為（）

C.^5D.y/6

6.（2024?廣東?模擬預測）《墨子?天志》記載：“輪匠執其規、矩，以度天下之方圓.”知圓度方，感悟數學

之美.如圖，以正方形ABCD的對角線交點為位似中心，作它的位似圖形AECD,若四邊形ARC'D的外

接圓半徑為4,AB,:AB=2tl,則正方形ABC。的周長為.

二與弧長有關的運算

題型二：與弧長有關的運算

【中考母題學方法】

【典例1】（2024.江蘇鎮江?中考真題）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以點A為圓心，A8長為半徑畫

弧，交BC邊于點、E,連接AE,AB=1,ZD=60°,則BE的長/=（結果保留兀）.

AD

BE

【典例2】（2024.吉林長春?中考真題）一塊含30。角的直角三角板45c按如圖所示的方式擺放，邊與直

線/重合，AB=12cm.現將該三角板繞點B順時針旋轉，使點C的對應點C'落在直線/上，則點A經過的

路徑長至少為cm.（結果保留萬）

【變式2-1］（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為2,以點E為圓心，EF長

為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的的長為.

【變式2-2］（2024.甘肅蘭州.中考真題）“輪動發石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰國時期被廣

泛應用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型，圖2是模型驅動部分的示意圖，其中「M,eN的半徑分別是

1cm和10cm,當（M順時針轉動3周時，eN上的點尸隨之旋轉n°,則?=.

圖1圖2

【變式2-3］（2024?山東濟寧?中考真題）如圖，VABC三個頂點的坐標分別是A（1,3）,B（3,4）,C（1,4）.

歹八

6—；—；—；—；—；—

O123456x

（1）將VA5c向下平移2個單位長度得△4片G，畫出平移后的圖形，并直接寫出點片的坐標；

（2）將繞點與逆時針旋轉90。得4第4.畫出旋轉后的圖形，并求點G運動到點g所經過的路徑長.

【變式2-4］（2024?遼寧?中考真題）如圖，。是VABC的外接圓，A3是。的直徑，點。在BC上，AC=80，

E在54的延長線上，ZCEA=ZCAD.

圖Iffl2

（1）如圖1,求證：CE是（。的切線；

（2）如圖2,若NCEA=2ZDAB,。4=8,求BZ）的長.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?浙江溫州?一模）點A、B、6;在（O上的位置如圖所示，44=70。，，。的半徑為3,則8c的長

是（）

632

2.（2024.湖南.模擬預測）如圖,用一個半徑為6cm的滑輪將物體G向上拉升,若物體G的上升速度為?7Tcm/s,

上升的時間為4s,假設繩索（粗細不計）與滑輪之間沒有滑動，則圖中線段。尸在這段時間內掃過的面積（單

位：cm?）是（）

C.4兀D.6兀

3.（2024?陜西商洛?模擬預測）傳統服飾日益受到關注，如圖①為明清時期女子主要裙式之一的馬面裙，如

圖②馬面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中40的長度為米，裙長AB=0.8米，圓心角

ZAOD=ZBOC=60°,則02的長為（）

D.2.2米

4.（2024?四川眉山.二模）7個半徑均為r的硬幣兩兩外切，如圖所示，若將左邊第一個硬幣沿著剩下硬幣

的圓周滾動一圈回到原來的位置（其余6個硬幣固定不動），那么這個硬幣在滾動時圓心移動的路徑長為（）

32

C.—7irD.\2jir

3

5.（2023?內蒙古呼倫貝爾?一模）已知一弧長為10萬cm,此弧所對圓心角為120。，則此弧所在圓的半徑為—

cm.

6.（2024?浙江溫州?三模）在半徑為18cm的圓上有一段弧，弧長是12%cm,則該弧所對的圓周角的度數

為.

7.（2024?山東濟南.一模）如圖1,我國是世界上最早制造使用水車的國家.如圖2是水車舀水灌溉示意圖，

水車輪的輻條（圓的半徑）長約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長方體形狀的水

斗，當水流沖動水車輪刮板時，驅使水車徐徐轉動，水斗依次舀滿河水在點A處離開水面，逆時針旋轉150。

上升至輪子上方8處，斗口開始翻轉向下，將水傾入木槽，由木槽導入水渠，進而灌溉，那么水斗從A處（舀

水）轉動到B處（倒水）所經過的路程是米.（結果保留萬）

圖1圖2

8.（2023?四川綿陽?模擬預測）如圖，正三角形的高是3厘米，正方形的邊長是正三角形的2倍，木塊從圖

①的位置開始，沿著木樁的邊緣滾動，滾動過程如圖②，圖③所示，木塊滾動一周后回到原位置，那么正

三角形正中心的點A經過的路徑長度為（%=3）.

圖③

9.（22-23九年級上?浙江紹興?期末）如圖，在（。中，是直徑，弦ABLCD,垂足為點E,連接AC,

AD.

⑴求證：ZC^ZBAD.

⑵若NC=30。，OC=3,求A8的長度.

題型三：與扇形面積有關的計算

【中考母題學方法】

【典例1】（2024.廣東深圳.中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC=gAB,。為3c中點，OE=AB=4,

則扇形EOF的面積為

【典例2X2024?山東青島?中考真題）如圖，AB,C,D是。上的點,半徑。4=3,Ag=CA，4?。=25。,

5

C.-7tD.

212

【變式3-1]（2024?山東東營?中考真題）習近平總書記強調，中華優秀傳統文化是中華民族的根和魂.東

營市某學校組織開展中華優秀傳統文化成果展示活動，小慧同學制作了一把扇形紙扇.如圖，04=20cm,

OB=5cm,紙扇完全打開后，外側兩竹條（竹條寬度忽略不計）的夾角NAOC=120。.現需在扇面一側繪

制山水畫，則山水畫所在紙面的面積為（)cm2.

C.125兀D.150K

【變式3-2]（2024?河南?中考真題）如圖，，。是邊長為4指的等邊三角形ABC的外接圓，點D是BC的

中點，連接BO,CD.以點。為圓心，8。的長為半徑在C。內畫弧，則陰影部分的面積為（）

A

A-TB-471C-VD-16無

【變式3-3]（2024.河北.中考真題）扇文化是中華優秀傳統文化的組成部分，在我國有著深厚的底蘊.如

圖，某折扇張開的角度為120。時，扇面面積為S、該折扇張開的角度為“。時，扇面面積為S“，若加=（，

kJ

則加與"關系的圖象大致是（）

1.（2024?云南?模擬預測）已知扇形的弧長為4;rcm,面積為zercn?,則此扇形的圓心角為度.

2.（2024?北京?三模）已知一個扇形的面積是12兀，弧長是2兀，則這個扇形的半徑為.

3.（2024.黑龍江大慶?中考真題）如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出：作

等邊三角形A3C；分別以點A,B,C為圓心，以的長為半徑作BC，AC，AB.三段弧所圍成的圖形

就是一個曲邊三角形.若該“萊洛三角形”的周長為3兀，則它的面積是.

4.（2024?甘肅.中考真題）甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術，是第一批國家級非物質文化遺

產.如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設計圖如圖2,其中扇形OBC和扇形。4。有相同的圓

心。，且圓心角N0=100。，若Q4=120cm,OB=60cm,則陰影部分的面積是cm2.（結果用左

表示）

5.（2024?甘肅?模擬預測）鴛鴦玉是指產于甘肅武山縣鴛鴦鎮一帶的超基性巖石，又名蛇紋石玉，因其結構

細密，質地細膩堅韌，抗壓、抗折、抗風化性好，可琢性強，光澤晶瑩，而成為玉雕工藝品、高檔農具的

配套鑲嵌和高級飾面之理想材料.如圖，是一個半徑為3cm的半圓形的鴛鴦玉石，A8是半圓。的直徑，C,

。是弧上兩點，ZAZ）C=130°.張師傅在這塊玉石上切割了一塊扇形玉石（陰影部分）做吊墜，則這塊扇形

玉石的面積是.

6.（2024.黑龍江哈爾濱.模擬預測）如圖，AC,AE是邊長為2的正六邊形A3CDEF的對角線，以A為圓

心，AC的長為半徑畫弧，得EC，則圖中陰影部分的面積為.（用含萬的式子表示）

7.（2024?吉林長春?模擬預測）一個鬧鐘的時針長是6cm,從下午1點到下午4點，時針所掃過的面積是—

cm2.

8.（廣東深圳?一模）如圖，48為半圓。的直徑，C是半圓上一點，且NCQ4=60。，設扇形AOC-CO民弓

形即?C的面積分別為H，邑,邑，則它們的大小關系是（）

A.S1<S2<S3B,S2<SI<SC.St<S3<S.D.S3K

9.（2024.吉林長春.一模）如圖為風力發電機的示意圖，葉片Q4外端A到旋轉中心。的距離為20米，葉片

當前在塔筒左側且與塔筒夾角為30。.當葉片從當前位置順時針旋轉到點A與塔筒底端B距離最大

時，葉片。4掃過的面積至少為平方米.（結果保留萬）

10.（2024?浙江寧波?二模）如圖，在網格中按要求作圖并回答相應問題.

⑴在圖1中以點A為旋轉中心，作VABC繞點A順時針旋轉90后得到的△AB'C；

⑵設VABC外接圓圓心為點。，則在（1）的條件下，求AO掃過的面積.

題型四：不規則圖形的面積計算

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?山東日照?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,ZB=120。，點。是對角線AC的

中點，以點。為圓心，長為半徑作圓心角為60。的扇形OM,點。在扇形O所內，則圖中陰影部分的

面積為（）

A.三-也B.兀一3C.g-LD.無法確定

24424

【變式4-1】（2024?山東泰安.中考真題）兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓O'的一個直徑端點與

半圓0的圓心重合，若半圓的半徑為2,則陰影部分的面積是（）

A.—71—A/3B.—7iC.—Ji~A/3D.-n-

33334

【變式4-2]（2024?山東威海?中考真題）如圖，在扇形AO8中，ZAOB=90°,點C是49的中點.過點C

作CELAO交A8于點E，過點E作即，03,垂足為點。.在扇形內隨機選取一點P,則點尸落在陰影

部分的概率是（）

【變式4-3]（2024?重慶?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，分別以點A和C為圓心，長為半徑畫弧,

兩弧有且僅有一個公共點.若4）=4,則圖中陰影部分的面積為（）

A.32-8?tB.1673-471

C.32-4兀D.16A/3-8K

【變式4-4]（2024?江蘇南通?中考真題）如圖，VABC中，AB=3,AC=4,BC=5,A與相切于點

D.

（1）求圖中陰影部分的面積；

（2）設A上有一動點P,連接CP,BP.當CP的長最大時，求3P的長.

【變式4-5]（2024?山東?中考真題）如圖，在四邊形ABCZ）中，AD//BC,^DAB=60°,

AB=BC=2AD=2.以點A為圓心，以AD為半徑作交A3于點E,以點3為圓心，以3E為半徑作歷

所交8c于點尸，連接陽交所于另一點G,連接CG.

八EB

⑴求證：CG為防所在圓的切線；

（2）求圖中陰影部分面積.（結果保留萬）

【中考模擬即學即練】

1.（2024?浙江寧波?二模）如圖，在矩形A2CD中，AD=^3,尸是A8上一點，AF^l,以點A為圓心A￡）

為半徑畫弧，交AB于點E,以尸為圓心，OF為半徑畫弧，交CD于點弘加于點N,則陰影部分的面積

為（）

AFEN

3737i

F_―12

2.（2024?內蒙古包頭.模擬預測）如圖，已知，半圓的直徑AB=8,0為圓心，點尸是半圓上的一點，將投尸

沿直線AP折疊后的弧經過圓心0,則圖中陰影部分的面積是.

3.（2024?重慶?一模）如圖，在ABCD中，E為BC邊中點.以C為圓心，CD為半徑畫弧，恰好經過點A.以

C為圓心，CE為半徑畫弧，與2。相切于點?若3C=4,則陰影部分的面積為.（結果保留兀）

4.（2024.山東濟寧.二模）如圖，在正方形網格中，點A、B、C、。均在格點上，過C,。的弧交A8于

點E,若每個正方形的邊長為1,則圖中陰影部分的面積為.（結果保留兀）

5.（2024.四川廣元.模擬預測）如圖，為半圓的直徑，且筋=2,半圓繞點B順時針旋轉40。，點A旋轉

到A'的位置，則圖中陰影部分的面積為（結果保留蘇.

6.（2024?廣東.模擬預測）如圖，在扇形OEb中放置三個邊長均為1的正方形方格，點。為扇形的圓心,

格點A,B,C分別在扇形的兩條半徑和弧上，則圖中陰影部分的面積為.

7.（2025?湖北黃石?一模）如圖，VABC內接于（O,為直徑，作CD,交BC于點E,且DE=OC.

B

（1）求證：直線CD是。的切線.

⑵如果OA=2后，OE=2,求圖中陰影部分的面積.

8.（2024.湖北襄陽.一模）如圖，在△OAE中，OA=OE,B是AE中點，以。為圓心，OB為半徑作

分別交AO及其延長線、OE于C,D,F點,連接交OE于點G.

⑴求證：AE是，:，。的切線;

（2）若C是。4的中點，BD=g求陰影部分的面積.

題型五：與圓錐有關計算

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?江蘇徐州?中考真題）將圓錐的側面沿一條母線剪開后展平，所得扇形的面積為4兀cm"

圓心角。為90。，圓錐的底面圓的半徑為.

【典例2】（2023?湖北十堰?中考真題）如圖，已知點C為圓錐母線S3的中點，AB為底面圓的直徑，SB=6,

AB=4,一只螞蟻沿著圓錐的側面從A點爬到C點，則螞蟻爬行的最短路程為（）

A.5B.3A/3C.372D.6指

【變式5-1］（2024?江蘇南通?中考真題）已知圓錐的底面半徑為2cm,母線長為6cm,則該圓錐的側面積

為cm2?

【變式5-2］（2024?江蘇宿遷?中考真題）已知圓錐的底面半徑為3,母線長為12,則其側面展開扇形的圓

心角的度數為°.

【變式5-3］（2024?江蘇揚州?中考真題）若用半徑為10cm的半圓形紙片圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐

底面圓的半徑為cm.

【變式5-4］（2024?山東煙臺?中考真題）如圖，在邊長為6的正六邊形ABC。所中，以點P為圓心，以FB

的長為半徑作20,剪下圖中陰影部分做一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面半徑為.

【變式5-5］（2024.內蒙古.中考真題）如圖是平行四邊形紙片ABC。，BC=36cm,ZA=110°,ZBDC=50°,

點/為3C的中點，若以"為圓心，MC為半徑畫弧交對角線80于點N,則N/VMC=________度；將扇形

MCN紙片剪下來圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），則這個圓錐的底面圓半徑為cm.