第04講利用幾何法解決空間角和距離19種常見考法歸類

學區目標彳

學會利用幾何法求空間角及空間距離.

||詢基礎知識f

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1、異面直線所成的角

(1)定義：已知a,b是兩條異面直線，經過空間任意一點。作直線"〃mb'//b,把。'與〃所成的角叫

做異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：(o,2_.

注：兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內角時，容易忽視這個三角形的內角可能等于兩異面直

線所成的角，也可能等于其補角.

2、直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線

垂直于平面，則它們所成的角是90。；一條直線和平面平行或在平面內，則它們所成的角是0。.

工一

(2)范圍：［0,2_.

3、二面角

(1)定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①0?/；②。4ua,OBup；③。4_L/,OBLI,則二面角a—/一夕的平面角是NAOB.

(3)二面角的平面角a的范圍：0。女至180。.

4、點到平面的距離

已知點尸是平面a外的任意一點，過點尸作B4_Le,垂足為4,則PA唯一，則24是點尸到平面a

的距離。即：一點到它在一個平面內的正射影的距離叫做這一點到這個平面的距離(轉化為點到點的距離)

結論：連結平面&外一點P與。內一點所得的線段中，垂線段H4最短.

||函解題策略

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1、求異面直線所成的角的方法和步驟

（1）求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平

移；利用特殊點（線段的端點或中點）作平行線平移；補形平移.

（2）求異面直線所成角一般步驟：一作、二證、三求

①平移：經常選擇“端點、中點、等分點”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進行平移，平移異

面直線中的一條或兩條成為相交直線，作出異面直線所成的角.

②證明：證明所作的角是異面直線所成的角.

③尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.

④取舍：因為異面直線所成角。的取值范圍是］o,,所以所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異

面直線所成的角.

2、求直線與平面所成的角的方法和步驟

（1）垂線法求線面角：

①先確定斜線與平面，找到線面的交點B為斜足；找線在面外的一點A,過點A向平面a做垂線，確

定垂足O；

②連結斜足與垂足為斜線AB在面a上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；

③把投影BO與斜線AB歸到一個三角形中進行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）.

（2）平移法求線面角

是指利用圖形平移變換的性質，構造滿足求解的條件，進而得出結論的方法.在運用平移法求解線面角

問題時，我們可以利用圖象平移的性質：圖形移動位置后其大小、形狀、面積等都不改變，將分散的條件

關聯起來，以便將立體幾何問題轉化為平面幾何問題來求解.

（3）等體積法求線面角

通過換底求體積求出斜線上一點到平面的距離，再求直線與平面所成角的正弦值，如圖，已知平面a與

PO

斜線AP,POJ_a，則P0線面角為/PAO,sinNPAO=——，要求線面角，關鍵是求垂線段PO的長度，而垂

AP

線段PO的長度可看作點P到平面a的距離，在平面a內找一個三角形（點A是其中一個頂點）與點P構成三

棱錐，在三棱錐中借助等體積法就可以求PO的長度，從而達到簡便求解線面角的目的.

p

3、求二面角的平面角的方法和步驟

（1）求二面角大小的步驟是：

①作：找出這個平面角；

②證：證明這個角是二面角的平面角；

③求：將作出的角放在三角形中，解這個三角形，計算出平面角的大小.

（2）確定二面角的平面角的方法

①定義法（棱上一點雙垂線法）：提供了添輔助線的一種規律

在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內分別過該點作垂直于棱的射線.

如：“三線合一型"、“全等型”

②三垂線法（面上一點雙垂線法）一一最常用

自二面角的一個面上一點向另外一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即斜足），斜足

和面上一點的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角

③等體積法

利用三棱錐等體積法求出點A到平面PBC的距離d,如圖，點A到二面角A-PB-C的棱PB的距離為

h（即APAB中PB邊上的高），則二面角人18（的正弦值為5也。=4.

③垂面法（空間一點垂面法）

過空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。

④射影面積法

已知平面a內的平面圖形「的面積為5,它在平面口內的射影廠的面積為V，設平面a與平面0所成二面角的

平面角為3,則當時,cos6=*；當&e仔,需］時,cos0——

4、求解點面距的方法和步驟

（1）定義法（直接法）：找到或者作出過這一點且與平面垂直的直線，求出垂線段的長度；

（2）等體積法：通過點面所在的三棱錐，利用體積相等求出對應的點線距離；

（3）轉化法：轉化成求另一點到該平面的距離，常見轉化為求與面平行的直線上的點到面的距離.

考點剖析

考點一：直接平移法求異面直線所成的角

1.（2023春?廣東廣州?高一廣州市第六十五中學校考期中）在正方體qGR中,分

別為AB,AD的中點，則異面直線與C與取所成角的大小為（）

A.30B.45C.60D.90

變式1.（2023春?山東濱州?高一山東省北鎮中學校聯考階段練習）如圖，在長方體A8CQ-A4GA中,

AB=AD=l,AA1=2,且E為〃2的中點，則直線8,與AE所成角的大小為（）

變式2.（2023春?江蘇南京?高一南京市第九中學校考階段練習）如圖，圓柱的底面直徑與母線AD相等,

E是弧A3的中點，則AE與BO所成的角為（）

考點二：中位線平移法求異面直線所成的角

例2.（2023春?全國?高一專題練習）在四棱錐S-ABCD中，SA，平面ABCD,AB=AS=2,底面

ABCD是菱形，ZABC=60°,E,F,G分別是以，SB,3c的中點，則異面直線DE與FG所成角的余弦

值為（）

旦

3

V6叵

變式1.（2023春?廣東深圳?高一深圳市羅湖高級中學校考期中）如圖，在三棱錐O-ABC中，AC=6BD,

且AC1BD,E,尸分別是棱。C,AB的中點，則和AC所成的角等于.

變式2.（2023春?陜西西安?高一西北工業大學附屬中學校考階段練習）在四棱錐P-ABCD中，所有側棱

長都為4應，底面是邊長為2面的正方形，O是P在平面ABCD內的射影，M是PC的中點，則異面直線

OP與BM所成角為

變式3.（2023春?廣東廣州?高一廣州市天河中學校考期中）如圖，矩形ABCD中，AB=6,正方形ADEF

的邊長為1,且平面ABCD1平面ADEF,則異面直線BD與FC所成角的余弦值為（）

E

變式4.（2023春?上海寶山?高一上海市行知中學校考階段練習）如圖，已知四棱錐P-的底面是正

（1）證明平面P3C.

（2）求異面直線AE與尸。所成的角；

變式5.（2023春?甘肅定西?高一甘肅省臨洗中學校考期中）如圖，四棱錐P-ABCD中，平面ABCD,

底面ABCD是邊長為1的正方形，PA=AD,E為F4的中點，尸為PD的中點.

P

⑴求證：/3_1平面尸￡）。；

（2）求異面直線BE與PD所成角的余弦值.

考點三：平行四邊形平移法求異面直線所成的角

[\例3.（2023春?上海奉賢?高一上海市奉賢中學校考階段練習）如圖，在長方體中,

AB=AD=4,CG=5,M、N分別是GR、AC的中點，則異面直線DN和CM所成角的余弦值為（)

變式1.（2023春?江西南昌?高一南昌十中校考階段練習）如圖，在正三棱柱ABC-A4G中，2BBt=3AB,D

是棱8C的中點，E在棱CG上，且CG=3CE,則異面直線4。與BE所成角的余弦值是（）

A.逅B.逅C.一旦D.近

6442

變式2.（2023春?浙江?高一路橋中學校聯考期中）在直三棱柱ABC-A耳G中，AC=AAl=2,BC=1,

ZACB=120°,E是B用的中點，則異面直線CE與所成的角的余弦值是（）

考點四：補形法求異面直線所成的角

|例4.（2023?全國?高一專題練習）在長方體ABCD-ABCQ中，AD=DC=2,鉆=26,則異

面直線BG與。耳所成角的正弦值為（）

A.-B.—C.—D.—

5552

變式1.（2023春?浙江寧波?高一效實中學校考期中）如圖，在正三棱臺ABC-A與G中，底面ABC是邊長

為4的正三角形，且A4,=4G=2.

⑴證明：A\LBC.

⑵求異面直線4啰、所成角的余弦值.

變式2.（2023?全國?高一專題練習）在正方體ABC。-44GA中，E為4。的中點，平面與平面CEQ

的交線為1，貝也與A3所成角的余弦值為（）

JB

"B-1CT1）V6

3

考點五：通過證線面垂直證異面直線所成的角為90°

例5.（2023春?廣東廣州?高一廣州四十七中校考期中）如圖,在正四面體ABC￡）中，M是5C的中

點，P是線段A"上的動點，則直線OP和5c所成角的大小（）

A/

R

A.一定為90°B.一定為60°C.一定為45°D.與尸的位置有關

變式1.（2023秋?河南鶴壁?高一鶴壁高中校考階段練習）三棱錐中，ZSBA=ZSCA=90°,NABC

是斜邊鉆=。的等腰直角三角形，則以下結論中：

①異面直線S3與AC所成的角為90。；②直線S3,平面ABC；

③平面SBC_L平面SAC；④點C到平面S4B的距離是:a.

其中正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

變式2.（2023?高一課時練習）如圖，正方體中，的中點為0A的中點為N,則

異面直線BXM與CN所成角的大小為

C.60°D.90°

變式3.（2023春?重慶九龍坡?高一重慶實驗外國語學校校考階段練習）如圖，三棱柱ABC-ABG中，底

面三角形AMG是正三角形，E是的中點，則下列敘述正確的是（）

E

B

4

A.直線eq與直線相交

B.CG與AE共面

C.AE與4G是異面直線但不垂直

D.平面AB也垂直于平面CBBC

考點六：由異面直線所成的角求其他量

6.（2023春.湖北武漢.高一武漢市第六中學校考階段練習）在長方體ABC。-A4GA中，BQ與

CG和G2所成的角均為60°,則下面說法正確的是（）

A.AB=y/2AAiB.AD=AB

C.AC=—BCD.AQ=—BD

變式1.（2023?高一單元測試）在空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,D4的中

點.^AC=BD=2,且AC與3。所成的角為60。，則EG的長為（）

A.1B.72C.1或行D.及或出

變式2.（2023春?貴州畢節?高一統考期末）在空間四邊形ABCD中，AB=CD,E,尸分別為BC,AD的

中點，若AB與C￡＞所成的角為40。，則Er尸與所成角的大小為（）

A.20°B.70°

C.20。或70。D.40。或140。

變式3.（2023?高一課時練習）如圖，在三棱錐O—A5C中，ZDAC=ZBCA=ZBCD=90°,OC=M，AB=3,

且直線AB與DC所成角的余弦值為色，則該三棱錐的外接球的體積為（）

19

考點七：垂線法求直線與平面所成的角

［、例7.（2023春?海南?高一海南華僑中學校考期末）如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，501

平面ABCD,則下列結論中不正確的是（）

B.〃平面SCD

C.直線SA與平面所成的角等于30

D.直線SA與平面SBD所成的角等于直線SC與平面SBD所成的角.

變式1.（2023春?山西?高一統考階段練習）如圖，在圓柱OP中，底面圓的半徑為2,高為4,AB為底面

圓O的直徑，C為4B上更靠近A的三等分點，則直線PC與平面PAB所成角的正弦值為（）

A.叵B.叵C.巫D?強

101055

變式2.（2023?高一單元測試）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個正四棱錐,

已知該金字塔的塔高與底面邊長的比滿足黃金比例，即比值約為止匚，則它的側棱與底面所成角的正切值

2

約為（）

A~V2口A/5—10A/5+1門+V2

2222

變式3.（2023.高一課時練習）如圖，在正方體4BC。-4月￡。中，E,F分別是AA-4耳的中點，則直

線跖與對角面4GC4所成角的大小是（）

C.60°D.150°

變式4.（2023春?江蘇宿遷?高一泗陽縣實驗高級中學校考階段練習）直三棱柱ABC-A四G中,

AB=AC=AAt,ABJ.AC,則481與平面BCC14所成的角為（）

,71c兀一兀一兀

A.-B.-C.—D.一

6432

變式5.（2023春?浙江寧波?高一效實中學校考期中）如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為矩形，PAL

平面ABC。，E為尸。的中點.

P

⑴證明：P3〃平面ASC;

⑵設直線尸B與底面ABCD所成角的正切值為|,AP=1,AD=6求直線PC與平面PAD所成角的正弦

值.

變式6.（2023春?重慶九龍坡?高一重慶市楊家坪中學校考階段練習）如圖，在四棱錐中，PA1

平面ABCD,底面是棱長為1的菱形，ZADC=60,PA=2,〃是P￡）的中點.

B

⑴求證：尸3〃平面ACM；

（2）求直線CM與平面上4。所成角的正弦值.

變式7.（2023春?湖南長沙?高一長沙一中校考階段練習）如圖，多面體ABCDE尸中，四邊形ABCD為矩形,

二面角A-CD—尸的大小為45,DEHCF,CD1.DE,AD=2,DC=3.

（2）求直線AC與平面CDEF所成角的正弦值.

考點八：等體積法求直線與平面所成的角

［一\］例8.（2023春?北京朝陽?高一清華附中朝陽學校校考期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD

是邊長為a的正方形，PA_L平面ABCD.若PA=a,則直線尸3與平面PCD所成的角的大小為（）

變式1.（2023春?河南?高一校聯考期末）如圖，三棱柱ABC-A,4G中，A3耳為等邊三角形，AB=BC=2,

CA=CB[,CA1CBt.

(1)證明：平面CABt_L平面ABB^；

(2)求直線B旦和平面A與G所成角的正弦值.

變式2.(2023春?浙江杭州?高一校考期中)如圖，四棱錐尸-ABCD中，PC_L平面ABCD,PC=1,底面

ABCD是矩形，且48=點，AD=43.

(1)求證：平面PCD；

(2)求直線AC與平面APD所成的角的正弦值;

考點九：平移法求直線與平面所成的角

9.(2023?江蘇?高一專題練習)如圖，邊長是6的等邊三角形ABC和矩形3CDE.現以BC為軸

將面ABC進行旋轉，使之形成四棱錐4-3以比，。是等邊三角形.ABC的中心，M,N分別是BC,DE

的中點，且AB=2ON,OF//面BCDE,交AC于尸.

(1)求證》_L面AMN

⑵求DF和面4MN所成角的正弦值.

變式1.(2023春?天津和平?高一天津一中校考期中)如圖，已知胡，平面ABC,BBJIA\,AB=AC=3,

BC=245,M=幣,BB、=2布，點E和歹分別為"和AC的中點.

(1)求證：隹_1平面2。片；

(2)求直線\BX與平面BCBi所成角的大小.

考點十：由線面角求其他量

\例10.(2023春?湖南?高一校聯考階段練習)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，24,

平面ABCD,E為線段PD上一點，尸3〃平面W.

(1)證明：E為PD的中點；

(2)若直線CE與平面PAO所成的角為45,且AP=">=1,求三棱錐E-ACD的體積.

變式1.(2023春?福建泉州?高一校聯考階段練習)如圖所示，三棱臺ABC-EFG中，底面ABC,

ZACB=90,AB=2EF.

A

(1)證明：一AFG是直角三角形；

(2)若AC=BC,空=2,問，為何值時，直線斯與平面AFG所成角的正弦值為述？

AC5

變式2.(2023春?高一單元測試)如圖，在ABC中，。是8C的中點，AB=AC,AO=2OC=2.^tBAO^

AO折起，使B點移至圖中7點位置.

⑴求證：AO_L平面B'OC；

(2)當三棱錐笈一AOC的體積取最大時，求二面角A-B'C-O的余弦值；

(3)在(2)的條件下，試問在線段上是否存在一點P,使CP與平面B'OA所成的角的正弦值為更？證

3

明你的結論，并求AP的長.

變式3.(2023春?吉林延邊?高一延邊第一中學校考期中)如圖，是。的直徑，垂直于O所在的

平面，C是圓周上不同于A8的一動點.

(1)證明：PBC是直角三角形；

(2)若PA=AB=2,且直線PC與平面ABC所成角的正切值為0,

①求AC的長；

②求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

考點十一：定義法求二面角的平面角

I）1例11.（2023春?河北石家莊?高一校考期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD

為正方形，平面血平面鉆C。，Q為棱的中點，PA±AD,PA=AB=2.

⑴求證：平面ABC。；

（2）求二面角P-CD-A平面角的大小.

變式1.（2023春.吉林.高一校聯考期中）如圖，四棱柱ABCD-AAGA的底面ABC。是菱形，的，平面

ABCD,AB=1,例=2,N54￡>=60。，點尸為。R的中點.

⑴求證：直線平面PAC；

（2）求二面角B1-AC-P的余弦值.

變式2.（2023春?天津寶抵?高一天津市寶垠區第一中學校考階段練習）如圖，邊長為4的正方形ABCD中,

點瓦廠分別為MIC的中點.將AED,BEF,ZXT分別沿小,所,。尸折起，使ARC三點重合于點P.

⑴求證：PD±EF；

(2)求三棱錐尸-EFD的體積；

(3)求二面角P—￡F-D的余弦值.

變式3.(2023春?浙江?高一校聯考階段練習)如圖，在多面體A3CDEF中，平面平面ABCD,平

面￡AO_L平面是菱形，ZABC=60,AB=2,FC//EA,EA=3,FC=1.

(1)證明：PC平面ABC。；

(2)求二面角3-歷-。的平面角的余弦值.

考點十二：三垂線法求二面角的平面角

12.(2023春?江蘇連云港?高一江蘇省海頭高級中學校考期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底

面ABCD是菱形.

(1)若點E是PD的中點，證明：尸3〃平面ACE；

(2)若R4=ED=AD,ZBAD=120,且平面PAD_L平面ABCD,求二面角尸―AC—。的正切值.

變式1.(2023春?陜西西安?高一西北工業大學附屬中學校考階段練習)已知正三棱柱ABC-中,

AB=4,D為AC邊的中點，ABt1BCV

(1)求側棱長；

⑵求三棱錐D-BCG的體積;

(3)求二面角D-BG-C的大小.

變式2.(2023春?山東濱州?高一山東省北鎮中學校聯考階段練習)如圖，在四棱臺A8CD-PQS〃中，底

面ABCD是正方形，側面上4T>"_L底面ABCD,PAD是正三角形，N是底面ABCD的中心，M是線段PZ)上

⑴當MN//平面PAB。時，求證：W2平面PC。；

(2)求二面角P-3C-A的余弦值.

變式3.(2023春?江蘇蘇州?高一校考階段練習)四棱錐尸-ABCZ)中，PAL平面ABCD,四邊形ABCD為

菱形，ZADC=60°,PA=AD=2,E為AD的中點，F為PC中點.

⑴求證：EP〃平面上18；

(2)求PC與平面PAD所成的角的正切值;

(3)求二面角A-PD-C的正弦值.

考點十三：等體積法求二面角的平面角

、例13.（2023春?江蘇常州?高一常州高級中學校考階段練習）如圖，ACD和△BCD都是邊長為2的

等邊三角形，AB=&,￡B_L平面BCD

⑴證明：￡B〃平面ACD；

（2）若點E到平面ABC的距離為正，求二面角E-CD-B的正切值.

變式1.（2023?高一單元測試）已知四邊形ABCD中，ZABC=ZCAD^90°,AB=BC=^AD=42,O

2

是AC的中點，將_ABC沿AC翻折至△”（？.

（1）若尸。="，證明：PO1平面ACD；

⑵若D到平面PAC的距離為6,求平面PAC與平面ACD夾角的大小.

考點十四：垂面法求二面角

（2023?全國?高一專題練習）如圖，已知上PBL/3,垂足為A、B,若NAP8=6O。,

則二面角/-￡的大小是.

變式1.（2023秋?山東日照?高二校考階段練習）若二面角內一點到兩個面的距離分別為5和8,兩垂足間

的距離為7,則這個二面角的大小是.

變式2.（2023?全國?高一專題練習）已知尸是二面角a-'/?內的一點，R4垂直于a于4,尸2垂直于口于

B,AB=85PA=PB=8,則二面角。-/一尸的大小為一

變式3.（2023?高二課時練習）如圖，已知平面a,夕，且a（3=1,PCLa,PD±J3,C,。為垂足.

（1）試判斷直線/與。的關系，并證明你的結論；

（2）設直線/與平面PCD交于點A,點Be/,若二面角a-—4的大小為120。，S.PC=PD=AB=2,求

平面尸CB與平面PC4所成的銳二面角的大小.

考點十五：射影面積法求二面角

|X不列15.（2023?全國?高一專題練習）如圖與△BCD所在平面垂直，且鈣=3。=①）,

ZABC=ZDBC=120°,則二面角A-BD-C的余弦值為.

D

變式1.（2023?全國?高一專題練習）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面PAD是正三角形,

平面PAD_L底面ABCD.

⑴證明：AB_L平面PAD；

（2）求面PAD與面PDB所成的二面角的正切值.

變式2.（2023?浙江?模擬預測）如圖所示，正方形汨平鋪在水平面上，先將矩形￡DHG

沿AD折起，使二面角E'-AD-5為30。，再將正方形AF&H沿折起，使二面角一人尸’-。為30°,

則平面ATG7T與平面ABCD所成的銳二面角的正切值是（）

A?亨BY

考點十六：由二面角大小求其他量

（\］例16.（2023春?廣東廣州?高一廣州市天河中學校考期中）如圖1,在平行四邊形ABCD中,

ZA=60°,AD=2,AB=4,將△ABD沿BD折起，使得點A到達點P,如圖2.

B

圖1圖2

（1）證明：平面3co，平面PAD；

（2）當二面角O-R4-3的平面角的正切值為"時,求直線BD與平面PBC夾角的正弦值.

變式1.（2023春?廣東佛山?高一佛山市南海區第一中學校考階段練習）如圖，四棱錐S-4JCD的底面是正

方形，SAL底面ABCD,E是SC上一點.

s

(1)求證：平面￡BD_L平面5AC；

VA

(2)當二方的值為多少時，二面角3-SC-D的大小為120。.

變式2.(2023春?河南安陽?高一安陽一中校考階段練習)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，

AB=2BC=8拒,ZDAB=^,E為邊AB的中點，將VADE沿直線DE翻折為_AZ>￡,若F為線段AC的

中點.在VADE翻折過程中,

⑴求證：BF//平面卻￡)￡；

(2)若二面角A,-D￡-C=60°,求A'C與面A團所成角的正弦值.

TT

變式3.(2023?局一課時練習)如圖，在Rt^ABC中，B=~,AB=2BC=2,且E,尸分別為A3,AC

的中點.現將△/1￡■尸沿E尸折起，使點A到達點。的位置，連接3D,CD,〃為CO的中點，連接

(1)證明：平面BCD；

(2)若二面角石-血尸-。的余弦值為-立，求四棱錐。-EBCF的體積.

3

考點十七：直接法求點面距

17.(2023?高一課時練習)如圖，在長方體ABCO-44GA中，已知AB=4,BC=2,BBt=3,

則點8到上底面4BGR的距離為（）

變式1.（2023春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第六中學校校考期末）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD

為直角梯形，PA=AB=BC=1,ZABC=90°,XPAB=120°,AB//DC,DC=PC=2,則點P到平面

ABCD的距離為（）

A.在B.且C.2D.-

423

變式2.（2023春?山西晉中?高一校考階段練習）已知，ABC是面積為至的等邊三角形，且其頂點都在球

4

32

。的球面上，若球。的體積為三?，則。到平面ABC的距離為（）

A.73B.-C.1D.也

22

考點十八：轉化法求點面距

（2023?陜西西安?西北工業大學附屬中學校考模擬預測）在三棱柱ABC-中，A-ABC

是棱長為2的正四面體，則點A到平面BCG耳的距離為（）

A.s/6B.73C.72D.1

變式1.（2023?江西?江西師大附中校考三模）已知四棱錐P-ABC。的底面是正方形,

ACcBD=O,PA=PD=#,PO=4i,AO=2,E是棱PC上任一點.

(1)求證：平面3DE_L平面PAC;

⑵若PE=2EC,求點A到平面BDE的距離.

考點十九：等體積法求點面距

例19.(2023春?貴州貴陽?高一貴陽市民族中學校聯考階段練習)如圖在棱長為2的正方體

ABCD-A4GR中，E是。R上一點，且〃平面ACE.

(1)求證：E為的中點;

(2)求點D到平面ACE的距離.

變式1.(2023春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第四中學校校考期中)如圖，RtAAOB,0A=\,OB=2,

點C是0B的中點，AOB繞OB所在的邊逆時針旋轉一周.設OA逆時針旋轉至OD時,旋轉角為。，6e[0,兀).

(1)求.ABC旋轉一周所得旋轉體的體積V和表面積S；

2兀

(2)當。=彳時，求點。到平面ABD的距離.

變式2.(2023春?廣東江門?高一江門市第一中學校考期中)如圖，在四棱錐尸-A8CD中，。是邊長為4

的正方形ABCD的中心，P。4平面ABC。，M,E分別為AB,8C的中點.

(1)求證：平面尸ACJ■平面P6D;

⑵若尸￡=3,求點8到平面的距離；

(3)若PE=3,求直線尸3與平面PE似所成角的余弦值.

變式3.(2023春?山東濱州?高一山東省北鎮中學校聯考階段練習)如圖①，在梯形ABCD中,

AB//CD,AB=2,ZA=60°,?ABD90?,NCBD=45°,將△ABD沿邊BD翻折至4Am,使得AC=2g,

如圖②，過點8作一平面與AC垂直，分別交AD,AC于點區產.

(1)求證：亞_1平面4'。￡);

(2)求點F到平面A'BD的距離.

[⑨真題演練f

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1.【多選】(2023?全國?統考高考真題)已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,AB為底面直徑，ZAPS=120°,

PA=2,點C在底面圓周上，且二面角P—AC—O為45。，貝I]().

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側面積為46兀

C.AC=20D.△PAC的面積為6

2.(2023?北京?統考高考真題)坡屋頂是我國傳統建筑造型之一，蘊含著豐富的數學元素.安裝燈帶可以

勾勒出建筑輪廓，展現造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩

個面是全等的等腰三角形.若=25m,80=41）=1001,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面

與平面ABCZ）的夾角的正切值均為巫，則該五面體的所有棱長之和為（）

5

C.117mD.125m

3.（2023?全國?統考高考真題）已知ABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，△ABD為等邊三角形，若二面

角C-AB-O為150。，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（）

A.-B.立C.BD.-

5555

4.（2023?全國?統考高考真題）如圖，在三棱柱ABC-42?中，AC，底面ABC,NACB=90。,e=2,

A到平面2CG4的距離為1.

Bi

A

（1）證明：AC=AC；

（2）已知AA,與BBX的距離為2,求4片與平面BCG用所成角的正弦值.

5.（2023?天津?統考高考真題）三棱臺ABC-4用6中，若AA，面^BC,AB±AC,AB=AC=AAi=2,AG=1,

MN分別是BCBA中點.

⑴求證：AN//平面GK4；

(2)求平面GMA與平面ACC0所成夾角的余弦值；

⑶求點C到平面GM4的距離.

6.(2023?全國?統考高考真題)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB±BC,AB=2,BC=2也,PB=PC=瓜,

BP,AP,BC的中點分別為D,E,O,AD=y[5DO,點F在AC上，BF±AO.

(1)證明：瓦〃平面AOO；

(2)證明：平面ADO_L平面BEF；

(3)求二面角。-AO-C的正弦值.

1國過關檢測]I

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一、單選題

1.(2023秋?上海黃浦?高二上海市向明中學校考階段練習)點P為平面ABC外的一個點，點M是棱上

的動點(包含端點)，記異面直線與A3所成角為直線PM與平面ABC所成角為夕，則()

A.a>PB.a<(3C.a>/3D.a</3

2.(2023春?全國?高一專題練習)如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC=8,BD=6,M,N分別為AB,

CD的中點，并且異面直線AC與BD所成的角為9。。，則MN=()

A

C.5D.6

3.（2023秋.北京海淀.高二校考階段練習）《九章算術?商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一

為陽馬，一為鱉ST陽馬居二，鱉腌居一，不易之率也.合兩鱉腌三而一，驗之以基，其形露矣文中“陽

馬”是底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐.在陽馬P-ABCD中，側棱底面且

PA=1,AB=A￡>=2,則點A到平面PBD的距離為（）

A/2V6「指「布

AA.rD.C.D.

3323

4.（2023秋?高二課時練習）平面的一條斜線和這個平面所成的角。的范圍是（）

A.00<3<180°B.0°<6^<90°C.0°<0<90°D.0°<6><90°

5.（2023?全國?高三專題練習）已知正方體ABCD-AiBiCiDi,則DiA與平面ABCD所成的角為（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

6.（2023?全國?模擬預測）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，R4JL平面ABCQ,四邊形ABCD為正方形,

PA^AB=1,E、尸為線段PO上的兩個動點（不包括端點），且滿足班=也，以下結論正確的個數是（）

2

（1）AC±EF；

（2）平面AEC；

（3）二面角七-C的大小為定值；

（4）四面體ACE尸的體積為定值.

R

A.4個B.3個C.2個D.1個

7.（2019秋?廣東佛山?高二佛山市順德區鄭裕彤中學校考期中）已知正方體ABOAB6A棱長為2,則點C

到平面耳的距離為（）

A.1B.72C.20D.2百

8.（2023?全國?高一專題練習）在四棱錐P-ABCD中，PAL平面ABCD,四邊形ABCD為矩形，BC=y/2,

PC與平面上鉆所成的角為30。，則該四棱錐外接球的體積為（）

A.迪兀B.47371C.逑兀D.還兀

333

9.（2023?四川遂寧?四川省遂寧市第二中學校校考模擬預測）已知平面a與平面夕所成二面角的平面角為

110,球。與平面d尸相切于點A,8,則過球心。與平面a,月均成30的直線有（）

A.2條