專題07一次函數圖像與幾何變換

1.（2021?揚州中考）如圖，一次函數丁=》+加的圖象與x軸、y軸分別交于點，，B,把直線繞點8順時針旋

解：：一次函數丁=/\用的圖象與x軸、y軸分別交于點/、B,

令x=0,則^=如，令y=0,則》=-我，

則/（-V2，0）,B（0,加），

則△048為等腰直角三角形，ZABO=45°,

2+(a)2=2,

:.4ACD為等腰直角三角形，設CD=AD=x,

-AC=VAD2CD2=心’

由旋轉的性質可知N/2C=30°,

：.BC=2CD=2x,

,?BD=MBC之-CD">

又BD=AB+AD=2+x,

解得：x=V3+l,

:.AC=\[^=M=V64V2>

答案：A.

2.（2021?南陽模擬）如圖1,在平面直角坐標系中，口4BCD在第一象限，且5C〃x軸.直線y=x從原點。出發

沿x軸正方向平移.在平移過程中，直線被口/BCD截得的線段長度〃與直線在x軸上平移的距離加的函數圖象

如圖2所示，那么C74BCD的面積為（）

解：存在兩種情況：

如圖1,過5作于點分別過8,。作直線y=x的平行線，交/。于E,如圖1所示,

由圖象和題意可得，

4E=6-4=2,DE=7-6=1,BE=2,

.??40=2+1=3,

直線BE平行直線y=x,

:.BM=EM=E

平行四邊形488的面積是：AD-BM=3Xy[2=^42-

如圖2,過。作。MLBC于朋；延長C8交直線。尸于￡,

:.AD=DF=2,BE=l,

：.ZDAF=ZDFA,

,CAD//BC,

：.ZDAF=NEBF=ZEFB,

：.EF=BE=\,

；.￡>￡=1+2=3,

■:NDEM=45°,ZDME=90°,

:.DM=EM=”

V22

，平行四邊形的面積是：AD-DM=2X年=3

2

答案：A.

3.（2020?荊門中考）在平面直角坐標系xQy中，的直角頂點3在y軸上，點/的坐標為（1,、6），將

得到RtZkdOb,過H作4c垂直于04交y軸于點C,則點C的坐標為（）

-3)C.(0,-4)D.(0,-4?)

解：,點4的坐標為（1,J5）,

：.AB=\,OB=M，

AO^=VAB2-K）B2=712+（V3）2=2,

將RtzX/08沿直線y=-無翻折，得到RtA^'05',

：.0B'=0B=M，A'B'=AB=1,OA'=O/=2,

：.A'（-Vs--1），

:過H作4c垂直于04交y軸于點C,

:.NHOC+ZA'CO=90°,

'：ZA'OB'+AA'OC=90°,

；.NHCO=ZA'OB',

B'O=ZOA'C=90°,

：./\A'OB's/\ocA',

?OC_OA'pnOC2

OA'A'B，21

：.OC=4,

：.C（0,-4）,

答案：C.

-2x+10（x<尊）

4.（2021?湖州模擬）如圖，已知在平面直角坐標系xQy中，點/,3是函數>=]圖象上的兩動

x（x>4）

點，且點/的橫坐標是加，點2的橫坐標是加+1,將點/，點8之間的函數圖象記作圖形2,把圖形￡沿直線

/：y=-L+3進行翻折，得到圖形。，若圖形〃與x軸有交點時，則〃z的取值范圍為（）

2

解：?.?圖形工關于直線/的對稱圖形。與x軸有交點,

/.X軸關于直線I對稱的直線與圖形L也有交點，

如圖，作X軸關于直線/的對稱直線加，與丁軸交于點

???/ECO=/DCE,

對于直線丁=-1+3,令y=0,得x=6,即C(6,0),

2

令x=0,得y=3,即E(0,3),OE=3,

設直線m的函數表達式為(x-6),作EFLm于點F,

Vx軸和直線m關于直線I對稱，

，OE=EF=3,CF=OC=6,

._11

??c^△cQE=qDE，0C=yCD,EF，

設。E=a,則：OD=OE+DE=3+a,

.11

??yX6Xa=yX3XCD^

；?CD—2a,

9：OD2+OC2=CD2,

：.(3+a)2+62=(2Q)2,

解得：a=5或〃=-3(舍)，

；?DE=5,00=3+5=8,

：.D(0,8),

設直線加的解析式為：y=kx+b,則

得卜V,

fb=8

l6k+b=0b=8

???直線加的解析式為,y=--x+S

3f

4

由尸石x+8,得:(S'

Ly=-2x+10

,9-3=3<1,

77

:.m的取值范圍為：支.

7

答案：A.

5.（2020?宿遷中考）如圖，在平面直角坐標系中，。是直線>=-1什2上的一個動點，將。繞點尸（1,0）順時

2

針旋轉90°,得到點0,連接。。，，則的最小值為（）

D?等

解：作。軸于點Q'軸于N,

■:/PMQ=/PNQ'=NQPQ'=90°,

/.ZQPM+ZNPQ'=/PQ'N+ZNPQ'，

:./QPM=/PQ'N

在△PQM和A。'PN中,

'NPMQ=NPNQ'=90°

"NQPM=NPQ'N

、PQ=PQ'

:.XPQM@XQ'PNCAAS),

：.PN=QM,Q'N=PM,

設。(機，-lm+2)，

：.PM=\m-1|,QM=\-L為+2],

2

：.ON=-\i-

-'.Q'(3-L”，1-m),

2

：.OQ'2=(3-Xw)2+(1-m)2=±Lm2-5m+10=且(m-2)2+5,

244

當機=2時，。。’2有最小值為5,

：.OQ'的最小值為遙，

0'

6.(2021?達州模擬)如圖，把Rt448C放在平面直角坐標系內，其中NC43=90°,BC=10,點/、8的坐標分

別為(2,0),(8,0),將△/8C沿x軸向右平移，當點C落在直線y=2x-4上時，線段8c掃過的面積為()

解：：點/、3的坐標分別為(2,0)、(8,0),

：.AB=6.

'：ZCAB=90°,BC=10,

V102-62=8'

：.A'C=8.

:點C'在直線y=2x-4上，

.,.2x-4=8,解得：x=6.

即OA'=6.

：.CC'=AA'=OA'-OA=6-2=4,

:口BCCB'=4X8=32,

即線段3c掃過的面積為32.

答案：D.

7.(2021?長春模擬)如圖，在平面直角坐標系，直線了=-3x+3與坐標軸分別交于42兩點，以線段為邊,

在第一象限內作正方形ABCD,將正方形ABCD沿x軸負方向平移a個單位長度，使點。恰好落在直線y=3x-

2上，則°的值為()

A.1B.2C.-1D.-1.5

解：如圖作CN_L08于N,。朋」CM于CN與DM交于點、F,

?直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于8、/兩點，

點/(0,3),點、B(1,0),

?.?四邊形/BCD是正方形，

：.AB=AD=DC=BC,ZABC=90°,

VZBAO+ZABO=90°,ZABO+ZCBN=90°,

NBAO=/CBN,

在△8/0和△CBN中,

，Z0AB=ZCBN

<ZA0B=ZBNC-

tAB=BC

4BAO絲/XCBN,

.".BN=AO=3,CN=BO=\,

同理可以得到：DF=AM=BO=1,CF=DM=AO=3,

:.點、F(4,4),D(3,4),

:將正方形/BCD沿x軸負方向平移a個單位長度，使點。恰好落在直線y=3x-2上,

?,?把y=4代入歹=3x-2得，x=2,

??Q^3-2=1,

正方形沿X軸負方向平移。個單位長度后，點。恰好落在直線v=3x-2上時，。=1,

8.（2021?賀州中考）如圖，一次函數y=x+4與坐標軸分別交于4,3兩點，點、P,C分別是線段48,02上的點,

且NOPC=45°,PC=PO,則點尸的坐標為（-2'、歷，4-2血）.

解：：一次函數y=x+4與坐標軸交于兩點，

y=x+4中，令x=0,則y=4；令y=0,貝I]x=-4,

，/O=2O=4,

是等腰直角三角形，

.../48。=45°,

過P作尸。J_OC于。，則△3OP是等腰直角三角形,

VZPBC=ZCPO=ZOAP=45°,

:.NPCB+/BPC=135°=ZOPA+ZBPC,

：.ZPCB^ZOPA,

在△尸C8和△(?/〃中，

fZPBC=Z0AP

,ZPCB=Z0PA>

L0P=PC

:.4PCB沿AOPA(AAS),

；./0=AP=4,

...RtzXBD尸中，BD=PD=^L=2-/2,

V2

OD=OB-BD=4-2如，

,:PD=BD=2近,

：.P(-2&,4-2血)，

答案：(-2&,4-2圾).

9.（2020?黔南州中考）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-芻+4與x軸、y軸分別交于/、8兩點，點C在

3

第二象限，若BC=OC=OA,則點C的坐標為（-店2）.

解：:?直線產-爭+4與x軸、y軸分別交于/、3兩點,

，點Z的坐標為（3,0）,點5的坐標為（0,4）.

過點。作CE_Ly軸于點應如圖所示.

?；BC=OC=OA,

：.OC=3,OE=2,

'CE=Voc2-OE2=巡，

.?.點C的坐標為（-遙，2）.

答案：（-遍，2）.

10.(2021?南京模擬)如圖，在直角坐標系中，口O4BC的邊OC落在x軸的正半軸上，且點C(8,0),B(12,

4),直線y=2x+l以每秒2個單位的速度向右平移，經過2.75秒該直線可將口CM3C的面積平分.

解：如圖，連接02、4c交于E,直線y=2x+l與x軸交于。，

當直線過E時，口CM8C的面積平分，過￡作直線y=2x+l的平行線交x軸于尸,

在y=2x+l中令y=0得x=-0.5,

：.D(-0.5,0),

,：aOABC,

:.E是OB中點，

■:B(12,4),

：.E(6,2)

設直線即解析式為y=2x+6,

將￡(6,2)代入可得：2=12+"

:.b=-10,

直線E尸解析式為夕=2x-10,

令y=0得x=5,

：.F(5,0),

：.DF=5.5.

,移動直線將口CM5C的面積平分所需移動時間是5.5+2=2.75(s).

答案：2.75.

11.（2019?鹽城中考）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=2x-1的圖象分別交無、y軸于點/、B,將直線

繞點8按順時針方向旋轉45°,交x軸于點C,則直線8C的函數表達式是v=—x-1

3-

解：：一次函數y=2x-1的圖象分別交x、y軸于點N、B,

...令x=0,得y=-1,令y=0,貝!|x=工,

2

：.A(X0),B(0,-1),

:.OA=L,OB=\,

2

過/作/尸_L48交8C于尸，過尸作尸EJ_x軸于E,

,?ZABC=45

AABF是等腰直角三角形,

：.AB=AF,

；NO4B+N4BO=NO4B+NE4F=90°,

ZABO=ZEAF,

：.AABO^/\FAE(AAS),

：.AE=OB=\,EF=OA=X,

2

."(3,-±),

22

設直線BC的函數表達式為：y=kx+b,

b=-l

b=-l

12.(2021?寧波模擬)如圖，A(1,0),B(3,0),M(4,3),動點尸從點4出發，以每秒1個單位長的速度向

右移動，且經過點尸的直線/：歹=-1+6也隨之移動，設移動時間為/秒，若/與線段氏W有公共點，貝卜的取

值范圍為2W/W6.

解：當直線y=-x+b過點8(3,0)時，

0=-3+6,

解得：b=3,

0=-(1+/)+3,

解得t=2.

當直線歹=-x+b過點V(4,3)時，

3=-4+6,

解得：6=7,

0=-(1+1)+7,

解得t=6.

故若/與線段有公共點，/的取值范圍是：2W/W6,

答案：2W/W6.

13.(2021?黃岡模擬)如圖，在平面直角坐標系中，點4的坐標為(0,3),△CM5沿x軸向右平移后得到△(?'A

'B',點/的對應點H在直線y=3x上，則點2與其對應點夕間的距離為4.

4

y

B'

7Pax

解：如圖，連接44'、BB'.

:點/的坐標為（0,3）,△CM5沿x軸向右平移后得到△O'A'B',

點/'的縱坐標是3.

又..,點/的對應點在直線y=3x上一點，

4

.*.3=—x,解得x=4.

4

.,.點的坐標是（4,3）,

：.AA'=4.

,根據平移的性質知58'=AA'=4.

14.（2021?武漢模擬）將函數y=2x+6（6為常數）的圖象位于x軸下方的部分沿x軸翻折至其上方后，所得的折

線是函數y=|2x+6|“為常數）的圖象.若該圖象在直線>=2下方的點的橫坐標x滿足0<x<3,則6的取值范

圍為-4W6W-2.

解：\-y^2x+b,

.?.當了<2時，2x+b<2,解得b.

2

?函數y=2x+6沿x軸翻折后的解析式為-y=2x+6,即夕=-2x-b,

...當y<2時，-2x-6<2,得x>-生旦，

2

Zb,

22

V0<x<3,

/.-2+b=0,-2+b=3,

22

.,.b--2,b--4.

：.b的取值范圍為-4WbW-2.

答案：-4W6W-2.

15.(2021?贛州模擬)如圖，在平面直角坐標系xQy中，直線y=-9什4與x軸、y軸分別交于點/、點8,點。

3

在y軸的負半軸上，若將△ZU8沿直線AD折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點C處.

(1)求48的長；

(2)求點C和點。的坐標；

(3)＞軸上是否存在一點P,使得S△川B=AA℃D?若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

：.B(0,4).

：.OB=4

令y=0得：0=-匡什4,解得：x=3,

3

：.A(3,0).

；Q=3.

在RtZ\O4B中，

(2)\'AC=AB=5,

：.OC=OA+AC=3+5=8,

：.C(8,0).

設OD=x,則CD=DB=x+4.

在RtZXOCZ)中，DC1=OD-+OC1,即(x+4)2=x2+82,解得：x=6,

：.D(0,-6).

(3)存在，理由如下：

S^PAB=-S/\OCD<

???S.E=」X工X6X8=12-

22

?點P在y軸上，S&PAB=12,

：.lj3P-OA=n,即工X35P=12,解得：BP=8,

22

二尸點的坐標為(0,12)或(0,-4).

16.(2021?烏魯木齊模擬)如圖，直線y=-9什8與x軸交于/點，與y軸交于2點，動點尸從/點出發，以每

3

秒2個單位的速度沿/。方向向點。勻速運動，同時動點。從8點出發，以每秒1個單位的速度沿氏4方向向

點/勻速運動，當一個點停止運動，另一個點也隨之停止運動，連接尸0,設運動時間為:(s)(0<r^3).

(1)寫出4,2兩點的坐標；

(2)設尸的面積為S,試求出S與f之間的函數關系式；并求出當/為何值時，△NQP的面積最大？

(3)當/為何值時，以點4,P,。為頂點的三角形與△48。相似，并直接寫出此時點0的坐標.

解：(1)令y=0,貝!|-￡+8=0,