第6.6節培優提升豎直平面內圓周運動的兩種模型及水平面內的臨界問題學習目標1.建立豎直平面內圓周運動的輕繩模型和輕桿模型，會應用動力學知識分析輕繩和輕桿模型問題。2.會分析水平面內圓周運動的臨界問題，找到臨界條件，列方程解決。提升1豎直平面內圓周運動的兩種模型1.輕繩模型：豎直(光滑)圓弧內側的圓周運動、水流星的運動等，類似輕繩一端的物體以輕繩另一端為圓心的豎直平面內的圓周運動。其特點是在最高點無支撐。2.輕桿模型：豎直(光滑)圓管內的圓周運動、小球套在豎直圓環上的運動等，類似輕桿一端的物體以輕桿另一端為圓心的豎直平面內的圓周運動。其特點是在最高點有支撐。3.兩種基本模型的比較項目輕繩模型輕桿模型情景圖示最高點受力特征除重力外，物體可能受到向下的彈力除重力，物體可能受到向下或向上的彈力受力示意圖力學方程mg＋FN＝meq\f(v2,R)mg±FN＝meq\f(v2,R)臨界特征FN＝0，即mg＝meq\f(veq\o\al(2,min),R)，即vmin＝eq\r(gR)v＝0時F向＝0，即FN＝mgv＝eq\r(gR)的意義物體能否過最高點的臨界速度FN表現為拉力(壓力)還是支持力的臨界速度過最高點的條件最高點的速度v≥eq\r(gR)最高點的速度v≥0過最低點受力分析FN－mg＝meq\f(v2,R)輕繩或圓軌道受拉力或壓力最大，存在繩斷的臨界條件FN－mg＝meq\f(v2,R)存在對桿拉力或對管壓力的最大值角度1輕繩模型例1如圖所示，長度為L＝1.6m的輕繩，系一小球在豎直平面內做圓周運動，小球的質量為m＝0.5kg，小球半徑不計，g取10m/s2，求：(1)小球剛好通過最高點時的速度大小；(2)小球通過最高點時的速度大小為8m/s時，輕繩的拉力大小；(3)若輕繩能承受的最大張力為45N，小球速度的最大值。答案(1)4m/s(2)15N(3)8eq\r(2)m/s解析(1)小球剛好通過最高點時，重力恰好提供向心力，有mg＝meq\f(veq\o\al(2,1),L)得v1＝eq\r(gL)＝4m/s。(2)小球通過最高點時的速度大小為8m/s時，拉力和重力的合力提供向心力，有FT＋mg＝meq\f(veq\o\al(2,2),L)得FT＝15N。(3)分析可知小球通過最低點時輕繩的張力最大，在最低點，由牛頓第二定律得FT′－mg＝meq\f(veq\o\al(2,3),L)將FT′＝45N，代入解得v3＝8eq\r(2)m/s即小球的速度不能超過8eq\r(2)m/s。流程法分析繩模型的臨界問題訓練1火力發電的主要燃料是煤粉，將煤塊制成煤粉的機械稱為球磨機。球磨機的核心部件是一個半徑為R的躺臥圓筒，里面裝有小鋼球，小鋼球與筒壁間的動摩擦因數足夠大。圓筒勻速轉動時，小鋼球被帶到一定高度處脫離筒壁，落下后與煤塊發生碰撞將煤塊擊碎。如圖所示，當小鋼球通過A點時，與圓筒分離，此后小鋼球僅在重力作用下到達位置B，AB連線過圓心O，已知重力加速度為g。則圓筒旋轉的角速度ω為（）A． B． C． D．答案B解析設AB連線與水平直徑的夾角為θ，在A點時，根據牛頓第二定律可得其中從A點開始小鋼球做斜上拋運動，則聯立可得故選B。訓練2如圖所示，把一個小球用細線懸掛起來，在甲、乙、丙、丁之間來回擺動，丙的位置最低。不計阻力，則細線承受最大拉力的位置是在（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案C解析在某位置時，若細線與豎直方向夾角為θ，則即小球在最低點時速度最大，θ最小，可知T最大。故選C。角度2輕桿模型例2(多選)如圖所示，一個內壁光滑的彎管處于豎直平面內，其中管道半徑為R。現有一個半徑略小于彎管橫截面半徑的光滑小球在彎管里運動，小球通過最高點時的速率為v0，重力加速度為g，則下列說法正確的是()A.若v0＝eq\r(,gR)，則小球對管內壁無壓力B.若v0>eq\r(,gR)，則小球對管內上壁有壓力C.若0<v0<eq\r(,gR)，則小球對管內下壁有壓力D.不論v0多大，小球對管內下壁都有壓力答案ABC解析當小球在最高點，只有重力提供向心力時，由mg＝meq\f(veq\o\al(2,0),R)解得v0＝eq\r(gR)，此時小球對管內壁無壓力，選項A正確；若v0>eq\r(gR)，則有mg＋FN＝meq\f(veq\o\al(2,0),R)，表明小球對管內上壁有壓力，選項B正確；若0<v0<eq\r(gR)，則有mg－FN＝meq\f(veq\o\al(2,0),R)，表明小球對管內下壁有壓力，選項C正確；綜上分析，選項D錯誤。訓練1如圖所示，長為0.4m的輕質桿OP的P端與質量為0.2kg、可視為質點的小球相連，小球以輕質桿的O端為圓心在豎直平面內做圓周運動。小球通過最高點時的速率為3m/s，重力加速度g取10m/s2，則此時輕桿受到的作用力為（）A．2.5N的拉力 B．2.5N的壓力C．4.5N的拉力 D．4.5N的壓力答案A解析小球通過最高點時的速率為3m/s，設此時輕桿對小球的作用力向下，以小球為對象，根據牛頓第二定律可得解得假設成立，根據牛頓第三定律可知，此時輕桿受到的作用力為2.5N的拉力。故選A。訓練2如圖所示，一小球在豎直放置的光滑圓形管道內做圓周運動，軌道半徑為R，小球的直徑略小于管道的直徑，重力加速度為g，則小球（）A．可能做勻速圓周運動B．通過最高點時的最小速度為C．通過最低點時受到的彈力向上D．在運動一周的過程中可能一直受到內側管壁的彈力答案C解析A．小球從最高點到最低點重力做正功，速度增加；從最低點到最高點，克服重力做功，速度減小，則不可能做勻速圓周運動，選項A錯誤；B．通過最高點時因管道對小球可以提供支持力，則小球的最小速度為零，選項B錯誤；C．通過最低點時向上的支持力和向下的重力的合力提供向心力，可知小球受到的彈力向上，選項C正確；D．在運動一周的過程中，在下面的半周中小球有向上的加速度分量，則受到外側管壁的彈力，選項D錯誤。故選C。例3有一輕質桿長L為0.5m，一端固定一質量m為0.5kg的小球，桿繞另一端在豎直面內做圓周運動(g＝10m/s2)。(1)當小球在最高點時剛好對桿無作用力，求此時的速度大小；(2)當小球運動到最高點速率分別為1m/s和4m/s時，求小球對桿的作用力；(3)當小球運動到最低點時，小球受桿的拉力為41N，求小球的速度大小。答案(1)eq\r(5)m/s(2)4N，方向向下11N，方向向上(3)6m/s解析(1)小球在最高點時剛好對桿無作用力，此時重力提供向心力，有mg＝meq\f(veq\o\al(2,1),L)，代入數據解得v1＝eq\r(gL)＝eq\r(5)m/s。(2)當小球運動到最高點速率v2＝1m/s時，此時小球受到桿向上的支持力。根據牛頓第二定律可得mg－F1＝meq\f(veq\o\al(2,2),L)代入數據得F1＝4N根據牛頓第三定律可得小球對桿的作用力大小為4N，方向向下當小球運動到最高點速率v3＝4m/s時，此時小球受到桿向下的拉力，根據牛頓第二定律得F2＋mg＝meq\f(veq\o\al(2,3),L)，代入數據解得F2＝11N，根據牛頓三定律可得小球對桿的作用力大小為11N，方向向上。(3)當小球運動到最低點時，小球受桿的拉力為41N，由牛頓第二定律有F－mg＝meq\f(veq\o\al(2,4),L)代入數據解得v4＝6m/s。有關小球通過桿的最高點，要抓住兩點(1)剛好能過最高點的條件，速度為0(2)通過最高點，小球剛好不受彈力的臨界速度為v0＝eq\r(gr)，若速度v>v0，彈力向下，若速度v<v0，彈力向上。訓練1(多選)如圖，半徑為的圓形光滑軌道置于豎直平面內，一金屬小環套在軌道上可以自由滑動，已知重力加速度為，下列說法正確的是（

）A．要使小環做完整的圓周運動，小環在最低點的速度應大于B．要使小環做完整的圓周運動，小環在最低點的加速度應大于C．如果小環在最高點時速度大于，則小環受到的彈力方向指向圓形軌道的圓心D．小環運動到最低點時對軌道壓力一定大于重力答案BCD解析AB．要使小環做完整的圓周運動，小圓環在最高點的速度的最小值恰好為零，設此時最低點速度為v，根據機械能守恒定律，有解得此時，在最低點的加速度為因此做完整的圓周運動，最低點的加速度應大于4g，故A錯誤，B正確；C．在最高點，當重力恰好提供向心力時，有解得若速度大于，小環有離心趨勢，小環受到的彈力方向指向圓形軌道的圓心，故C正確；D．根據牛頓第二定律，則有可知：環在最低點時對軌道壓力一定大于重力，故D正確。故選BCD。訓練2如圖所示，半徑為的鼓形輪可繞固定的光滑水平軸轉動。在輪上沿相互垂直的直徑方向固定四根直桿，桿上分別固定有質量為的A、B、C、D，4個小球，球心與的距離均為2R。現讓鼓形輪勻速轉動，若某時刻B、D兩球所在直桿恰好位于水平方向，小球B的速度大小為，不計空氣阻力，重力加速度為，下列說法正確的是（

）A．鼓形輪的角速度為 B．桿對小球C的作用力一定豎直向上C．桿對小球D的作用力為 D．桿對小球A的作用力一定大于mg答案D解析A．鼓形輪的角速度為故A錯誤；B．小球C所需的向心力大小為若則桿對小球C的作用力豎直向下，故B錯誤；C．對于小球D，豎直方向有水平方向有則桿對小球D的作用力為故C錯誤；D．對于小球A，根據牛頓第二定律可得可知桿對小球A的作用力一定大于mg，故D正確。故選D。提升2水平面內圓周運動的臨界問題1.常見的臨界問題(1)物體恰好(沒有)發生相對滑動，靜摩擦力達到最大值。(2)物體恰好要離開接觸面，物體與接觸面之間的彈力為0。(3)繩子恰好斷裂，繩子的張力達到最大承受值。(4)繩子剛好伸直，繩子的張力恰好為0。2.解題關鍵(1)在圓周運動問題中，當出現“恰好”“最大”“至少”“取值范圍”等字眼時，說明運動過程中存在臨界點。(2)分析臨界狀態的受力，列出臨界條件下的牛頓第二定律方程。例4如圖所示，A、B、C三個物體放在旋轉的水平圓盤面上，物體與盤面間的最大靜摩擦力均是其重力的k倍，三物體的質量分別為2m、m、m，它們離轉軸的距離分別為R、R、2R。當圓盤旋轉時，若A、B、C三物體均相對圓盤靜止，則下列說法正確的是()A.A的向心加速度最大B.B和C所受摩擦力大小相等C.當圓盤轉速緩慢增大時，C比A先滑動D.當圓盤轉速緩慢增大時，B比A先滑動答案C解析A、B、C三物體角速度相同，由an＝ω2r知，物體C的向心加速度最大，選項A錯誤；摩擦力提供向心力，FfB＝mω2R，FfC＝mω2·(2R)，物體B所受摩擦力小于物體C所受摩擦力，選項B錯誤；物體恰好滑動時，有kmg＝mω2r，ω＝eq\r(\f(kg,r))，可知滑動的臨界角速度與質量無關，r越大，臨界角速度越小，則物體C先滑動，選項C正確，D錯誤。物體恰好滑動的臨界條件是靜摩擦力剛好達到最大值，根據牛頓第二定律列方程，求解出相應的臨界角速度和線速度。訓練1如圖為某闖關游戲簡化圖。一繞過其圓心O的豎直軸順時針勻速轉動的圓形轉盤浮在水面上，轉盤表面始終保持水平，M為轉盤邊緣上一點。某時刻，一挑戰者從水平跑道邊緣點以速度向右跳出，初速度方向平行于方向，且運動軌跡與此時刻在同一豎直平面內，隨后參賽者正好落在M點，不計空氣阻力。下列說法正確的是（）A．若跳出時刻不變，僅增大，參賽者必定落水B．若跳出時刻不變，僅減小，參賽者一定會落在OM之間C．若跳出時刻不變，僅增大轉盤的轉速，參賽者不可能落在M點D．若跳出時刻不變，僅減小轉盤的轉速，參賽者可能落在M點答案D解析AB．參賽者正好落在M點，則M點可能出現在圖示的兩個位置。參賽者在空中所做運動為平拋運動，豎直高度不變，參賽者在空中運動時間不變；僅增大，參賽者的水平位移增大，可能落水，可能在臺面上；僅減小，參賽者的水平位移減小，可能落水，可能在臺面上。故AB錯誤；CD．僅增大轉盤的轉速，或僅減小轉盤的轉速，參賽者的水平位移不變，只要滿足M仍在原位置，參賽者就仍可能落在M點，故C錯誤；D正確。故選D。訓練2(多選)如圖所示，MN為光滑放置的水平圓盤，圓盤的半徑為1m，圓盤中心O處有一光滑小孔，穿過小孔的兩端各系著一個質量相等的小球A和B，小球A在圓盤面上做勻速圓周運動，關于A、B的運動情況（g取10m/s2）（）A．小球A的運動半徑為0.2m時，它的角速度是B．小球A的運動半徑為0.2m時，它的角速度是C．當A球的角速度為時，A球的軌跡半徑為0.8m，此時B球保持靜止D．當A球的角速度為時，A球的軌跡半徑為0.4m，此時B球保持靜止答案AC解析AB．對A球分析可知解得選項A正確，B錯誤；CD．當A球的角速度為時，假設此時B球保持靜止，則對A可得A球的軌跡半徑為r2=0.8m選項C正確，D錯誤。故選AC。例5(多選)(2024·濟南市高一期末)如圖所示，水平轉盤上放有質量為m的物塊(可視為質點)，當物塊到轉軸OO′的距離為r時，連接物塊和轉軸的繩剛好被拉直(繩上張力為0)。物塊和轉盤間的最大靜摩擦力是物塊對轉盤壓力的μ倍。已知重力加速度為g，最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等。下列說法正確的是()A.當轉盤以角速度eq\r(\f(μg,2r))勻速轉動時，物塊所受的摩擦力大小為eq\f(1,2)μmgB.當轉盤以角速度eq\r(\f(μg,2r))勻速轉動時，細繩的拉力大小為eq\f(1,2)μmgC.當轉盤以角速度eq\r(\f(3μg,2r))勻速轉動時，物塊所受的摩擦力大小為μmgD.當轉盤以角速度eq\r(\f(3μg,2r))勻速轉動時，細繩的拉力大小為eq\f(1,2)μmg答案ACD解析物塊和轉盤間的最大靜摩擦力是Ffm＝μmg，當轉盤以角速度eq\r(\f(μg,2r))勻速轉動時，所需向心力為F1＝mω2r＝eq\f(1,2)μmg<Ffm，則細繩對物塊的拉力為零，物塊所受的摩擦力大小為eq\f(1,2)μmg，故A正確，B錯誤；當轉盤以角速度ω＝eq\r(\f(3μg,2r))勻速轉動時，所需向心力F2＝mω2r＝eq\f(3,2)μmg>Ffm，摩擦力不足以提供向心力，繩子也要提供部分向心力，則F2＝FT＋Ffm，解得FT＝eq\f(1,2)μmg，則物塊所受的摩擦力大小為μmg，細繩的拉力大小為eq\f(1,2)μmg，故C、D正確。訓練1(多選)如圖所示，水平轉盤上的A、B、C三點處分別有一可視為質點的正方體物塊，它們與轉盤間的動摩擦因數相同，B、C處物塊的質量均為m，A處物塊的質量為2m，點A、B到軸O的距離相等且為r，點C到軸O的距離為2r。轉盤以某一角速度勻速轉動時，A、B、C處的物塊都沒有發生滑動現象，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，下列說法中正確的是（）A．C處物塊的向心加速度最小B．B處物塊受到的靜摩擦力最小C．當轉速增大時，最先滑動起來的是C處的物塊D．當轉速增大時，最先滑動起來的是B處的物塊答案BC解析A．三個物塊的向心加速度分別為、、則C處物塊的向心加速度最大。故A錯誤；B．三個物塊所受的摩擦力分別為、、則B處物塊受到的靜摩擦力最小。故B正確；CD．三個物塊所受的最大靜摩擦力分別為，，而物塊所受的摩擦力分別為，，對比分析得到，當轉速增大時，C處的物塊靜摩擦力最先達到最大值，最先滑動。故C正確；D錯誤。故選BC。訓練2(多選)如圖甲所示，水平面內一光滑圓盤可繞經過圓心O的豎直轉軸轉動。輕桿沿半徑方向固定，兩端分別在O點和圓盤邊緣P點。一質量為2kg的小球（視為質點）和兩相同的輕彈簧連接套在輕桿上，兩彈簧另外一端分別連接在O、P點，圓盤半徑為L，彈簧原長為、勁度系數為k。當圓盤角速度從0緩慢增大的過程中，圖像如乙所示，x是小球與初位置的距離，彈簧始終未超過彈性限度，下列說法正確的是（）A．小球動能增加來源于彈簧對它做功B．彈簧的勁度系數k為100N/mC．圓盤半徑L為2mD．若去除外端彈簧，此圖像斜率不變答案BC解析A．小球動能增加來源于輕桿對它做功，故A錯誤；B．小球做圓周運動，由沿半徑方向的合力提供向心力，則有變形有結合圖像有，解得，故BC正確；D．若去除外端彈簧，則有變形有可知，圖像斜率發生變化，故D錯誤。故選BC。例6如圖所示，水平轉盤上放有質量為m的物塊，物塊到轉軸的距離為r。一段繩的一端與物塊相連，另一端系在圓盤中心上方eq\f(4,3)r處，繩恰好伸直，物塊和轉盤間的動摩擦因數為μ，設物塊受到的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，已知重力加速度為g。(1)當水平轉盤以角速度ω1勻速轉動時，繩上恰好有張力，求ω1的值；(2)當水平轉盤以角速度ω2勻速轉動時，物塊恰好離開轉盤，求ω2的值。答案(1)eq\r(\f(μg,r))(2)eq\r(\f(3g,4r))解析(1)當水平轉盤以角速度ω1勻速轉動時，繩上恰好有張力，靜摩擦力達到最大值，則此時物塊所需向心力恰好完全由最大靜摩擦力提供，則μmg＝mωeq\o\al(2,1)r，解得ω1＝eq\r(\f(μg,r))。(2)物塊恰好離開轉盤，則FN＝0，物塊只受重力和繩的拉力，如圖所示，mgtanθ＝mωeq\o\al(2,2)r，tanθ＝eq\f(3,4)，聯立解得ω2＝eq\r(\f(3g,4r))。訓練1如圖，置于圓形水平轉臺邊緣的小物塊隨轉臺緩慢加速轉動，當轉速達到某一數值時，物塊恰好滑離轉臺開始做平拋運動。現測得轉臺半徑，離水平地面的高度，物塊與轉臺間的動摩擦因數。設物塊所受的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取重力加速度，求：(1)物塊離開轉臺邊緣時轉臺的角速度；(2)物塊落地時速度與水平方向夾角的正切值；(3)物塊落地點到轉臺中心O點的水平距離。答案(1)(2)2(3)1m解析（1）物塊恰好滑離轉臺時物塊與轉臺之間為滑動摩擦力，即解得（2）物塊豎直方向做自由落體運動，則解得物塊做平拋運動時，水平方向的速度為物塊落地時的速度與水平方向夾角的正切值為（3）物塊做平拋運動時豎直方向有解得t=0.4s物塊做平拋運動的水平位移為由幾何關系得：物塊落地點到轉臺中心O點的水平距離為解得L=1m訓練2(多選)如圖所示，兩個完全相同的小滑塊甲和乙放在水平轉盤的同一條半徑上，轉盤的半徑為R，甲到圓心O的距離為，乙到圓心O的距離為，小滑塊甲、乙與轉盤之間的動摩擦因數均為μ，重力加速度為g，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力且兩滑塊始終在轉盤內。當轉盤以角速度ω轉動時，下列說法正確的是（）A．相對轉盤滑動前，甲、乙所受摩擦力大小與轉盤角速度ω成正比B．相對轉盤滑動前，同一時刻甲、乙所受靜摩擦力大小之比為1:2C．轉盤角速度ω為時，滑塊甲即將開始滑動D．轉盤角速度ω為時，甲、乙所受摩擦力大小相等答案BD解析A．滑動前甲、乙所受摩擦力與轉盤角速度平方成正比，故A錯誤；B．同一時刻甲、乙所受靜摩擦力分別為故B正確；C．乙開始滑動時，有解得此時還沒有達到甲開始滑動的臨界角速度，故C錯誤；D．甲開始滑動時，有解得由于大于甲要滑動的臨界角速度，此時甲、乙都開始滑動，所受的摩擦力都等于滑動摩擦力μmg，故D正確。故選BD。基礎練習1.(輕繩模型)如圖，一同學表演蕩秋千。已知秋千的兩根繩長均為10m，該同學和秋千踏板的總質量約為50kg。繩的質量忽略不計。當該同學蕩到秋千支架的正下方時，速度大小為8m/s，此時每根繩子平均承受的拉力約為()A.200N B.400NC.600N D.800N答案B解析取該同學與踏板為研究對象，到達最低點時，受力如圖所示，設每根繩子中的平均拉力為F。由牛頓第二定律知2F－mg＝meq\f(v2,r)，代入數據得F＝405N，故每根繩子平均承受的拉力約為405N，選項B正確。2.(輕桿模型)(2024·湖南十校聯考)如圖所示，輕質細桿OA長為1m，A端固定一個質量為5kg的小球，小球在豎直平面內做圓周運動，通過最高點時小球的速率為3m/s，g取10m/s2，細桿受到()A.5N的壓力 B.5N的拉力C.95N的壓力 D.95N的拉力答案A解析小球以O點為圓心在豎直平面內做圓周運動，當在最高點小球與細桿無彈力作用時，設小球的速度為v1，則有mg＝meq\f(veq\o\al(2,1),L)，得v1＝eq\r(gL)＝eq\r(10)m/s，因為eq\r(10)m/s>3m/s，所以小球受到細桿的支持力，有mg－FN＝meq\f(veq\o\al(2,2),L)，則FN＝mg－meq\f(veq\o\al(2,2),L)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(50－5×\f(32,1)))N＝5N，所以由牛頓第三定律知細桿受到壓力，大小為5N，A正確。3.(水平面內圓周運動的臨界問題)(2024·福建福州高一期末)如圖所示，甲、乙兩個物體放在旋轉圓臺上，它們的質量均為m，它們與圓臺之間的動摩擦因數均為μ，甲物體離軸心距離為2R，乙物體離軸心距離為R。若滑動摩擦力等于最大靜摩擦力，重力加速度為g，當圓臺旋轉時，甲、乙兩個物體都沒有滑動，則下列說法中正確的是()A.乙物體的向心加速度大B.乙物體受到的靜摩擦力大C.ω＝eq\r(\f(μg,R))是甲物體開始滑動的臨界角速度D.當圓臺轉速增加時，甲物體先滑動答案D解析甲、乙兩個物體隨旋轉圓臺轉動時，角速度相同，根據an＝ω2r得eq\f(a甲,a乙)＝eq\f(2R,R)＝eq\f(2,1)，A錯誤；根據牛頓第二定律有Ff甲＝mω2·2R，Ff乙＝mω2R可知，甲受到的靜摩擦力大，B錯誤；對甲物體，最大靜摩擦力提供向心力時，角速度達到臨界值，有μmg＝mωeq\o\al(2,甲)·2R，得ω甲＝eq\r(\f(μg,2R))，C錯誤；對乙物體，最大靜摩擦力提供向心力時，角速度達到臨界值，有μmg＝mωeq\o\al(2,乙)R，得ω乙＝eq\r(\f(μg,R))，可見ω甲<ω乙，當圓臺轉速增加時，甲物體先滑動，D正確。4.如圖所示，長為L的輕繩一端固定在O點，另一端系一小球（可視為質點），小球在豎直平面內沿逆時針方向做圓周運動。已知小球運動過程中輕繩拉力的大小與繩和豎直方向的夾角的關系為為已知的常數，當地重力加速度為，小球的質量為，則小球在最低點和最高點的速度分別為（）A． B．C． D．答案A解析時小球在最低點，設其速度為，由牛頓第二定律得解得時小球在最高點，設其速度為，由牛頓第二定律得解得故選A。5．如圖所示，一長為的輕桿一端固定在水平轉軸上，另一端固定一個質量為的小球，球隨輕桿在豎直平面內做角速度為的勻速圓周運動，重力加速度為。當小球運動到水平位置點時，桿對球的作用力為（

）A． B．C． D．答案D解析小球運動到水平位置時，根據牛頓第二定律可得根據力的合成可知故選D。對點題組練題組一豎直平面內圓周運動的兩種模型1.(多選)在如圖所示光滑軌道上，小球滑下經平直部分沖上圓弧部分的最高點A時，對圓弧的壓力為mg，已知圓弧的半徑為R，則()A.在最高點A，小球受重力和向心力B.在最高點A，小球受重力和圓弧向下的彈力C.在最高點A，小球的速度為eq\r(gR)D.在最高點A，小球的向心加速度為2g答案BD解析小球在最高點A，受重力和軌道向下的彈力，由牛頓第二定律得FN＋mg＝ma＝meq\f(v2,R)，又FN＝mg，所以a＝2g，v＝eq\r(2gR)，故B、D正確，A、C錯誤。2.如圖所示，長為L的輕質細繩一端與質量為m的小球(可視為質點)相連，另一端可繞O點使小球在豎直平面內運動。設小球在最高點的速度為v，重力加速度為g，不計空氣阻力，則下列說法正確的是()A.v最小值可以為0B.若v＝eq\r(gL)，細繩必然對小球有拉力的作用C.若v增大，此時小球所需的向心力將減小D.若v＝eq\r(gL)，當小球運動到最低點的速度為eq\r(5)v時，繩子的拉力是6mg答案D解析小球到達最高點速度最小時，有mg＝meq\f(v2,L)，則v最小值為v＝eq\r(gL)，即當v＝eq\r(gL)時，細繩對小球無拉力的作用，選項A、B錯誤；若v增大，根據Fn＝meq\f(v2,L)，可知此時小球所需的向心力將變大，選項C錯誤；若v＝eq\r(gL)，當小球運動到最低點的速度為eq\r(5)v時，繩子的拉力是FT＝mg＋meq\f(（\r(5)v）2,L)＝6mg，選項D正確。3.如圖所示，雜技演員表演“水流星”節目。一根長為L的細繩兩端系著盛水的杯子，演員握住繩中間，隨著演員的掄動，杯子在豎直平面內做圓周運動，杯子運動中水始終不會從杯子灑出，重力加速度為g，則杯子運動到最高點的角速度ω至少為()A.eq\r(\f(g,L)) B.eq\r(\f(2g,L))C.eq\r(\f(5g,L)) D.eq\r(\f(10g,L))答案B解析杯子在豎直平面內做半徑為eq\f(L,2)的圓周運動，使水不流出的臨界條件是在最高點水的重力提供向心力，則有mg＝mω2·eq\f(L,2)，可得ω＝eq\r(\f(2g,L))，故B正確，A、C、D錯誤。4.(2024·四川雅安高一期末)如圖所示，質量為m的小球剛好靜止在豎直放置的光滑圓管道內的最低點，管道的半徑為R(不計內外徑之差)，水平線ab過軌道圓心，現給小球一水平向右的初速度，下列說法正確的是()A.若小球剛好能做完整的圓周運動，則它通過最高點時的速度為eq\r(gR)B.若小球剛好能做完整的圓周運動，則它通過最高點時的速度為零C.小球在水平線ab以下的管道中運動時，外側管壁對小球一定無作用力D.小球在水平線ab以上的管道中運動時，外側管壁對小球一定有作用力答案B解析在最高點，由于外管或內管都可以對小球產生彈力作用，當小球的速度等于0時，內管對小球產生彈力，大小為mg，故最小速度為0，A錯誤，B正確；小球在水平線ab以下管道運動，由于沿半徑方向的合力提供做圓周運動的向心力，所以外側管壁對小球一定有作用力，而內側管壁對小球一定無作用力，C錯誤；小球在水平線ab以上管道中運動時，當速度非常大時，內側管壁沒有作用力，此時外側管壁有作用力。當速度比較小時，內側管壁有作用力，外側管壁沒有作用力，D錯誤。5.如圖所示，某輕桿一端固定一質量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，重力加速度為g，以下說法中正確的是()A.小球過最高點時，桿所受的彈力不可以為零B.小球過最高點時，最小速度為eq\r(gR)C.小球過最低點時，桿對球的作用力不一定與小球所受重力方向相反D.小球過最高點時，桿對球的作用力可以與球所受重力方向相反，此時重力一定大于或等于桿對球的作用力答案D解析小球在最高點時，如果速度恰好為eq\r(gR)，則此時恰好只有重力提供向心力，桿和球之間沒有作用力，桿所受彈力為零，如果速度小于此值，重力大于所需要的向心力，桿就要對球有支持力，方向與重力的方向相反，桿的作用力F＝mg－meq\f(v2,R)，此時重力一定大于或等于桿對球的作用力，故A、B錯誤，D正確；小球過最低點時，桿對球的作用力方向豎直向上，與重力方向一定相反，故C錯誤。6.(多選)如圖所示，一長為l的輕桿的一端固定在水平轉軸上，另一端固定一質量為m的小球，輕桿隨轉軸在豎直平面內做角速度ω＝eq\r(\f(g,l))的勻速圓周運動，重力加速度為g。下列說法正確的是()A.小球運動到最高點C時與桿作用力為零B.小球運動到最高點C時球對桿的作用力大小為mgC.小球運動到水平位置A時桿對球的作用力大小為2mgD.小球運動到水平位置A時桿對球的作用力大小為eq\r(2)mg答案AD解析小球運動到最高點C時，有FT＋mg＝mω2l，解得FT＝0，A正確，B錯誤；小球運動到水平位置A時，有FT′＝mω2l＝mg，桿對球的作用力大小為F＝eq\r(（mg）2＋（mg）2)＝eq\r(2)mg，C錯誤，D正確。題組二水平面內圓周運動的臨界問題7.(多選)如圖所示，質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質細桿的A點和B點，當輕桿繞軸OO′以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，a繩與水平面成θ角，b繩平行于水平面且長為l，重力加速度為g，則下列說法正確的是()A.a繩一定受拉力作用B.a繩所受拉力隨角速度的增大而增大C.當角速度ω>eq\r(\f(g,ltanθ))時，b繩將出現彈力D.若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發生變化答案AC解析對小球受力分析如圖所示，可得a繩的彈力在豎直方向的分力與小球的重力平衡，解得Ta＝eq\f(mg,sinθ)，為定值，A正確，B錯誤；當Tacosθ＝mω2l，即ω＝eq\r(\f(g,ltanθ))時，b繩的彈力為零，若角速度大于該值，則b繩將出現彈力，C正確；由于b繩可能沒有彈力，故b繩突然被剪斷，a繩的彈力可能不變，D錯誤。8.如圖所示，在勻速轉動的圓盤圓心處通過一個光滑小孔把質量相等(均為m)的兩物塊用輕繩連接，物塊A到轉軸的距離為R＝20cm，與圓盤間的動摩擦因數為μ＝0.2，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力(已知π2＝g)，則()A.物塊A一定會受圓盤的摩擦力B.當轉速n＝0.5r/s時，物塊A不受摩擦力C.物塊A所受摩擦力方向一定與線速度方向在一條直線上D.當圓盤轉速n＝1r/s時，物塊A所受摩擦力方向沿半徑背離圓心答案D解析若mg＝mω2R，則物塊A不受摩擦力，A錯誤；當摩擦力為零時，mg＝mω2R＝m(2πn)2R，代入數據解得n＝eq\f(\r(5),2)r/s，B錯誤；物塊A所受摩擦力方向與半徑在一條直線上，指向圓心或背離圓心，C錯誤；當圓盤轉速n＝1r/s<eq\f(\r(5),2)r/s時，物塊A有沿半徑向內運動的趨勢，所受摩擦力方向沿半徑背離圓心，D正確。綜合提升練9.(多選)(2024·甘肅靖遠二中高一期中)如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，現讓小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動。小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為F，小球在最高點的速度大小為v，其F－v2圖像如圖乙所示。則()A.小球的質量為eq\f(aR,b)B.當地的重力加速度大小為eq\f(R,b)C.v2＝c時，桿對小球的彈力方向向上D.v2＝2b時，小球受到的彈力與重力大小相等答案AD解析在最高點，若v＝0，則FN＝mg＝a；若FN＝0，由題圖知v2＝b，則有mg＝meq\f(v2,R)＝meq\f(b,R)，解得g＝eq\f(b,R)，m＝eq\f(aR,b)，故A正確，B錯誤；當v2＜b時，桿對小球彈力方向向上，當v2＞b時，桿對小球彈力方向向下，所以當v2＝c時，桿對小球彈力方向向下，故C錯誤；若v2＝2b，則FN＋mg＝meq\f(v2,R)＝meq\f(2b,R)，解得FN＝mg，即小球受到的彈力與重力大小相等，故D正確。10.如圖所示，水平轉盤上的A、B、C三處有三塊可視為質點的由同一種材料做成的正方體物塊，B、C處物塊的質量均為m，A處物塊的質量為2m；A、B到軸O的距離均為r，C到軸O的距離為2r，轉盤以某一角速度勻速轉動時，A、B、C三處的物塊都沒有發生滑動現象，下列說法中正確的是()A.A處物塊的向心加速度最大B.B處物塊受到的靜摩擦力最小C.當轉速增大時，最先滑動起來的是A處的物塊D.當轉速繼續增大時，最后滑動起來的是C處的物塊答案B解析三物塊的角速度相等，C處物塊的半徑最大，根據an＝ω2r知，向心加速度最大，故A錯誤；因為B處物塊的質量最小，半徑最小，根據Ff＝mω2r，可知B處物塊受到的靜摩擦力最小，故B正確；根據μmg＝mω2r，可得ω＝eq\r(\f(μg,r))，C處物塊的半徑最大，臨界角速度最小，所以C處物塊最先滑動起來，故C、D錯誤。11.(2024·山東淄博高一統考期末)如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合，轉臺以一定角速度勻速旋轉，一質量為m的小物塊落入陶罐內，經過一段時間后，小物塊在A點隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ＝60°。已知重力加速度為g，小物塊與陶罐之間的最大靜摩擦力大小為Ff＝eq\f(\r(3),3)mg。(1)若小物塊受到的摩擦力恰好為零，求此時陶罐轉動的角速度的大小；(2)小物塊在A點隨陶罐一起勻速轉動，求陶罐轉動的角速度的最大值。答案(1)eq\r(\f(2g,R))(2)eq\r(\f(10g,3R))解析(1)小物塊受到的摩擦力恰好為零時，受力如圖甲所示由牛頓第二定律得mgtan60°＝mωeq\o\al(2,0)Rsin60°解得ω0＝eq\r(\f(2g,R))。(2)當小物塊達到最大角速度時，受力如圖乙所示，豎直方向受力平衡，有FNcos60°＝mg＋Ffsin60°水平方向根據牛頓第二定律得FNsin60°＋Ffcos60°＝mωeq\o\al(2,m)Rsin60°聯立解得ωm＝eq\r(\f(10g,3R))。12.如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，現讓小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動。小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為，小球在最高點時的速度大小為，其圖像如圖乙所示，重力加速度g取，小球可視為質點，不計一切阻力。則下列說法正確的是（）A．小球的質量為2kgB．小球做圓周運動的半徑為2.5mC．時，在最高點桿對小球的彈力大小為40ND．時，小球的向心加速度大小為答案B解析A．由圖乙知，當時，對小球有解得小球的質量為故A錯誤；B．當，，根據牛頓第二定律有求得小球做圓周運動的半徑為故B正確；C．由圖乙，可知當時，，根據牛頓第二定律有求得當時，根據牛頓第二定律有求得此時桿對小球的彈力大小為故C錯誤；D．當時，小球的向心加速度大小為故D錯誤。故選B。13．(多選)如圖所示的四幅圖表示的是有關圓周運動的基本模型，下列說法正確的是（）A．圖a中輕桿長為l，若小球在最高點的角速度小于，桿對小球的作用力向上B．圖b中若火車轉彎時未達到規定速率，輪緣對外軌道有擠壓作用C．圖c中若A、B均相對圓盤靜止，半徑2RA=3RB，質量mA=2mB，則A、B所受摩擦力fA>fBD．圖d中兩個小球在相同的高度做勻速圓周運動，它們的角速度相同答案ACD解析A．圖a中若輕桿上的小球在最高點時，桿受作用力為零，此時解得若角速度小于，桿對小球的作用力向上，選項A正確；B．圖中若火車轉彎未達規定速度行駛時，此時重力和軌道的支持力的合力大于火車所需的向心力，此時火車有做向心運動的趨勢，輪緣對內側軌道有作用，選項B錯誤；C．圖中若A、B均相對靜止，根據若半徑2