線性代數(shù)矩陣試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共15分）

1.設(shè)矩陣A為\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則矩陣A的行列式為：

A.0B.1C.5D.7

2.若矩陣\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣存在，則其逆矩陣為：

A.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2\\-3&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2\\3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&-4\end{pmatrix}\)

3.設(shè)矩陣\(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)的秩為r，則r的最大值為：

A.1B.2C.3D.4

4.若矩陣\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)可逆，則\(ad-bc\)的值不等于：

A.0B.1C.-1D.2

5.設(shè)矩陣\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)與矩陣\(\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)的乘積為：

A.\(\begin{pmatrix}11&12\\19&20\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}13&14\\21&22\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}15&16\\23&24\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}17&18\\25&26\end{pmatrix}\)

二、填空題（每題3分，共15分）

1.設(shè)矩陣\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的行列式為D，則\(D=\)______。

2.若矩陣\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣為\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，則\(a=\)______，\(b=\)______，\(c=\)______，\(d=\)______。

3.設(shè)矩陣\(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)的秩為r，則\(r=\)______。

4.若矩陣\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)與矩陣\(\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)的乘積為\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，則\(a=\)______，\(b=\)______，\(c=\)______，\(d=\)______。

5.設(shè)矩陣\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的行列式為D，則\(D^2=\)______。

三、解答題（每題15分，共45分）

1.設(shè)矩陣\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣為\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，求a、b、c、d的值。

2.設(shè)矩陣\(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)的秩為r，求r的值。

3.設(shè)矩陣\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)與矩陣\(\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)的乘積為\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，求a、b、c、d的值。

4.設(shè)矩陣\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的行列式為D，求\(D^2\)的值。

四、證明題（每題15分，共30分）

1.證明：若矩陣A可逆，則其伴隨矩陣\(A^*\)也可逆，并求出\((A^*)^{-1}\)。

2.證明：若矩陣A為上三角矩陣，則其行列式的值等于其對(duì)角線元素之積。

五、計(jì)算題（每題15分，共30分）

1.計(jì)算矩陣\(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)的行列式。

2.計(jì)算矩陣\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣，并驗(yàn)證其正確性。

六、應(yīng)用題（每題15分，共30分）

1.已知線性方程組\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}\)，求方程組的解。

2.設(shè)線性變換T由矩陣\(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)定義，求向量\(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\)在T下的像。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題3分，共15分）

1.答案：D

解析思路：行列式的值為對(duì)角線元素的乘積減去副對(duì)角線元素的乘積，計(jì)算得\(1*4-2*3=4-6=-2\)。

2.答案：B

解析思路：逆矩陣的計(jì)算可以通過公式\(A^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\text{adj}(A)\)得到，其中adj(A)是伴隨矩陣。計(jì)算得\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。

3.答案：C

解析思路：矩陣的秩是其行簡化階梯形矩陣中非零行的數(shù)量。通過行變換將矩陣化為階梯形，可以看到有3個(gè)非零行。

4.答案：A

解析思路：若矩陣可逆，則其行列式不為0。如果\(ad-bc=0\)，則矩陣不可逆。

5.答案：A

解析思路：矩陣乘法的結(jié)果可以通過將第一個(gè)矩陣的每一行與第二個(gè)矩陣的每一列對(duì)應(yīng)元素相乘并求和得到。計(jì)算得\(\begin{pmatrix}11&12\\19&20\end{pmatrix}\)。

二、填空題（每題3分，共15分）

1.答案：-2

解析思路：行列式的值為對(duì)角線元素的乘積減去副對(duì)角線元素的乘積，計(jì)算得\(1*4-2*3=4-6=-2\)。

2.答案：1，-2，-3，1

解析思路：逆矩陣的計(jì)算可以通過公式\(A^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\text{adj}(A)\)得到，其中adj(A)是伴隨矩陣。計(jì)算得\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。

3.答案：3

解析思路：矩陣的秩是其行簡化階梯形矩陣中非零行的數(shù)量。通過行變換將矩陣化為階梯形，可以看到有3個(gè)非零行。

4.答案：11，12，19，20

解析思路：矩陣乘法的結(jié)果可以通過將第一個(gè)矩陣的每一行與第二個(gè)矩陣的每一列對(duì)應(yīng)元素相乘并求和得到。計(jì)算得\(\begin{pmatrix}11&12\\19&20\end{pmatrix}\)。

5.答案：4

解析思路：行列式的平方等于行列式的值乘以自己，計(jì)算得\((-2)^2=4\)。

三、解答題（每題15分，共45分）

1.答案：a=1，b=-2，c=-3，d=1

解析思路：逆矩陣的計(jì)算可以通過公式\(A^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\text{adj}(A)\)得到，其中adj(A)是伴隨矩陣。計(jì)算得\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。

2.答案：r=3

解析思路：矩陣的秩是其行簡化階梯形矩陣中非零行的數(shù)量。通過行變換將矩陣化為階梯形，可以看到有3個(gè)非零行。

3.答案：a=11，b=12，c=19，d=20

解析思路：矩陣乘法的結(jié)果可以通過將第一個(gè)矩陣的每一行與第二個(gè)矩陣的每一列對(duì)應(yīng)元素相乘并求和得到。計(jì)算得\(\begin{pmatrix}11&12\\19&20\end{pmatrix}\)。

4.答案：4

解析思路：行列式的平方等于行列式的值乘以自己，計(jì)算得\((-2)^2=4\)。

四、證明題（每題15分，共30分）

1.答案：略

解析思路：證明伴隨矩陣\(A^*\)是矩陣A的逆矩陣，需要證明\(A^*A=AA^*=I\)，其中I是單位矩陣。

2.答案：略

解析思路：證明上三角矩陣的行列式等于其對(duì)角線元素的乘積，可以通過數(shù)學(xué)歸納法證明。

五、計(jì)算題（每題15分，共30分）

1.答案：-2

解析思路：行列式的值為對(duì)角線元素的乘積減去副對(duì)角線元素的乘積，計(jì)算得\(1*5*9-2*4*6=-2\)。

2.答案：\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)

解析思路：逆矩陣的計(jì)算可以通過公式\(A^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\text{adj}(A)\)得到，其中adj(A)是伴隨矩陣。計(jì)算得\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。

六、應(yīng)用題（每題