浦東新區2024學年度高二第一學期期末教學質量檢測

數學試卷

注意：

1.答卷前，考生務必在答題紙上指定位置將姓名、學校、考號填寫清楚.

2.本試卷共有21道試題，滿分100分，考試時間90分鐘.

一、填空題(本大題共有12題，滿分36分)只要求直接填寫結果，每個空格填對得3分，否

則一律得零分.

1.兩條異面直線所成角的范圍是.

【答案】

【解析】

【分析】根據異面直線的定義求解即可.

【詳解】根據異面直線的定義，兩條異面直線所成角的范圍是為[o,].

故答案為：.

1—

2.記事件A的對立事件為A,若尸(A)=§,則P(A)為.

2

【答案】一

3

【解析】

【分析】由對立事件的概率公式計算求解即可.

1_1?

【詳解】因為尸(A)=§,所以P(A)=1-

2

故答案為：一.

3

3.表面積為16兀球的體積是(結果保留兀)

r效安】32兀32

L口木：】##兀

33

【解析】

【分析】根據表面積求得球的半徑，進而求得球的體積.

【詳解】設球的半徑為R，則4兀氏2=16兀,尺=2,

zljr327r

所以球的體積為—x23=-----

33

327r

故答案為:

"T

4.已知5件產品中有2件次品，其余為合格品.現從這5件產品中任取2件，恰有一件次品的概率為

【答案】0.6

【解析】

【詳解】試題分析：從這5件產品中任取2件的取法為C；=10,所以基本事件總數為10；設“選的2件產

品中恰有一件次品”為事件A,則A包含的基本事件個數為=6,所以尸（A）=*=0.6.

考點：1、古典概型；2、組合數.

5.某袋子內裝有三種顏色的小球，小明每次從袋子中隨機摸出一個小球，觀察顏色后再放回，重復了90

次，得到的信息如下：觀察到紅色小球52次，藍色小球26次.如果從這個袋子內任意摸一個小球，這個小

球既不是紅色也不是藍色的經驗概率為.

【答案】4

【解析】

【分析】計算紅色球、藍色球出現的頻率，即為概率，由事件的關系可計算既不是紅色也不是藍色的概率.

【詳解】記取到紅球為事件A,取到藍球為事件8,取到的球不是紅球也不是藍球為事件C.

所以尸⑷磊.，p⑸嗡*

由題意，C=A+B，且AB互斥,

則P(C)=1—P(A+3)=1一P(A)-P(B)=[J.

故答案為：—

6.已知尸（A）=0.2,P（6）=0.7,若A,B互斥，則B）=.

【答案】09

【解析】

【分析】利用互斥事件的概率求解.

【詳解】解：因為P（A）=0.2,P（5）=0.7,且A,8互斥,

所以P（AB）=P（A）+P（B）=0.2+0.7=0.9,

故答案為：0.9

7.若五個數a,0,1,2,3的平均數為1,則這五個數的方差等于.

【答案】2

【解析】

【分析】本題可先依據平均數公式求出。的值，再用方差的公式計算出方差即可.

【詳解】a=lx5-l-2-3-0=-l,

方差=J[(-I_I)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.

故答案為2.

【點睛】本題考查的是平均數和方差的求法.計算方差的步驟是:①計算數據的平均數;②計算偏差，即每個數

據與平均數的差;③計算偏差的平方和;④偏差的平方和除以數據個數.

8.有一組按從小到大順序排列的數據：3,5,%,8,9,10,若其極差與平均數相等，則這組數據的中位

數為.

【答案】7.5##—

2

【解析】

【分析】由極差和平均數求出x,即可求出中位數.

【詳解】依題意可得極差為10—3=7,平均數為工(3+5+x+8+9+10)=1(35+x),

66

所以工(35+x)=7,解得尤=7,

6

-7!O

所以中位線為——=7.5.

2

故答案為：7.5

9.“石頭、剪刀、布”是一種古老的游戲，操作簡單，具有極為廣泛的群眾基礎，游戲規則為：石頭克剪

刀，剪刀克布，布克石頭.兩人參加游戲，若兩人都隨機出手，則出手1次就能分出勝負的概率為.

【答案】|

【解析】

【分析】列出表格結合古典概型概率公式即得.

【詳解】

石頭剪刀布

石頭石頭、石頭石頭、剪刀石頭、布

剪刀剪刀、石頭剪刀、剪刀剪刀、布

布布、石頭布、剪刀布、布

從表中可以看出，兩個人每次隨機出手，則出手1次就能分出勝負的概率為9=2.

93

故答案為：—.

3

10.若平行四邊形AB'CD'是用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形ABCD的直觀圖.已知

48'=4,/。'43'=45，平行四邊形A6'。'。'的面積為8,則原平面圖形46CD中AD的長度為

【答案】472

【解析】

【分析】由平行四邊形的面積求出4。'=2后，再結合斜二測畫法分析可得結果.

如圖，過點DC作。石，A8于點E，則△A'ED'為等腰直角三角形,

由平行四邊形AB'C'D'的面積為8得AB'D'E=8,

AB'=4,：.DE=2，：.AD'=20

???原平面圖形ABC。中，ZDAB^90°,AD=2A'D'=442-

故答案為：472.

11.設地球的半徑為R,若A在北緯30°的緯線圖上，則此緯線圈構成的小圓面積為,（結果用

R表示）

3兀心

【答案】

4

【解析】

【分析】作出圖象，求出小圓半徑即可得答案.

【詳解】解：如圖所示：

所以小圓的面積為5=兀,=豈吧.

4

故答案為：皿

4

12.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南

北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍

成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一

個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體的棱長為

圖1圖2

【答案】V2-1

【解析】

【分析】從圖形中作一個最大的水平截面，它是一個正八邊形，八個頂點都在邊長為鐵正方形邊上，由此

可計算出棱長.

【詳解】作出該圖形的一個最大的水平截面正八邊形ABCDEFGH,如圖，其八個頂點都在邊長為1的正

方形上，設“半正多面體”棱長為則半〃X2+4=1，解得〃=血-1，

故答案為：72-1.

【點睛】本題考查學生的空間想象能力，抽象概括能力，解題關鍵是從“半正多面體”中作出一個截面為正

八邊形且正八邊形的八個頂點都在邊長為1的正方形上，由此易得棱長.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分12分）每小題都給出四個選項，其中有且只有一個選項

是正確的，選對得3分，否則一律得零分.

13.“平面a內有一條直線/,則這條直線上的一點A必在這個平面內”用符號語言表述是（

luaIua

A.>=>Ac^aB.>=4>Aea

Au/AG/

lealea

C.>=>AeaD.>=>Acza

Au/AG/

【答案】B

【解析】

【分析】根據點與線、點與面的關系是元素和集合的關系，線與面的關系是集合與集合的關系判斷即可.

【詳解】：平面a內有一條直線/,???/ua,

:點A在直線/上，

Aea.

故選：B.

14.已知為隨機事件，A與5互斥，B與C互為對立,且尸（A）=0.1,P（C）=0.4,則

P(A_JB)=()

A.0.06B.0.5C.0.6D.0.7

【答案】D

【解析】

【分析】根據對立事件和互斥事件的概率公式求解即可.

【詳解】因為B與C互為對立，P（C）=0.4,

所以尸（3）=1—尸（c）=0.6,

因為A與8互斥，

所以尸（AU5）=/（A）+尸（5）=0.7.

故選：D.

15."中國天眼”為500米口徑球面射電望遠鏡（Five—hundred—meterApertureSphericalradioTelescope,簡稱

FAST）,是具有我國自主知識產權、世界最大單口徑、最靈敏的射電望遠鏡.建造“中國天眼”的目的是（）

A.通過調查獲取數據B.通過試驗獲取數據

C.通過觀察獲取數據D.通過查詢獲得數據

【答案】C

【解析】

【分析】根據獲取數據的途徑判斷即可.

【詳解】“中國天眼”主要是通過觀察獲取數據.

故選：C.

16.某社區通過公益講座宣傳交通法規.為了解講座效果，隨機抽取10位居民，分別在講座前、后各回答

一份交通法規知識問卷，滿分為100分.他們得分的莖葉圖如圖所示（“葉”是個位數字），則下列選項敘述

錯誤的是（）.

講座前講座后

505

5006

500

080555

090055

1000

A.講座后的答卷得分整體上高于講座前的得分

B.講座前的答卷得分分布較講座后分散

C.講座前答卷得分的中位數是70

D.講座前答卷得分的極差大于講座后得分的極差

【答案】C

【解析】

【分析】利用莖葉圖分析判斷AB；求出中位數判斷C；求出極差判斷D.

【詳解】對于A,由莖葉圖知講座后的答卷得分整體上高于講座前的得分，A正確；

對于B,講座前的答卷得分分布在5090之間，而講座后得分分布在80100之間，

因此講座前的答卷得分分布較講座后分散，B正確；

對于C,講座前答卷得分依次為50,55,60,60,65,70,70,75,80,90,其中位數為67.5,C錯誤；

對于D,講座前答卷得分的極差為90-50=40,講座后得分的極差為100-80=20,

因此講座前答卷得分的極差大于講座后得分的極差，D正確.

故選：C

三、解答題（本大題共有5題，滿分52分）解答下列各題必須寫出必要的步驟.

17.如圖，在VABC中，AB=4,BC=3,ZABC=120,將VABC繞軸旋轉一周形成了一個旋

轉體.

（1）求這個旋轉體的體積；

（2）求這個旋轉體的表面積.

【答案】（1）12兀

⑵（8百+2如1卜

【解析】

【分析】（1）旋轉體是兩個圓錐的組合體，利用圓錐的體積計算旋轉體的體積（2）利用圓錐的表面積計算

旋轉體的表面積；

【小問1詳解】

VA3C繞5c軸旋轉一周，形成的幾何體（一個大圓錐挖去一個小圓錐余下的部分）

如圖所示.在Rt_AO3中，ZABO=60,AB=4,:.OB=^AB=2,OA=2也

OC—OB+BC—5.

設旋轉體的底面面積為s,旋轉得到同底的兩圓錐的側面積分別為S］和S2,則旋轉體的體積

V=%錐C。—%錐加=京℃—京。3=小1。=］義。12.叱=］*12義3=12兀.

~A

【小問2詳解】

由（1）得旋轉體的表面積

5表=Sj+S2=7rOA-AB+7t-OA-AC=3tx2Gx4+7tx25/^xV^7^=8g7t+2#Hjt=e6+2A/nT)7t.

18.如圖，在棱長為2的正方體ABC。—AgGA中，及/分別為線段3。的中點.

（1）求異面直線所與5c所成角的大小;

（2）求點。到平面A即的距離.

【答案】（1）arctan^2

⑵如

3

【解析】

【分析】（1）根據直線口和直線5口平行，得NRBC異面直線所與5c所成角，進而在△2BC中求

解即可；

（2）利用棱錐的體積公式，結合等體積法列方程求解即可.

【小問1詳解】

連接DR,D,C,因為瓦歹分別為線段。3。的中點，

所以EF//RB,故異面直線所與6C所成角為N2BC；

又5C，平面DRCG,"Cu平面DDtCq,

所以BCJ.RC,

nC

所以tan/23C=法

故異面直線E尸與6c所成的角為arctan&.

【小問2詳解】

在正方體中ABCD-，E,F分別為線段,3D的中點，

所以￡DL平面AD產，且ED=g">]=l

因為F是線段的中點，

所以5皿=小的=3：><2><2=1,

故三棱錐石一AD尸的體積丫=工5WFXEDMLXIXIM,；

333

因為瓦歹分別為線段的中點，

所以EF=LBD、—LX26=6，

22

又因為4石=6，AF=-AC=-x2s/2=s/2,

22

所以在ZXA跖中滿足所2+.2=.2,故△但'為直角三角形，

則s”，=LAFXEF=LX正義6=區'

AEF222

設點D到平面AEF的距離為d,

則三棱錐石―A￡）尸的體積丫=工5AEFxd^-x^-xd=~，解得d=乂5，

3-3233

瓜

因此點。到平面的距離為

19.如圖，邊長為2的正方形ACDE所在平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點為M,ACLBC,

且AC=5C

E,D

（1）求證：AM，平面EBC；

（2）求直線EC與平面ABE所成角的大小.

【答案】（1）證明見詳解；

⑵-

6

【解析】

【分析】（1）由4。。￡是正方形可得聞以，￡。，由面面垂直性質定理可得5C上面ACDE,進而得到

BCVAM,由線面垂直的判定定理即可證明；

（2）過C作CFLAB交A5于尸，連接E尸，由面面垂直性質定理可得AE上面ABC,進而得到

AE±CF,由線面垂直的判定定理可得CFL面ABE,故可得NCEF即為直線EC與平面叱所成

角，由已知長度即可求線面角.

【小問1詳解】

由ACDE是正方形，則AM，EC,

因為面ACDEJ_面ABC,面面ABC=AC,AC±BC,BCu面ABC,

所以BC上面ACDE,又AMu面ACDE，

所以,

又因為ECBC=C,ECu平面EBC,BCu平面ESC,

所以AM_L平面ESC.

【小問2詳解】

過C作CF,A3交AB于尸，連接所,

因為ACDE是正方形，則AELAC,

因為面ACDE上面ABC,面ACDE「面A3C=AC,AEu面AC",

所以4石_1_面A8。，又CEu面ABC,

所以AE_LCE,

又因為CbLAB,AEr>AB=A,AEu面ABE,ABu面ABE，

所以CbJ_面ABE,

所以NCEF即為直線EC與平面ABE所成角，

因為正方形ACDE邊長為2,AC=BC,ACLBC,

所以。歹=四，EC=2V2>

CF1

所以sinNCEF=J=—,

CE2

71

因ZCEFe0,-,

2

jrjr

所以NCE/=—,即直線EC與平面ABE所成角的大小為一.

66

20.如圖，四棱錐P—ABCD中，，底面ABCZ）,24=40=2,8。=1,AB=石.

C1）若證明：〃平面P6C；

（2）求二面角尸—BC—A的大小.

【答案】（1）證明見詳解;

⑵arctan------

3

【解析】

【分析】（1）由題意可證AO_L面R4B,面進而命題即可得證；

（2）由（1）可證得/PBA即為二面角尸—BC—A的平面角，在Rt△上鉆中，根據三角函數定義即可求

二面角.

【小問1詳解】

因為PAJ_底面ABC。，ADu面ABCD,

所以P4，A￡>,

又因為PA\PB=P,QAu面A4B，PBu面B4B，

所以40_1面八45，

因為AC=2,30=1,43=6，

所以人§2+5。2=人。2,故ABLBC,

又因PA_L底面ABC。，BCu面ABC。，

所以K4L5C,

又以AB=A,Q4u面PA5,ABu面八4B,

所以BC,面E45，

所以AD〃BC,又ADa平面P3C,BCu平面P6C,

所以AD〃平面P6C.

【小問2詳解】

由(1)可知，3C，面八43,

因為P3u面八1B，

所以5cLp6,

又因為A3L5C,

所以/P3A即為二面角P—5C—A的平面角，

在中，PA=2,AB=j3,

fPA22G

所以tanNPBA==—產=----，

AB63

所以NPBA=arctan冥E,

3

所以二面角P—BC—A的大小為arctan拽.

3

21.2023年10月22日，漢江生態城2023襄陽馬拉松在湖北省襄陽市成功舉行，志愿者的服務工作是馬拉

松成功舉辦的重要保障，襄陽市新時代文明實踐中心承辦了志愿者選拔的面試工作.現隨機抽取了100名

候選者的面試成績，并分成五組：第一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,7