2024學年第一學期高二年級數學期末

2025.1

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

1.直線6x-y-2=0的傾斜角為.

2.平行于同一平面的兩直線的位置可能是.

3.已知圓錐的母線與底面所成角為45。，高為1,則該圓錐的母線長為.

4.經過點（2,1）且與圓x2+丁=5相切的直線方程是.

5.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1,6,3,

則此球表面積為

6.如圖，在長方體ABC。-A4G2中，棱AA=5,AB=12,則直線4G到平面

的距離為.

7.已知平行直線4:x-2y—7=0和4：*一期一》=0的

距離為增，貝=.

22

8.已知雙曲線工=1,若橢圓c以雙曲線r的頂

916

點為焦點，長軸長為46,則橢圓的標準方程為

9.如圖，45是底面半徑為R的圓柱側面上兩點，它們在底面上的射影分別為⑷,小，若

AA'=a,BB'=b,弧4*=中，則沿圓柱側面從4到3的最短距離

是.

10.已知直線/是拋物線C:y,=4x的準線，拋物線的頂點為原點

O,焦點為下，若4為C上一點，/與C的對稱軸交于點3,在

AABF中，sinZAFB=y/2sinZABF,則\AB\的值為,

11.閱讀材料：空間直角坐標系O-xyz中，過點尸（與仇冬）且一個法向量為話=（“,瓦c）

的平面a的方程為“（*-*0）+8（7-%）+《2-之）=0.

閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面a的方程為x-2y+z-7=0,直線/是兩平面

x-y+l=O與y-z+2=0的交線，則直線I與平面a所成角的正弦值為.

12.在三棱錐P-ABC中，AB=2^2,PC=1,PA+PB=4,CA-CB=2,且

則二面角尸-的余弦值的最小值為.

二、選擇題（本大題共4題，滿分18分.其中第13-14題4分，第15-16題5分）.

13.數學家歐拉在1765年發現，任意三角形的外心，重心，垂心位于同一條直線上，這

條直線稱為三角形歐拉線.已知AA5C的頂點坐標為4（0,0）/（0,4）,C（4,4）,則AA/JC歐

拉線的方程為（）.

A.x+j-4=0B.X—j>+4=0

C.x+y+4=0D.x—j—4=0

14.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組

成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱

為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓道組成，圓錐的底面直徑和高均為

8cm,細沙全部在上部，其高度為圓錐高度的。（細管長度忽略不計）.假設該沙漏每秒鐘

漏下0.02a/的沙，則該沙漏的一個沙時大約是（）（（兀*3.14）.

A.1895秒B.1896秒

C.1985秒D.2528秒t二\一7

2h

3

h

15.如圖，在棱長為1正方體ABC。-中，點M為棱萬。的中點，則由A,"，G

三點所確定的平面截該正方體所得截面的面積為(

A3百2A/3

r\..--------

4

c.，

4

16.已知函數y=f(x)的圖象恰為橢圓

22

C：3+%=l(a>>>0)x軸上方的部分，若/(s-f)/(s)](s+f)成等比數列，則平

面上點(s,f)的軌跡是().

A.線段(不包含端點)B.橢圓一部分

C.雙曲線一部分D.線段(不包含端點)和雙曲線一部分

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分).

17.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分

如圖，長方體4國力一4鳥中，AB=AD=l,AAl=2,點P為OR的中點.

(1)求證：直線BO1〃平面Etc；

(2)求異面直線5,與4P所成角的大小.

18.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分

已知圓C:(x—l)2+(y—2)2=20,直線I:(2m+1)X+(機+1)y-7帆一4二0.

(1)證明：不論加取什么實數，直線/與圓C恒相交于兩點；

(2)直線/能否將圓C分割成弧長的比值為‘的兩段圓弧？為什么？

2

19.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分

22

已知雙曲線「：q-5=1(。＞0,》＞0)的左，右焦點分別為居/,.

ab

(1)若「的實軸長為2,焦距為4,求「的漸近線方程：

2

(2)已知尸是雙曲線「：必―事=1的左支上一點，4(0,6庭).當AAP工周長最小時,

求AAPK的面積.

20.(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第

3小題滿分8分

如圖，在四棱錐尸-4BCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB//CD,AD=AB=-CD,平

2

面AZXP_L平面PCD,PD±PC.

(1)求證：AC±AD；

(2)求證：AA”為直角三角形；

(3)PC=AD=1,求四棱棱尸一4BCD的體積.

21.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題的①滿分6

分，第2小題的②滿分8分

已知尸為拋物線￡：/=4x的焦點，過點F的直線與拋物線E相交于A（x”%）,8（%,%）

（占＜*2）兩點.

（1）證明：與芍是常數；

（2）過點下作直線的垂線/與拋物線E的準線相交于點尸，與拋物線E相交于C,。

兩點（點。的橫坐標小于點。的橫坐標）.

①求西?麗的值；

②儼A|WC+|F叫萬。|是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明

理由.

2025年

2024學年第一學期高二年級數學期末

2025.1

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

1.直線6x-y-2=0的傾斜角為.

【答案】|

2.平行于同一平面的兩直線的位置可能是.

【答案】平行或相交或異面

3.已知圓錐的母線與底面所成角為45。，高為1,則該圓錐的母線長為.

【答案】

4.經過點（2,1）且與圓必+/=5相切的直線方程是.

【答案】2x+j-5=0

5.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1,收,3,

則此球表面積為.

［答案］127t織c,

6.如圖，在長方體AMD-4居C］，中，棱44］=5,AB=12,即（J.忡

則直線4G到平面ABCR的距離為.C

ACAa

【答案】居

7.已知平彳亍直線［：*一2）-7=0和4：x-ay-5=0的距離為暫，貝=.

【答案】6或8

22

8.已知雙曲線r：I-3=i,若橢圓C以雙曲線「的頂點為焦點，長軸長為46,則橢圓

916

的標準方程為

2025年

22

【答案】U=i

123

9.如圖，4,5是底面半徑為R的圓柱側面上兩點，它們在底面上的射

影分別為4'0,若44』a,5*=8,弧4■=竽，則沿圓柱側面從

A到5的最短距離是.

【答案】(利

10.已知直線/是拋物線C:/=4x的準線，拋物線的頂點為原點。，焦點為產，若4為C

上一點，，與C的對稱軸交于點B,在A4BF中，sinZAFB=4IsinZABF,則14用的值

為.

【答案】2及

11.閱讀材料：空間直角坐標系。-孫z中，過點尸(》,典,號)且一個法向量為為=(“,，/)的

平面a的方程為。(丫一/)+方3-%)+，6一0)=0.

閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面a的方程為x-2y+z-7=0,直線/是兩平面

x-y+l=0與y-z+2=0的交線，則直線/與平面a所成角的正弦值為.

【答案】0

【解析】平面a的方程為x-2y+z-7=0,可得平面a的法向量為"=。,-2,1),

平面x—y+l=0的法向量為*=(1,-1,0)4-々+2=0的法向量為冠=(0,1,-1),

設直線，的方向向量為成=(x,y,z),貝！］2一°,即

mm,=01y-z=0

令Z=l,則慶=(1,1,1),設直線，與平面a所成角9,0。90。，

則sinQ=\cosm,n\=辱"=噎增=0,所以直線I與平面a所成角的正弦值為0.

同同V3xV6

2025年

12.在三棱錐P—ABC中，AB=2A/2,PC=1,PA+PB=4,CA-CB=2,且PC_L4B,則

二面角尸-48-。的余弦值的最小值為.

【答案】/

又因為C4—CB=2,所以點A的軌跡方程為-―V=l,(雙曲線的一支).

過點P作而P?TcPC=P,PF,PCu面R7C,所以?面

PHC,

設。為4B中點，則二面角P-4B-C為NZWC,直角坐標系23內

22

設點4,5為焦點，則點尸的軌跡為橢圓方程為［+J=l,

42

點C的軌跡為雙曲線一支方程為x2-/=l(x>0),

過點尸作交于點。，連接CQ,將面ABC沿直線4B折成二面角,

則APQC為二面角P-AB-C的平面角.

2/

設尸點橫坐標為X,則1<%<2,尸。=2—彳，貝=-

PQ2+CQ2_pc?

于是可得:cosZPQC=

2PQQC

2025年

由于3?f，得士=《=*2=:=cosZPQCmin=乎.

xJx853

二、選擇題（本大題共4題，滿分18分.其中第13-14題4分，第15-16題5分）.

13.數學家歐拉在1765年發現，任意三角形的外心，重心，垂心位于同一條直線上，這

條直線稱為三角形歐拉線.已知A4BC的頂點坐標為4（0,0）/（0,4）1（4,4）,則AABC歐

拉線的方程為（）.

A.x+j-4=0B.X—j+4=0C.x+j+4=0D.x—j—4=0

【答案】A

14.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組

成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱

為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓道組

成，圓錐的底面直徑和高均為8cm,細沙全部在上部，

其高度為圓錐高度的;（細管長度忽略不計）.假設該沙

漏每秒鐘漏下0.02c,/的沙，則該沙漏的一個沙時大約

是（）（（"3.14）.

A.1895秒B.1896秒

C.1985秒D.2528秒

【答案】c

15.如圖，在棱長為1正方體A3CD-A/JGR中,點”為棱萬。的中點，則由A,M，G

三點所確定的平面截該正方體所得截面的面積為（）.

A3石口2石

%___________311cM

43,10

C.逅D.逅

42

A?

2025年

【答案】D

22

16.已知函數y=/(x)的圖象恰為橢圓C:》+%=l(a>》>0)x軸上方的部分，若

/(s-f),〃s)"(s+f)成等比數列，則平面上點(s,f)的軌跡是().

A.線段(不包含端點)B.橢圓一部分

C.雙曲線一部分D.線段(不包含端點)和雙曲線一部分

【答案】A

22

【解析】因為函數7=/(x)的圖象恰為橢圓C:》+}=l(a>B>0)x軸上方的部分，

所以y=f(x)=b[l-*(-a<x<a),因為“s-f)J(s)J(s+f)成等比數列，

所以有/2(s)=-/(s+。，且有—avsva,—avs—￡va,—avs+rV。成立,

即—a<s<a,—a<t<a成立,

由r(s)="s—〉/(s+f)n6.Jl一》,

\/

化簡得：t4=2a212+2s212^t2(t2-la2-2s2)=0^t2=0,或〃一2a?-Zs?=。，

當d=0時，即r=O,因為-a<s<a,所以平面上點(s,z)的軌跡是線段(不包含端點);

當/-2/_2s2=0時，即r=2/+2s2,因為-"/〈a,所以/</,

而2?2+2S2>/,所以〃=2/+2s?不成立，故選：A

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分).

17.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分

2025年

如圖，長方體A3CD-AHCiR中，AB=AD=1,AA1=2,點P為。，的中點.

（1）求證：直線5R//平面Bic；

（2）求異面直線與4尸所成角的大小.

【答案】（1）見解析（2）2

6

【解析】（1）證明：設4c和5。交于點O,則。為即的中

點，連結PO,又rp是OR的中點，.?.尸。//5口，

又???POU平面PAC,BDt（Z平面PAC,：.直線BDJ1平面

PAC.

（2）由（1）知：P0//5R,，川。為異面直線3,與4尸所成的角（或其補角）

---PA=PC=y/2,AO=-AC=—S.PO±AO,

22

e

/t[IT

sinZAPO=——二3=ZAPO=30。，即異面直線BD1與AP所成角的大小為-.

APyj226

18.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分

已知圓C:（x-1）?+（y-2丫=20,直線I:（2m+l）x+（m+l）y-7m-4=0.

（1）證明：不論加取什么實數，直線/與圓C恒相交于兩點；

（2）直線/能否將圓。分割成弧長的比值為!的兩段圓弧？為什么？

【答案】（1）見解析（2）能，理由見解析

【解析】（1）I-（2m+1）x+（/n+1）y-7/n-4=0,g|Jm（2x+J-7）+X+J-4=0,

由，解得*==1,故直線過定點尸（3,1）,

又因為（3-1-+（1-2）2=5<20,故點尸在圓內，則直線,與圓C恒相交兩點,

（2）設直線，與圓C相交于4,5,假設直線，能將圓C分割成弧長的比值為1：2的兩段

2025年

圓弧，則圓心角NAC3=120。，即點C到直線，的距離為

7s,J~V=V5化簡得（4帆+3）2=0,所以m=,所以存在直線

J（2%+1）2+（,”+1）24

2x-j-5=0滿足題意.

（或者利用此時|CP|=后,此時即過p垂直于CP的直線,滿足題意）

19.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分

22

已知雙曲線「：0-A=i（a>o,》>o）的左，右焦點分別為K，E.

ab

（1）若「的實軸長為2,焦距為4,求「的漸近線方程：

2

（2）已知尸是雙曲線「：必-事=1的左支上一點，4（0,6庭）.當AA%周長最小時，

求AAP工的面積.

【答案】（1）7=±石"（2）S3F2=12屈

【解析】（1）令雙曲線的半焦距為c,依題意，a=l,c=2,由‘2=/+/,得b=6,

則2=6，所以雙曲線T的漸近線方程為y=±Qx.

a

（2）由雙曲線的定義可得|P可|=2Q+|P4|,

所以AAPF2的周長為|P4|+\PF2\+\AF2\=|P4+\p\+（2atA（E）,

由于2〃+|4叫為定值，要使AAPg的周長最小，則應使忸閡+怛居|最小為以居|,

即點尸在線段A居上居（-3,0）,4（0,66），所以直線4月的方程為:

2025年

2

即*=：-3,將其代入了2一4=1,解得）=26或y=-8"（舍去），因此點

2V68

4-2,2后）.所以5兇神=S^AFiF?-SAPFF]=l^bA-1l^|-jp=i2^

20.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第

3小題滿分8分

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形,AB!ICD,AD=AB=-CD,平

2

面陋產J_平面PCD,PD±PC.

（1）求證：AC±AD；

（2）求證：AAD尸為直角三角形；

（3）若PC=AZ>=1,求四棱棱尸一4BCD的體積.

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）叵

4

【解析】（1）證明：作AE_LOC,E為垂足，在等腰梯形

ABCD中，^AD=AB=BC=-CD=a（a>0）,

2

所以DE=-（CD-AB）=2a,Z4OE=60。，

22

故AC=J。>+4——2?2a2cos60°=百a,所以

AC2+AD2=DC2,所以4c_LAZ)

(2)因為PC_LPD,平面4。尸_1_平面PCD,平面ADPc平面PCD=PD,PCu平面

PCD,尸C_L平面AZ>尸,ADu平面ADB?.PC_LAD.ACcPC=C,AC,PCu平面

ACP,

???4D_L平面ACP「?,4Pu平面4cP,/.AD±AP,.\ZDAP=90°,即AAZ>P為直角三角

形

（3）由（1）知在等腰梯形ABCD中,

AE=^-,SAADC=|xlxV3=^SABCDUABCD3._3

2^P-ADC2

224^AADC

2025年

又產C_L平面為直角三角形，PDA.PC

：.DP==6,AP=《6=亞，

VV

而P-ADC=C-ADP=^X^X1X^X1=^~,Vp_ABCD=^Vp_ADC=中.

J2o24

21.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題的①滿分6

分，第2小題的②滿分8分

2

已知尸為拋物線E:y=4x的焦點，過點F的直線與拋物線E相交于A（X1,J1）,B（X2,J2）

（X1<x2）兩點.

（1）證明:看馬是常數；

（2）過點尸作直線45的垂線/與拋物線E的準線相交于點P,與拋物線E相交于C,O

兩點（點。的橫坐標小于點。的橫坐標）.

①求西?麗的值；

②忸刈尸。+忸用忸必是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明

理由.

【答案】（1）見解析（2）①萬?麗=0②存在，最小值為48.

【解析】（1）由已知，點廠的坐標為（1,0）,且可設直線A"的方程為x=7〃y+l,

聯立方程組消去x,得_4my-4=0（*）,

J=（-4m）2-4x1x（-4）=16m2+16>0,

所以為,％為方程（*）的兩個實根，且%％=-4,

因為點4,5在拋物線E上，所以a/=4=°膽=1，為常數?

416

（2）在題設條件下，直線A&CZJ都不與坐標軸平行且機。0,

2025年

由（1）可知直線/的方程為：x=--y+l,

m

①因為拋物線E的準線方程為x=T,代入/的方程可得點P的坐標為，

由(1)可知，+x=2

=-4,XJX2=1,j,+y2=4m,xt2m[yx+j2)+2=4/M+2,

因此，PAPB={xl+Ijj-2/W)-(X2+l,y2-2?i),(7分)

222

=XjX2+(xt+x2)+1+y1y2-2〃?(必+J2)+4/M=l+4m+2+1-4-8，”？+4m=0,

即西?麗=0.

另解：設4/在準線上的射影分別為A，%則N551P=N3尸P=90。

由拋物線定義可知BF=BB1,又BP=BP,則RtABBJSRtABFP則ZBPBl=NBPF,

同理AAPAX=ZAPF,可得ZBPA=巴則西?麗=0

2

②伊川/。|+|F訓五q存在最小值，

設點C,D的坐標分別為C（X3,J3）,D（X4,J4）,

2222

因為點4,&C,O均在拋物線E上，所以占=?*2=**3="，*4=字，

2025年

由AB_LCD,有（*1一1,%>（鼻一1,%）=0，即Y-1+%%=0，

I4八47

變形可得（"一4乂y；-4）+16yly3=°?則，汶+16yly3+16=4（y；+y；）（**）,

同理，訊+16%%+16=4（行+￡）,（13分）

根據拋物線的定義可知，

2222

|FA|=X1+1=-^-+1,|FB|=X2+1=^-+1,|FC|=X3+1=^-+1,|FD|=X4+1=^-+1

（2\r2\f2A/2\

所以|FA||FC|+儼/忻必=［字++ij+［字+ij［a+1

=（y；+4）（y；+4）+（4+4）（W+4）=+4（y；+y；）+16++4（￡+卻+16

一~^616—1616~

丫汶+8月為+16,￡只+8%為+16（%%+4丫，（％兒+4）2

-I―十?

8888

由（**）知，y汶+24%%+16=4（%+%）&0,即（％為+12》N128,

當且僅當必+%=。時取"="，同理，（%為+12）22128,當且僅當％+為=。時取"="，

由題設，y2y4<y^j<0,所以%%2-12+8衣%為4一12-8后，

5%+4）2（-12+872+4）2（必必+4（-12-8A/2+4?

所以L>----------------L=24-16&,L>------------------L=24+16A/2

8888

由題意可知，%+%=°，%+，4=0同時成立，

此時，（必%+4）+（為為+4）取得最小值24-160+24+16痣=48,

88

2025年

故伊川|尸。|+忸叫歹￡>|存在最小值，最小值為48.

另解：|五4|忸。+因訓尸必存在最小值，

假設直線AB的傾斜角為a,根據題意可設0<a（色，

2

如圖，設點3在X軸上的射影為點方，

拋物線E的準線與X軸相交于點F',

根據拋物線的