陜西省榆林市第一中學2024-2025學年高二上學期期末質量檢

測考試數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知直線4："+2y+l=0,直線/2：x+(a-l)y+2=0,若工乙，則實數。=()

32

A.-B.-C.-1D.2

23

2.已知函數/(》)在x=x0處可導，則lim()

-Ax

A.7.r(x0)B.，(與)C.r(x0)D.2f'(x0)

3.已知拋物線V=8y的焦點是尸，若拋物線上的點尸到尸的距離為4,則點尸到x軸的距

離為()

A.2B.3C.4D.5

4.已知等比數列｛%｝是遞增數列，其前〃項和為S",且%,6練,總成等差數列，則?=()

A.10B.15C.18D.20

5.已知實數滿足/+/一2工-8=0,則/+/的取值范圍是()

A.[2,4]B.[8,10]C.[8,16]D.[4,16]

6.己知函數/'(x)的導函數為/'(X),若存在/使得則稱％是“X)的一個

“巧值點下列四個函數中，沒有“巧值點''的是()

A.f(x)=ln(x+l)B.七J

C./(x)=sinxD./(x)=cosx

22

7.已知雙曲線C：3-3=l(a>0)的左，右焦點分別為用此，以線段片外為直徑的圓與雙

4

曲線C在第二象限內的交點為若sin/及/鳥=y,則原點O到直線的距離為()

j3

A.-B.1C.-D.2

22

8.漸進式延遲退休方案是指采取較緩而穩妥的方式逐步延長退休年齡.對于男職工，新方案

試卷第1頁，共4頁

將延遲法定退休年齡每4個月延遲1個月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲

至六十三周歲.如果男職工延遲法定退休年齡部分對照表如下表所示：

出生時1965年1月1965年5月1965年9月1966年1月

...

間—4月—8月—12月T月

改革后

法定退60歲+1個月60歲+2個月60歲+3個月60歲+4個月...

休年齡

那么1975年7月出生的男職工法定退休年齡為（）

A.62歲3個月B.62歲5個月C.62歲8個月D.63歲

二、多選題

22

9.已知雙曲線C的方程為上二=貝IJ（）

9-m25-m

A.9<m<25

B.C的焦點可能在x軸上

C.C的焦距一定為8

D.C的漸近線方程可以為y=±百x

10.已知數歹支?！埃那啊椇?,=-/+31”,則下列說法正確的是（）

A.4=32-2〃

B.S”取得最大值時，〃=15

C.同+2k-----*~|461=240

D.|^i|+1^|H〃3O|=465

11.在平面直角坐標系中，曲線。：/+必=2忖+23是一條形狀優美的曲線，對于此曲線,

下列說法正確的有（）

A.曲線C圍成的圖形有4條對稱軸

B.曲線C圍成的圖形的周長是8夜兀

C.曲線C上任意兩點間的距離最大值是4行

試卷第2頁，共4頁

D.若T(”,6)是曲線C上任意一點，則囹+36-18|的最小值是口_50

三、填空題

12.已知直線瓜+y-l=O與直線26x+加y+3=0平行，則它們之間的距離是.

13.已知函數“x)=x(x-a)2在無=1處取得極大值，則實數。的值是.

14.已知正項等比數列｛%｝的前〃項和為S),，若邑=4,則名+R的最小值為.

四、解答題

15.已知函數f(x)=ahu;-加+i(a,beR),曲線y=/(x)在x=1處與直線V=0相切.

⑴求。、6的值；

(2)求/(x)在1,e2上的最大值和最小值.(其中e=2.718…為自然對數的底數)

16.設數列｛%｝的前"項和為耳，已知首項為=1,。用=3s.(〃eN)

(1)求數列｛%｝的通項公式；

⑵在數列低｝中，bn=an+\Og4Sn,求數列也｝的前“項和

17.已知圓C:(x+3)2+3-4)2=4.

⑴若直線4過點”(TO),且與圓C相切，求直線4的方程；

⑵若圓。的半徑為3,圓心在直線/2：x-y+2=0上，且與圓C外切，求圓。的方程.

18.在平面直角坐標系xQy中，已知點尸上8,0),點亞,0),直線相交于點E,

且它們的斜率之積是-：.

2

(1)求動點E的軌跡方程；

⑵若直線＞=區+；與點石的軌跡交于",N兩點，線段"N的中點為A.若直線OA的斜率為

1,求線段的長.

19.定義：若函數"X)與g(x)的圖象在xeC上有且僅有一個交點，則稱函數〃x)與g(x)

在xeC上單交,此交點被稱為“單交點”.已知函數/(x)=2e*-a無,aeR,g(x)=底，+2.

試卷第3頁，共4頁

⑴討論函數””的單調性；

(2)當04.<1時，

(i)求證：函數/'(x)與g(x)在(0,+8)上存在“單交點”(七,/(%))；

(ii)對于(i)中的正數天,證明：ln[x0(a+l)]<l.

試卷第4頁，共4頁

《陜西省榆林市第一中學2024-2025學年高二上學期期末質量檢測考試數學試題》參考答

案

題號12345678910

答案BDAADBCCACDAC

題號11

答案ACD

1.B

【分析】根據兩直線一般式中垂直滿足的關系即可求解.

2

【詳解】由已知，若4U，貝IJaxl+2（a-l）=0,解得

故選：B.

2.D

【分析】利用導數的定義可得結果.

【詳解】因為函數/（x）在x=x0處可導，則

Hm=2］油?%@-J/心》

AxAT2Ax

/(尤o+Ax)-/(%-Ax)

=2lim

Ax->0

(x0+Ax)-(x0-Ax)J.

故選：D.

3.A

【分析】設點尸（為,%）,由拋物線的焦半徑公式得先,則P到X軸的距離可求.

【詳解】設點尸（X。,%）,準線方程為了=-2,由拋物線定義可得為+2=4,得%=2,

所以點P到x軸的距離為2.

故選：A.

4.A

【分析】根據題中條件，得到公比%>0a>1或％<。,0<4<1,再由%,6%,網成等差數列,

求出公比；根據等比數列的求和公式，即可求出結果.

【詳解】因為等比數列｛%｝是遞增數列，所以%>0,夕>1或%<0,0<q<l,

又%,6&,。8成等差數列，所以12q6=%+%，則12=q+q2,解得q=3（-4舍去）,

答案第1頁，共12頁

%(1-7)

因止匕區=—r=1+q2=10;

S]q(l-q2)

1-q

故選：A

5.D

【分析】化簡應用三角換元結合輔助角公式和三角函數值域計算可得.

【詳解】因為一+/-2》-8=0,

所以(1)2+/=9,

設=3cos。/=3sin6

則x2+y2=(3COS6+1)2+9sin2^=10+6cos6,cos。G[-1,1],所以4+1后[4,16].

故選：D.

6.B

【分析】求導，然后直接解方程〃x)=/'(x)可判斷BCD；根據零點存在定理可判斷A.

【詳解】對于A選項，/(x)=ln(x+l),f'(x)=-L-,

令g(X)=/(X)_廣(x)=In(尤+1)_9，

因為函數y=ln(x+l)、y=——L在(T,+8)上均為增函數，

X+1

所以，函數g(x)=ln(x+l)-fj在(T+oo)上為增函數，

因為g(0)=-l<0，g(l)=ln2-1>0,貝iJg(0)g(l)<0,

由零點存在定理可知，函數g(x)=ln(x+l)-占在(0,1)上存在唯一零點，

所以，函數/(x)=ln(x+l)有“巧值點”；

對于B選項，/(x)=QT,則=

由/(x)=/(x)可得[即ln；=l,矛盾,

所以，函數〃x)=[g]沒有“巧值點”；

答案第2頁，共12頁

對于C選項，/(x)=sinx,則r(x)=cosx,

由=可得sinx=cosx,即tanx=l,解得x=for+?左eZ),

所以，函數/(x)=sinx有“巧值點”；

對于D選項,/(x)=cosx,貝ij/'(無)=-sinx,

由/(x)=/'(x)可得cosx=-sin尤，即tanx=-l,解得x=左eZ),

所以，函數/(x)=cosx有“巧值點”.

故選：B.

7.C

4

【分析】根據題意先確定即，崢，記雙曲線的焦距為2c,再由sin/龍用丹=y,表示出

\MF^W\MF^,根據雙曲線定義以及題中所給雙曲線方程，求出C,得到|兒陰]；最后根據點

。到直線匹的距離是點片到直線班距離的一半，即可求出結果.

【詳解】由題意可得，MFJMF],

4\MFA

因為sin乙鳴8=￡=用，記雙曲線的焦距為2c,

5喀|

則眼聞=:片用=：c,所以1Ml=歷曰兩2=：c,

O1

根據雙曲線定義可得，|吟|-|5|=2a,即：c=2a,貝3=不，

2s

又c?=/+/=/+6=?^?+6,解得c=7所以|A/F；|=3,

因為點。是月耳的中點，所以點。到直線煙的距離是點與到直線距離的一半，

即原點O到直線皿居的距離為?=|；

故選：C

8.C

【分析】設7月出生的男職工退休年齡為｛%｝,可得｛%｝是首項為609，公差為;的等差數

列，利用等差數列通項公式計算即可.

【詳解】設1965年7月出生的男職工退休年齡為4=60J歲，

答案第3頁，共12頁

則1966年7月出生的男職工退休年齡為。2=60，+：歲，

設7月出生的男職工退休年齡為｛%｝,則｛%｝是首項為609，公差為;的等差數列，

64

112

1975年7月出生的男職工退休年齡為%1=6(^+(11-1*4=62§.

故1975年7月出生的男職工退休年齡為62歲8個月.

故選：C.

9.ACD

【分析】根據方程為雙曲線可得9〈加〈25,且焦點在V軸上，即A正確，B錯誤；計算可

得焦距為8,即C正確；當機=13時，漸近線方程為>=±瓜，即D正確.

【詳解】由題意得(9一加)(25-機)<0,解得9<加<25,故A正確；

22

由前可得雙曲線。的標準方程為」-------=1,故雙曲線。的焦點一定在了軸上，故B

25—mm—9

錯誤；

雙曲線C的焦距為2j25-m+加-9=8,所以C正確；

22

當m=13時，雙曲線C的標準方程為二-土=1,其漸近線方程為了=±技，故D正確.

124

故選:ACD.

10.AC

【分析】利用和與項的關系，分〃=1和"W2分別求得數列的通項公式，檢驗合并即可判定

A；根據數列的項的正負情況可以否定B；根據前16項都是非負值可計算判定C；由

1ali+|。2%=$16+Q%7-q9。30)=2$頊-邑0可計算后否定D.

【詳解】因為數列｛%｝的前〃項和S"=-〃2+3In,

則％=st=-1+31=30,

cin=Sn—S“_\=—n~+3177+(〃-1)-31(a-1)=—2n+32("W2),

當”=1時也成立，所以。"=32-2〃，故A正確；

由?！?32-2〃>0,得“<16,當〃=16時仆=0，當”>16時，an<0,

所以S“取得最大值時，〃=15或〃=16,故B錯誤；

答案第4頁，共12頁

因為當“<16時，>0,當力=16時q=0，

所以同+同+…+何6|=幾=762+31x16=15x16=240,故C正確；

因為+1。21+,.,+|/o|=耳6+(_47~ai9----%0)

2

=2S16-S30=2x240-(-30+31x30)=450,故D錯誤.

故選：AC.

11.ACD

【分析】分類討論去掉絕對值可得曲線。的四段關系式，從而作出曲線C的圖象，由曲線C

圖象判斷各選項即可.

【詳解】當時，曲線C的方程可化為(x77+(y-l)2=2,

當xVO/NO時，曲線C的方程可化為(x+1)2+(J-1)2=2,

當xNO/WO時，曲線C的方程可化為(x-iy+(y+l)2=2,

當xVOjVO時，曲線C的方程可化為(x+iy+(y+l『=2,

所以曲線C的圖象如圖所示，

對于A,由圖可知曲線C圍成的圖形有4條對稱軸，故A正確；

對于B,曲線C由4個半圓組成，其周長為2X2TTX收=4&兀，故B錯誤;

對于C,由圖可知曲線C上任意兩點間的最大距離為4夜，故C正確；

對于D,7伍力)到直線4x+3y-18=0的距離d=附+7?,

點(1,1)到直線4x+3y-18=0的距離為H+；T8|=H,

由圓的性質得曲線C上一點到直線4x+3y-18=0的距離最小為^-亞，

所以囹+36-18|的最小值為1>5行，故D正確.

答案第5頁，共12頁

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是分類討論去掉絕對值，得到曲線C的四段方程，作

出圖象，數形結合求解.

-5

12.一

4

【解析】由條件可得/=2,然后利用平行線間的距離公式可算出答案.

【詳解】因為直線行工+>-1=0與直線2+zwy+3=0平行，所以zw=2

方程瓜+y-l=O變形為2怎+2y-2=0

3+2_5

所以直線6x+y-l=0與直線2Gx+2了+3=0的距離為了面工7一^

故答案為：f

4

13.3

【分析】對函數求導，得/(x)=(x-a)(3x-a),由題意得至3=1或a=3,將a=l和a=3分

別代入導函數，用導數的方法判斷函數單調性，確定在無=1處的極值，即可得出結果.

【詳解】由/(無)=x(x-a)2得/'(尤)=(尤-a)~+2x(尤-“)=(尤-a)(3x-a),

因為函數/(x)=Mx-。)？在x=1處取得極大值，

所以x=l是方程/1x)=0的根，因此a=l或：=1,即a=l或a=3；

①若a=l,貝U/'(x)=(x-l)(3x-l),

當xe's,；1時，r(x)>0,則/(x)單調遞增；

當時，r(x)<0,則單調遞減；

當xe(l,+⑹時，r(x)>0,則/(x)單調遞增；

此時函數了=/(尤)在x=l處取得極小值，不符合題意；

②若°=3,則/'(x)=(x-3W3x-3),

當xe(f1)時,r(x)>0,則/(x)單調遞增；

當xe(l,3)時，r(x)<0,則/(x)單調遞減;

答案第6頁，共12頁

當xe(3,+s)時，r(x)>0,則/(x)單調遞增;

此時函數了=/(尤)在x=l處取得極大值，符合題意；

故答案為：3

14.872-4

【分析】應用等比數列求和的基本量運算，結合基本不等式計算最小值.

【詳解】正項等比數列｛g｝的前”項和為s”，

若邑=4=邑+二邑,

..4402(1+/)+2

貝3+5="+,+/=#-

1+q1+1\+q2

O■-2

=4+4N4+412亞-2]=8拒-4.

當且僅當/=8一1時取最小值.

故答案為：872-4.

15.(l)a=2,6=1

(2)最大值為0,最小值為-e,+5

【分析】(1)由題意可得可得出關于。、6的方程組，即可解出這兩個未知數

[/⑴=0

的值；

(2)利用導數分析函數/(x)在1,e2上的單調性，即可求出該函數在區間1,e2上的最

大值和最小值.

【詳解】(1)因為函數/(x)=a欣-蘇+1,其中x>0,則八同=：-2區，

因為曲線y=〃x)在x=l處與直線尸。相切，

廣⑴="26=0a=2

所以,,解得

/⑴7+1=0b=\'

(2)由(1)可得/(x)=21nx-x2+l,所以，/，⑺=2_2x=生"=2(l-x)(l+x),

XXX

當Lx<l時，r(x)>0,當lew,時，r(x)<0,

e

答案第7頁，共12頁

所以，/'(x)在上單調遞增，在(l,e［上單調遞減，

所以，函數/(X)在X=1處取得極大值即最大值，則/(41a,=/⑴=0,

又=+1=一［1>一2,/(e2)=21ne2-(e2)2+l=-e4+5<-2,

所以，/⑺*=/(5)=-/+5.

=1

(2)7；=4〃T+t^〃GN*

【分析】(1)應用%=s〃-S〃T計算求出通項公式；

(2)應用分組求和結合等差數列及等比數列求和公式計算.

【詳解】(1)當〃=1時,可得出=3岳=3%=3；

當〃22時，%+i=3S”,%=3sl,

兩式相減，得：?！?1-4=3a〃，即％=4%,4=3〃1不滿足該式,

"a"-［3-4n-2,n>2.

(2)當〃=1時，4=1；

12

當“22時，S?=1a?+1=-3-4-=A-',：.bn=3-^+n-1,

02

.-.7；=1+3(4+4'+4+…+4"。卜[1+2+3+…+(z-1)]

=1+3.上j,

1-422

〃=1時，4=4=1,上式也成立.

17.(1)尤=-1或3x+4y+3=0

22

(2)(尤+3)2+(y+l)2=9^(x-2)+(y-4)=9

【分析】(1)根據題意，可分直線《的斜率不存在和存在兩種情況討論，結合直線與圓相切,

答案第8頁，共12頁

利用點到直線的距離公式，列出方程，即可求解；

(2)設。(d。+2),由兩圓相外切，得至“。|=5,列出方程求得〃的值，即可求解.

【詳解】(1)由題知，圓C的圓心為C(-3,4),半徑為『=2,

當直線4的斜率存在時，設直線4的方程為歹=左(》+1),即丘-y+左=0,

由圓心C(T4)到直線4的距離等于半徑,

可得J3

2,解得％=z

此時直線k的方程為3x+4v+3=0；

當直線4的斜率不存在時，直線方程為x=T,此時直線與圓相切，符合題意;

綜上可得，直線4的方程為x=-l或3x+4y+3=0.

(2)由圓。的半徑為3,圓心在直線4：x—y+2=0上,

設。(a,a+2),且圓C的圓心C(T4),半徑為r=2,

由兩圓相外切，可得|CD|=5,即J(a+3)2+(a_2)2=5,

解得a=-3或a=2,

.?.。(-3,-1)或。(2,4),

??.圓D的方程為(x+3)2+3+Ip=9或(x-2y+(丁一4>=9.

2

18.⑴、+/=1(XR土也)

⑵謹

3

【分析】(1)設點石(龍,田，根據題意建立等式求解即可；

(2)先利用點差法求得太，然后聯立方程組利用弦長公式求弦長即可.

【詳解】⑴設點E(x,力,

因為直線尸瓦?！甑男甭手e是

???壺、金=一”化簡得：9/=l(xR土?，

2

即動點E的軌跡方程為：y+/=l(x^±V2),

答案第9頁，共12頁

(2)設M(X1/J,N(X2，%)，

V線段的中點為4二土產，七及

22

?k乂+%卜_必一力_必一為

??^OAEMN則^OA'MN

再+/西-x2

22

由題可得，爭才=喘+￡=1,

=_；,即左04.￡3=_；，

兩式求差化簡得:

kOA=1,.,.右加=—萬，?二直線MN的方程為y=--x+—,

^11

y=——x+—

22

聯立2，消去歹得3M—2x—3=0,

X21

——+V=1

12/

2日

..西+%2=,國次2=-1，目.A〉0,

.-.|A￡V|=+?J(X]+X2)2_4X]X2-4x(-1)

【點睛】關鍵點點睛：本題第二問解題的關鍵是利用點差法求出直線"N的斜率，再利用弦

長公式求解.

19.(1)答案見解析

(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析

【分析】(1)利用導數，分aWO及。>0討論即可得；

(2)(i)