專題4-1三角函數概念與誘導公式

近5年考情

考題示例考點分析考點要求

2023年甲卷，第14題,5分三角函數概念與誘導公式考點

(1)三角函數基本概念

分析：掌握正弦、余弦、正切等

2022年浙江卷第13題,5分(2)任意角的三角函數

基本定義，理解其在單位圓上的

(3)同角三角函數的基本

幾何意義。誘導公式是重點，需

關系

2021年甲卷第8題,5分熟練記憶并應用，解決復雜角度

(4)誘導公式

的三角函數值問題。

模塊一1熱點題型解讀(目錄)

【題型1】等分角的象限問題......................................................2

【題型2】三角函數的定義.......................................................4

【題型3】對sina,cosa,tana的知一求二問題.....................................6

【題型4】弦切互化求值..........................................................8

【題型5]sina±cosa與sinacosa的關系...........................................10

【題型6】利用誘導公式把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數...................12

【題型7】誘導求值與變形(給值求值問題)......................................13

【題型8】扇形弧長與面積的計算................................................15

【題型9]割圓術...............................................................19

【題型10】象限與三角函數正負的辨析...........................................21

模塊二核心題型?舉一反三

【題型1］等分角的象限問題

基礎知識

a

如何確定角一5￡N+）終邊所在象限

n

oc

法1分類討論法：利用已知條件寫出a的范圍（用人表示），由此確定一的范圍，在對左進行分類

n

（X

討論，從而確定—所在象限。

n

法2幾何法：先把各象限分為〃等份，再從工軸的正方向的上方起，逆時針依次將各區域標上一、

（7

二、三、四……則a原來是第幾象限的角，標號為幾的區域即角一終邊所在的區域。

n

1.（多選）如果a是第三象限的角，那么最可能是下列哪個象限的角（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】ACD

【解析】a是第三象限的角，則a《2丘+萬,2版?+半），ksZ,

?a（27n2萬、

所以可€金女"+可，石7版■+5ksZ；

D\DJJ乙）

a7171\

當fZ,-e2/vr+—,+萬J,MeZ,在第—象限；

a(77r?

當k=3n+l,n^Z,—eIInn+n,Inji+—I,nGZ,在第三象限;

a(571AH^rixc

當k=3n+2,〃￡Z—E2〃aH----,2Tl兀H-------\,nE.Z,在弟四象限;

3\36J

ry

所以H可以是第一、第三、或第四象限角.故選：ACD

2.已知a是第二象限角，則（）

CK（7

A.1是第一象限角B.sin^>0

22

C.sin2a<0D.2c是第三或第四象限角

【答案】C

【解析】???。是第二象限角，

jlJI0L71

/.—F2k7i<a<萬+2kji.k￡Z,即—Fk7i<—<—Fkyi,左eZ,

2422

Of

???,是第一象限或第三象限角，故A錯誤；

ncia

由上是第一象限或第三象限角，sin上>0或sin—<0,故B錯誤；

222

是第二象限角，

71

：.—+2k兀<a<7i+2kn,keZ,

:-兀+4k7t<2a<2兀+4k兀,kwZ,

；.2（z是第三象限，第四象限角或終邊在y軸非正半軸，sin2a<0,故C正確，D錯誤.

故選：C.

【鞏固練習1］（多選）如果26是第四象限角，那么。可能是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】BD

7T7T

【解析】由已知得<20<2k7t,kwZ,所以左乃<0<k兀，左eZ,

24

當上為偶數時，。在第四象限，當％為奇數時，。在第二象限，即6在第二或第四象限.故選：BD.

a

【鞏固練習2】已知sina>0,cosa<0,則了的終邊在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

【答案】D

【解析】因為sina>0,cosa<0,

兀

所以a為第二象限角，即耳+2kli<a<兀+2kn,kGZ,

..,兀2kjia兀2防i.「

所以一十---<—<—+,kGZ,

63333

則?的終邊所在象限為。［普，?］所在象限，

即H的終邊在第一、二、四象限.

【鞏固練習3】（2024?高三?湖北黃岡?期中）若角a滿足。=學/K-TT+9TT（虻2）,貝Ua的終邊一定在（）

36

A.第一象限或第二象限或第三象限

B.第一象限或第二象限或第四象限

C.第一象限或第二象限或x軸非正半軸上

D.第一象限或第二象限或y軸非正半軸上

【答案】D

TT

【解析】當％=0時，?=-,終邊位于第一象限

當左=1時，a=丁,終邊位于第二象限

6

37r

當左=2時，?=—,終邊位于y軸的非正半軸上

TT

當上=3時，a=2兀,終邊位于第一象限

6

綜上可知，則a的終邊一定在第一象限或第二象限或y軸的非正半軸上

【題型2】三角函數的定義

基礎知識

一'、任意角的三角函數

(1)定義：任意角a的終邊與單位圓交于點P(x,y)時，則sina=y,cosa=x,tancr=-(x0).

X

(2)推廣：三角函數坐標法定義中，若取點PP(x，y)是角a終邊上異于頂點的任一點，設點P到

、yxy

原點。的距離為廣，則sina=J,cosa=—,tan?=—(x^O)

rrx

二、三角函數的定義中常見的三種題型及解決辦法

1、已知角a的終邊上一點P的坐標，求角戊的三角函數值

方法：先求出點P到原點的距離，再利用三角函數的定義求解。

2、已知角a的一個三角函數值和終邊上一點p的橫坐標或縱坐標，求與角a有關的三角函數值

方法：先求出點尸到原點的距離(帶參數)，根據已知三角函數值及三角函數的定義建立方程，求出

未知數，從而求解問題。

3、已知角的終邊所在的直線方程(y=Ax，左HO),求角的三角函數值

方法：先設出終邊上一點P(a,履),aw0,求出點P到原點的距離，再利用三角函數的定義求解，

注意。的符號，對。進行討論。若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角。的三角函數值

【注意】不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況

3.已知P(-3,4)為角a終邊上一點，則sina+cosa=.

【答案】1/0.2

【解析】???P(-3,4)為角a終邊上一點，

.1O尸卜-9+16=5,

43

則sina=—,cosa=——,

55

,43_J_

/.sma+cosa=—

55-5

4.（2024?山東青島?一模）已知角夕終邊上有一點P]tang兀,2sin[-=7r]],貝!Jcosd的值為（

A.；B.--C.—BD.2

2222

【答案】D

4\7T?71I—

【解析】因為tan—?=tan=+—=tan—=J3

sinR^sin(-2"-"+6>sinp4h-sinF?)-sinr4

即2sin一，所以尸（后力所以儂。=發;㈠廣日

【鞏固練習1】（2024?江西?二模）己知角a的終邊經過點則cosa=（）

A.逅B.乎C.3

3D-T

【答案】A

【解析】根據題意r=|0河|=J（V2）2+12=6,

X_y/2_y[6

由三角函數的定義得cosa

7一出一萬

sina+2cosa

【鞏固練習2]如果角。的終邊在直線y=2x上,則

3sina-cosa

,45_

A.—B.-D.

554

【答案】B

【解析】因為角a的終邊在直線y=2x上，所以tana=2.

sina+2cosa

~sina+2cos1tana+22+2_4

所以------------cosaB.

3sina-cosa3sina-cosa3tana-13x2-15

COS6Z

【鞏固練習3】在平面直角坐標系中，角a的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終

邊經過點尸f,X,且sina=[x,則x的值可以是（）

2J

A.±\/2B.±1C.0D.±2

【答案】BC

.x2Y24Y2

sina-—1=-——x__"—,__i

【解析】由題設“V3，故-9，整理得尤2=J,

V4+A4+X

所以元=0或％=±1.故選：BC

【鞏固練習4】已知角a的終邊經過點尸(l,2sine),貝Usina的值不可能是()

B.0D.-2

【答案】D

.2sina

【解析】由定義,sina=,

Vl+4sin2a

當sina=O,合題意;

當sinawO,化簡得sin2a=2,由于橫坐標1>O,角的終邊在一、四象限，所以sina=±@

42

【題型3】對sin%cosa,tana的知一求二問題

基礎知識

1、知弦求弦：利用誘導公式及平方關系sin2a+cos2a=l求解

sina

2、知弦求切：常通過平方關系，與對稱式sina±cosa,sina?cosa建立聯系，注意tana=cosa的靈

活應用

sina

3、知切求弦：先利用商數關系得出sina=tana?cosa或cosa=tana,然后利用平方關系求解

5.若sina=——,貝”tana=.

【答案】《或封

【解析】因為sina=—(<(),所以a為第三象限角或第四象限角，

當a為第三象限角時，cosa=_Jl—sin2a=一空,因此121101=包里=2

13coscr12

當a為第四象限角時，cosa=Jl-sin2a=~~，因此tana=必"=一』.

13cosa12

故答案為：』或一工

1212

6.已知，e(0,7r),sin，=cos，，貝!]sin6cos6=()

A._近D.V2

【答案】C

【解析】因為，e（o,兀）,sin，=cos，，則6e[o,,結合siYd+cos/=1,

解得sin。=cos。=——,貝'Jsindcos”—

2I2J2

【鞏固練習1】已知&e兀J,sina=|,貝ijcoscz等于（）

【答案】B

且sina=。2

【解析】：aecosa=-A/l-sina=——，故選：B.

5

【鞏固練習2]若。wI0,—tan<9=i廁sin，-cos，=

【答案】-好

5

【解析】因為6e則sin0>0,cos6?>0,

又因為tane=包烏=[,則cos9=2sin，,

cos，2

-3-cos20+sin20=4sin2<9+sin2^=5sin20=1,解得sin8=好或sin8=—且（舍去），

55

所以sin6—cos8=sin6—2sin6=—sin8=—.

5

【鞏固練習3】（2023年全國甲卷真題）設甲：sin26z+sin2/7=l,乙：sina+cosQ=0,則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【解析】當sin2a+sin2，=l時，例如二=耳,分=0但sina+cos/?w0,

即sin2a+sin2p=1推不出sin。+cos4=。；

當sina+cos尸=0時,sin2a+sin213=（-cos/3）1+sin2p=1,

即sina+cos4=0能推出sin2a+sin20=1.

綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.

【題型4】弦切互化求值

核心?技巧

1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結構形式，統一為“切”的表達式，進行求值.常見的結構有：

(1)sina,cosa的二次齊次式(如tzsin2a+Z?sinacosa+ccos2。)的問題常采用“切”代換法求解；

(asina+bcosa\

(2)sina,cos。的齊次分式(如csina+dcosoj的問題常采用分式的基本性質進行變形.

sina

2、切化弦：利用公式tana=cosa,把式子中的切化成弦.一般單獨出現正切的時候，采用此技巧.

7.已矢口sina+cosa=3cos。tana,貝Ucos2atana=()

2

D.

7

【答案】D

【解析】因為sina+cosa=3cosatana,

“?.csin。

所以sm。+cosa=3cosa--------,

cosa

即sinacosa+cos2a=3cosasina,即cos2a=2cosasin。,

顯然cosawO,所以cosa=2sina,則tancr=—,

4412

又siYa+cos2a=1,所以852。=^,所以cos2atana=二乂5二

5

8.若tan9=2,貝1Jsin〃(cos，一sine)=.

【答案】-：2

sin0cossin20tantan26

【解析】由已知sin，(cosO—sin。)=sin8cos8—sir?8

sin2+cos20tan20+1

_2-22_2

-22+l--5?

2

故答案為：-二.

9.已知角。的大小如圖所示，則三鬻二(

)

C.-4D.4

【答案】C

【分析】根據三角函數的定義可得tan,+：］=-4,進而又和差角公式得tanO=g

又二倍角和齊次

式即可求解.

【詳解】由圖可知tan［o+：)=-4,

，八兀、兀

tan6+--tan—

I4J45

所以tan6=一、「、—-=-

1(八兀)兀3

I+tan6+—tan—

I44

I+sin29_(sin0+cos0^_sin夕+cos0_tan0+l

則

cos2。(cos0+sin0^(cos0-sin6^cos。一sin6I-tan0

【鞏固練習I】已知tana=2,則儂(…)+3sina=________

4cosa-sina

【答案】I

2

【解析】因為tana=2,

訐以COS(TI—a)+3sina_cosa+3sina

4cosa-sin。4cos。一sin。

-I+3tana

4-tana

-1+3x25

4-2~2,

【鞏固練習2】已知tan6=2,貝!Jsin2夕+3cos?8=

7

【答案】y

［解析］sin28+3cos2夕=2sin6cos8+3cos26=2sin";os"+3：os"2tan6+32x2+37

sin20+cos2tan26>+l-22+l-5

7

故答案為：y.

【鞏固練習3］已知tan6=2,則二—-----「的值是___________.

sm20+cos23

【答案】5

【解析】因為tan6=2,

.11cos20+sin20

rJcf以---------------=-------------------5----------5-=----------------------------z----z—

sin20+cos202sin^cos^+cos^-sin02sin0cos0+cos2-sin20

22

—---l-+-ta-n--6>--=---1-+-2--=5<

2tan0+1-tan202x2+1-22

【題型51sinaicosa與sinacosa的關系

/核心?技巧/

對于s泳z+cosa,since—cosa,s加zcosa這三個式子，知一可求二：（sz72a±cosc）2=l±2s加紇。sa

10.（多選題）已知sina-cosa=,0<a<7i則下列選項中正確的有（）

5f

A.sina-cosa=—B.sin6Z+COS6T=—

55

-15

C.tana+-------=一D.sina=

tana35

【答案】AB

【解析】由sina-cosa=走，得(sina-cosaf=l-2sinacosa=1,

53

2

所以sinacosa=—,故選項A正確；

2

因為sinacosa=二，ae[0,TI],所以sina>0,cosa>0,

又因為(sina+cosa)?=l+2sinacosa=一，所以sina+cosa=△—,故選項B正確;

55

l.、，1sinacosa15一、L.

因為tan】+----=-----+-----=----------=一，故選項C錯沃；

tanacosasmasinacosa2

由sina-cosa=,sina+cosa=,所以sin一二,故選項D錯誤

555

11.已知。為第三象限角，sina-cosa=,則tan2a=()

3

A275R2盯r275n2百

5335

【答案】D

【解析】因為sina-cosa兩邊平方得1—2sinacoscr=—,

3

22

即2sinacosa=sin2a=§,又因為a為第三象限角，且2sinacosa=§>0,

所以sina<0,coscr<0,

5

所以(sini+cosa)2=1+2sincrcos?=—,所以sina+cosa=-

則cos2a=cos2a-sin2a=coser-sina)(cos。+sina

2

sin2a_3_2r

故tan2a=故選：

cos2ay/55D.

3

7

【鞏固練習1】已知cosA+sinA=——,A為第四象限角，則tanA等于（）

5

D.

12

【答案】C

7

【解析】?/cosA+sinA=-—

120

可得2sinAcosA=------

289

(cosA-sinA)2=1—2sinAcosA=.

17

?二cosA-sinA=±——.

13

17

又A為第四象限角，cosA-sinA=一

13

又cosA+sinA=———

13

51212

所以cosA=—,sinA=-----.所以tanA=------.答案：C.

13135

【鞏固練習2】（多選題）已知。?0,兀），sina+cosa=半，則下列結論中正確的是（）

2碗

A.sin26z=--B.cosa-sma=-------

55

一04

C.cos2a=一D.tana=-3

5

【答案】AD

【解析】對于選項A,由sina+cosa=10兩邊平方得：l+sin2a=：,故得sin2a=-3，即A項正

555

確；

3

對于選項B,由sin2a=2sinacosa=—g<0,兀)可得：aG兀)故cosa<sina,

由(COS6Z-sin。)？=1-sin2a=§可得：coscr一sina=一3叵,故B項錯誤；

55

4

對于選項C,cos2a=cos2a—sin2a—(sina+cosa)(cosa-sina)=x(—=故C項錯

5

、口

沃；

3A/10

sina+coscr=-----sma=-------

匕，故得：.故項正確.

對于選項D,由＜可解得：<1tana=-3D

2V10Vio

cosa-sina=---------cosa=-------

510

【題型6】利用誘導公式把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數

核心?技巧

一、誘導公式

公式?二三四五六

n71

角2k7i+a(keZ)7ia—ex7i-a-----a----FCC

22

正弦sina—sincr—sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasiner一sina

正切tanatana一tana一tana

口訣函數名不變，符號看象限函數名改變，符號看象限

二、把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數的步驟

任意負角任意正角?兀的

利用誘導公式02利用誘導公式二|銳角三|

的三角函的三角函角的三角|角函數|

1數三或一數函數或四或五

也就是：“負化正，大化小，化到銳角就好了

12.點尸(sin2022°-cos2022°,sin2022°cos2022°)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】sin2022°-cos2022°=sin(5x360°+222°)-cos(5x360°+222°)

=sin222°-cos222°=sin(180°+42°)一cos(180+42)°=一sin42°+cos42°>0.

同理，sin2022°cos2022°=(一sin42°)?(一cos42°)=sin42°cos42°>0,

所以點尸位于第一象限.故選：A.

_一，，.一，,??n-sina----cos-------\-atan(^-a)

【鞏固練習1】已知。為第三象限角，J.

tan(-fz-%)sin(-?-冗)

【答案】一cosa

.(乃))/、

.」、.sina----cos——+atan(萬一a).」

【解析】外、_12)(2)——cosasna?(-tana)_，故答案為：

JI0CI———COSCC

tan(-a-%)sin(-a-TI)-tana,sina

-cosa.

_■一，41,2sin(兀一a)-3tan(3兀一a)

【鞏固練習2】已知sin(a+7i)=—,且sinacosa<0,則----------;----;------=.

54cos(a-7i)

7

【答案】y

44

【解析】Vsin（cir+7i）=—,/.sincr=-j<0.

又sinacosa<0,/.cos6z>0,/.cos?=Vl-sin2a=—,

sina4

「.tana=-------

cosa3

2sina-3tan（7t-a）_2sina+3tana7

原式=

4cos（兀一a）-4cosa

【鞏固練習3】已知角。的頂點在原點，始邊與工軸的非負半軸重合，終邊經過點P(3,y),且

4

tancr=——

3

（1）求sina+cosa的值;

sin（兀-a）+2cos（兀+a）

（2）求.（3f3的值.

sin-Tt-a-cos—Tt+a

<2J12J

v4

【解析】（1）,/tan?=y=,:.y=-49

sina=——,cosa,則sina+cosa=——.

555

_4_210

/、_、、sina-2cosatana-2=3=」一°

（2）原式:--------；-

一cosa-sina-1-tancif]41

-n——

33

【題型7】誘導求值與變形(給值求值問題)

核心;技巧「

(1)誘導公式用于角的變換，凡遇到與整數倍角的和差問題可用誘導公式，用誘導公式可以把任

意角的三角函數化成銳角三角函數.

(2)通過等誘導變形把所給三角函數化成所需三角函數.

(3)等可利用誘導公式把的三角函數化

13.已知aef0,—

72V21

C.D.

丁33

【答案】C

【解析】cosf717171]_

=cosa--+--—=-sina-----

102103

4(71

14.已知sin]a+：則cos[a()

6

A-4B--1D-i

【答案】C

714

【解析】因為sin<7+—

5

71兀兀4

所以cos[a-%=cos(X—=sina+g

25

n1,則

15.已知cosaH—sin12a.￡

63

7

【答案】一

9

n1(,n\.271

【解析】cosaH—ncos——=2cos

63I3J699

7171717

/.cos2a+—=cos2ca---兀-+、—兀=-sin.2ca-------:.sin\2a--

I3J626969

【鞏固練習1】已知cos(a+3-4貝Usin[a+2

5,

A-4B--1c-iD-1

【答案】A

2兀47171714.714

【解析】由cosCCH——=不可得COSa+—+—=-sinaH—=—=>sinCCH----

626565

則cos[n]+a]等于(

【鞏固練習2】若sin)

3

V21

A.D

3-1

【答案】D

【解析】因為sin

?兀.7171

所以cosi[1+a=sin——~+

2

【鞏固練習3]已知sin?+a]=￥，貝ijcos|子一2a)=-

【答案】」

3

7萬2、，.(兀V3

【解析】由題意sin-------FCC=sin萬+工+。=-sin工+&所以sm\-a

6I61616T

(In\/.、…仔+2a

所以cos------2a—cos7c——\-2a=-cos

、(

3J3737

【題型8】扇形弧長與面積的計算

/核心?技巧/

一、扇形弧長與面積的基本公式

已知扇形的半徑為R,圓心角為6

弧長公式：i=e-R

面積公式：s=L.R=LeR2

22

二、應用弧度制解決問題的方法

(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.

(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題.

(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.

16.(2024?四川南充?三模)如圖，圓。內接一個圓心角為60。的扇形A3C,在圓0內任取一點,

該點落在扇形ABC內的概率為()

【答案】C

【分析】根據圓的半徑與扇形半徑的關系及扇形的面積公式，由幾何概型求解即可.

【詳解】設圓的半徑為R,過。作于。點，如圖，

則扇形的半徑r=27?cos30°=6R,

所以扇形的面積S'='r~a——x—R2=""

圓的面積S=TIR2,

7lR2

由幾何概型可得：_S'F

rD=—

STIR2

TT

17.（2024?遼寧撫順?三模）已知圓錐的底面圓的半徑為1,其側面展開圖是一個圓心角為1的扇形,

則該圓錐的母線長為（）

【答案】D

IT

【分析】設母線長為/,根據題意得到5/=271X1,即可求解.

JT

【詳解】設母線長為/,由題意，可得耳/=271、1,解得/=4,即圓錐