銳角三角函數壓軸題型專訓(10大題型50道)

旨【題型目錄】

題型一銳角三角函數與三角形壓軸

題型二銳角三角函數與四邊形壓軸

題型三銳角三角函數與圓壓軸

題型四銳角三角函數與一次函數壓軸

題型五銳角三角函數與二次函數壓軸

題型六銳角三角函數與相似壓軸

題型七銳角三角函數的最值訓練

題型八銳角三角函數的應用

題型九銳角三角函數的新定義問題

題型十銳角三角函數的綜合

經典例題

41經典例題一銳角三角函數與三角形壓軸】

1.(24-25九年級上?重慶南岸?階段練習)已知：等邊△ABC,點A和點。在直線8C的異側，且

/BDC=60°,于點E.

(1)如圖1,若DBLBC,AB=4,求4。的長；

(2)如圖2,取4D中點尸，連接E尸，試探究BD,CD,E尸三條線段的數量關系并證明你的結論；

(3)如圖3,在(2)的條件下，當8戶最小時，在線段2c上取點G,在射線E尸上取點a，使8G=E",

1s

連接HG,射線“G交/C延長線于點K.當〃最小時，請直接寫出芍造的值.

2、ABDC

1

2.（24-25九年級上?遼寧大連?期末）△4BC,4DL3C于。，tanB=~,tanC=l,40=6,點￡沿射線

。。方向一直運動，將點E繞點。逆時針旋轉90。得到點尸（尸在射線ZX4上），點G與點￡關于點。成中心

對稱（點G在射線OB上），連接GE、EF、FG得到AGE戶.

（1）求2C的長；

（2）在點￡的運動過程中，設DE=x,AGE尸與△N8C的重疊部分面積為S,求S與x的函數關系式.

3.(24-25九年級上?陜西西安?階段練習)【問題提出】

(1)如圖1,在△48C中，ZBAC=90°,是它的一條中線，則/CQ4與22的數量關系式是:

【問題探究】

(2)如圖2,在△48C中，乙4=60。,8。=6,。6_1/2于點6,_L/C于點〃，。為3c邊上一點，且0G=,

連接GA,求GH的長；

【問題解決】

(3)如圖3,有一塊四邊形草地/BCD,規劃部門計劃在這塊空地內種植花卉，計劃在邊8C、8上分別

取點小尸，利用小路NE、4月把這塊草地分割開，在四邊形4EW內種植郁金香，其他區域種植草坪，EF

為觀賞長廊.已知/?！?C,=80V2m,AD=100m,BC=140m,ZB=45°.設計師認為當tanZEAF=2時,

規劃更美觀.

請幫助規劃部門解決問題：

①求出觀賞長廊E廠長度的最小值；

②當觀賞長廊E尸最小時，種植郁金香區域的面積為__________.

圖1圖2圖3

4.(24-25九年級上?河南駐馬店?階段練習)【問題探索】

(1)如圖1,在△48C中，AC^BC,。是48邊上一點，下是3c邊上一點，NCDF=NA.求證:

ACBF=AD-BD；

【類比應用】

(2)如圖2,在四邊形45尸C中，點。是48邊的中點，AA=AB=ZCDF=45°,若NC=4.5,BF=4,

求線段CF的長;

【拓展提升】

(3)如圖3,在△N5C中，AB=5亞,4=45°,以A為直角頂點作等腰直角三角形/OE,點。在8c

上，點E在/C上，若CE=2瓜,直接寫出CD的長.

5.(24-25九年級上?重慶開州?階段練習)在△/BC中，ZCAB=60°,。為4B邊上的中點，連接CD.

(1)如圖1,若/8=45。時，AB=3+百，求△58的面積；

(2)如圖2,44c8=90。，E為BC上一點、,將OE繞點。逆時針旋轉60。得線段。G,作8G交3G的延

長線于點尸，如果。G=G萬，求證：AG=4T.DE-

(3)如圖3,44c8=90。，E為8c上一點，將DE繞點。逆時針旋轉60。得線段DG,當CG最小時，M為平

s

面內一點，將沿CN翻折得AMCE',當E夕最大時，直接寫出譚皿的值.

,△CEG

41經典例題二銳角三角函數與四邊形壓軸】

6.(24-25九年級上?四川成都?階段練習)在矩形42。。中，—￡是邊ND上異于/,。的一個動點.

nC2

(1)如圖1,將沿BE折疊，點/的對應點H落在CD邊上，求tan/4￡D；

(2)如圖2,點M,N分別是邊8C,CD的中點，將四邊形沿ME折疊，得到四邊形連接

A'N.若4B=6,直接寫出線段HN的長度的取值范圍.

(3)如圖3,將沿BE折疊，點/的對應點4落在矩形外，A'E,H3分別與8交于點尸，Q,連接

交CD于點R,已知柘=￡,求受的值.

A￡7JED

7.(24-25九年級上?內蒙古包頭?階段練習)在矩形/BCD的邊上取一點￡,將ABCE沿8E翻折，使點。恰

好落在4D邊上點尸處.

M

(2)如圖，當48=5時，且/?FD=10時，求2c的長.

AD

(3)如圖，延長ER,與尸的角平分線交于點M,BM交AD于點、N,當NF=AN+FD時,求『的值.

BC

8.(24-25九年級上?上海楊浦?階段練習)如圖，已知矩形48。。中，AB=9,BC=12,E是3c邊上一點

(不與3、C重合)，過點￡作斯，4E交NC、8于點M、F,過點B作8GL/C,垂足為G,BG交

4E于點、H.

⑴求證："BHSAECM；

FH

(2)設8￡=x,—=y,求V關于x的函數解析式，并寫出定義域;

EM

(3)當ABAE為等腰三角形時，求3E的長.

9.（24-25九年級上?山東荷澤?階段練習）【問題呈現】

如圖1,△48C和都是等邊三角形，連接2。，CE.易知”=

CE

【類比探究】

如圖2,△4BC和△4DE都是等腰直角三角形，/ABC=/4DE=90°.連接AD,CE.貝

CE

【拓展提升】

AD3

如圖3,△的和都是直角三角形，//8C—,且正=5r“連接犯CE.

、BD,,..

(1)求=7的值;

(2)延長CE交2。于點尸，交4B于點G.求sinZB尸C的值.

10.（24-25九年級上?安徽安慶?階段練習）如圖，NC是正方形4BCD的對角線，4E平分NC4D交CD于

E,點〃r在/C上，且4〃=/。，連接r并延長，分別交/E,3c于點G,F.

(1)求證：CF-=GE'AE-,

⑵求F黑M的值；

MkJ

⑶求tan/CMF的值.

41經典例題三銳角三角函數與圓壓軸】

11.(2024?湖南?模擬預測)如圖，為。。的直徑，C為。。上一點，連接過C作CO148于點

D,過C作/DCE,使NDCE=2NBCD,其中CE交48的延長線于點￡.

圖1圖2

(1)求證：CE是。。的切線.

(2)如圖2,點尸是。。上一點，且滿足/FCE=2448C,連接N尸并延長交EC的延長線于點G.

①試探究線段CF與CD之間滿足的數量關系；

②若CD=4,tanZ5C￡=1,求線段/月的長.

12.（2023?四川綿陽?中考真題）如圖，在。。中，點/,B,C,。為圓周的四等分點，NE為切線，連接

ED,并延長交。。于點凡連接8尸交/C于點G.

(1)求證：4D平分NC4E；

(2)求證：AADEAABG；

(3)若ZE=3,4G=3GC,求cos/C8廠的值.

13.(24-25九年級上?浙江杭州?階段練習)問題情境：如圖1,筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具,

假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉一周用時120秒.

問題設置：如圖2,把筒車抽象為一個半徑為，,的。。.筒車涉水寬度=3.6m,筒車涉水深度(劣弧48

中點￡到水面42的距離)是0.6m.

圖1圖2

問題解決：

(1)求該筒車半徑『.

(2)筒車開始工作時，。。上C處的某盛水筒到水面的距離是0.9m,經過85秒后，該盛水筒旋轉到點。

處.

①求NCO。的度數.

②當盛水筒旋轉至。處時，求它到水面的距離.

14.（24-25九年級上?江蘇宿遷?階段練習）【情景認識】

托勒密是一位古希臘的天文學家、地理學家和數學家，他的數學成就是在三角學方面，被譽為三角學的創

建者，圖一所示.

圖1

【問題導入】

托勒密定律：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所

包矩形的面積之和.

翻譯：在四邊形N8CD中，若A、B、C、。四點共圓，則/。80=/氏。+40.8。.

【簡單應用】

如圖三，四邊形N8C。內接于8c是OO的直徑，如果N5=/C=百，CD=1,求2D的長.

【加深理解】

如圖四，在Rt/X/BC中，ABAC=90°,。為5c的中點，過點。作/組,力?，交A4的延長線于點E,交

7

/C的延長線于點尸.若c尸=萬,ZC=4,AB=2.則NE=_；

15.(24-25九年級上?河北邢臺?階段練習)如圖1,已知。。的直徑N2=4,點￡是射線上的一個動點,

以/E為邊構造平行四邊形/CDE,滿足NC4E=60。，AC=1AE.

(1)如圖2,當AE=時，點C恰好在。。上.

(2)如圖3,當動點E與點。重合時，連接。8,求證：03是。。的切線.

(3)在點E的運動過程中，若平行四邊形ZCDE的邊所在的直線與OO相切，求4E的長.

【經典例題四銳角三角函數與一次函數壓軸】

16.(24-25九年級上?上海?期中)在平面直角坐標系中(如圖)，一次函數圖像與反比例函數圖像相交

于點/(-1,3)和3(3,0),點C(%MW>0)是該反比例函數圖像上的一個動點，連接NC,與y軸的正半軸

交于點D

(1)求一次函數解析式及的面積；

DC

⑵當￡二:3時，求點。到x軸的距離；

(3)當CO與x軸夾角與ZOAB相等時，求加的值.

17.(24-25九年級上?上海?期中)如圖，在平面直角坐標系xQy中，直線y=gx-3分別交于x軸、y軸于

3兩點，一次函數了=履+6的圖像經過點3和點。(4,1),與無軸交于點D.

(1)求一次函數y=h+6的解析式及點。的坐標；

(2)求證：NOAB=NCAD；

(3)如果點P在射線AB上，且與A/DC相似，求點尸的坐標.

18.(22-23九年級上?四川成都?階段練習)如圖，在平面直角坐標系X。)，中，一次函數y=2x+4的圖象與反

(1)求點/的坐標及反比例函數的表達式；

(2)點尸是反比例函數y=￡(x>0)的圖象上一點，連接P4PB,若的面積為4,求點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，取位于4點下方的點P,將線段P/繞點尸順時針旋轉90。得到線段尸C,連接3C?點

M是反比例函數y=￡(x>0)的圖象上一點，連接MB,若NPCB+NMBO=9。。,直接寫出滿足條件的點"

的坐標.

19.（2024?四川成都?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數〉=h+6的圖象與反比例函數/='

X

的圖象相交于點/（T4）,將直線繞點/順時針旋轉成0。＜。＜45。）交＞軸于點跖連接

BM.

（1）求反比例函數和一次函數的表達式;

⑵若S^ABM=10，求點M的坐標;

⑶當A/BM是以為腰的等腰三角形時，求tane的值.

20.(2024?上海?模擬預測)已知一次函數y=-x+4交x軸，了軸于A,B兩點，拋物線y=-/+bx+c經

過A,8兩點，頂點為。，拋物線與x軸另一交點為C,拋物線的對稱軸與直線＞=-x+4交于E

⑴求sin/A4。的值

(2)已知點P為直線y=-x+4上的動點，且在x軸上方，若APACSABED,求點P坐標

J【經典例題五銳角三角函數與二次函數壓軸】

21.(2025九年級下?全國?專題練習)如圖，一次函數y=-；x-2與x軸、＞軸分別交于N、C兩點，二次

3

函數〉=如2+云+。圖象經過，、C兩點，與x軸交于另一點8,其對稱軸為直線x=-^

(1)求該二次函數表達式；

(2)在y軸的負半軸上是否存在一點“，使以點M、。、2為頂點的三角形與△ZOC相似，若存在，求出點M

的坐標；若不存在，請說明理由；

22.（2025九年級下?全國?專題練習）在平面直角坐標系中，將二次函數y=/（a>0）的圖象向右平移1個

單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與X軸交于點A、B（點A在點3的左側）,

CM=1,經過點A的一次函數>=依+6（左20）的圖象與V軸正半軸交于點C，且與拋物線的另一個交點為。，

（1）求拋物線和一次函數的解析式；

（2）點。是直線y=g上的一動點，連接。。，FQ,設△O0尸外接圓的圓心為M,當sin/。。廠最大時，求

點M的坐標（直接寫答案）.

23.(2025九年級下?全國?專題練習)如圖1,二次函數y=f+及一3的圖象與x軸相交于點Z(T,0)和點

B,與y軸相交于點C.

(1)①6=_，②頂點坐標為

(2)如圖2,坐標平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點尸及圖象的一段，分別記為P,L'.移動該膠

片，使〃所在拋物線對應的函數恰為＞=/+2.求點P移動的最短路程;

⑶如圖3,M是拋物線上一點，N為射線C8上的一點，且M、N兩點均在第一象限內，8、N是位于直線

同側的不同兩點，tanZAMN=l,點M到x軸的距離為a,A/MN的面積為2a,豆NANB=NMBN,請問

及W的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由.

24.(24-25九年級上?全國,期末)如圖，已知拋物線歹=Mr?+〃工+P與y=Y+6x+5關于歹軸對稱，與〉軸

交于點〃，與1軸交于點A和5.

⑴歹=加/+研+夕的解析式—，試猜想出與一般形式拋物線產分2+法+°關于V軸對稱的二次函數解析式

為_.

(2)A,5的中點是點C,則sin/CMB=_.

(3)如果過點〃的一條直線與歹=加、2+依+P圖象相交于另一點"(〃，b),a,b滿足Q2—Q+機=o,

2

b—b+m=0J則點N的坐標為

i3

25.（24-25九年級上?江西新余?階段練習）如圖，二次函數了=-5/+5工+2的圖像與無軸交于點/,B（點、

（1）直接寫出點/,B,C的坐標；

⑵求證：△4BC是直角三角形；

（3）點尸是該拋物線上一點，若/PCB=2/ACO（點。為坐標原點），求點尸的坐標：

（4）點M是該拋物線上一點，若乙攸CO+N/CO=45°（點。為坐標原點），直接寫出點M的坐標.

41經典例題六銳角三角函數與相似壓軸】

26.(24-25九年級上?上海徐匯?期中)如圖，已知平行四邊形/BCD中，AD=M，AB=5,BDVAD,

點E在射線/D上，過點E作即工40,垂足為點E,交射線48于點尸，交射線CB于點G,連接CE、

CF,設AE=m.

(1)當點E在邊4D上時，

①求ACE尸的面積；(用含加的代數式表示)

②當S.DCE=4SBFG時，求4E:ED的值；

(2)當點E在邊AD的延長線上時，如果斯與△C/G相似，求加的值.

27.(22-23八年級下?浙江寧波?期中)如圖，在RtA43C中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,動點P

從點B出發，在A4邊上以5cm/s的速度向點A勻速運動，同時動點。從點C出發，在C5邊上以4cm/s的

速度向點8勻速運動，運動時間為t秒(0<f<2),連接P0.

(1)若△BP。與△N5C相似，求才的值.

(2)當tan/PQ8=；時，求C0的長.

S13

28.(24-25九年級上?上海?階段練習)已知：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=與x軸

84

(3)在拋物線的對稱軸上，是否存在點P,使得以尸、D、E為頂點的三角形與△NDC相似，求此時點P的坐

標.直接寫出你的結論，不必證明.

29.(23-24九年級下?山東日照?開學考試)如圖，拋物線了="2+區+3交x軸于點/(3,0)和點8(-1,0),

(1)求拋物線的表達式；

(2)當D在第一象限時，求點D到直線AC的最大距離；

(3)過點。作。軸于點E,連接4D,2C,當以4D、E為頂點的三角形與ZOC相似時，請直接寫出

點。的坐標.

30.(24-25九年級上?四川成都?階段練習)如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線=-瓜+道與無軸

交于點A,與了軸交于點B,直線/：了=依+6過點8,與x軸交于點C,。。=3工。，點。是線段NC上一

點(不與4。重合).

(1)求直線/的解析式；

(2)作。E2AB于E,DF1BC于F,連接EF.

①若9跖與△4BC相似，求點。的坐標；

②取E廠的中點直接寫出周長的最小值.

41經典例題七銳角三角函數的最值訓練】

31.(2024九年級下?全國?專題練習)如圖是由小正方形組成的8x8網格，每個小正方形邊長都是1,每個

小正方形的頂點叫做格點，僅用無刻度的直尺完成畫圖，畫圖過程用虛線表示.

..9

(1)在圖1中，先在邊上畫點尸，使5尸=34尸，再在邊5。上畫點G,使工,=775△的；

16

(2)在圖2中，在對角線5。上畫點X,使CHLBD,再在直線CH上取一點尸，使4P+5P的值最小.

32.(2024?寧夏吳忠?二模)動手操作

利用旋轉開展數學活動，探究圖形變換中蘊含的數學思想方法.

如圖1,將等腰直角三角形/3C的邊48繞點8順時針旋轉90。得到線段H3,ZACB=90°,AC=1,連

接A'C,過點4做A'H_LCB交CB延長線于點H.

(1)在圖1中：易知,貝i|tanNHCB=_；

BB

圖1圖2

思考探索

如圖2,若△4BC為任意直角三角形，乙4c3=90。、BC、AC,48分別用.、b、c表示.48邊繞點2

順時針旋轉90。，得到過點4作NTTLBC,交8C延長線于點

(2)在圖2中：AHBC的面積為二

拓展延伸

(3)如圖3,在△NBC中，AB=AC,AB1A'B,AB=10,BC=12,A'B=5,連接4C.

①求A/'BC的面積；

②在△/BC中，在2c邊的高上找一點。，使4D+08的值最小，求的長和4。+08的最小值.

33.(23-24九年級下?重慶巴南?階段練習)把△/2C的2c邊繞點C逆時針旋轉90。得到線段CD,連接

BD,過點。作。垂足為E,連接CE.

(1)如圖1,已知N/C8=90。，DB=2屈,48=4.求4c的長；

(2)如圖2,求證：DE=4iCE+BE;

(3)如圖3,已知44c8=150。，ZA+ZBCE=45°,將ABCE沿著直線5c折疊，得到ABCE'、連接匹'，M

是直線48上的一個動點，當CM+3最小時值為6+36，請直接寫出的面積.

2

1

34.(2024?山東泰安?三模)如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-5%+2與X軸交于點5,與〉軸交點

C,拋物線廣――C經過3,C兩點，與X軸交于另一點

如圖1,點尸為拋物線上任意一點.過

點尸作軸交2C于

(1)求拋物線的解析式;

(2)當△尸CM是直角三角形時，求尸點坐標;

(3)若點尸是直線3c上方拋物線上一動點(不與8、C重合)，過點P作y軸的平行線交直線8C于點

作PN18C于點N,當APAW的周長最大時，請在x軸上找到一點0,使△尸QC的周長最小，并求出最

小值.

35.(23-24九年級上?廣東廣州?期中)如圖，已知拋物線丁=0^-2辦-8as>0)與x軸從左至右依次交于

A,B兩點,與y軸交于點C,經過點8的直線y=-@x+速與拋物線的另一交點為。，且點。的橫坐標

33

為-5.

備用圖

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)若點P(x,y)在該二次函數的圖象上，且XBS=S“ABP，求點P的坐標；

(3)設尸為線段AD上的一個動點(異于點8和。)，連接/了.是否存在點尸，使得24b+。尸的值最??？若

存在，分別求出24F+。江的最小值和點尸的坐標，若不存在，請說明理由.

41經典例題八銳角三角函數的應用】

36.（24-25九年級上?上海青浦?期中）圖1是一種折疊式晾衣架.晾衣時，該晾衣架左右晾衣臂張開后示意

圖如圖2所示，兩支腳OC=O￡>=10分米，展開角/COD=60。，晾衣臂=03=10分米，晾衣臂支架

HG=FE=6分■米,且巾9=R9=4分米.（參考數據：gal.73）

（1）當//OC=90。時，求點A離地的距離約為多少分米：（結果精確到0.1）

（2）當03從水平狀態旋轉到（在C。延長線上）時，點￡燒點尸隨之旋轉至08'上的點￡處，則8名，=

37.（24-25九年級上?山東濰坊?階段練習）某數學興趣小組自制測角儀到公園進行實地測量，活動過程如下:

（1）探究原理：制作測角儀時，將細線一端固定在量角器圓心。處，另一端系小重物G測量時，使支桿

量角器90。刻度線ON與鉛垂線。G相互重合（如圖①），繞點。轉動量角器，使觀測目標尸與直徑兩端點

/、8共線（如圖②），此時目標P的仰角是圖②中的N.目標P的仰角與圖②中的N相等，請

寫出這兩個角相等的證明過程.

（2）拓展應用：公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端P距地面的高度（如圖④），同學們經過討論，決

定先在水平地面上選取觀測點E、F,E、F、"在同一直線上，分別測得點P的仰角。=45。、夕=30。，測

得E、尸間的距離2米，點?、。2到地面的距離。/、Q尸均為L5米.求尸女的長（結果保留根號）

H

圖④

38.（2024九年級下?遼寧?專題練習）數學興趣小組設計了一款含杯蓋的奶茶紙杯（如圖1）,圖2為該紙杯

的透視效果圖，在圖3的設計草圖中，由萬；線段E廠和0方構成的圖形為杯蓋部分，其中蒜、與曲均在

以/。為直徑的。。上，且衣=麗,G為環的中點，點G是吸管插孔處（忽略插孔直徑和吸管直徑），由

點HB,C,D構成的圖形（杯身部分）為等腰梯形，已知杯壁N8=13.6cm,杯底直徑8C=5.8cm,杯

壁與直線/的夾角為84。.

圖1圖2圖3

⑴求杯口半徑OD的長；

（2）若杯蓋頂旌=3.2cm,吸管3〃=22cm,當吸管斜插，即吸管的一端與杯底點2重合時，求吸管漏出

杯蓋部分G8的長.（參考數據：

sin84°?0.995,cos84°a0.105,tan84"?9.514,715.93-3.99,17.5222?307.02,

J315.43al7.76,結果精確到0.1cm).

39.(23-24九年級下?四川成都?階段練習)隨著春天的陽光越來燦爛，在青臺山中學小花園學習的同學被龐

校抓拍到努力學習的場景，隨后龐校@霍校長可以購買太陽傘，為我們愛學習的青臺山學子，遮擋刺眼的陽

光.如圖①是簡易太陽傘，為遮擋不同方向的陽光，太陽傘可以在撐桿NN上的點。處彎折并旋轉任意角,

圖②是太陽傘直立時的示意圖，當傘完全撐開時，傘骨/2,/C與水平方向的夾角N4BC=N/C8=30。，傘

骨與NC水平方向的最大距離BC=2m,8c與/N交于點O,撐桿/N=2.2m.

川師吉臺山中學服務員小組(33)

①②③

(1)如圖②，當傘完全撐開并直立時，求點8到地面的距離.

(2)某日某時，為了增加遮擋斜射陽光的面積，將太陽傘傾斜49與鉛垂線助成30。夾角，如圖③，若斜射

陽光與所在直線垂直時，求2c在水平地面上投影的長度約是多少.(說明：6^1.732,結果精確到

0.1m)

40.（22-23九年級下?重慶南岸?階段練習）木馬是很多小朋友喜歡的玩具，圖1是一個擺放在角落的木馬的

示意圖，當木馬靜止時，以。為圓心，08為半徑的圓弧的中點T接觸地面，RT表示地面，此時

PQ〃MN〃RT,OT工RT.已知NAOB=90。,ZDN。=53°,CM==40cm,點。為中點，尸。=32cm,

Z）2=15cm.（參考數據：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75,后合1.41，兀。3.14）

（1）求ZN的長度；（結果保留根號）

（2）當木馬沿弧48向前滾動到點A接觸地面時，達到木馬向前的最大安全角（如圖2所示），此時，與

地面夾角為90。.為了保證木馬向前到最大安全角時不碰到墻面KR,木馬靜止時到墻角R的距離77?長度最

小是多少？（結果保留到十分位）

J【經典例題九銳角三角函數的新定義問題】

41.(2024?上海?三模)新定義：如果一個三角形中有兩個內角a,夕滿足a+277=90。，那我們稱這個三角

形為“近直角三角形

A

(1)若是“近直角三角形"，4>90。，ZC=50°,則44=度；

(2)如圖1,在Rta/BC中，ABAC=90°,AB=3,ZC=4.若5。是443c的平分線，在邊NC上是否存

在點E(異于點。)，使得ABCE是“近直角三角形”？若存在，請求出CE的長；若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,在RtA43C中，NA4c=90。，點。為NC邊上一點，以8。為直徑的圓交3c于點E,連接4E

交BD于點、尸,若△BCD為“近直角三角形“，且/3=5,AF=3,求tanNC的值.

42.（22-23九年級上?山東濰坊?期中）【閱讀理解】：如圖，在中，a,b,c分別是ZB,NC

的對邊，ZC=90%其外接圓半徑為尺.根據銳角三角函數的定義：sin^=-,sinB=L可得

CC

a_b即告二芻二七二？7?(規定sin9(F=l).

c=2R,

sinAsinBsinAsinBsinC

【探究活動】：如圖,在銳角△/8C中，a,b,c分別是2ZB,/C的對邊,其外接圓半徑為尺,那么:

—（用＞,=或＜連接），并說明理由.

sinC

【初步應用工事實上，以上結論適用于任意三角形.在，N2C中，a,b,c分別是ZB,的對

邊.已知N8=30°,ZC=45°,b=6，求J

【綜合應用】：如圖，在某次數學實踐活動中，小瑩同學測量一棟樓的高度，在A處用測角儀測得地面

點C處的俯角為45。，點。處的俯角為15。，B,C,D在一條直線上，且C,。兩點的距離為100m,求樓48

的高度.（參考數據：sinl5w吟蟲）

BCD

43.(22-23九年級上?江蘇泰州?期中)我們類比黃金分割點給出如下定義：如圖點P、N、0在同一條直線

NP

上，而=2,則稱點N為［尸，。］的“銀杏點”.特別地，若N為尸。的中點時，則。為［尸,N］的“銀杏點，，，p

也為［。,叫的“銀杏點”.

⑴己知尸0=6,點N在線段尸。上，若點N為［。,尸］的“銀杏點”，則PN=.

(2)如圖，。為△/8C的重心，則下列說法正確的是(填序號).

①。為［4。］的“銀杏點”；

②E為［8,。］的“銀杏點”；

③。為［5,C］的“銀杏點”；

④C為［4回的“銀杏點”.

3

(3)如圖2,在RtAEFG中，AEFG=90°.若FG=12,tanZEGF=-.

①求EG的長；

②當點M在邊EG上，且M、E、G中有一點為其它兩點的“銀杏點”.點K在直線/G上，且

ZEFM=ZFKM.求GK的長.

44.（21-22九年級下?山西?階段練習）閱讀理解：

如圖1,用A48C中，a,b,c分別是乙4,乙B,NC的對邊，"=90。，其外接圓半徑為R.根據銳角三角

函數的定義：sin^=-,sin5=-,可得」，=」g=c=2&,

ccsin4smB

即：——-=――=>（規定S沅90°=1）.

sinAsmBsmC

（1）探究活動:

如圖2,在銳角△48C中，a,b,c分別是乙4,Z.B,NC的對邊，其外接圓半徑為R,那么:

舄一舄一裊（用＞、=或＜連接）.

事實上，以上結論適用于任意三角形.

（2）初步應用：

在A48C中，a,b,c分別是zJ,乙B,Z.C的對邊，乙4=60。，28=45。，4=6,求6.

（3）綜合應用：

如圖3,在某次數學活動中，小冰同學測量一古塔CD的高度，在/處用測角儀測得塔頂C的仰角為15。,

又沿古塔的方向前行了100m到達8處，此時4B,。三點在一條直線上，在3處測得塔頂C的仰角為

45°,求古塔CD的高度（結果保留小數點后一位）.（。。1.732,5皿5。=近二變）

4

45.（2021?福建廈門?模擬預測）閱讀理解：如圖，RM4BC中，a,b,c分別是ZB,/C的對邊,

ZC=90°,其外接圓半徑為&?根據銳角三角函數的定義：sinA=-,sinB=b,可得

CC

sinAsinBsinC

ahc

即：一;=「=「;=2R,（規定sin900=l）.

sinAsinBsinC

探究活動：如圖，在銳角△/臺。中，a,b,。分別是N4,NB,NC的對邊，其外接圓半徑為我,試證

sinAsinBsinC

學以致用：如圖，在某次數學活動中，小鳳同學測量一古塔CD的高度，在A處用測角儀測得塔頂C的仰角

為15。，又沿古塔的方向前行了100m到達8處，此時A,B,。三點在一條直線上，在B處測得塔頂C的

仰角為45。，求古塔C。的高度（結果保留小數點后一位）.（g°L732,$淪15。=避二正）

4

41經典例題十銳角三角函數的綜合】

46.（2024?遼寧?模擬預測）【問題發現】船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗

礁.如圖1,A,8表示燈塔，燈塔3在燈塔/的正東方向，且與/相距2亞海里，暗礁分布在經過4B

兩點的一個圓形區域內，優弧N5上任一點C都是有觸礁危險的臨界點，//C2就是“危險角”.當船P位

于安全區域時，它與兩個燈塔的夾角與“危險角”有怎樣的大小關系？

圖I圖2圖3IH4

【解決問題】

（1）如圖2,請你用己學知識判斷與“危險角”的大小關系；

【