第01講銳角三角函數

01學習目標

課程標準學習目標

1.理解正切的意義，并能舉例說明；

2.能夠根據正切的概念進行簡單的計算；

利用相似的直角三角形，探索并3.經歷探索直角三角形中邊角關系的過程理解正弦、

認識銳角三角函數（siM,cos/,余弦的意義和與現實生活的聯系.

tarU).4.能夠用sinA.cosA表示直角三角形中直角邊與斜邊

的比.表示生活中物體的傾斜程度.能夠用正弦、余弦

進行簡單的計算，

02思維導圖

知識點一：正切的定義

知識清單/知識點二：正弦的定義

/\知識點三：余弦的定義

/題型01已知正弦值求邊長

第01講銳角三角函數0（題型02已知余弦值求邊長

、.題型03已知正切值求邊長

題型精講。-------------------------

----------------《題型04三角函數定義的應用

卜題型05坡度與坡比的應用

［題型06銳角三角函數的綜合問題

03知識清單

知識點一：正切的定義

正切：在RtAlBC中，ZC=9O°,銳角/的對邊.與鄰邊6的比叫做41的正切，記作taivl.

試卷第1頁，共16頁

即tanA=^4的對邊除以zJ的鄰邊=區.

b

【即學即練】

1.在RtZ\/3C中，ZC=90°,各邊都擴大2倍，則銳角/的三角函數值（）

A.擴大2倍B.不變C.縮小gD.擴大:

2.在應AA8C中，ZC=90°,那么銳角A的正弦等于（）

銳角力的對邊銳角/的對邊銳角/的鄰邊銳角，的鄰邊

銳角?的鄰邊-Sa--m-銳角用的對邊.

3.在中，如果各邊長度都擴大2倍，則銳角A的正弦值（）

A.沒有變化B.擴大2倍C.縮小2倍D.不能確定

4.在RAABC中，NC=90°,BC=6,AB=IO,sinA=.

知識點二：正弦的定義

在RtNLBC中，ZC=9O°.

（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做々的正弦，記作siiL4.

即sin/l=4的對邊除以斜邊=烏.

C

【即學即練】

5.如圖，在RtZUBC中，ZC=90°,若cos5=——，則□是（)

D.//

6.如圖，已知在Rt448C中，Z5=9O°,貝i」cos/=（）

BC

D.~AC

7.如圖，在△4BC中，ZACB=90°,CD1AB,下列用線段比表示cos/的值，第送的是

試卷第2頁，共16頁

(

c

CD

A.——B.-----D.——

ACABcTAC

8.在一個直角三角形中，如果各邊的長度都擴大5倍，那么它的兩個銳角的余弦值

知識點三：余弦的定義

在RtAyl3c中，ZC=9O°.

余弦：銳角力的鄰邊6與斜邊c的比叫做乙4的余弦，記作coS.

即cosA=^A的鄰邊除以斜邊=2.

C

【即學即練】

9.在中，各邊都擴大3倍，則//的正切值（）

A.擴大3倍B.縮小為原來的;C.不變D.不能確定

10.在直角三角形中，如果各邊都擴大1倍，則其銳角的三角函數值（）

A,都擴大1倍B.都沒有變化

C.都縮小為原來的一半D.不能確定

11.在RtZi/BC中，各邊的長度都縮小4倍，那么銳角力的余切值（）

A.擴大4倍B.保持不變C.縮小2倍D.縮小4倍

12.如圖，在必A48C中，把銳角N的對邊與鄰邊的比叫做乙4的正切，記作3滔，且°、

b、c分別是乙4、48、NC的對邊，則tair4等于（）

13.如圖，在AZBC中，若NC=90。，貝U（）

試卷第3頁，共16頁

.」a

A.sinZ=一B.sin/=2C.cosB=—D.cosB=—

ccca

14.在RtZXZBC中，ZC=90°,//NB、/C所對的邊分別是〃、b、c.則下列各式中,

正確的是（）

B.sin/上_a

A.sin/=@C.sm/=一D.sinA=-

bcca

15.在RtZ\4BC中,ZC=90°,sin/二《，則cos5的值為（)

3-34

A.B.—C.一D.-

~T545

16.已知在“5。中,zc=90°,BC=3,AB=5,那么下列結論正確的是（

,33,3

A.sinA=—B.cosA--C.tanA--D.cotA=—

5555

17.如圖，在中，ZABC=90°fBO為斜邊/C的高，。為垂足，則下列結論中正

確的是（）

CABC

A.B.cosA=----

ABAC

tan一BD

C.D.tAanA=-----

BCAD

18.求出圖中//的正弦值、余弦值和正切值.

04題型精講

題型01已知正弦值求邊長

試卷第4頁，共16頁

例:

4

19.在RtZUBC中，ZC=90°,AC=6,sin力=《，則45的值為（）

A.4.8B.9C.7.5D.10

【變式訓練】

20.在△ABC中，ZC=90°,AC=16,sinB=0.8,則5c的長是（）

A.12B.16C.20D.24

3

21.在RtZX/BC中，ZC=90°,AC=9,sinB=—,則的長等于_____.

4

22.如圖，在矩形/BCD中，DE1AC,垂足為點￡sinAADE=—,AD=4,則4c的

題型02已知余弦值求邊長

例:

3

23.如圖，在RtA43C中，ZC=90°,cosfi=-,48=10cm,則8c的長度為cm

3

24.如圖，在△4BC中，是邊5c上的高，8c=17,AD=9,cosZBAD=-,則線段CD

長為______

25.如圖，在△/2C中，ZC=90°,AC=24,AB的垂直平分線跖交/C于點D,連接

BD,若cosZBDC=—,則BC的長是.

7

試卷第5頁，共16頁

26.如圖，在RtZ\/8C中，44c8=90。，。是邊48的中點，BELCD,垂足為E,

⑴求CD的長.

Q）求NDBE的正弦值.

題型03已知正切值求邊長

例：

27.如圖，點4（24在第一象限，04與x軸所夾銳角為a,tana=2,貝”的值為（）

A.1B.2C.4D.V3

3

28.如圖，在菱形/BCD中，對角線NC、8D相交于點。，8。=8,tan/4aD=；,則線

段42的長為（）

3

29.在RtZ\4BC中，ZC=90°,tanA=~,N8=10,則8。的長為

4

題型04三角函數定義的綜合應用

例：

試卷第6頁，共16頁

4

30.如圖，在△NBC中，ADIBC,BD=5,CZ>=3,tanZBAC=~,則線段的

長

31.在RM4BC中，/。二90。，AC=15,BC=8,下列三角函數值正確的是（）

.’15_15158

A.sin4=—B.cosAC.tanA.=—D.sinB=—

17-17815

32.在RtZX/BC中，ZC=90°,AB=3,AC=1,則sin/=()

A,也1

B.一rVionVio

33310

3

若二

33.在△中,ZC=90°fsiib4I，貝Ijcos5等于（）

43一21

A.-B.一C.—D.一

5555

34.如圖，在△/BC中，NC=90°,4B=4,/C=3,下列三角函數表示正確的是（）

3/73

A.sm?Z,=一3B.tanA=—V7C.cosN=——D.tanB=—41

4747

35.在RtZ\48C中，ZC=90°,tan8=2亞，貝UcosB的值為()

A.372B.IC.1D.I

4

36.在RtA45C中，ZC=90°f若sin5=1，則等于()

33

A.B.一D.

45

37.如圖，在矩形48C。中，對角線BD的垂直平分線分別交邊4B、CD于點E、F.若

試卷第7頁，共16頁

38.如圖中，ZC=90°,AC=15,BC=8,試求出//的三個三角函數值.

例:

39.如圖，某山坡的坡面/△=200米，坡角/A4C=35。，則該山坡的高度3。是（）米

A.20°_B.2°。C.200cos35°D.200sin35°

cos35°sin35°

40.小明沿著坡度為1:3的山坡向上走了100m,則他豎直上升了（）

100

A.B.30V10mC.loVWmD.10m

3

41.如圖，有一斜坡AB的長為10,坡角/8=36。，則斜坡42的鉛垂高度NC為（）

A.10-tan36°B.10-sin36°D.10-cos36°

42.一個人沿坡面向上走了10米，而升高了6米，那么這個坡的坡比，=

題型06銳角三角函數的綜合應用

試卷第8頁，共16頁

例:

43.構造幾何圖形解決代數問題是“數形結合思想”的重要應用，小康在計算tan22.5。時，構

造出如圖所示的圖形：在RtZk/BC中，ZC=90°,Z^5C=45°,延長C8到。，BD=AB,

連接得/。=22.5。.根據此圖可求得tan22.5。的結果

44.如圖所示，已知正方形/BCD的邊長為2,以點8為圓心，對角線AD的長為半徑畫

弧，交的延長線于點E,連接。E,貝Utan/RDEu.

45.如圖，等腰△N5C、△/￡)￡中，AB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE,/O_LCE于

三、解答題

46.如圖，￡是矩形/BCD的邊C8上的一點，加，龐于點?

⑵若/B=3,CE=\,貝"tan/D4尸的值是.

47.如圖，在6x7的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1,四邊形NBCr?的頂點均在

試卷第9頁，共16頁

網格的格點上.

⑴求sin。的值.

(2)操作與計算：用尺規作圖法過點C作CE_L/。，垂足為￡,并直接寫出CE的長.(保留

作圖痕跡，不要求寫出作法)

48.如圖，在四邊形中，AB1BD,BC//AD,連接NC交RD于點E,

1O

ABAC=AADB,且tan/4D2=—,AE=~4i.

22

⑴求8。的長；

Q)若BC=布,求CD的長.

49.如圖所示，根據提供的數據回答下列問題:

①②

(1)在圖①，sin^4=,cosA=,sin2^+cos2A=；

22

在圖②中，sinAx=,cosAx=,sinAx+cosA1=；

通過以上兩個特殊例子，你發現了什么規律？用一個一般式子把你發現的規律表示出來，并

加以證明；

(2)在圖①中，tan/=______,工=______；

C0ST4

試卷第10頁，共16頁

sin4

在圖②中，tan4=

cos4

通過以上兩個特殊例子，你發現了什么規律？用一個一般式子把你發現的規律表示出來，并

加以證明.

50.如圖，一次函數》=幻+2的圖象與反比例函數＞=與的圖象相交于加,4),B兩點,

X

與X,y軸分別相交于點c，D.且tan//CO=2.

(1)分別求這兩個函數的表達式;

(2)以點。為圓心，線段。3的長為半徑作弧與x軸正半軸相交于點￡,連接BE.求

△NA61的面積;

(3)根據函數的圖象直接寫出關于x的不等式左尤+2＞丘的解集.

「強化訓練

05

(建議用時45分鐘)

51.如圖，在6x7的網格中,每個小正方形的邊長均為1,若點A,B,C都在格點上，則

試卷第11頁，共16頁

2V133V132

A.B.C.一D.

34

52.如圖，將矩形N8CZ）直線NC折疊，使得點8落在點E處，AE交CD于點F,若

AB=5,AD=3,貝Utan/ECF的值為（）

53.如圖，在△4BC中，ABAC=90°,點G為△NBC的重心，若/C=6,tanN/8G=g,

那么/G的長為（）.

A.3B.—C.s/13D.2^3

54.如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1,每個正方形的頂點叫做格點，點

A,B,C,。都在這些小正方形的頂點上，力B與CD相交于點尸，貝的值為

（）

55.如圖，在矩形/BCD中，/。=4,28=6,點E在48上，將AD/E沿直線折疊，使

點/恰好落在DC上的點尸處，連接跖，分別與矩形/BCD的兩條對角線交于點M和點

G,則下列結論錯誤的是（）.

試卷第12頁，共16頁

B.S.BEM-^^BAD=1-9

C.FG=GM=EMD.sinZEDM=—

13

56.如圖，正方形45CQ的邊長/5=8,點E為平面內一動點，且ZE=4,點尸為上

一點，CF=2,連接E尸、ED,當線段E廠的長最小時，三角形石的面積是（）

A,竺n2412

C.—D

555-1

57.在口48。￡>中，連接4G若5C=/C=5,SaABCD=20,則tanN5=.

58.如圖，在菱形45C。中，以點。為圓心，長為半徑作弧，交4B于點E,分別以8,

E為圓心，以大長為半徑作弧，兩弧交于點尸，作射線。尸交42于點G.連接CG,

若/DCG=30。，AG=l,則菱形488的面積為.

59.如圖，一副三角板的三個內角分別是90。，45°,45°和90°,60°,30。，如圖，若固定

△4BC,將zVBDE繞著公共頂點3順時針旋轉a度（0°<a<90。），當邊DE與△NBC的某一

邊平行時，相應的旋轉角a的正切值為.

試卷第13頁，共16頁

60.如圖，在矩形488中，AB=9,AD=12,連結BD,點、E,尸分別為4。，BD邊上一

點，4尸上BE于點H.

（1）若/E=3,則。尸=.

Q）若DF:AE=k,貝必可取的最大整數值為.

61.圖1、圖2分別是7x6的網格，網格中的每個小正方形的邊長均為1,點/、8在小正

方形的頂點上，請在網格中按照下列要求畫出圖形；

ABAB

圖1圖2

⑴在圖1中以為斜邊作等腰直角三角形/8C（頂點N8C在小正方形的頂點上）；

⑵在圖2中以為邊作四邊形N5斯（點￡、尸在圖2中的小正方形的頂點上），使得四邊

形跖是軸對稱圖形，且tan/E4B=3,直接寫出四邊形4BEF的周長.

62.長期以來，冰雪運動被稱為“高嶺之花”.如圖所示，滑雪軌道由/A8C兩部分組成,

軌道48,BC的長度都為200米，若A8與水平面的夾角乙48。=20。，8c與水平面的夾角

ZBCE=30°.

（參考數據：tan20°?0.364,sin20°~0.342,cos200?0.940,73?1,732,結果精確到1米）

試卷第14頁，共16頁

(1)求軌道拐點B到軌道底端C的水平距離；

(2)若小星沿此軌道，從/處滑到C處，求小星下降的高度/尸.

63.圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1,其頂點稱為

格點△NBC的頂點均在格點上.只用無刻度的直尺，在給定的網格中，按下列要求作圖，保

(2)在圖②中邊NC上找到一點E,連接BE,使tan/48E=；；

(3)在圖③中邊/C上找到一點尸，連接8尸，使tan/CAF=；.

k

64.如圖，RM04S中，點8在x軸上，反比例函數歹=一(1>。)的圖象經過/。的中點C,

x

且與相交于點。，且點。的坐標為(4,m),tan//O8=w.

x

(2)求直線CD的表達式和“CD的面積；

(3)過動點7億0)作x軸的垂線/與反比例函數y=：(x>0)和直線CD分別交于MN兩點，當

點M在點N的上方時，請直接寫出I的取值范圍.

65.(1)證明推斷

如圖1,在正方形4BCD中，點E是對角線AD上一點，過點E作/E,8。的垂線，分別交

直線8c于點尸，G.推斷：NE與所的數量關系為；(直接寫出答案)

試卷第15頁，共16頁

（2）類比探究

如圖2,在矩形4BCD中，。=〃7,點￡是對角線3。上一點，過點E作/E,20的垂線

BC

分別交直線8C于點RG.探究tan/切尸的值（用含加的式子表示），并寫出探究過程;

（3）拓展運用

在（2）的條件下，連接CE,

試卷第16頁，共16頁

1.B

【分析】本題考查的是銳角三角函數的定義，三角形相似的判定和性質，解題的關鍵是掌握

銳角三角函數的定義，三角形相似的判定和性質，根據三角形相似的判定，可以確定各邊擴

大后的三角形與原三角形相似，再根據相似三角形的性質可知銳角/的度數不變，所以銳

角A對應的三角函數值就不變.

【詳解】解：因為各邊擴大后的三角形與原三角形相似，銳角/的度數不變，銳角/對應

的三角函數值就不變.

故選：B.

2.B

【分析】根據銳角三角函數的定義可直接得出結果.

銳角”的對邊

【詳解】在AtZUBC中，ZC=90°,那么銳角A的正弦=

故選：B.

【點睛】本題考查銳角三角函數的定義，屬于基礎題，需要熟練掌握銳角三角函數的定義.

3.A

【分析】根據所得新三角形與原三角形相似，銳角A的大小不變，銳角三角函數值只與角

的大小有關可得.

【詳解】解：若的各邊長度都擴大2倍，則所得新三角形與原三角形相似，故銳角

A大小不變，其正弦值也沒有變化，

故選A.

【點睛】本題考查了銳角三角函數的性質，熟知銳角三角函數值只與角的大小有關是解題的

關鍵.

4-I

【分析】運用三角函數定義求解.

【詳解】???在RdABC中，NC=90。，BC=6,AB=\O,

BC63

???smA=-----=—

AB105

3

故答案為：—.

答案第1頁，共42頁

B

【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義.

正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做NA的正弦，記作sinA.即sinA=對邊：斜

邊.

5.C

【分析】本題考查了余弦的定義，根據銳角三角函數的定義解答即可，掌握三角函數的定義

是解題的關鍵.

【詳解】解：由cos2=空，

AB

???□是45,

故選：C.

6.C

【分析】本題考查余弦的定義，根據余弦的定義即可解答.

【詳解】解：在中，cos%=蕓.

AC

故選：C.

7.D

【分析】本題考查了銳角三角函數關系，正確把握銳角三角函數定義是解題關鍵.根據銳角

三角函數關系的定義分析得出答案.

【詳解】解：???在中，a4cB=90。，CDVAB,

：.ZA+ZACD=90°fZACD+ZBCD=90°f

：./A=/BCD,

E4ACCD

ACAB~CB

?1?A,B,C正確，不符合題意，D錯誤，符合題意,

故選：D.

8.不變

答案第2頁，共42頁

【分析】由于銳角的余弦值是該角的鄰邊與斜邊的比，當各邊都擴大為原來的5倍時，比值

不變.

【詳解】解：???銳角的余弦值在直角三角形中是該角的鄰邊與斜邊的比，

???當各邊都擴大為原來5倍時，比值不變.

故答案為不變

【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義，要明確，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比

斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.

9.C

【分析】本題考查了正切函數的概念，根據銳角三角函數的定義，可得答案.屬于簡單

題.理解正切函數的定義是解題關鍵.

【詳解】解：由題意，得RtZi/3C,各邊都擴大3倍，則角/的正切值不變.

故選：C.

10.B

【分析】在直角三角形中，銳角三角函數值即為邊的比值；根據銳角三角函數值的概念進行

分析即可得到答案.

【詳解】解：根據銳角三角函數的概念，知：

如果各邊都擴大1倍，即各邊都變為原來的2倍，邊長比不變，則其銳角的三角函數值不

變.

故選：B.

【點睛】此題考查的是銳角三角函數的概念，掌握三角函數值只與角的大小有關，與角的邊

長無關是解決此題關鍵.

11.B

【分析】根據題意可知一“大小不變，即得出銳角/的余切值保持不變.

【詳解】解：???在RtA43C中，各邊的長度都縮小4倍，

二各角的大小不變，即//大小不變.

???一個角的銳角三角函數值只與角的大小有關，

二銳角A的余切值保持不變.

故選B.

【點睛】本題考查銳角三角函數.理解一個角的銳角三角函數值只與角的大小有關是解題關

鍵.

答案第3頁，共42頁

12.A

【分析】根據正切的定義解答即可.

【詳解】W：ta!L4=4S=T-

ACb

故答案為A.

【點睛】本題主要考查了正切的定義，在比八45。中，把銳角4的對邊與鄰邊的比叫做乙4

的正切，記作taM.

13.A

【分析】考查銳角三角函數的定義，熟練掌握正弦，余弦的定義是解題的關鍵.

【詳解】解：sinA=cosB=—,sinB=cosA--,

cc

故選A.

14.C

【分析】根據在直角三角形中，銳角的正弦等于對邊比斜邊求解即可.

【詳解】解：如圖，

./a

sin=—

c

故選C.

【點睛】本題考查了銳角三角函數的概念：在直角三角形中，銳角的正弦等于對邊比斜邊;

余弦等于鄰邊比斜邊；銳角的正切等于對邊比鄰邊.

15.B

【分析】本題考查了解直角三角形，解題的關鍵是掌握正弦和余弦的定義.

▼、斗比萬、左刀BC.BC3

【詳解】解：TCOSoBUF,sin^=

ABAB5

cosBn=s?mA,=—3.

5

故選：B.

答案第4頁，共42頁

A

【分析】本題主要考查三角函數，勾股定理的計算，根據題意可求出ZC的值，再根據正余

弦、正余切值的計算方法即可求解，掌握三角函數值的計算方法是解題的關鍵.

【詳解】解：根據題意，AC=^AB--BC2=A/52-32=4-

:4、sin^=41=j,正確，符合題意；

AB5

AC4

B、cosA=--=-該選項錯誤，不符合題意；

AB5f

C、tan/=gg=O,該選項錯誤，不符合題意；

AC4

AT4

D、cot^=—=-,該選項錯誤，不符合題意；

BC3

故選：A.

17.D

【分析】根據三角函數的定義計算判斷即可.

【詳解】解：A、由sin/=組，故該項錯誤，不符合題意;

AB

B、由cos/=32,故該項錯誤，不符合題意；

AC

C、由tanN=空，故該項錯誤，不符合題意；

AB

D、由tan/=空，故該項正確，符合題意；

AD

故選D.

【點睛】本題考查了三角函數，熟練掌握三角函數的基本定義是解題的關鍵.

18.siiL4=2,cosA=20,tanA=.

334

【分析】本題考查銳角三角函數的定義，利用勾股定理解出/C=&-=4也，再由正弦、

余弦、正切公式代入求值即可.

【詳解】解：■.BC=2,BA=6,ZC=90°,

*',AC=yj62-22=4A/2，

答案第5頁，共42頁

2]_V2

.?.S在里COSN上逑=速2=92

AB63AB63AC472-4

19.D

【分析】本題考查了銳角三角函數的定義，根據正弦函數的定義即可直接求解，解題的關鍵

是掌握在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.

【詳解】解：如圖，

.?.設8C=4x,AB=5x,

???由勾股定理得：4C=JAB?-BC?==3x=6,

解得：％=2,

AB-5x=10,

故選：D.

20.A

【分析】本題考查的是銳角的正弦的定義，勾股定理的應用.由三角函數的定義，可得

的值，進而由勾股定理可得2C的大小.

【詳解】解：如圖,

ZC=90°,^C=16,sin5=0.8,

/=生=。.8,

ABAB

AB-20,

答案第6頁，共42頁

???BC=siAB2-AC2=A/202-162=12-

故選：A

21.15

Ar3

【分析】本題考查了正弦的定義，根據sin5=-計算即可得出答案，熟練掌握正弦的

AB5

定義是解此題的關鍵.

【詳解】解：如圖，

3

???在RtZXZBC中，ZC=90°,AC=9,sinB=-f

,AC3

sinn=-----=—,

AB5

???45=15,

故答案為：15.

22.5

【分析】本題考查矩形的性質、正弦的定義、同角的余角相等.根據同角的余角相等，得到

sinZADE=sinZACD,再根據正弦定義即可解得/C的長.

【詳解】解：在矩形/BCD中，ZADC=90°,

-DEVAC,

/./ADE+ZEDC=NEDC+ZACD=90°,

/.ZADE=ZACD

Ar)4

sinZADE=sinZACD=——=—,

AC5

???40=4,

:.AC=5,

故答案為：5.

23.6

答案第7頁，共42頁

【分析】本題主要考查了解直角三角形，根據余弦的定義可得5C=/5.cos8據此計算求解即

可.

3

【詳解】解：，??在中，ZC=90°,cos5=—,AB=10cm,

3

BC=AB-cosB=10x—=6cm,

故答案為：6.

24.5

【分析】本題主要考查了余弦的定義，勾股定理，由余弦的定義可得出=15,根據勾股

定理求出8。，再根據線段的和差即可得出答案.

AnQ

【詳解】解：???COS/54)=F==，AD=9,

AB5

???45=15,

???力。是邊5C上的高，

???AD1BC,

??.ZABD=90°,

BD=ylAB2-AD2=V152-92=12，

；.CD=BC-BD=17-12=5,

故答案為：5.

25.476

CD5

【分析】此題考查三角函數，勾股定理，根據cos/BOC=訪=,,設CD=5x,BD=7x,

求出x=2,再根據勾股定理求出5C.

【詳解】在白△以?中，ZC=90°f

CD5

???cos/BDC=——二—,

BD7

設CQ=5x,BQ=7x,

,?,￡尸垂直平分,

AD=BD=7x,

.,.5x+7x=24,

解得x=2,

...CZ)=5x=10,m=7x=14,

答案第8頁，共42頁

???BC=y/BD2-CD2=4y[6，

故答案為4卡.

26.(1)5

嗚

【分析】本題考查了正弦與余弦、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握正弦

與余弦的概念是解題關鍵.

(1)先根據余弦的定義可得43=10,再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可

得;

4

(2)先求出cos/BCE=cos//5C=],利用余弦可求出CE的長，從而可得的長，再

在中，利用正弦的定義求解即可得.

4

【詳解】(1)解：??,在中，ZACB=90°,BC=8,cosZABC=-

Be84

cos/4BC=-----

ABAB5

AB=8x—=10,

4

?.?。是邊48的中點,

.-.CD=-AB=5,

2

所以8的長為5.

(2)解：???￡)是斜邊42的中點,

；.CD=BD=LAB=5,

2

NBCE=ZABC,

4

cos/BCE=cos/ABC=—,

■.■BEA.CD,

：.cosZBCE=-=~,即笠=9,

BC585

32

解得?！?行

7

：.DE=CE-CD=-

5

sin/DBE=,

BD25

答案第9頁，共42頁

7

所以a的正弦值為

27.C

【分析】本題主要考查了解直角三角形，坐標與圖形，過點/作軸于。，則

OZ)=2,AD=t,再解口屹/0。得到40=2。。=4,即7=4.

【詳解】解：如圖所示，過點工作軸于。，

?.?點4(24在第一象限，

OD=2,AD=t,

CM與1軸所夾銳角為a,tan1=2,

ADc

tana=----=2,

OD

/.AD=2OD=4,即，=4,

故選：C.

【分析】本題考查菱形的性質、勾股定理、正切函數，由菱形的對角線互相垂直平分可得

13

OB=-BD=4,AC1BD,結合tan/45Q=—求出CM,再利用勾股定理解RSZQB可得

24

答案.

【詳解】解：:菱形45CZ)中，對角線4C、8。相交于點。50=8,

/.OB=-BD=4,AC1BD,

2

CM3

,「tan/ABD=----=一,

OB4

3

/.OA=-x4=3

4f

AB=yJOA2+OB2=V32+42=5，

故選C.

29.6

【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根據正切的定義得到

答案第10頁，共42頁

BC3

tanJ=—=-,設8C=3x,AC=4x,由勾股定理可得10?=（3x『9+（4x『9，解方程即可得

AC/4

到答案.

3

【詳解】解：??,在Rt△/BC中，NC=90。，taib4=—,

4

,BC3

tanA=---=—,

AC4

設5C=3x,AC=4xf

在RtZk/5C中，由勾股定理得，爐=/。2+§。2,

/.102=（3X）2+（4X）2,

解得x=2或x=-2（舍去），

BC=3x=6,

故答案為：6.

30.2V6+3##3+2V6

【分析】本題主要考查相似三角形的性質與判定及三角函數，熟練掌握相似三角形的性質與

判定及三角函數是解題的關鍵；過點5作L/C,垂足為交力。于點尸，由題意易得

△AEFs^BEC,△BDFs"DC,然后可根據相似三角形的性質可進行求解.

【詳解】解：過點5作垂足為E,交AD于點F,如圖所示：

BE_4

~AE~3'

ZC+ACAD=90°,ZC+/CBE=90°,

ACAD=ZCBE,

/ADC=/BEC=ZAEF=90°,

AAEFS^BEC,

答案第11頁，共42頁

BE_BCA

^AE~AF~3f

vBD=5,CD=3,

BC=8,

???AF-6,

???/FDB=/ADC=90。,

???XBDFSXADC,

DFBDDF5

：?——=——，即Rn——=——,

DCAD3AD

^DF=x,則4。=4尸+。尸=6+x,

Y5

???一=----，整理得：x2+6x-15=0,

36+x

解得：Xj=2A/6-3,X2=-