專題7-1求數(shù)列的通項公式14類題型匯總

近5年考情（2020-2024）

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

2024年甲（理）第18（1）,5分

2023年甲（理）第17（1）,5分

2023年H卷第18(1),5分高考對數(shù)列通項的考查相對

穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、

2023年I卷第20(1),5分

難度均變化不大.數(shù)列通項問掌握數(shù)列通項的幾種常見

2022年I卷第17(1),5分題以解答題的形式為主，偶爾方法.

出現(xiàn)在選擇填空題當(dāng)中，常結(jié)

2022年甲（理）第17（1）,5分

合函數(shù)、不等式綜合考查.

2021年乙（理）第19題，12分

2021年I卷，第17(1),5分

模塊一熱點題型解讀（目錄）

【題型1】由即與S,關(guān)系求通項（三類題型）

【題型2】因式分解型（正項數(shù)列）

【題型3】已知等差或等比求通項

【題型4】累加法

【題型5】累乘法

【題型6】前n項之積Tn

【題型7】取倒數(shù)

【題型8］構(gòu)造1:形如an+1=pan+q型的遞推式

【題型9］構(gòu)造2:形如an+i=pan+kn+b型的遞推式

11

【題型10］構(gòu)造3:形如an+i=pan+rq型的遞推式

【題型11］構(gòu)造4:形如a-i=詈詈型的遞推式

pan十q

【題型12］構(gòu)造5:形如an+2=pan+1+qan型的遞推式

【題型12】奇偶相間討論型（奇偶數(shù)列）

【題型13】隔項等差

【題型14】隔項等比（積為等比與和為等比）

模塊二1核心題型?舉一反三

【題型1】由a〃與S”關(guān)系求通項（三類題型）

基礎(chǔ)知識

S“與4同時存在

角度1：已知S〃與的關(guān)系；用S“-S“T，得到a“例：已知4S.=4+1）2,求％

或S〃與〃的關(guān)系

角度2：已知4與S“_S”的關(guān)系；s"一S"_1替換題中的例：已知24=S￡_i（〃N2）；

或％與7^7+Js“_］的關(guān)系已次口=4+i—Js〃+i

_n作差法例子：已知%+24+3。3+…+na=2"求見

角度3：等式中左側(cè)含有：Z岫n

i=l（類似5?一S“_1）

模板解決步驟

第一步：寫出當(dāng)幾.2時，的表達式.

T

第二步：利用=5”—S“（”..2）求出an或?qū)l件轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系.

第三步：如果第二步求出4,那么根據(jù)為=工求出4,并代入｛a“｝的通項公式，注意要進行驗證，

若成立，則合并；若不成立，則寫成分段的形式.如果第二步求出％的遞推關(guān)系，那么通過遞推公

式求功,.

忽略對”=1的單獨討論是常見的錯誤

類型一用J-%,得到a”

1.在數(shù)列也,｝中，前〃項和S“=72（2W-1）4,則數(shù)列｛%｝的通項公式為.

1

［答案］%一⑵［-1）（2〃+1）

【解析】由于數(shù)列｛。"｝中，/=；，前〃項和S“=〃（2“一1”“，

所以當(dāng)〃22時,S,T=（n-l）（2n-3）aB_1,

兩式相減可得：4“=〃（2〃-1）%-（〃-1）（2〃-3應(yīng)_1,

所以（九一1）（2"_3）4“_］=（2〃2-n-l）aK,

（“一1）（2〃一3）4”1=（〃一l）（2"+l）a“，

所以（2〃-3）a“T=（2〃+l）a”,

aIn-3

所以=yr，

an_x2n+l

CiCt

所以4=41.........................

“21

1132n-52n-31

=—X—X—XX---------x----------

3572n-l2n+l（2n-l）（2n+l）J

符合上式,

1

因此^4-（2n-l）（2n+l）,

2.（2022.全國.甲卷高考真題）記S”為數(shù)列｛%｝的前八項和.已知。+〃=2%+1,證明：｛q｝是等

n

差數(shù)列

[S,,n=l

【分析】依題意可得2S〃+〃2=2"+幾，根據(jù)1作差即可得到%—4_]=1,從而

得證；

2S

【詳解】因為一-+n=2a+l,即2S〃+〃2=2〃%+〃①，

nn

當(dāng)〃22時，2sl②，

22

①-②得，2Sn+n—2Sn_1—（n—l）=2nan+n—2（n—^）an_x—（n—1）,

即2an+2n-1=2nan+1,

即2（〃一1）%一2（〃-1）%T=2（九一1）,所以4-%=1,n>2JLneN*,

所以｛風(fēng)｝是以1為公差的等差數(shù)列.

【鞏固練習(xí)1】（2023?全國?高考甲卷真題）設(shè)S〃為數(shù)列｛4｝的前〃項和，已知%=1,2S〃=”，求｛4｝

的通項公式.

【答案】an=n-l

[S,,n=l

【分析】根據(jù)即可求出；

【詳解】因為25,=〃?，

當(dāng)〃=1時，2%=%,即q=0；

當(dāng)”=3時，2（1+%）=3。3,即%=2,

當(dāng)〃N2時，2sM,所以2（E,-Sn_i）=叫一（〃一1）的=2%,

化簡得：（n-2）tz?=（n-l）a?_1,當(dāng)時，=吟=1,即

當(dāng)〃=1,2時都滿足上式，所以%—.

【鞏固練習(xí)2】已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,若4=1,2S〃=%+],則數(shù)列｛4｝的通項公式________

fl,n=1

【合案】12x3"一2,〃..2,weN*

【解析】當(dāng)〃22時，2S〃=。〃+1=2S〃T=%,作差得q+i=3a〃，即當(dāng)時，｛4｝是公比為3的等

fl,n=1

比數(shù)列，而出=2,則"..24=2x37,故%=限產(chǎn)0

【鞏固練習(xí)3】（2024?全國?甲卷高考真題）記S,為數(shù)列的前”項和，已知4s“=3g+4,求｛即｝的

通項公式

【答案】。“=4?（-3產(chǎn)

【分析】利用退位法可求｛a"的通項公式.

【詳解】當(dāng)）=1時,4sl=41=3q+4,解得4=4.

當(dāng)“N2時，4S“T=3a,I+4,所以4s“一4s"一=4a.=3a“-3a,一即an=-3an_x,

而q=4w0,故a,尸0,故——=-3,

an-l

：.數(shù)列｛&J是以4為首項，-3為公比的等比數(shù)列，

所以4=4（—3片.

類型二等式中左側(cè)含有：之她

Z=1

3.（2024江蘇?一模）已知正項數(shù)列｛4｝滿足一匚+—匚++—^=￡7；（〃eN*）,若%-2/=7,

則/二（）

A.-B.1C.-D.2

32

【答案】D

111一

【分析】由已知和式求出通項----的通項，從而得出----,再由已知條件為-2%=7,從而

a〃。計1。5a699

求出生,類似的往前推，求出〃]即可.

11

【詳解】〃=1時，=￡；

6的3

1nn—\1

一'anan+\2〃+12n—l4n2—1

=99,/.4（2%+7）=99,,

=63,/.=—

a3a4=35,=10,

a2a3=15,;.4=|,

01a2=3,.,.ax—2.

【鞏固練習(xí)1]已知數(shù)列｛g｝的前幾項和為s“，且有2q+22a2+23/+…+2"a"=〃-2".求數(shù)列｛4｝的

通項公式.

【答案】％=等

【詳解】(1)由題2%+22%+23%++2%.=小2〃，

當(dāng)〃=1時，2%=2,I.a1=1；

當(dāng)22時，由2〃]+2"^3-----2〃%=n,2",

所以2cli+2^a2+2^a3T----42〃14T=(〃—1)?2〃T,兩式相減,

1

可得2"%=/1-2"-(?-1)2"-=(〃+1)2"-',：.an=等

.Y11+1｛、2c"+1

當(dāng)〃=1時，-2=1滿足，???。〃=—-—

【鞏固練習(xí)2】在數(shù)列｛%｝中，g+§+與+…+4=〃2+〃，求｛為｝的通項公式.

234n+\

【答案】a“=2〃("+l)

【詳解】解：因為幺+生+&++-^=n2+n,①

234n+1

則當(dāng)H=1時，?=2,即4=4,

當(dāng)“22時，蟲+幺+幺++如=”2一〃②

234n

①一②得—~=2n,所以a“=2/1(7?+1),

n+\

4=4也滿足%=2〃(〃+1),故對任意的〃eN*,4=2〃(〃+1).

類型三消4求S,：將題意中的％用工-S,i替換

4.設(shè)S“為數(shù)列｛4｝的前〃項和，己知V〃eN*,a“>0,a；+l=2a,￡,求q

【詳解】由題意知，a；+1=2%S[=2a；,

又外>09得%=1.

當(dāng)“22時，由片+1=2川,，得（s“-S“"+i=2⑸-Se）S“，得

則數(shù)列｛S：｝是首項為S：=l,公差為1的等差數(shù)列.

所以S；=l+（w-l）=〃.

又S">。，則s4=6.

當(dāng)"22時，ao=S"-S"_i=57n-1,

又4=1滿足上式，

所以見=yfn—>Jn—l.

【鞏固練習(xí)1］在數(shù)列｛冊｝中,6=1,。〃=宗=1，則｛與｝的通項公式為__________________

23“-1

【答案】an=<2n-l2n-3~.

1,n=l

【解析】當(dāng)〃22,〃EN*時,a〃=S〃一S〃_i，

2s2

S“_S“1=——Jn2S：-S-2s1+S“1=2S,;,

nn-icc*[〃nnftn—in—in7

T

整理可得:S.T-S“=2S“S._],.=2,

-U+O-l)-2=2〃-1

S"工

1-------------

S=,ci=<2〃—12n—3

2n-i,,

【鞏固練習(xí)2】已知數(shù)列｛見｝的前〃項和為%Sx=l,an+x>l+an,且冊+1=2（扃+屈,求通項

公式%.

l,n=1

【答案】冊=

8H-8,H>2

【詳解】%=2（歷+四）=S用一S"=（歷+底X歷一點）

Si=ai=1,an+i—an>1

JS,+]+>0

二區(qū)-瘋=2,即｛￡｝是以2為公差，1為首項的等差數(shù)列

:.厄=2n-l,即...5"=(2〃-1)2

當(dāng)“22時，%=S,「S“T=(2"一一(2“-3)2=8“一8

11,n=1

顯然，〃=1時，上式不成立，所以⑸=8“-8,心2

【題型2】因式分解型（正項數(shù)列）

基礎(chǔ)知識

對于式子中有提到4>0且出現(xiàn)二次式可以考慮利用十字相乘進行因式分解.

5.已知各項為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前〃項和為S",滿足5"包+5,=3屋”％=2.求數(shù)列｛%｝的通項公

式；

【解析】（1）S“M+S”=#…S“+S7cd（心2）,

兩式相減得：。用+%-=,

由于。+1+。>0,則4+1—4=2（〃之2）,

當(dāng)〃=1時，y+S2=ga；,q=2,得%=4,

?2-?1=2,則%+1一氏=2（〃eN*）,

所以｛%｝是首項和公差均為2的等差數(shù)列，故。“=2+（〃-1）?2=2n.

2V

【鞏固練習(xí)1】記s.為數(shù)列｛4｝的前”項和.已知一+”=2凡+1.證明：｛%｝是等差數(shù)列；

n

2S

【解析】證明：因為——+n=2an+1,即2s〃+/=2〃%+〃0）,

n

當(dāng)〃22時，2sl+（〃_1）2=2（〃_1）4_]+5_1）②，

①-②得，2S〃+/-2S〃_i-（〃-1）=2皈〃,

即2an+2n-1=2nan+1,

即2glM一2（〃一=2（n-l）,

所以%—=1,幾22且〃eN*,

所以｛4｝是以1為公差的等差數(shù)列.

【鞏固練習(xí)2】已知數(shù)列幾｝的前〃項和S〃，且滿足2s“+4=1,求｛叫的通項公式；

【解析】（1）因為2S〃+%=1.

所以當(dāng)〃=1時，2S]+4=1,24+4=1,4=；，

當(dāng)”22時，2s“+a“=1,2S“_]+4I=1,

兩式相減得2S“-2s+an-a”—=0,/.3a“-an_t=0,a,產(chǎn)0,=-,

*3

所以數(shù)列｛%｝是首項為:，公比為q=g的等比數(shù)列,

則數(shù)列通項公式為=a/'=|（：嚴=（，'，

【鞏固練習(xí)3】已知數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，其前〃項和S“滿足+證明：｛%｝是等差數(shù)列

【解析】當(dāng)〃=1時，=26=a；+l,解得％=1,

當(dāng)7亞2時，2sl+"-1,貝1J2%=2s“一25“_1=屋+〃一(4_1+〃一1),

即2%+1=。3,即@-iy=心

又數(shù)列｛““｝為遞增數(shù)列，

所以故。，一l=a,T,

即a?=1,

所以數(shù)列｛4｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列

【題型3】已知等差或等比求通項

基礎(chǔ)知識

當(dāng)題目中給了數(shù)列為等差或等比時，可以從前幾項入手求基本量，不要再去消S”

6.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝,其前〃項和為S,,滿足2s“=a“+2-6,求數(shù)列｛%｝的通項公

式

【解析】（1）設(shè)｛%｝的公比為9,則4>。，又2s"=4“+2-6,

當(dāng)〃=1時，2s1=〃3—6,當(dāng)〃=2時，2s2=%-6,

兩式相減可得，2%—。4-a3,所以2=7-q,

所以4=2或〃=一1（舍去），

所以2S1=a3—6=4%—6,即％=3,

所以等比數(shù)列｛4｝的通項公式為%=3x2"-1

2

7.（2023?全國?高考1卷真題）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,且d>l.令b『3~,記分別

為數(shù)列｛叫,也｝的前〃項和.，若30=36+”3a+7；=21,求｛%｝的通項公式;

【答案】a?=3n

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式建立方程求解即可；

【詳解】(1)3〃2=3%+。3,.=3d=%+2d,解得％=d,

.e.S3=32=3(q+d)=6d,

…77726129

又7Z=h+h+h=—I----1---=—,

3123dId3dd

9

.-.S+7；=6J+-=21,

3d

即2寸一7〃+3=0,解得d=3或d=g（舍去）,

=q+(〃-1)?d=3〃.

2%,〃為之魯，記與，4分別為數(shù)列e｝，

8.（2023?全國?高考II卷真題）已知｛4｝為等差數(shù)列，2=

低｝的前〃項和，$4=32,A=16,求｛%｝的通項公式;

【答案】⑴=2〃+3；

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,用表示S“及（，即可求解作答.

【詳解】⑴設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,而2=］；n=2k，此N，

則瓦=%—6也—2a2=2%+2d,b3=a3-6=ax+2d-6f

S4=4%+6d=32

于是解得q=5,d=2,an=Oy+^ri-V)d=2〃+3,

T3—4〃]+4d—12=16

所以數(shù)列｛%｝的通項公式是g=2〃+3.

【鞏固練習(xí)1】設(shè)等差數(shù)列｛%｝前“項和S“，％=1,滿足25用=〃（4+5）+2,〃€汗，求數(shù)列｛為｝

的通項公式

【答案】an=2n-l

【詳解】依題意有2（4+%）=q+5+2,

q=l,〃2=3,

又｛凡｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

d=4_/=2,:.an=l+2（n—l）=2n-l

【鞏固練習(xí)2】知等比數(shù)列｛4｝中，。〃+。用=3-2-1〃￡?4*）,求數(shù)列｛4｝的通項公式及它的前〃項

和

【答案】(l)a“=2i,s.=2"-l

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝公比為q,??,%+。用=3-2"-，

[%+〃2=%+%q=3

-?]2女，解得q=2,%=i,

1%+/=%q+a^q=o

.0?-i1(1-2")

=2,s=_v-----L=r-i

"1-2

【鞏固練習(xí)3】已知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，其前〃項和為S“，且滿足S,=2〃+MmeR),求用的值

及數(shù)列｛”“｝的通項公式；

x

【答案】m=-l,an=T-

l

【分析】當(dāng)心2時，Sn_x=T-+m,,兩式相減得a“=2"T(〃22),由％=，+機=1,可求出機的值;

【詳解】因為5“=2"+相，所以“22時，5“_1=2力+加,所以%=2"T(H22).

又由數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，所以％=2力.又因為4=1=21+m=2-i=1,所以刈=T,

綜上機=-l,a“=2"T.

【題型4】累加法

基礎(chǔ)知識

an-l-an-2=/(?-2)

形如%+1=。“+/(”)型的遞推數(shù)列(其中/(")是關(guān)于"的函數(shù))可構(gòu)造：,

-4=/(I)

將上述加2個式子兩邊分別相加，可得：a,=y(/i-l)+y(/7-2)+.../(2)+/(1)+^,(M>2)

(1)若/(")是關(guān)于"的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；

(2)若/(")是關(guān)于〃的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；

(3)若/(")是關(guān)于〃的分式函數(shù)，累加后可裂項求和.

9.在數(shù)列｛4｝中，?i=2,a"+i=4+ln(l+：),則a,=

A.2+lnnB.2+(〃-l)ln〃C.2+nlnnD.1+n+Inn

【答案】A

【詳解】試題分析：在數(shù)列｛〃/中，%+1-〃〃=ln(l+j

?**an=(an-Q-1)+(”〃-l-an-2)+....+(〃2-)+〃]

inin-1,2與

=In------FIn-------1-........+In—+2

n—1n—21

i/nn-12、-

=ln(-…….)+2

n-1n-21

=ln〃+2

10.在數(shù)列｛氏｝中，已知4=1，且%+1=%+(2-1)(2〃+1)，則%

3〃-2

【答案】

21

1

【解析】由%=4，+(2〃_1心+1)可得：

1O______

2(2〃-12n+l)

2

41一一九

1

H---------

2n—3

13n-2

2n-l2〃一1

11.(2024?全國.模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且%=3,2S“=”(a“+2),求數(shù)列｛4｝的

通項公式；

【答案】⑴%="+1;

【分析】(1)當(dāng)〃=1時，求得%=2,當(dāng)心3時，得到2sM=(〃—1)(%_]+2),兩式相減化簡得到

念-/芍=-2]為一/[)，結(jié)合疊加法，即可求得數(shù)列｛見｝的通項公式；

【詳解】(1)解：當(dāng)〃=1時，2sl=2%=4+2,解得〃1=2,

當(dāng)心3時，2S,=+2),2S〃T=(〃-1)(%+2),

兩式相減可得，(〃-2)q-=-2,

疊加可得，旦「？=上?，貝小=〃+1,

n-11n-1

而〃=1,2時也符合題意，

所以數(shù)列｛%｝的通項公式為%=〃+1.

12.（2024?山東濰坊?一模）已知數(shù)列也｝滿足%=0,4=1.若數(shù)歹是公比為2的等比

數(shù)列，則。2024=（）

,20231?2024+1

A.2JB.-~~—C.21012-1D.21011-1

33

【答案】A

【分析】

2

利用等比數(shù)列求出an+an+l=2"T,進而求得q+i-%=2"-（n>2）,再利用累加法求通項得解.

12

【詳解】依題意，a,+a2=l,an+an+1=T-,當(dāng)“22時，+a?=2"-,則凡+1-q1=2"2,

所以電024=。。+（%—）+（。6-）++（。20”一。。022）=1+2+2^+25++2~°,

,2（1-41011）22023+1

1-43

【鞏固練習(xí)1】已知數(shù)列｛4｝滿足〃i=l,an=an_x+3n-2(n>2),則｛%｝的通項公式為

【解析】因為4=1,an=?n_1+3n-2（n>2）,

所以〃“=3”2（〃22）,

a

即〃2_=4,4一%=7,〃4—=]°，L，4-i—n-2=3"-5,

所以。〃—4—1+%一1—a〃_2++%—%+%—q=（3〃—2）+（3〃-5）++7+4,

用「（3孔一2）+4]（〃一1）3/—〃

即a?-?!=--------L--------，貝"an=-^―（?N2），

當(dāng)”=1時%=即了也成立，所以為=即9

【鞏固練習(xí)2］己知數(shù)列｛4｝滿足/=1,%-a“+i=2%,4+1,則a〃=

1

【答案】

2"—1

【解析】若%+1=。，貝I—〃計1二0,即〃〃=〃〃+1=。，這與4=1矛盾，所以〃計1。0,

11?

2

由。“一。用=2兩邊同時除以4Ml+i，得二~=,

Un+1Un

則^———2_2

=2"-\—-------—=2"-11=?z11=z

anan-\an-\〃及-2a3a2，a2ax

上面的式子相加可得：—=2+22+23++2"T=X--------'-=X-2

冊%1-2

所以

Z—1

【鞏固練習(xí)3】已知數(shù)列｛g｝滿足％=2,且("+1”,#]-啊!=2",則%=

A.2B.4C.6D.8

【答案】4

【詳解】由(〃+l)4+i—兇“=2",且q=2,根據(jù)累加法可得：

nan^nan-(n-l)an_l+(n-l)an_l-(n-2)an_2+---+2a2-a1+a,

=2'i+2"-2+2"-3+…+2+2=2",(力?2),

2n24

所以。〃=一,(n>2),則/=—=4.

n4

【鞏固練習(xí)4】在首項為1的數(shù)列｛4｝中+,則%,=

【答案】3-箸

【解析】因為an+1-an=n-

所"以a?—q=1x—,

a3—a2=2x

a4-a3=3x

見一”“T=("一1)]￡|(讓2),

以上各式相加得：=lx—+2x—+3x—+

AC

=an-al=lx-+2x—+3x-+

；S=lx(+2x!++(〃—l)x!(“22),②

錯位相減：①—②有，—S=—I--+—；■—(〃—1)—(〃22)

22222〃T',2〃7

即齊=2【：J_僅_吟(〃。2),

ZI——/

所以S=2--々_匕12_空^〃22),

2及t2〃-12〃—1'

r?_|_1

又因為%=1,所以有，所以〃〃=3+1=3-萬丁(〃22),

檢驗H=1時，〃]=1符合上式，所以以〃=3_￡N*).

【題型5】累乘法

基礎(chǔ)知識

區(qū)=加-1)

a.

=a-f(ji)—=/(n)|型的遞推數(shù)列(其中/(〃)是關(guān)于〃的函數(shù))可構(gòu)造：,-=/(?-2)

形故口氏+1an-2

Ian)

”■⑴

%

將上述嗎個式子兩邊分別相乘,可得：an=/(?-1)-/(?-2)?■/(2)/(1)^,(?>2)

有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解.

13.(2024?四川瀘州?三模)已知S,是數(shù)列｛%｝的前“項和，q=l,服向=(〃+2電，貝ija“=.

【答案】(〃+1>2"-2

【解析】當(dāng)心2時，(〃-l)a“=(〃+l)S“T，即S"=」.，七丁

n+2n+1

nn-\即&2(〃+2)

則S—I向

an〃+l

則有一型也*=2na2_2x3

a

%nn-2九一142

則an=—^x—x絲xq=(n+lY2n~2

an-lan-24

當(dāng)〃=1時，a,=l,符合上式，故q=(〃+l)-2"2.

故答案為：(〃+1)-2『

14.已知q=1,a”=〃(%+1N+),則數(shù)列｛叫的通項公式是%=()

A.2n-lC."2D.n

【答案】D

【詳解】由4=＞（%—4）,得（九+1）%="+1,

即3an+}=——n+1

n

Q〃T二九一1冊一2二孔一2%_2

則n>2

a9

n-2幾_2，an_3n-36Z11

由累乘法可得,=〃，所以q=〃，〃之2,

又%=1,符合上式，所以

15.在數(shù)列｛斯｝中，ai=l,〃〃=[1-：＞〃_1（生2）,求數(shù)列｛斯｝的通項公式.

【答案】a=-

nn

【分析】利用累乘法即可求出數(shù)列｛。幾｝的通項公式.

（14“〃一1

【詳解】因為。尸1,4二1一一。〃一1（論2）,所以二,

In）。〃一1〃

於,〃_an1%-2%%n—1n—2YI—3211

所以為-------------…-------an\--------------...----1=—.

。〃一1。〃一2"〃-312—1YI—232n

又因為當(dāng)幾=1時，ai=X,符合上式，所以斯二L

n

16.（2022?新高考1卷）為數(shù)列｛為｝的前〃項和，已知4=1,是公差為1的等差數(shù)列，求｛%｝的

通項公式.

【答案】Wa=

n2

S.,是公差為g的等差數(shù)列,

【詳解】（1）：4=1,.?.岳=4=1,；.」=1,又：

%

“+2”.

a'3…"

n3

〃+1)%

.?.當(dāng)a22時，S)1

3

n+2)an

%=S“-S"T

3~3

整理得：(〃—=(〃+l)a.i，

ann+1

即一二—7,

%〃一1

顯然對于〃=1也成立,，｛“〃｝的通項公式。〃=

2

【鞏固練習(xí)1】已知數(shù)列｛4｝滿足：%=1且&=」1(心2,〃eN*),則數(shù)列｛4｝的通項公式

an-\〃一]

為.

【答案】ajn

an

【解析】因為---=----H>2,neN*

。2_2。3_3〃4_4n

所以

q]'42'/3'，an_xn-1

n

累乘可得空.殳,幺4=x

axa2a3an_x123n-1

即肅二及，所以4=孔(〃>2),

當(dāng)〃=1時，4=1也成立,

所以〃〃二場.

故答案為：cin=n

【鞏固練習(xí)2]已知數(shù)列｛g｝的前幾項和為r，6=1,3s“=(〃+2M,求數(shù)列｛%｝的通項公式.

【詳解】因為35“=(〃+2)可，所以當(dāng)“22時，3S“_i=("+l)a,T,

兩式作差可得3a.=(〃+2應(yīng)一,整理得(〃T)%=(〃+l)a“_i.

〃i=l,令〃=2,則3(4+々2)=4〃2，/.電=3,

n+1

所以％w°,所以一~=

〃〃-1n-1

aa_aa_n+1nn-143.n(n+l)

則%nnx32

21'~—2

an_xan_2a2qn—1n—2n—3

〃(幾+1)

當(dāng)撲=1時，q=l也符合上式，綜上,

2

【鞏固練習(xí)3】已知數(shù)列｛%｝的首項為1,前〃項和為%且“S用=(〃+2)S“，則數(shù)列｛4｝的通項公

式an=?

【答案】n

Sn+2

【詳解】解：用=(〃+2)S“，.?.怦n+]=——

S”“

當(dāng)“22時，5?=-^x-^x.x^xS,,

n+1nn—1n—26543r

=-----x-------x------x-------x---x—x—x—x—xl

n—1n—2n—3n—44321

_n(n+l)

一_2~

1x2

當(dāng)〃=1時，S]=2=1=q成立,

.n(n+l)

..=---------,

〃2

?.ccn(n+l)(n-I)n

當(dāng)"22時，an=Sn-S,_]=------------------=n,

當(dāng)n=l時，/=1滿足上式，

?,?凡=〃.

2

【鞏固練習(xí)4】已知數(shù)列｛凡｝的前〃項和為%Sn=nanf%=1,則S〃=.

【答案】R

n+1

222

【解析】當(dāng)〃22時，Sn=nan,則S?+1=(w+l)a?+1,兩式作差得5,1+]-Sn=(〃+ifan+l-nan,即

22

4向=5+Dan+l-nan,即(〃+2)a“M=nan,

nan-1/八

所以&包----即一^二(n>2)

9

n+21an_xn+V)'

又由S?=224且q=1,即1+%=4%,所以4=ga.1

,可得」

3J

._a_a?_an-1n-2〃一321

則nann----n----------2-???一2.ai------7-------..------11=〃(九+1)(〃22).

??-la?-2an-3ai〃+lnn—143

y222(-一一彳),

顯然時也符合=而可，可得“"二—

4=14nn+1

_?_11111、”1、2〃

所以S“=2(Z1—彳+彳一；++-------)=2(1-------)=--

223nn+1n+1n+1

故答案為：R.

n+1

【鞏固練習(xí)5】已知數(shù)列｛%｝滿足％=1,%=，，4。“+，=4%1，則氏的最小值為

16

【答案】］

64

【解析】因為％=1,%=7,44+2=4匕1，所以q產(chǎn)0,

%+ia、1

所以片號，因此數(shù)列.是首項為『正，公比為4的等比數(shù)列，

所以如=J-x4"T=4"3

a,,16

(〃-1)5-6)

當(dāng)“22時，a,=LS?"q=4"'4"-'x…x4/xl=42

an-\an-2ax

-,,,ST)。i)

因為”=1時，4—L=]=q'所6|以％,=42=421i..

ua1

因此當(dāng)〃=3或〃=4時，〃”取得最小值，為4二一

64

【題型6］前n項之積Tn

基礎(chǔ)知識

前n項積1

n(n+l)

角度1:已知北例子：｛2｝的前n項之積T〃=22〃￡N*).

角度1：用，得到an

和〃的關(guān)系4一1

角度2：已知7,例子：已知數(shù)列｛〃"｝的前〃項積為T”，且

角度1：用r-替換題目中

4一112I

和的關(guān)系---1--=1

冊T-

ann

17.已知數(shù)列｛%｝前〃項積為［，且。"+7；=15€z),求證：數(shù)列1占,為等差數(shù)列;

【詳解】因為氏+7；=1,所以4=1一％，％=，

所以&1=1一%T(〃N2),

1—/C、1

兩式相除，得為=■;-----(n>2)整理為-----,

2

l-4-i-?n-i

11“C、

再整理得，-----------=1(〃22).

所以數(shù)列「一為以2為首項，公差為1的等差數(shù)列

1-4，

18.已知數(shù)列｛4,｝的前〃項和為S”(〃eN*),在數(shù)列｛〃｝中，4=q=l,na”-(“一1)%=2n-1,

b、b力3。也+1=3可，求數(shù)列｛%｝,抄“｝的通項公式

【詳解】(1)由已知得，當(dāng)”22時

叫“=["4-(〃-1)%-[+[(〃-1)%-1一("-2)4_2]+—+[2。2-?1]+?1

=(2a-1)+(2”-3)++3+l=n2.

/.an-n(n>i)

當(dāng)〃=1時，%=1,也滿足上式.所以凡="("21)

當(dāng)〃22時，%=?哈…？=3S--V1=3",二b?=3"-'(?>3)

她4…6“7

當(dāng)〃=1時，4=1,符合上式

當(dāng)”=2時，仄%=3%=3,所以4=3,也符合上式，綜上，bn=T