熱點06三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

明考情?知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測

2022年，第9題，綜合考察三角函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)y=Asin（ox+。）的圖象變換以及三角函數(shù)的周

2023年，第6題，三角函數(shù)對稱性和周期性期性、對稱性、單調(diào)性，最值（值域）是天津高考重

2024年，第7題，三角函數(shù)周期與最值。點。2025年高考也很有可能在選擇題或填空題考察

該知識點。

熱點題型解讀

題型1三角函數(shù)圖象變換

畫出y=sin的圖象j聚|加i出y=sin"的圖象

露「二嗣㈤個單位向橫坐標(biāo)變?yōu)椴穪沓?/p>

|得至U0=sin(x；W的圖知.驟卜|得到y(tǒng)=s;n5的圖象|

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉砥弑叮粌訷。霽k土''單位

［得至I］y=sin(9；r+0的圖象*藁-1得到了=sin(gjj：+0的圖象|

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓?/p>

|得到y(tǒng)=Asin(s+@的圖象|-：聚f［得至I］y=Asin(:7+3)的圖象|

1.(23-24高三上?天津濱海新?階段練習(xí))要得到y(tǒng)=cos(4x-；J的圖象，只需將函數(shù)y=cos4x圖象()

A.向左平移三個單位B.向右平移二個單位

1212

C.向左平移三個單位D.向右平移三個單位

2.(2024?福建廈門?三模)將函數(shù)/(x)=sin2x+6cos2x的圖象向右平移g個單位后得到y(tǒng)=g。)的圖象，

6

則()

A.g(x)=2sin2xB.g(x)=2sin(2x+^J

C.g(x)=2sin^2x+y^D.g(x)=2sin(2x+/］

3.(2024?遼寧?模擬預(yù)測)將函數(shù)y(x)=cos2x-6sin2x的圖像向右平移0(夕＞0)個單位長度后，所得圖像

對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)，則。的最小值為.

4.(24-25高一上?全國?課后作業(yè))將函數(shù)〃x)=asinxcosx的圖象向左平移”個單位長度，再將橫坐標(biāo)

變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，可以得到函數(shù)g(x)=sin(x-。的圖象，則“小=.

5.(23-24高三上?河北滄州?階段練習(xí))已知函數(shù)『由"+1os。龍-手(。＞0),將函數(shù)的圖象向右平

移言個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象.若函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,2兀］上有且僅有2個最大值，則。的取值

范圍是?

題型2根據(jù)圖象求解析式

求f{x)=Jsin(?yx+<p)+5解析式

48求法3B=/（X）3

方法一：代數(shù)法1，,胃方法二：讀國法&表示平衡位置；4表示振幅

\rA+B=f（x}^

⑷求法

方法一：圖中讀出周期T,利用T='求解；

a

方法二：若無法讀出周期，使用特殊點代入解析式但需注意根據(jù)具體題意取舍答案.

中求法方法一：將最高（低）點代入，力=dsin（0x+0）+B求解；

方法二：若無最高（低）點，可使用其他特殊點代入〃》）=,4如（如+0）+3求解3但需注

意根據(jù)具體題意取舍答案.

1.（2024?天津武清?模擬預(yù)測）己知函數(shù)/（x）=Asin（0x+。）}>0,。>0,|夕|<3的部分圖象如圖所示，則

下列說法錯誤的是（）

A./（x）的圖象關(guān)于直線工=曾對稱

B.于（0）=6

JT

C.該圖象可由y=2sin2x的圖象向左平移g個單位得到

6

547T

D./（x）在一法，一可上單調(diào)遞減

2.（2024?河南三門峽?模擬預(yù)測）己知函數(shù)/a）=Asin3x+0）（A>0,o>0,[a<7i）的部分圖象如圖所示,

將“X）的圖象向左平移彳個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）在區(qū)間的]上的值域為卜后2],則

/的取值范圍為（）

5兀5兀57r

c.D.—，兀

n,~612

3.（2024?天津河西?模擬預(yù)測）函數(shù)尤）=Acos（0X+e）（A>O,0>O,-］<e<（）J的部分圖象如圖所示，則

①函數(shù)|/（x）|的最小正周期為2；

②點為〃尤）的一個對稱中心;

3

③函數(shù)〃x）的圖象向左平移|■個單位后得到〉=4$皿5+0）的圖象;

3

④若已知函數(shù)”X）在區(qū)間［0,間有且僅有3個最大值點，則函數(shù)“X）在區(qū)間-石九°上是增函數(shù).

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.（2023?天津和平二模）已知函數(shù)/（x）=Asin（0x+o）［A>O,0>O,|d<3的部分圖像如圖，將函數(shù)

的圖像所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的|■倍，再將所得函數(shù)圖像向左平移J個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖

像，則下列關(guān)于函數(shù)g（x）的說法正確的個數(shù)為（）

①點G，。）是g（X）圖像的一個對稱中心

②x=2是g（x）圖像的一條對稱軸

6

JTTT

③g（x）在區(qū)間-子§上單調(diào)遞增

④若|g(%)-g(*2)|=4,則禺-X2I的最小值為y

5.(2023?天津北辰三模)已知函數(shù)〃x)=Acos(0x+0)(A＞0,0,［同＜］)的部分圖象如圖所示,

關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：

①的圖象關(guān)于點［與，。］對稱；

②“X)的圖象關(guān)于直線X=-著對稱；

③“X)的圖象可由y=2sin(2x-￡|的圖象向左平移T個單位長度得到；

④若方程g(x)=＞。)在［o，g］上有且只有兩個極值點，則t的最大值為。.

以上四個說法中，正確的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

題型3三角函數(shù)周期

2乃

(1)函數(shù)y=Asin(s+0)的最小正周期丁=一,應(yīng)特別注意函數(shù)y=|Asin(s+0)|的周期為

JI27r

T=~~,函數(shù)y=|Asin(0x+o)+b1(Z?w0)的最小正周期T=；~.

\a)\\a)\

i

⑵函數(shù)y=Acos(Ox+0)的最小正周期T=；一-.應(yīng)特別注意函數(shù)y=|ACOS(GX+O)|的周期為

T=-~~-.函數(shù)y=|Acos(s+0)+Z?|(bwO)的最小正周期均為7=^—;.

㈤⑷

71

(3)函數(shù)y=Atan(s+。)的最小正周期丁=」.應(yīng)特別注意函數(shù)y=1Atan(s+0)||的周期為

i

7171

T=~,函數(shù)y=|Atan(5+0)+b|(bwO)的最小正周期均為T=「.

\a)\\a)\

1.(2024?天津?一模)下列函數(shù)中，以T為周期，且在區(qū)間［：，三］上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=sin|x|B./(x)=|sin2x|

C./(x)=cos|x|D./(x)=|cos2x|

2.(2024?全國?模擬預(yù)測)函數(shù)/a)=cos［：+x］sinx的最小正周期是()

7171一

A.—B.—C.兀D.2兀

42

3.(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測)下列函數(shù)中，以兀為周期，且其圖象關(guān)于點對稱的是()

A.y=tanxB.y=|sinx|C.y=2cos2x-lD.y=sinx-cosx

4.(23-24高一下?河南信陽?階段練習(xí))給出下列函數(shù)：

①y=cos|2.；②y=|cosx|；③y=cos(2x+聿］；④y=tan(2尤.

其中最小正周期為兀的有()

A.①②③B.①③④C.②④D.①③

題型4三角函數(shù)單調(diào)性

將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個角"(或。，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求

iI

一；…7帽殍舞高1匚二模)將函數(shù)y=Sin2x的圖像向君澤花而滯福謙「湎窗薪y(tǒng)=f(x)的圖像，則

下列說法正確的是（）

A.若展%則是奇函數(shù)B.若夕=：，則“X）在區(qū)間"會上單調(diào)遞減

C.若＜p=3,則〃x）的圖像關(guān)于點|j,0j對稱D.若夕=g,則在區(qū)間上單調(diào)遞增

22L

兀

2.(2023?天津?二模)若函數(shù)/(x)=2sinCDX+—（。＞0）在區(qū)間-?。萆暇哂袉握{(diào)性，則。的最大值是（）

66O

A.1B.2C.3D.4

71

3.（2024?青海海南?二模）已知函數(shù)/（尤）=cos(DX~^,^>0,XGR,且/(a)=—1,/(6)=0.若la—尸I的最

小值%,則/⑺的單調(diào)遞增區(qū)間為（)

兀7兀7

A.-------Fkit,----FKH，左￡ZB.--+2fai,-+2hi,%￡Z

36_36

兀,5兀,71…5

C.----Fkll,---FK71，左￡ZD.---+24兀,一+2左兀，左wZ

1212121

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）函數(shù)〃x）=-3.；cos2x+e的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

i

_

月二_.兀72兀

A.kjt-1k+|_，左￡ZB.kitH----,K7tH-------,kGZ

__63J

36i_

7717兀771.5K

C.kn-——,K7l---，左￡ZD.kit---,kuH-------，左￡Z

1212__1212.

5.（2023?天津和平?三模）已知函數(shù)〃x）=gsin20x+cos2g（o＞O）,（i）若。=1,將函數(shù)〃x）沿x軸

;(ii)若〃尤)在g

向右平移個單位后得到一個偶函數(shù)，貝，兀上單調(diào)遞增，則

?的最大值為

6.（2024?河南?三模）在VABC中，tanA=3tanB,4-8的最大值為。.若函數(shù)/（力=$皿5+。（。＞0）在

JTJT

區(qū)間上單調(diào)遞增，則0的最大值為

66

題型5三角函數(shù)奇偶性

JT

（1）函數(shù)y=Asin（6yx+。）是奇函數(shù)左"（左eZ）,是偶函數(shù)OR=k%十5（keZ）；

（2）函數(shù)y=Acos（@r+0）是奇函數(shù)=0=左乃+,（左eZ）,是偶函數(shù)=。=左"（左eZ）；

（3）函數(shù)y=Atan（0x+°）是奇函數(shù)=比"（氏eZ）.

1.（2022?天津和平?三模）函數(shù)〃x）=cos12x將函數(shù)〃x）的圖象向左平移夕（夕＞0）

個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）為偶函數(shù)，則。的最小值是（）

7157rTC71

A.—B.—C.—D.一

121263

2.（22-23高一下?陜西渭南?期中）下列函數(shù)中，在［0,f）上遞增，且周期為兀的偶函數(shù)是（）

A.y=sinxB.y=coslxC.y=tanxD..y=lsinx|

3.（24-25高二上?廣西柳州?階段練習(xí)）將函數(shù)〃x）=sin（2x+：）的圖象向右平移。（0個單位

長度后，所得函數(shù)為偶函數(shù)，則。的值為（）

兀5兀71兀

A.—B.—C.-D.一

121263

7T

4.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（無）=2sin（s+0）,（。＞0,|如＜5）的部分圖象如圖所示.若將函

數(shù)/（元）的圖象向右平移々＞0）個單位長度，得到函數(shù)g。）的圖象.若函數(shù)g。）為奇函數(shù)，貝曠的最小值

是.

5.（2024?湖北?三模）設(shè)函數(shù)，。）=$皿％+?）+8$（刀+0）對任意的不€1＜）均滿足/（-%）=/（%），貝（jtane=

題型6三角函數(shù)對稱性

JT

（1）函數(shù)y=AsinQyx+e）的圖象的對稱軸由a＞x+cp=kn+—（keZ）解得，對稱中心的橫坐標(biāo)由

cox+（p=k兀（々eZ）解得；

（2）函數(shù)y=AcosQyx+0）的圖象的對稱軸由。%+。=左萬（左eZ）解得，對稱中心的橫坐標(biāo)由

cox+0=k兀+—（左￡Z）解得；

kn

（3）函數(shù)y=Atan（0x+。）的圖象的對稱中心由。葉+夕=；-左eZ）解得.

1.（2024?天津南開?二模）已知函數(shù)〃x）=sin（2x+°）（0＜。＜兀），=貝l］（）.

A./（0）=|

B.外”的圖象向左平移g個單位長度后關(guān)于y軸對稱

0

c.“X）在上單調(diào)遞減

2.（2024?天津濱海新,三模）已知函數(shù)〃x）=sin0尤-關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法:

（1）函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于點1萬,0J中心對稱

（2）函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于直線尤=-白對稱

8

（3）函數(shù)/（x）在區(qū)間（-兀，兀）內(nèi)有4個零點

（4）函數(shù)/（X）在區(qū)間一萬,0上單調(diào)遞增

以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2023?天津?一模）已知函數(shù)〃x）=（asiru:+cosx）cosx-g（aeR）的圖象的一個對稱中心為,則

關(guān)于/（X）有下列結(jié)論：

①“X）的最小正周期為兀；

②x=q是〃X）圖象的一條對稱軸;

TT27r

③/■（》）在區(qū)間上單調(diào)遞減；

o3

④先將函數(shù)V=2sin2x圖象上所有點的縱坐標(biāo)縮短為原來的5,然后把所得函數(shù)圖象向左平移二個單位長

21

度，得到“X）的圖象.

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2024?天津河西?二模）若函數(shù)〃x）滿足對于xeR,/Q+^=/Q-^,〃2+x）=—〃x）,則〃x）

的解析式可能為（）

.「兀兀、「兀兀、

A.sin—x+—B.cos—x+—

（26j（23J

.（兀、c/兀5兀）

C.47tsin7ixH—D.2cos—xH------

I6j126J

5.（2024?天津河?xùn)|?一模）關(guān)于函數(shù)〃x）=tan（2x+1］,下列結(jié)論正確的為（）

A.〃x）的最小正周期為兀B.宿,。）是〃x）的對稱中心

C.當(dāng)xe0,三時，〃x）的最小值為0D.當(dāng)xegg［時，〃x）單調(diào)遞增

題型7三角函數(shù)值域（最值）

I''運'

100目雹

i

i

1、直接法：形如y=asinx+/或y=acosx+A的三角函數(shù)，直接利用sinx,cosx的值域求出；

I

i

2、化一法：形如v=osinx+bcosx+k的三角函數(shù)，化為y=Asin（ox+（p）+k的形式，確定mx+（p的范圍，

I

i

根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域（最值）；

i

3、換元法：

i

i

（1）形如V=asi/x+6sinx+k的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=乙化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域（最值）；

I

（2）形如y=asinxcos%+伏sinx±cosx）+c的三角函數(shù)，可先設(shè)t=sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求

?

值域（最值）

I

L____________________________________________________________________________________________________________________

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）把函數(shù)〃x）=sinx+cosx的圖象向右平移宙?zhèn)€單位長度，可以得到函數(shù)g（x）的

圖象，則，［在L上的最小值為（）

/⑺1_38」

A.2+A/3B.2—y/3C.-y/2—1D.1-V2

（?河南南陽?一模）已知角為銳角，貝|?。?—

2.2024a的最小值為（）

2sinac（

A.2B.--V3C.1D.-

333

3.(2024?天津河北?二模)已知函數(shù)〃七)=$何(5+夕)(0>0,0<9<])的最小正周期為7,若〃T)=g,

x=g時函數(shù)/(x)取得最大值，貝1]。=,。的最小值為.

4.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)已知函數(shù)”同=1+1211"+5)(0€2且0*0)在區(qū)間卜爸上單調(diào)遞減,

則函數(shù)g(x)=2cos%x-2后in&rcoso尤在0弓上的最大值與最小值的和為.

5.(2023?天津和平?一模)己知tan[tz+：]=2cos2a.

(1)求a的大?。?/p>

⑵設(shè)函數(shù)/(x)=sin(x+2(z),XG[0,TI],求/(x)的單調(diào)區(qū)間及值域.

題型8三角函數(shù)零點問題

；考察類型：

(1)考察零點個數(shù)問題；

(2)考察零點代數(shù)和問題

方法：將函數(shù)/(%)=ASin(@r+°)+6=進(jìn)行換元轉(zhuǎn)換：

,fy=sinZ

ITJ—h

(1)令/=5+0,從而轉(zhuǎn)換為sinf=-----,進(jìn)而轉(zhuǎn)換為：\m—b，畫出圖象，找交點，交點的

A〔y=---A----

個數(shù)就是原函數(shù)零點的個數(shù)；交點橫坐標(biāo)就是原函數(shù)零點

2cos2X,-TI<x<0

1.(22-23高三下?天津濱海新?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(%)=16八，關(guān)于x的方程

x+---8o,x>0

2產(chǎn)(%)+(5-2。)/(%)-5〃=。在[一兀,+00)上有四個不同的解玉,馬，工3，工4，且玉<%2<%3<%4，若

元+x][2

1,2+^-——之。恒成立，則實數(shù)左的取值范圍是()

/v4R4/4

A.[-71,+oo)B.c.(-00,0)[it,+00)D.1一00，-；

2.(24-25高一上?天津南開?期末)若方程cos2x+6sin2x=a在區(qū)間[0,學(xué)內(nèi)有兩個相異的解a,夕，則

a+/3=.

3.(2024?江西新余?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=sinx+acosx的一條對稱軸為工=則零點的最大負(fù)

值為：.

4.(2024?天津和平?一模)若函數(shù)/l(x)=sin]a7tx-^j(ax2-4x+3a+4)(其中。>0)在區(qū)間[0,5]上恰有

4個零點，則a的取值范圍為.

71

5.(2024?上海■模擬預(yù)測)已知/(x)=sin(0x+1),co>0

(1)設(shè)0=1,求解:y=f(x),xe[0,兀]的值域；

⑵0>兀(敏2,/(幻的最小正周期為無，若在了成兀河上恰有3個零點，求。的取值范圍.

限時提升練

(建議用時：60分鐘)

一、單選題

1.（2022?天津河北?一模）將函數(shù)〃x）=sin2x+括cos2x的圖象向右平移看個單位長度后得到函數(shù)g（x）的

圖象，則函數(shù)g（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間為（）

7171713兀

A.~4B.5

4__4T_

7171

C.D.兀n

~36_

2.（2024?天津河西?三模）已知函數(shù)〃無）=2sin1Ox+e+eJ（其中0>0,0,當(dāng)=

時，上-當(dāng)|的最小值為W，〃x）=/］-尤，將“X）的圖象上所有的點向右平移g個單位長度，所得圖

216）6

象對應(yīng)的函數(shù)為g（x）,則g（x）=（）

C.2sinf2x--^-D.2sinf4x--^-

A.2cos2xB.2sin2x

3.（202小天津二模）將函數(shù)〃引=852龍-5加3尤-2的圖象向左平移白個單位長度得到函數(shù)8（”的圖象,

2o

下列結(jié)論正確的是（）.

A.g（x）是最小正周期為兀的偶函數(shù)B.點g，。］是g（尤）的對稱中心

C.g（x）在區(qū)間［-白,《上的最大值為:D.g（x）在區(qū)間（0,小上單調(diào)遞減

4.（2024?天津南開?一模）關(guān)于函數(shù)y=3cos12x+［J,則下列結(jié)論中:

①-兀為該函數(shù)的一個周期；

②該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=］對稱;

③將該函數(shù)的圖象向左平移g個單位長度得到，=3cos2x的圖象：

6

冗7T

④該函數(shù)在區(qū)間一"上單調(diào)遞減.

o0

所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B,③④C.①②④D.①③④

5.（2024?四川成都?三模）在物理學(xué)中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的

距離的運動稱為"簡諧運動”.在平面直角坐標(biāo)系下，某個簡諧運動可以用函數(shù)/（切=Zsin（3K+9）（A>0,

。>0,網(wǎng)〈兀）來表示，其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的編號是（）

①函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于點K，o］成中心對稱；

②函數(shù)“X）的解析式可以為=2cos12x-g）；

7T131T

③函數(shù)/（X）在上的值域為［0,2］；

④若把〃x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的|■倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移自個單位，則所得函數(shù)

是y=2sin13x+總

A.①③B.②③C.③④D.①④

6.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）函數(shù)/（x）=Asin（0x+"）（A>O,0>O,|d<3的部分圖象如圖所示，下列說

法正確的是（）

B.函數(shù)f（x）的最小正周期為2兀

C.函數(shù)在上單調(diào)遞減

7T

D.函數(shù)/（尤）的圖象上的所有點向左平移芻個單位長度后，所得的圖象關(guān)于y軸對稱