考前突破04圓的相關證明與計算（2大必考題型）題型一：圓的基本性質的證明與計算題型二：與切線有關的證明與計算題型一：圓的基本性質的證明與計算【中考母題學方法】1．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，是的直徑，是的兩條弦，點與點在的兩側，是上一點（），連接，且．(1)如圖1，若，，求的半徑；(2)如圖2，若，求證：．（請用兩種證法解答）2．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，是的直徑，是的兩條弦，點與點在的兩側，是上一點（），連接，且．(1)如圖1，若，，求的半徑；(2)如圖2，若，求證：．（請用兩種證法解答）3．（2024·安徽·中考真題）如圖，是的外接圓，D是直徑上一點，的平分線交于點E，交于另一點F，．(1)求證：；(2)設，垂足為M，若，求的長．4．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，中，，D為中點，，，是的外接圓．(1)求的長；(2)求的半徑．5．（2024·陜西·中考真題）如圖，直線l與相切于點A，是的直徑，點C，D在l上，且位于點A兩側，連接，分別與交于點E，F，連接．(1)求證：；(2)若的半徑，，，求的長．6．（2024·新疆·中考真題）如圖，在中，是的直徑，弦交于點E，．(1)求證：；(2)若，求的長．7．（2024·貴州·中考真題）如圖，AB為半圓O的直徑，點F在半圓上，點P在AB的延長線上，與半圓相切于點C，與的延長線相交于點D，與相交于點E，．(1)寫出圖中一個與相等的角：______；(2)求證：；(3)若，，求的長．8．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，直線與相切于點，為的直徑，過點作于點，延長交直線于點．(1)求證：平分；(2)如果，，求的半徑．9．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在中，，為的外接圓，為的切線，為的直徑，連接并延長交于點E．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．【中考模擬即學即練】10．（2025·山東臨沂·一模）如圖，為的外接圓，直徑于E，過點A作的切線與的平分線交于點F，交于點G，交于點H，交于點M，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長．11．（2024·廣東·模擬預測）綜合運用如圖所示，圓內接四邊形中，點B平分，平分．(1)求證：．(2)若，求證：．(3)求證：．12．（2024·湖北·模擬預測）如圖，在中，弦，相交于點M，且．(1)求證：；(2)連接，，若是的直徑，，求的長．13．（2024·貴州·模擬預測）如圖，四邊形內接于，，，交于點，，，三點共線．(1)圖中與相等的是_______；(2)求證：；(3)若，，求的長．14．（2024·江蘇南京·二模）如圖，、是的兩條弦，與相交于點E，．(1)求證：；(2)連接，作直線，求證：．15．（2024·貴州黔東南·二模）如圖，是的外接圓，且過點B作，垂足為點E，延長交于點D，連接，并延長交于點F．(1)寫出圖中一個與相等的角∶；(2)求證∶(3)若，求的半徑．16．（2024·天津紅橋·一模）已知與相切于點，直線與相交于，兩點，為的中點，連接并延長，交的延長線于點．(1)如圖①，若為的中點，求的大小；(2)如圖②，連接與相交于點，求證：．17．（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，已知的內接為等邊三角形，連接頂點C與圓心O，并延長交于點，交于點，連接，．(1)圖中與全等的三角形是，圖中度數為的角有個；(2)求證：；(3)連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．18．（2024·安徽宣城·模擬預測）如圖，內接于⊙是⊙的直徑，為優弧的中點，連接，延長交于點．(1)求證：．(2)求證：．19．（2025·安徽·模擬預測）如圖，是⊙O的弦，半徑，垂足為D，弦與交于點F，連接，，．

(1)求證：；(2)若，，，求的長．20．（2025·湖北十堰·模擬預測）如圖，的直徑垂直弦于點E，F是圓上一點，D是的中點，連接交于點G，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長．21．（2025·廣東·模擬預測）如圖，點D，E在以為直徑的上，的平分線交于點B，連接，，，過點E作，垂足為H，交于點F．

(1)求證：；(2)若，，求．22．（2024·浙江·模擬預測）如圖，AB是半徑為的的直徑，是的中點，連接CD交AB于點，連接．(1)求證：．(2)若，求AD的長．(3)如圖，作于點，交AD于點，射線CB交AD的延長線于點，若，求的長．23．（2024·貴州黔東南·一模）如圖，為的弦，為的直徑，與相交于點，連接，，，過點作于點．(1)求證：；(2)當時，求證：；(3)在（2）的條件下，若，，求圖中陰影部分的面積．24．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知：為的直徑，弦交于點H，點F為弧上一點，連接交于點E，交于點G，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，在（1）的條件下，連接，當，，時，求的長．25．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，是的直徑，是的兩條弦，點與點在的兩側，是上一點（），連接，且．(1)如圖1，若，，求的半徑；(2)如圖2，若，求證：．（請用兩種證法解答）26．（2024·湖北十堰·一模）如圖，在中，以為直徑作，交于點，過作交于點，連接．(1)求證∶；(2)若，，求的度數；(3)若，，求的長．27．（2024·湖南·模擬預測）如圖（1）所示，已知在中，，在邊上，點為邊中點，為以為圓心，為半徑的圓分別交，于點，，連接交于點．(1)如果，求證：四邊形為平行四邊形；(2)如圖（2）所示，連接，如果，求邊的長；(3)連接，如果是以為腰的等腰三角形，且，求的值．題型二：與切線有關的證明與計算【中考母題學方法】1．（2024·廣西·中考真題）如圖，已知是的外接圓，．點D，E分別是，的中點，連接并延長至點F，使，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)求證：與相切；(3)若，，求的半徑．2．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，中，，，經過B，C兩點，與斜邊交于點E，連接并延長交于點M，交于點D，過點E作，交于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．3．（2024·內蒙古通遼·中考真題）如圖，中，，點為邊上一點，以點為圓心，為半徑作圓與相切于點，連接．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．4．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，在中，，，經過A、C兩點，交于點D，的延長線交于點F，交于點E．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的半徑．5．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，以為直徑的交于點，垂足為．的兩條弦相交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，求扇形的面積．6．（2024·四川·中考真題）如圖，AB為⊙O的弦，C為的中點，過點C作，交的延長線于點D．連接．

(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若，求的面積．7．（2024·遼寧·中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，點在上，，在的延長線上，．(1)如圖1，求證：是的切線；(2)如圖2，若，，求的長．8．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，內接于，D是上一點，．E是外一點，，連接．(1)若，求的長；(2)求證：是的切線．9．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，內接于，為的直徑，點D為上一點，，延長至E，使得．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．10．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，已知是的直徑，是的弦，點在外，延長，相交于點，過點作于點，交于點，．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為6，點為線段的中點，，求的長．11．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，是的直徑，點C是上的一點，點P是延長線上的一點，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，求證：；(3)若于D，，，求的長．12．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，內接于，點為的中點，連接，平分交于點，過點作交的延長線于點．(1)求證：是的切線．(2)求證：．(3)若，，求的長．13．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，是直徑，是弦，且，垂足為，，，在的延長線上取一點，連接，使．

(1)求證：是的切線；(2)求的長．14．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，是延長線上一點，連接，，且．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．15．（2024·西藏·中考真題）如圖，是的直徑，C，D是上兩點，連接，，平分，，交延長線于點E．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為5，，求的長．16．（2024·浙江·中考真題）如圖，在圓內接四邊形中，，延長至點E，使，延長至點F，連結，使．(1)若，為直徑，求的度數．(2)求證：①；②．17．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，已知內接于，是的直徑，的平分線交于點，過點作，交的延長線于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的直徑．18．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，為的直徑，點在上，連接，點在的延長線上，．(1)求證：與相切；(2)若，求的長．19．（2024·內蒙古·中考真題）如圖，內接于，直徑AB交CD于點，過點作射線，使得，延長交過點的切線于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若．①求DE的長；②求的半徑．20．（2023·四川資陽·中考真題）如圖，已知的圓心O在的邊上，與相交于A、E兩點，且與邊相切于點D，連結．(1)若，求證：是的切線；(2)若，求的半徑．21．（2024·山東日照·中考真題）如圖1，為的直徑，是上異于的任一點，連接，過點A作射線為射線上一點，連接．【特例感知】（1）若．則_______．（2）若點在直線同側，且，求證：四邊形是平行四邊形；【深入探究】若在點C運動過程中，始終有，連接．（3）如圖2，當與相切時，求的長度；（4）求長度的取值范圍．22．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形中，．點在射線上運動（不與點，點重合），關于的軸對稱圖形為．(1)當時，試判斷線段和線段的數量和位置關系，并說明理由；(2)若，為的外接圓，設的半徑為．①求的取值范圍；②連接，直線能否與相切？如果能，求的長度；如果不能，請說明理由．【中考模擬即學即練】23．（2024·湖北恩施·模擬預測）如圖，已知四邊形中，，點是的中點，，以為直徑作半圓．(1)求證：是的切線；(2)若與的交點是的中點，的半徑為2，求的長．24．（2024·河北·模擬預測）如圖1，在中，，，，延長至點D，使，連接，以為直徑的繞點A順時針旋轉．(1)如圖2，旋轉°時，與第一次相切．(2)在（1）的條件下，判斷與的位置關系并加以證明．(3)如圖3，若與相切于點M，與相交于點N，設陰影部分的面積為S，求S的值．25．（2024·云南昆明·模擬預測）如圖，為的直徑，點E，F是上異于A，B的兩點，延長相交于點D，在的延長線上取點C，連接，已知，，(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為2，，求的長．26．（2024·湖南·模擬預測）如圖，已知AB為的直徑，為上一點，為延長線上一點，連接CD，過點作于點，交CD于點，且滿足．(1)求證：直線CD是的切線；(2)若，，求的長．27．（2024·云南昆明·一模）如圖，與等邊的邊，分別交于點D，E，是直徑，過點D作于點F．(1)求證：是的切線；(2)連接，當是的切線時，求的半徑r與等邊的邊長a之間的數量關系．28．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在四邊形中，平分．點O在上，以點O為圓心，為半徑，作與相切于點B，延長線交于點E，交AD于點F，連接，DE．(1)求證：CD是的切線；(2)若，求的長．29．（2024·江蘇南京·模擬預測）如圖，在半徑為的中，是的直徑，是過上一點的直線，且于點，平分，點是的中點，．(1)求證：是的切線；(2)求的長．30．（2025·湖北黃石·一模）如圖，內接于，為直徑，作交于點E，且．

(1)求證：直線是的切線．(2)如果，，求圖中陰影部分的面積．31．（2025·廣西柳州·一模）如圖，是的直徑，四邊形內接于，連接，，過點作交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為5，求的長．32．（2024·云南昆明·模擬預測）如圖，在中，，以為直徑的交于點D（點D與點A不重合），交于點E，過點E作于點F，交的延長線于點G．(1)求證：是的切線；(2)如圖1，若；求的半徑；(3)如圖2，連接，交點為H，當時，