第01講放縮與相似形

【知識梳理】

1、相似形的概念

（1）相似圖形

我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形，簡稱相似形.

（2）相似圖形在現(xiàn)實生活中應(yīng)用非常廣泛，對于相似圖形，應(yīng)注意：

①相似圖形的形狀必須完全相同；

②相似圖形的大小不一定相同；

③兩個物體形狀相同、大小相同時它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況.

（3）相似三角形

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形.

2、相似多邊形的性質(zhì)

如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的長度成比例.當(dāng)兩個相似的多邊

形是全等形時，它們對應(yīng)邊的長度的比值為L

’」【考點剖析】

一、比例的性質(zhì)

一、單選題

1.（2023秋?上海黃浦?九年級上海市民辦明珠中學(xué)校考階段練習(xí)）已知a;=3?,下列說法中，錯誤的是

b5

（）

a+b8a-b-2a+1ab5

A.------=-B.------=—C.------=—D.—=—

b5b5b+1ba3

2.（2019春?上海楊浦?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知7二:=彳，且b+”0,則廣一;二（）

bd3b+d

2231

A.—B.—C.—D.一

3555

3.（2018秋?上海浦東新?九年級統(tǒng)考期末）已知線段a、b、c、d,如果?=那么下列式子中不一定正

ba

確的是（）

,,,,aca+ca

A.a=c,b=dB.ad=bcC.——-=------D.------=—

a+bc+db+db

4.（2021?上海?九年級專題練習(xí)）已知：a、b是不等于0的實數(shù)，2a=3b,那么下列等式中正確的是

（）

A.-=-D.—=—C.----------=—U.----------=—

b3b2b3b3

5.（2019秋?上海楊浦?九年級校考階段練習(xí)）在比例尺為1：50000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離為

25cm,則甲、乙兩地的實際距離是（）

A.1250kmB.125kmC.12.5kmD.1.25km

二、填空題

6.（2018秋?上海寶山?九年級校考期中）如果?=那么佇_________

b2a+b

7.（2021?上海?九年級專題練習(xí)）已知a:Z?=2:3,b:c=3:5,則a:b:c=.

8.（2018?上海普陀?統(tǒng)考一模）己知;=4，則'=

34y

9.（2018?上海奉賢?統(tǒng)考二模）將6本相同厚度的書疊起來，它們的高度是9厘米.如果將這樣相同厚度

的書疊起來的高度是42厘米，那么這些書有本.

10.（2022秋?上海浦東新?九年級上海市建平中學(xué)西校校考期中）已知點尸在線段AB上，且AP：BP=2：

3,那么AS：PB=.

11.（2021?上海?九年級專題練習(xí)）如圖，D為，ABC的邊AB上一點，如果回ACD=[3ABC時，那么圖中

是AD和AB的比例中項.

二、相似圖形

一、單選題

1.（2021秋?上海?九年級校考階段練習(xí)）下列命題中，錯誤的是（）

A.兩個含有120。角的等腰三角形一定相似B.兩個矩形一定相似

C.兩個等邊三角形一定相似D.兩個正方形一定相似

2.（2022秋?上海浦東新?九年級校考期中）下列圖形一定相似的為（）

A.兩個等腰三角形B.兩個等邊三角形

C.兩個矩形D.兩個平行四邊形

3.（2022秋?上海崇明?九年級校考期中）下列關(guān)于"相似形”的說法中正確的是（）

A.相似形形狀相同、大小不同B.圖形的放縮運動可以得到相似形

C.對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形是相似形D.相似形是全等形的特例

4.（2022秋?上海?九年級上海市格致初級中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.任意兩個菱形都相似

B.任意兩個正方形都相似

C.任意兩個等腰三角形都相似

D.任意兩個矩形都相似

5.（2014秋?上海普陀?九年級統(tǒng)考期末）如圖，用放大鏡將圖形放大，應(yīng)屬何種變換（）

7.（2020秋?九年級校考課時練習(xí)）相似的兩個圖形，它們的大小（填"一定"，"不一定"，"一定

不”湘同.

8.（2017秋?上海?九年級校考階段練習(xí)）某城市的有一時期的兩張地圖，甲地圖比例尺為1:1000000,乙地

圖的比例尺為1:200000,則甲地圖和乙地圖的相似比為

三、解答題

9.（2021?上海?九年級專題練習(xí)）閱讀理解：給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別

是已知矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是給定矩形的"減半"矩形.如圖，矩形4片G。是矩形

ABC。的"減半"矩形.

請你解決下列問題：

D長：12C?^―?G

寬：2寬:3

ABAi'-----'

（1）當(dāng)矩形的長和寬分別為1,7時，它是否存在"減半"矩形？請作出判斷，并說明理由.

（2）邊長為“的正方形存在"減半"正方形嗎？如果存在，求出"減半"正方形的邊長；如果不存在，請說明

理由.

三、相似多邊形的性質(zhì)

一、單選題

1.（2019秋?上海?九年級校考階段練習(xí)）對一個圖形進行放縮時，下列說法中正確的是（）

A.圖形中線段的長度與角的大小都保持不變

B.圖形中線段的長度與角的大小都會改變

C.圖形中線段的長度保持不變、角的大小可以改變

D.圖形中線段的長度可以改變、角的大小保持不變

2.（2017秋?上海?九年級校考期中）用放大鏡觀察一個五邊形時，不變的量是（）

A.各邊的長度B.各內(nèi)角的度數(shù)C.五邊形的周長D.五邊形的面積

二、填空題

3.（2020秋?上海浦東新?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）四邊形ABCD和四邊形AB'C'D是相似圖形，點A、B、

C、D分別與點4、B'、C'、W對應(yīng)，己知3c=3,CD=2.4,B'C'=2,那么C'。'的長是

4.（2020秋?上海寶山?九年級統(tǒng)考期中）如圖，把一張矩形紙片沿著一條對稱軸翻折，所得到的矩形

ABCD與原矩形相似，已知原矩形紙片較短的邊長為。，那么其較長邊用含。的代數(shù)式表示為

5.（2016秋,上海嘉定?九年級統(tǒng)考期末）將一個矩形沿著一條對稱軸翻折，如果所得到的矩形與這個矩形

相似，那么我們就將這樣的矩形定義為“白銀矩形事實上，"白銀矩形”在日常生活中隨處可見.如，我

們常見的A4紙就是一個"白銀矩形請根據(jù)上述信息求A4紙的較長邊與較短邊的比值.這個比值是

6.（2018秋?上海嘉定?九年級統(tǒng)考期中）已知兩個三角形是相似形，其中一個三角形的兩個角分別為

25入55。，則另一個三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)為.

7.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模）已知兩個矩形相似，第一個矩形的兩邊長分別是3和4,第二個矩形較短的

一邊長是4,那么第二個矩形較長的一邊長是.

8.（2019秋?上海?九年級上海市育才初級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知：如圖所示，矩形A8CD中，點E、F

分別在邊AB、C￡）±,且AEFD是正方形，若矩形BC5E和矩形ABC。相似，且AD=2,則A8的長為

EB

9.（2022?上海?九年級專題練習(xí)）如圖，已知矩形A8C。中，AB=1,在3c上取一點E,沿AE將0ABE向

上折疊，使B點落在上的尸點.若四邊形EFDC與矩形42。相似，則

10.（2021,上海?九年級專題練習(xí)）四邊形ABCD和四邊形A?。。是相似圖形，點A&C,。分別與

40,。,。對應(yīng)，已知3c=3,CO=2.4,B'C'=2,那么的長是.

IL（2020秋?九年級校考課時練習(xí)）如圖，兩個四邊形相似，求未知邊x、y的長度及角a的大小.

xyi30°

y

12.（2018秋?上海?九年級階段練習(xí)）設(shè)四邊形ABC。與四邊形是相似的圖形，且A與4、B與

與、C與G是對應(yīng)點，已知A8=12,BC=18,CD=18,AD=9,^3,=8,求四邊形4BC2的周長.

13.（2022?上海?九年級專題練習(xí)）已知四邊形ABC。與四邊形ASGA相似，并且點A與點4、點8與點

4、點C與點C1、點。與點R分別對應(yīng).

⑴已知NA=40。，ZB=110°,/G=90。，求ND的度數(shù)；

⑵已知AB=9,CD=15,44=6,42=4,4cl=8,求四邊形ABC。的周長.

【過關(guān)檢測】

選擇題（共6小題）

1.（2023?崇明區(qū)一模）下列各組圖形，一定相似的是（）

A.兩個等腰梯形B.兩個菱形

C.兩個正方形D.兩個矩形

2.（2021秋?昭平縣期末）下列和右圖相似的圖形是（）

阻

3.（2022秋?黃浦區(qū)期中）下列圖形中，一定相似的是（）

A.一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形

B.有一個內(nèi)角為80°的兩個等腰三角形

C.兩個長方形

D.有一個內(nèi)角為80°的兩個菱形

4.（2022秋?奉賢區(qū)期中）下列各組圖形中，一定相似的是（）

A.兩個等腰直角三角形

B.各有兩邊長是4和5的兩個直角三角形

C.各有兩邊長是4和5的兩個等腰三角形

D.各有一個角是40°的兩個等腰三角形

5.（2023?長寧區(qū)一模）下列各組圖形中一定是相似形的是（）

A.兩個等腰梯形B.兩個矩形

C.兩個直角三角形D.兩個等邊三角形

6.（2022秋?浦東新區(qū)期中）下列各組中兩個圖形不相似的是（）

填空題（共9小題）

7.（2019秋?徐匯區(qū)期末）四邊形A8C。和四邊形ABC'。是相似圖形，點A、B、C、7分別與A、B'、。、

。'對應(yīng)，已知BC=3,CD=2.4,B'C=2,那么C'。'的長是.

8.（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，在菱形中，ZABC=60°,AB=a,點、E、尸是對角線BD上的點

（點E、/不與8、。重合），分別聯(lián)結(jié)AE、EC、AF.CF,若四邊形AECT是菱形，且與菱形A8CD是

相似形，那么菱形AECF的邊長是.（用a的代數(shù)式表示）.

9.（2018秋?嘉定區(qū)期中）已知兩個三角形是相似形，其中一個三角形的兩個角分別為25°、55°,則另一

個三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)為.

10.（2022秋?金山區(qū)校級期末）如果梯形的一條對角線把梯形分成的兩個三角形相似，那么我們稱該梯形

為“優(yōu)美梯形”.如果一個直角梯形是“優(yōu)美梯形”，它的上底等于2,下底等于4,那么它的周長

為.

11.（2016秋?普陀區(qū)期末）利用復(fù)印機的縮放功能，將原圖中邊長為5厘米的一個等邊三角形放大成邊長

為20厘米的等邊三角形，那么放大前后的兩個三角形的周長比是.

12.（2019秋?楊浦區(qū)期末）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形，如果這

兩個三角形相似但不全等，我們就把這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線.在四邊形ABC。中，對

角線8。是它的相似對角線，ZABC=70°,2。平分NABC,那么度.

13.（2017秋?楊浦區(qū)校級月考）利用復(fù)印機的縮放功能放大一個三角形，將原圖中邊長為3,5,6的三角

形的最長邊放大到8,那么放大后的那個三角形的周長為.

14.（2020秋?長寧區(qū)期末）如果一條對角線把凸四邊形分成兩個相似的三角形，那么我們把這條對角線叫

做這個凸四邊形的相似對角線，在凸四邊形A3C。中，AO=C￡>=色，點、E、點廠分別

2

是邊AD,邊BC上的中點.如果AC是凸四邊形ABCD的相似對角線，那么EF的長等

于.

15.（2020秋?青浦區(qū)期末）如果四邊形邊上的點，它與對邊兩個端點的連線將這個四邊形分成的三個三角

形都相似，我們就把這個點叫做該四邊形的“強相似點”.如圖①，在四邊形A8CD中，點。在邊上，

如果△QAB、△QBC和都相似，那么點。就是四邊形的“強相似點”；如圖②，在四邊形

ABCD+,AD//BC,AB=OC=2,BC=8,ZB=60°,如果點。是邊上的“強相似點”，那么AQ

第01講放縮與相似形

【知識梳理】

1、相似形的概念

(1)相似圖形

我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形，簡稱相似形.

(2)相似圖形在現(xiàn)實生活中應(yīng)用非常廣泛，對于相似圖形，應(yīng)注意：

①相似圖形的形狀必須完全相同；

②相似圖形的大小不一定相同；

③兩個物體形狀相同、大小相同時它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況.

(3)相似三角形

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形.

2、相似多邊形的性質(zhì)

如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的長度成比例.當(dāng)

兩個相似的多邊形是全等形時，它們對應(yīng)邊的長度的比值為L

【考點剖析】

一、比例的性質(zhì)

一、單選題

1.(2023秋?上海黃浦?九年級上海市民辦明珠中學(xué)校考階段練習(xí))已知二=三，下列說法

中，錯誤的是(

a-b_-2a+1_a

b+T-b

【答案】C

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)(合分比定理)來解答.

【詳解】A、如果:=三，那么(a+b)：b=(c+d)：d(b、”0).所以由色=3,得

bab5

號=g,故該選項正確；

b5

a3a—b—2

B、如果a：b=c：d那么(a-b)：b=(c-d)：d(b、”0).所以由一=一，得----=一，故

b5b5

該選項正確；

C、由得，5a=3b,所以awb；又由:?=:得，ab+b=ab+a即a=b.故該選項錯誤；

b+1b

D、由;=|■得，5a=3b；又由P=3得，5a=3b.故該選項正確.

b5a3

故選C.

【點睛】本題主要考查的合分比定理和更比定理.

①合比定理：如果a：b=c：d,那么（a+b）：b=（c+d）：d（b、”0）；

②分比定理：如果a：b=c：d那么（a-b）：b=（c-d）：d（b、”0）；

③合分比定理：如果a：b=c：d那么（a+b）：（a-b）=（c+d）：（c-d）（b、d、a-b>c-

”0）；

④更比定理：如果a：b=c：d那么a：c=b：d（a、b、c、”0）.

2.（2019春?上海楊浦?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知7=:=彳，且b+”0,則廣一;二

bd3b+d

（）

2231

A.-B.—C.—D.一

3555

【答案】A

【分析】由==三=3,結(jié)合比例的性質(zhì)解答即可.

ba3

22

.、*々刀▼??〃c2272.—b-\—dg

ba33j-----=---------=一

b+db+d3

故選A.

【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)比例的性質(zhì)解答.

3.（2018秋?上海浦東新?九年級統(tǒng)考期末）已知線段a、b、c、d,如果;=:，那么下列

ba

式子中不一定正確的是（）

,,aca+ca

A.a=c,b=dB.ad=bcC.——-=D.--------=—

a-\-bc+db+db

【答案】A

31

【詳解】A.例如a=3,b=6,c=l,d=2,則有:二三，但是a^c,brd,所以a=c,b二d錯誤，

62

accic

符合題意；B.[E—=—,團ad二be正確，不符合題意；C.[?]—=—,團a=bk,c=dk,團

baba

—j正確，不符合題意;。畤4,回方4正確，不符合題意，故選人.

a+bc+a

4.（2021?上海?九年級專題練習(xí)）已知：a、b是不等于。的實數(shù),2a=3b,那么下列等式中

正確的是（）

a_2a3a+b4a+b_5

A.B.-=-C.------=—D.

~b~3b2b3

【答案】B

【詳解】回2a=3b,0-=-,回"2=*,|3A、C、D選項錯誤，B選項正確，

b2b2

故選B.

5.（2019秋?上海楊浦?九年級校考階段練習(xí)）在比例尺為1：50000的地圖上，量得甲、乙

兩地的距離為25cm,則甲、乙兩地的實際距離是（）

A.1250kmB.125kmC.12.5kmD.1.25km

【答案】C

【詳解】設(shè)實際距離為xcm,則：l:50000=25:x,

解得x=1250000.

12500000cm=12.5km.

故選c.

二、填空題

6.（2。】8秋?上海寶山?九年級校考期中）如果那么七=——

【答案】|

3

【分析】由題可得：〃=將此代入要求的代數(shù)式約分化簡即可

31

。。八一bZ—b7一b7

a33a-b091

【詳解】-,：.a=-7b,----=《-----=!一=一

~b

22a+b-b+b-b5

22

所以答案為事

【點睛】本題主要考查了比例化簡求值，掌握相關(guān)概念方法是解題關(guān)鍵

7.（2021?上海?九年級專題練習(xí)）已知。:b=2:3,b:c=3:5,則a:/?:c=

【答案】2:3:5

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)（兩內(nèi)項之積等于兩外項之積）可設(shè)a=2t、b=3t、c=5t.然后,

將其代入a：b：c求值即可.

【詳解】0a：b=2：3,b：c=3：5,

團設(shè)a=2t、b=3t、c=5t.

0a：b：c=2t：3t：5t=2：3：5.

故答案為2：3：5.

【點睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)：兩內(nèi)項之積等于兩外項之積.解答此題時，利用了

比例的性質(zhì)設(shè)a=2t、b=3t、c=5t,然后將其代入所求的比例式，消去未知數(shù)t.

8.（2018?上海普陀?統(tǒng)考一模）已知;=斗，則葉2=

34y

7

【答案】4

4

【分析】由;=與可知土值，再將0化為2+1的形式進行求解即可.

34yyy

【詳解】解:吟=（,

x3

回一=:，

y4

h」、尤，3,7

回原式=-+1=:+1=

y44

【點睛】本題考查了分式的化簡求值.

9.（2018?上海奉賢,統(tǒng)考二模）將6本相同厚度的書疊起來，它們的高度是9厘米.如果

將這樣相同厚度的書疊起來的高度是42厘米，那么這些書有本.

【答案】28.

【分析】因為一本書的厚度是一定的，根據(jù)本數(shù)與書的高度成正比列比例式即可得到結(jié)

論.

【詳解】設(shè)這些書有x本，

由題意得，，=亳，

解得：x=28,

答：這些書有28本.

故答案為28.

【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，正確的列出比例式是解題的關(guān)鍵.

10.（2022秋,上海浦東新?九年級上海市建平中學(xué)西校校考期中）已知點P在線段AB上，

且AP：BP=2：3,31么AB：PB=.

【答案】5:3

【詳解】試題解析：由題意AP：BP=2：3,

AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+3）：3=5：3.

故答案為5:3.

11.（2021?上海?九年級專題練習(xí)）如圖，D為一ABC的邊AB上一點，如果I3ACD=I3ABC時,

那么圖中是AD和AB的比例中項.

BC

【答案】AC

【詳解】試題分析：根據(jù)兩角分別相等的兩個三角形相似，可得回ACD釀ABC的關(guān)系，根據(jù)

ADAC

相似三角形的性質(zhì)，可得大=F，可知AC是AD和AB的比例中項.

ACAB

考點：比例線段

二、相似圖形

一、單選題

1.（2021秋?上海?九年級校考階段練習(xí)）下列命題中，錯誤的是（）

A.兩個含有120。角的等腰三角形一定相似B.兩個矩形一定相似

C.兩個等邊三角形一定相似D.兩個正方形一定相似

【答案】B

【分析】利用相似圖形的定義分別判斷即可得到答案.

【詳解】解：A.兩個含有120。角的等腰三角形一定相似，說法正確，不符合題意，選項

錯誤；

B.兩個矩形一定相似，對應(yīng)角相等，但對應(yīng)邊不成比例，故兩個矩形不一定相似，說法錯

誤，符合題意，選項正確；

C.兩個等邊三角形一定相似，說法正確，不符合題意，選項錯誤；

D.兩個正方形一定相似，說法正確，不符合題意，選項錯誤，

故選B.

【點睛】本題考查了相似圖形的定義，熟練掌握相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例是

解題關(guān)鍵.

2.（2022秋,上海浦東新?九年級校考期中）下列圖形一定相似的為（）

A.兩個等腰三角形B.兩個等邊三角形

C,兩個矩形D.兩個平行四邊形

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形及多邊形的判定方法一一判斷即可.

【詳解】解：A.兩個等腰三角形的內(nèi)角不一定相等，因此兩個等腰三角形不一定相似，

故A不符合題意；

B.回兩個等邊三角形的內(nèi)角都是60。，

回兩個等邊三角形一定相似，故B符合題意；

C.兩個矩形的對應(yīng)邊不一定對應(yīng)成比例，因此兩個矩形不一定相似，故C不符合題意；

D.兩個平行四邊形的對應(yīng)角不一定相等，對應(yīng)邊不一定成比例，因此兩個平行四邊形不

一定相似，故D不符合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查相似三角形及多邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中

考常考題型.

3.（2022秋?上海崇明?九年級校考期中）下列關(guān)于"相似形"的說法中正確的是（）

A.相似形形狀相同、大小不同B.圖形的放縮運動可以得到相似形

C.對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形是相似形D.相似形是全等形的特例

【答案】B

【分析】根據(jù)相似形的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】解：A：相似形形狀相同、大小不一定相同，但是可以相同，故選項A錯誤；

B：圖形的放縮運動可以得到相似形，選項B正確；

C：如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例,這兩個多邊形叫做相似多邊

形，故選項C錯誤；

D：全等形是相似形的特例，故選項D錯誤.

【點睛】本題考查相似形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似形的相關(guān)知識.

4.（2022秋?上海?九年級上海市格致初級中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.任意兩個菱形都相似

B.任意兩個正方形都相似

C.任意兩個等腰三角形都相似

D.任意兩個矩形都相似

【答案】B

【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對應(yīng)的角相等，對應(yīng)邊的比相等對每個命題進行判斷.

【詳解】解：A任意兩個菱形滿足四條邊對應(yīng)成比例，但不一定滿足四個角分別對應(yīng)相

等，所以不一定相似，故A不符合題意；

B任意兩個正方形既滿足四條邊對應(yīng)成比例，也滿足四個角對應(yīng)相等，所以任意兩個正方

形都相似，故B符合題意；

C任意兩個等腰三角形不一定滿足有兩個角對應(yīng)相等，所以不一定相似，故C不符合題

忌；

D任意兩個矩形的對應(yīng)角相等，但對應(yīng)邊的比不一定相等，所以不一定相似,，故D不符合

題意.

故選：B.

【點睛】本題考查的是相似圖形的判定，掌握相似多邊形各自的判定方法是解題的關(guān)鍵.

5.（2014秋?上海普陀?九年級統(tǒng)考期末）如圖，用放大鏡將圖形放大，應(yīng)屬何種變換（

）

A.相似變換B.平移變換C.旋轉(zhuǎn)變換D.對稱變換

【答案】A

【分析】根據(jù)軸對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、相似變換的概念并結(jié)合圖形，得出正確

結(jié)果.

【詳解】解：由一個圖形到另一個圖形，在改變的過程中形狀不變，大小產(chǎn)生變化，屬于

相似變化.

故選A.

【點睛】本題主要考查相似變換的定義，即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的變換是

相似變換?比較容易選錯的答案是位似變換.

【分析】根據(jù)相似圖形的定義進行分析即可.

【詳解】我們把形狀相同的圖形叫相似圖形，其特征是對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，觀察

圖形得知，B圖對應(yīng)邊的比不全相等，故不相似.

故選：B.

【點睛】此題考查了相似圖形的判斷，解題的關(guān)鍵是理解相似圖形的定義.

二、填空題

7.（2020秋?九年級校考課時練習(xí)）相似的兩個圖形，它們的大小（填"一定"，

"不一定"，"一定不"）相同.

【答案】不一定

【分析】根據(jù)相似圖形的定義判斷即可.

【詳解】相似的兩個圖形形狀相同，但大小不一定相等，只有兩個圖形全等時大小才相

等，全等是相似的一種特殊情況.

故答案為：不一定.

【點睛】本題考查相似圖形，明確相似圖形的定義是解題的關(guān)鍵.

8.（2017秋?上海?九年級校考階段練習(xí)）某城市的有一時期的兩張地圖，甲地圖比例尺為

1:1000000,乙地圖的比例尺為1:200000,則甲地圖和乙地圖的相似比為

【答案】1:5

【分析】根據(jù)相似多邊形的相似比等于對應(yīng)邊的比，用兩個地圖的比例尺相比求解即可.

【詳解】解：甲地圖和乙地圖的相似比為：忌而:京53"5.

故答案為1:5.

【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，本題利用兩個圖的比例尺相比求解即可，比較簡

單.

三、解答題

9.（202”上海?九年級專題練習(xí)）閱讀理解：給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周

長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是給定矩形的"減半”矩形.如

圖，矩形是矩形ABC。的"減半”矩形.

請你解決下列問題：

（1）當(dāng)矩形的長和寬分別為1,7時，它是否存在"減半"矩形？請作出判斷，并說明理

由.

（2）邊長為〃的正方形存在"減半"正方形嗎？如果存在，求出"減半”正方形的邊長；如果

不存在，請說明理由.

【答案】（1）存在；理由見解析；（2）不存在，理由見解析.

【分析】（1）假設(shè)存在，不妨設(shè)"減半”矩形的長和寬分別為x、y,根據(jù)如果存在另一個矩

形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，可列出方程組求解.

（2）正方形和其他的正方形是相似圖形，周長比是2,面積比就應(yīng)該是4,所以不存在"減

半”正方形.

【詳解】解：（1）存在

無+y=4①

假設(shè)存在，不妨設(shè)“減半”矩形的長和寬分別為心兒貝

u孫一7G②,

I-2

由①，得：y=4-x,③

把③代入②，得尤2-4X+；=0,

解得無］=2+,x2=2-.

?2-2

所以"減半"矩形長和寬分別為2+變與2-受.

22

（2）不存在

因為兩個正方形是相似圖形，當(dāng)它們的周長比為:時，面積比必定是!，

所以正方形不存在"減半”正方形.

【點睛】本題考查反證法和相似圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵知道相似圖形的面積比，周長比的關(guān)

系.

三、相似多邊形的性質(zhì)

一、單選題

1.（2019秋?上海?九年級校考階段練習(xí)）對一個圖形進行放縮時，下列說法中正確的是

（）

A.圖形中線段的長度與角的大小都保持不變

B.圖形中線段的長度與角的大小都會改變

C.圖形中線段的長度保持不變、角的大小可以改變

D.圖形中線段的長度可以改變、角的大小保持不變

【答案】D

【詳解】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，可知對一個

圖形進行收縮時，圖形中線段的長度改變，角的大小不變，

故選D.

點睛：本題主要考查相似圖形的性質(zhì).理解相似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2017秋?上海?九年級校考期中）用放大鏡觀察一個五邊形時，不變的量是（）

A.各邊的長度B.各內(nèi)角的度數(shù)C.五邊形的周長D.五邊形的面積

【答案】B

【詳解】解：回用一個放大鏡去觀察一個三角形，回放大后的三角形與原三角形相似，國相似

三角形的對應(yīng)邊成比例，回各邊長都變大，故此選項錯誤；

團相似三角形的對應(yīng)角相等，回對應(yīng)角大小不變，故選項B正確；.

團相似三角形的面積比等于相似比的平方，0C選項錯誤；

團相似三角形的周長得比等于相似比，回D選項錯誤.

故選B.

點睛：此題考查了相似三角形的性質(zhì).注意相似三角形的對應(yīng)邊成比例，相似三角形的對

應(yīng)角相等，相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的周長得比等于相似比.

二、填空題

3.（2020秋?上海浦東新?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）四邊形ABCD和四邊形A'3'C'D'是相似

圖形，點A、B、C、D分別與點B'、C'、。，對應(yīng)，己知BC=3,CD=2.4,

B'C'=2,那么C'D的長是.

【答案】1.6

【分析】根據(jù)相似圖形的性質(zhì)即可得.

【詳解】四邊形ABCD和四邊形AB'C'D是相似圖形，且點A,3,C,O分別與點

A',B',C',￡>'對應(yīng),

B'C'CD'

"~BC~~CD'

又-BC=3,CD=2.4,B'C=2,

,2CD'

??一，

32.4

解得CD=1.6,

故答案為：1.6.

【點睛】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，熟練掌握相似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.（2020秋?上海寶山?九年級統(tǒng)考期中）如圖，把一張矩形紙片沿著一條對稱軸翻折，所

得到的矩形A3C。與原矩形相似，已知原矩形紙片較短的邊長為。，那么其較長邊用含。

的代數(shù)式表示為.

【答案】、&

【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.

【詳解】解：設(shè)較長邊為6,

團所得到的矩形ABCD與原矩形相似，

b

回2_g，

ab

整理得，b2=2a2,

解得，。二

故答案為：J5a.

【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)

鍵.

5.（2016秋?上海嘉定?九年級統(tǒng)考期末）將一個矩形沿著一條對稱軸翻折，如果所得到的

矩形與這個矩形相似，那么我們就將這樣的矩形定義為"白銀矩形事實上，"白銀矩形"

在日常生活中隨處可見.如，我們常見的A4紙就是一個"白銀矩形請根據(jù)上述信息求A4

紙的較長邊與較短邊的比值.這個比值是—.

【答案】72

【分析】根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊的比相等列出比例式，計算即可.

【詳解】解：由題意得,四邊形A8FE相似四邊形ADCB,

.ABAE

"AD~AB

故答案為也.

【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對應(yīng)邊的比相等、對應(yīng)角相

等是解題的關(guān)鍵.

6.（2018秋?上海嘉定?九年級統(tǒng)考期中）已知兩個三角形是相似形，其中一個三角形的兩

個角分別為25入555,則另一個三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)為.

【答案】100°

【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出一個三角形的最大內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)相似三角形

的對應(yīng)角相等得出另一個三角形最大內(nèi)角度數(shù).

【詳解】解：回一個三角形的兩個角分別為25。、55。，

回第三個角，即最大角為180°-（25°+55°）=100°,

回兩個三角形相似，

回另一個三角形的最大內(nèi)角度數(shù)為100°,

故答案為:100°.

【點睛】本題主要考查相似圖形，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和定理及相似三角形的

性質(zhì).

7.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模）己知兩個矩形相似，第一個矩形的兩邊長分別是3和4,第

二個矩形較短的一邊長是4,那么第二個矩形較長的一邊長是.

【答案】y/5-

34

【分析】設(shè)第二個矩形較長的一邊長是“，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出丁丁再求出〃即

可.

【詳解】解：設(shè)第二個矩形較長的一邊長是

回兩個矩形相似，第一個矩形的兩邊長分別是3和4,第二個矩形較短的一邊長是4,

34

回一二一

4a

16

解得刖

T

即第二個矩形較長的一邊長是T,

故答案為團H.

【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，能熟記相似多邊形的性質(zhì)（相似多邊形的對應(yīng)邊

的比相等）是解此題的關(guān)鍵.

8.（2019秋?上海?九年級上海市育才初級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知：如圖所示，矩形

ABC。中，點E、尸分別在邊A8、CD上，且AEZ*是正方形，若矩形8CFE和矩形ABC。

相似，且AD=2,則AB的長為

【答案】V5+1

【分析】直接利用相似多邊形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊的比值進而得出答案.

【詳解】設(shè)EB=x,

回矩形BCFE和矩形ABCD相似,

「BEBC

團---=---

ADAB

回四邊形AEFD是正方形,

0AD=BC=2,

_x2

團一=----,

22+x

解得：x=-l±V5（負(fù)數(shù)不合題意舍去），

0BE=-1+^，

故AB=2-1+君=1+6,

故答案為：1+退.

【點睛】此題考查相似多邊形的性質(zhì)，正確得出對應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵.

9.（2022?上海?九年級專題練習(xí)）如圖，已知矩形A8CZ）中，AB=1,在BC上取一點E,沿

AE將0A8E向上折疊，使8點落在上的尸點.若四邊形EFDC與矩形A8CD相似，則

AD=________

月

B

【答案]好擔(dān)

2

【分析】可設(shè)AZ）=x,根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABC。相似，可得比例式，求解即可.

【詳解】回沿AE將0ABE向上折疊，使B點落在A。上的尸點,

回四邊形是正方形,

[?L4B=1,

設(shè)則尸F(xiàn)E=1,

團四邊形EFDC與矩形ABCD相似，

EFAD

0----------，

FDAB

1_x

x^T-T,

解得無尸無2=^（負(fù)值舍去）,

22

經(jīng)檢驗無尸小5是原方程的解，

2

即AD=^~.

2

故答案為：延*

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)及相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

10.（2021?上海?九年級專題練習(xí)）四邊形ABCD和四邊形是相似圖形，點

A,民C,r＞分別與對應(yīng)，已知3c=3,CD=2.4,B'C'=2,那么。D的長是

【答案】1.6

【分析】相似多邊形的對應(yīng)邊成比例，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】回四邊形ABCDEI四邊形A'B'C'D',

0CD：C'D'=BC：B'C',

0BC=3,CD=2.4,B'C'=2,

回C'D'=1.6,

故答案為：1-6.

【點睛】本題考查相似圖形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似多邊形的性質(zhì).

三、解答題

11.（2020秋?九年級校考課時練習(xí)）如圖，兩個四邊形相似，求未知邊x、y的長度及角a

的大小.

【答案】x=24,y=28,a=75°

【分析】已知題意，想到根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，從而正確

解答此題.

【詳解】回兩個四邊形相似，

團20：5=x：6=y：7,

解得：x=24,y=28,

回四邊形內(nèi)角和等于360。，

0a=360°-70°-85°-130°=75。，

團x=24,y=28,a=75°.

【點睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì).相似多邊形的對應(yīng)角相等，相似多邊形對應(yīng)邊之

比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方，認(rèn)真計算是解答本題的關(guān)鍵.

12.（2018秋?上海?九年級階段練習(xí)）設(shè)四邊形A3C。與四邊形4與GR是相似的圖形，且

A與A］、3與4、C與G是對應(yīng)點，已知48=12,2。=18,CD=18,AD=9,司4=8,求

四邊形4與GA的周長.

【答案】38

【分析】四邊形ABCD與四邊形AiBiCiDi是相似的圖形，則根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊的比相

等，就可求得AiBiGDi的其它邊的長，就可求得周長.

【詳解】解：國四邊形ABCD與四邊形AiBiCxDx是相似的圖形，

ABBCCDDA

4與B、C[CR’

又回AB=12,BC=18,CD=18,AD=9,AiBi=8,

1218189

[71——----------=-----=-------.

8BCCDD】A

回BiCi=12,CiDi=12,DiAi=6,

團四邊形AiBiCiDi的周長=8+12+12+6=38.

【點睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，相似多邊形對應(yīng)邊之比相等.

13.（2022?上海?九年級專題練習(xí)）已知四邊形ABCD與四邊形481GA相似，并且點A與

點4、點B與點與、點C與點C]、點。與點2分別對應(yīng).

（1）已知NA=40。，ZB=110°,NG=90。，求/。的度數(shù)；

（2）已知A3=9,CD=15,A4=6,A2=4,4G=8,求四邊形A3CD的周長.

【答案】（1）120。

⑵42

【分析】（1）根據(jù)多邊形相似的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，求解即可；

（2）根據(jù)多邊形相似的性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例，進行求解即可.

【詳解】（1）解：國四邊形ABCD與四邊形ABC，相似，

回/。=4=90。，

團ND=360°-/A—4-4=360°-40°-110°-90°=120°；

（2）解：團四邊形ABCD與四邊形4月G2相似，

ABBCAD

團--------------,

A44G42

9BCAD

回一=---=----,

684

團3c=12,AD=6,

團四邊形ABC0的周長=M+5C+CD+AD=9+12+15+6=42

【點睛】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【過關(guān)檢測】

選擇題（共6小題）

1.（2023?崇明區(qū)一模）下列各組圖形，一定相似的是（）

A.兩個等腰梯形B.兩個菱形

C.兩個正方形D.兩個矩形

【分析】根據(jù)相似圖形的定義，四條邊對應(yīng)成比例，四個角對應(yīng)相等，對各選項分析判斷

后利用排除法解答.

【解答】解：A、兩個等腰梯形不一定相似，故本選項不合題意；

8、兩個菱形，形狀不一定相同，故本選項不合題意；

C、兩個正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似形定義，故本選項符合題意；

。、兩個矩形四個角相等，但是各邊不一定對應(yīng)成比例，所以不一定相似，故本選項不合

題意.

故選：C.

【點評】本題主要考查了圖形相似的判定，熟練掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難度適中.

2.（2021秋?昭平縣期末）下列和右圖相似的圖形是（）

【分析】根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合圖形，對選項一一分析，排除錯誤答案.

【解答】解：4形狀相同，但大小不一定相同，符合相似形的定義，故正確；

8、只是大小沒有改變，而形狀發(fā)生了改變，故錯誤；

C、只是大小沒有改變，而形狀發(fā)生了改變，故錯誤；

。、只是大小沒有改變，而形狀發(fā)生了改變，故錯誤.

故選：A.

【點評】形狀相同是識別相似形的關(guān)鍵.即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的變換

即為相似變換.

3.（2022秋?黃浦區(qū)期中）下列圖形中，一定相似的是（）

A.一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形

B.有一個內(nèi)角為80°