考點鞏固卷04函數的性質(十大考點)

基考點預覽

考點四川斯南數單調性

考點駕來函數的單調區間

考點。3品會的戢值問題

考點N拉成立問題與存在性問題

考點05利用函敕的單調杜求★故的取值范陽

函歐的性質《

考點06軻斯函數的才偶往

考點。7利用才偶性求函名值或卷般值

考點。8利用4偶息求坪析式

考點09晶數用期柱的應用

考點1()單調性與奇偶性的鼓合問題

考點訓薛

考點01:判斷函數單調性

1.已知函數y=/(x)的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是()

B.也可是函數/(x)的減區間

C.函數/(X)在［a,6］U［c,d］上是增函數D.函數代數在也0)U(0,c］上是減函數

【答案】C

【分析】根據函數的圖像結合函數單調性的含義，即可判斷出答案.

【詳解】根據函數圖像可知函數/(X)在口a上遞增，在也C］上遞減，故A,B正確;

函數/(X)在［c,d］上也單調遞增，但區間［a,b］和［c,d］不是連續區間，

并且由圖象可知6<cJ(6)>/(c),因此不能說函數/(x)在［a,6］U［c,d］上是增函數，C錯誤;

由于函數/⑴在x=0時有定義，由圖象可知/(0)=0,則也可為函數的一個單調遞減區間，

故函數/(x)在［b,O)U(O,c］上是減函數，D正確，

故選：C

2.下列函數中，在區間(-8,0)上是減函數的是()

A.y-x3c.y=iogj-x)D.kX

2

【答案】D

【分析】根據基本初等函數的單調性及對數型復合函數的單調性判斷即可.

【詳解】對于A：丁=/在定義域R上單調遞增，故A錯誤；

對于B：>==2,在定義域R上單調遞增，故B錯誤；

對于C：>=1°8工(一》)定義域為(一雙0),因為>=-x在(一/⑼上單調遞減且值域為(0,+。)，

2

又>=logj在定義域上單調遞減，所以y=logJ-X)在(一“⑼上單調遞增，故C錯誤；

對于D：7=^-'=-,函數在(-叫0)上單調遞減，故D正確；

X

故選：D

2

3.在下列函數中：①y=|x|,②片區，③>二-1，@y=x+^-t,在(-8,0)上為增函數的有()

x|x||x|

A.①②B.③④C.②③D.①④

【答案】B

【分析】根據范圍直接去絕對值號，進而判斷函數單調性，從而得解.

【詳解】因為xe(-s,0),

所以①尤在(-8,0)上單調遞減，不符合題意；

②>=區=-1在(-8,0)上為常函數，不符合題意；

X

X2

③)；：-j=無在(-8,0)上單調遞增，符合題意；

X

④y=X+X_1在(_8,0)上單調遞增，符合題意；

㈤

故符合題意的為③④.

故選：B.

4.已知函數〃x)同時滿足性質：①-x)=/(x)；②當修用€(0,1)時，義＜0,則函數“X)

"X6］—X?"

可能為()

A./(x)=x2C./(無)=cos2xD./(x)=ln|x|

【答案】C

【分析】根據給定條件，確定函數/(x)的奇偶性和在(0,1)上的單調性，再逐項判斷作答.

【詳解】由/(f)=/(x),知函數I(x)是偶函數,由當內,目?0,1)時,可二⑷＜0,知〃x)在(0,1)

上單調遞減，

對于A,函數〃x)=x2在(0,1)上單調遞增，A不是；

對于B,指數函數/(x)=(￡|不具奇偶性，B不是；

對于D,當xe(0/)時，/(x)=lnx在(0,1)上單調遞增，D不是；

對于C,函數/(x)=cos2尤是偶函數，當xe(0,l)時，2xe(0,2)c(0,7t),

而余弦函數＞=cosx在(0,n)上單調遞減，即〃x)=cos2x在(0,1)上單調遞減，C是.

故選：C

5.(多選)奇函數V=A(x)在尤e［-4,0］的圖像如圖所示，則下列結論正確的有()

A.當xe[0,4]時,/(x)e[-2,2]

B.函數/(x)在［2,4］上遞減

D.函數在[2,2]上遞增

【答案】ABD

【分析】結合/(x)的圖像，根據奇函數的對稱性，分析函數/(x)的值域、單調性、函數值，由此確定正確

選項.

【詳解】解：根據圖像可知：xe[-4,0]時，/(x)e[-2,2],在14,-2],-1,0遞減，在-2,-1上遞

增，

所以根據奇函數性質，當xe[0,4]時，f(x)e[-2,2],A正確；

當xNO時，f(x)在[2,4],0,1遞減，在1,2上遞增，故BD正確.

由于/(x)在1,2上遞增，所以故c錯誤.

故選：ABD

6.下列命題正確的是()

A.函數>=/在R上是增函數B.函數>=,在(-8,O)U(O,+8)上是減函數

X

C.函數y=和函數y=W的單調性相同D.函數和函數y=x+L的單調性相同

XX

【答案】C

【分析】分別判斷出y=x2,y=~,了=國和y=x+L的單調性，即可判斷.

XX

【詳解】對于A：y=x2定義域為R,由二次函數了=/的圖像可知，y=x2在(0,+co)是增函數，在(ro,0)

是減函數，故A錯誤；

對于B：y=工的定義域為(-s,0)U(0,+8),由反比例函數>=工的圖像可知，>=」在(-9。)和⑼+⑹上是減

XXX

函數，故B錯誤；

對于C：>=/在(0,+00)是增函數，在(-8,0)是減函數，

y=|x|,當X20時一,y=x,易知為增函數，當x<0時，y=1x,易知為減函數，所以函數y=x?和函數了=國

的單調性相同，故C正確；

對于D：>=工定義域為(ro,0)U(0,+8),由反比例函數歹=」的圖像可知，>在(-8,0)和(0,+功上是減函

XXX

數;

設y=/(x)=x+L定義域為(-oo,0)U(0,+8),取0＜%＜々,

X

,“、〃/、11、X.-X./-1

X、

貝1J/(不)一/(%2)=%+-----2----=(石一工2)+----------=(石-工2)------------,

再x2x1x2x1x2

當0〈項yvl時,/(再)-/(%)＞0,即。%)在(0,1)上單調遞減,

當1＜再＜%2，/(再)-/(Z)-0，即/(%)在(L+8)上單調遞減,

同理可證，/(%)在(-1,0)上單調遞減，在上單調遞增，故D錯誤，

故選：C.

考點02:求函數的單調區間

7.(2023?海南?？?統考)函數/(x)=——4|刈+3的單調遞減區間是()

A.(-oo?-2)B.(一8,—2)和(0,2)

C.(-2,2)D.(-2,0)和(2,+8)

【答案】B

【分析】將絕對值函數轉化成分段函數，由二次函數的性質即可求

x2-4x+3,x>0

【詳解】/(X)=X2-4|X|+3=

—+4x+3,x<0'

則由二次函數的性質知，當xNO時，＞=/-4工+3=(》-2『-1的單調遞減區間為(0,2)；

當無<0,y=x2+4x+3=(x+2)2-1的單調遞減區間為(-00,-2),

故〃x)的單調遞減區間是(-%-2)和(0,2).

故選：B

8.函數/(力=?的單調增區間為()

A.(0,+co)B.(-oo,0)

C.(-co,0)U(0,+oo)D.(-co,0),(0,+oo)

【答案】D

【分析】先分離常數，再結合復合函數的單調性求解即可.

r_i1

【詳解】解：???函數〃x)=T=l-)定義域為{瑋#0},

且天=—的單調遞減區間為(-8,0),(0,+oo),

X

故函數/卜)=^^的單調增區間為(一°°，0)，(3+00)，

故選：D.

9.定義域為(-2,0)U(0,2)的函數/(x)在區間(-2,0)上是增函數，在區間(0,2)上是減函數，則:

(1)函數7=-/(x)的單調遞增區間是；單調遞減區間是；

(2)函數y=-/(x+l)的單調遞增區間是；單調遞減區間是.

【答案】(0,2)(-2,0)(-1,1)(-3,-1)

【分析】由了=-〃X)的圖象與)=f(x)的圖象關于X軸對稱和y=-f{x+1)的圖象是由y=/(x)的圖象向左

平移一個單位，再關于關于x軸對稱得到，從而得解.

【詳解】解：因為“X)的定義域為(-2,0)U(0,2),且/⑴在區間(-2,0)上是增函數，在區間(0,2)上是減函

數,

且V=-/(X)的圖象與V=/(x)的圖象關于x軸對稱,

所以V=-/?的單調遞增區間是(。，2)；單調遞減區間是(-2,0)；

又V=-/■(無+D的圖象是由V=〃x)的圖象向左平移一個單位,再關于關于x軸對稱得到的,

所以函數了=-Ax+1)的單調遞增區間是(-U)；單調遞減區間是(-3,-1).

故答案為：(0,2),(-2,0),(-1,1),(-3,-1).

10.函數/(x)=(x-4)-|x|的單調遞增區間是()

A.(-叫0)B.(-<?,0)U(2,+co)

C.(-8,0)和(2,+co)D.(2,+co)

【答案】C

【分析】先對函數化簡，然后畫出函數圖象，結合圖象可求出函數的增區間.

x2-4x,x>0

【詳解】/?=

-x2+4x,x<0

函數圖象如圖所示,

y

/（A-）

x=2

由圖可知函數的遞增區間為（-8,0）和（2,+8）,

故選：C

11.函數y=2-3的嚴格減區間為

【答案】（-叫1）/（-叫1]

【分析】根據給定條件，利用指數型復合函數求出單調遞減區間作答.

【詳解】函數＞=y一21的定義域為R,令w=-2X-3,

函數W=--2x-3在（-8,1）上單調遞減，在（1,+功上單調遞增，

而函數y=e"在R上是增函數，因此函數y=e/一『3在（一汽1）上單調遞減，在（1,+功上單調遞增,

所以函數y=e，-的嚴格減區間為.

故答案為：（-8,1）

12.已知函數"x）=log2cos的單調增區間為

【答案】（標-0桁+右），左eZ

612

【分析】先求出函數的定義域，再根據復合函數的單調性求解即可.

【詳解】解：4^=cosl2x-^j,

由,>0,可得cos12x-E)>0,

所以2版一百＜2x—巴＜2E+女，左wZ,

262

解得kn--<x<kji+—,keZ,

63

所以函數的定義域為（阮-9TT阮+T=T）#€Z,

63

由余弦函數的性質可知：/=cosbx-4在力，逅Z上單調遞增，在（E+=E+：），hZ上單

V67612123

調遞減，

又因為/（X）=log21在定義域上為單調遞增函數,

由復合函數的單調性可知：

函數/?=10g2cos-2的單調增區間為（E-：加+自,keZ.

故答案為：（kn_7,kn+丁）,keZ

考點03：函數的最值問題

Q/-?

13.設a>0,若函數》=—，當xe[a,24時，了的范圍為-,2,則。的值為（）

xL4

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

Q

【分析】根據y=2的單調性可直接構造方程組求得結果.

X

-=2

【詳解】?.?、=?在（0,+8）上單調遞減，，;，解得：。=4.

xQ_a

五一a

故選：B.

14.函數/（%）=3X~2^+2x-4五-1的最小值為.

Q

【答案】-|

【解析】根據函數解析式，先令f=（6-將問題轉為求函數>=3'+21在。2-1上的最值問

題，根據單調性，即可求解.

【詳解】因為"x）=3一五+2x-4五-1=33興+2（6-1）2一3,%>0,

令/=（五,貝卜+1=（6-1『，

2,

所以/（%）=3（&>'+2（V^-l）-3=3+2f-l

令g?）=3'+2t-i,r>-1,

因為指數函數v=3'與一次函數y=2f-l都是增函數，

所以g（t）=3'+2"l也是增函數，

Q

所以/N-1時，g（0mi?=g（-1）=3-1-2-1=--.

Q

故答案為：—-.

【點睛】方法點睛：

求解函數最值（值域）的常用方法：

1.單調性法：先判斷函數的單調性，再由單調性結合端點值求出最值（值域）；

2.圖象法：先作出函數的圖象，再觀察其最高點、最低點求出最值（值域），若函數的解析式的幾何意義較

明顯，如距離、斜率等，可用數形結合法求解；

3.基本不等式法：先將解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后利用基本不等式求最值(值域)；

4.導數法：先求出導函數，然后求出給定區間的極值，結合端點值，求出最值(值域)；適用于三次函數、

分式函數及含elInx,sinx,cosx結構的函數，且/'(x)可求；

5.換元法：對比較復雜的函數先通過換元轉化為熟悉的函數，再用相應的方法求最值(值域)；

6.分離常數法：形如歹=竺］(。/0)的函數的值域，經常使用“分離常數法”求解；

7.配方法：求解二次型函數時，一般需要配方，結合二次函數的性質求解.

15.函數尸Jl-x+sJx+3的最大值為.

【答案】272

【分析】首先求出函數的定義域，然后將函數平方，利用二次函數的性質即可求解.

［1-x>0

【詳解】由°、八，解得—3。41,

［x+3>0

即函數的定義域為卜3』，

/=4+2j(l-x)(x+3)=4+2j-(x+l『+4,

當x=-l時，/取得最大值8,

即Xnax=2&-

故答案為：2&

16.若奇函數/(x)在區間［。,句(。>0)上是增函數，則它在區間［-瓦-㈤上是()

A.增函數且最大值是/(-。)B.增函數且最小值是

C.減函數且最大值是/(-6)D.減函數且最小值是/(-①

【答案】A

【分析】根據題意得到函數/'(X)在區間［-4-0為增函數，結合選項，即可求解.

【詳解】由題意，奇函數”X)在區間［。向(。>0)上是增函數，

則函數/(x)在區間［-m-0也為增函數，

所以函數/(元)在區間［-4-0上的最大值為/(-?)，最小值為fJb).

故選：A.

1/*(X)9

17.已知函數〃x)=x+-(x>0),若：“---的最大值為三，則正實數。=

x(/(x))+a5

【答案】1

【分析】依據題意列出關于。的方程即可求得正實數a的值.

1/W_t1

【詳解】令f=X+—(x>0),則框2,則(/(x)y+at2+aa

X'

y=t+—(a>0,t>2)

當0＜aW4時，》=/+：在［2,+8)上單調遞增，y=t+^＞2+^a

12

貝產下4有，即前l的最大值為高

22

則有三解之得a"

當。＞4時，f22G(當且僅當片夜時等號成立)

則°＜於"端，即(看L的最大值為名

則筌|,解之得“噓(舍)

綜上，所求正實數。=1

故答案為：1

18.已知函數/'(x)=三*在區間［0,1］上的最大值為g,則實數加的值為.

【答案】|

2丫+m"7—2

【分析】將函數/(%)=一［化為〃x)=2+-xe［0,l］,討論加=2,加＞2和加＜2時函數的單調性,

x+1x+1

運用單調性可得最大值，解方程即可得到所求值.

【詳解】解：函數〃X)=型邛，即/(x)=2+",xe［0,l］,

x+1x+1

當機=2時，/(x)=2不成立；

當加-2＞0,即加＞2時，/(%)在［0J遞減，可得/(0)為最大值,

即/(0)=f0+加=；5，解得加=；5,成立；

當%-2＜0,即加＜2時，/(X)在［0,1］遞增，可得/⑴為最大值,

即/(1)=等=(,解得加=3,不成立;

綜上可得m=g.

故答案為：—.

考點04：恒成立問題與存在性問題

19.不等式2x-l>"式對滿足0V加VI的一切實數加的取值都成立，求x的取值范圍.

【答案】{xeR|x>l}

【分析】構造函數/（加）=妙-2》+1,原不等式等價為/（〃。<0對于任意恒成立，從而只需滿足

V■⑴＜。即可,進而解不等式可得答案.

【詳解】不等式2x-l>/nr化為：加x-2x+l<0對于任意的OVmWl恒成立,

令〃機）=s-2x+l,要使/（加）<0對于任意0〈加W1恒成立,

/、f-2x+l<0

由于函數/'（加）是關于加的一條直線，則有=jx_2x+］<0，解得x>L

故X的取值范圍為{xeRIX>1}.

20.如圖所示，定義域和值域均為R的函數/（x）的圖象給人以“一波三折”的曲線之美.

（1）若/（x）在（-2,a+2）上有最大值，則a的取值范圍是；

（2）方程/（/（切=3的解的個數為.

【答案】（-3,3］；4

【分析】（1）利用數形結合思想，結合最大值的定義進行求解即可；

（2）利用換元法，結合數形結合法進行求解即可.

【詳解】（1）由圖象可知：該函數在（-叱T）上單調遞增，在（-1,3）上單調遞減，在（3,+8）上單調遞增，且

/（-I）="5）=3,

/、1—2<a+2

要想了卜在（-2,。+2）上有最大值，則有=-3<aK3,〃的取值范圍是（-3,3］；

/\-l<a+2<5

(2)令〃x)=r,/(f)=3=>f=-1,或t=5,

若=根據函數圖象，可知該方程有三個不相等實根；

若/(尤)=5,根據函數圖象，可知該方程有一個實根，

所以方程〃/Xx))=3的解的個數為4,

故答案為：(-3,3]:4

21.若關于x的不等式。-2N>2N+l(xeR)有實數解，則實數。的取值范圍是()

A.(1,+℃)B.(2,+co)C.[1,+?)D.[2,+co)

【答案】A

【分析】分離參數將問題轉化為。>1+]有解，計算即可.

【詳解】由題知分2忖>2W+l(xeR),而2心1，所以。>1+，，

又。<和1，所以1<1+#2.

因為關于x的不等式小2忖>2忖+l(xeR)有實數解，

即。>1+/(xeR)有實數解,所以。>1,即aw(l,+⑹.

故選：A

22.若存在實數加e[-2,2],使得不等式成立，求x的取值范圍.

【答案】或x>B

22

【分析】原不等式可化為.設〃加)=[2-1)加-2x+l,根據/-1的符號討論，結合一

次函數的單調性，即可得出答案.

【詳解】原不等式可化為

設/'("?)=(--1)機-2x+l,

當X=1時，/(〃?)=-1<0恒成立，滿足題意；

當產-1時，/(加)=3>0恒成立，不滿足題意；

當/-1>0時，函數/(")單調遞增,

要使不等式成立，則應有〃-2）<0,

x2-l>0

即有/2\，

-2（x—1j—2x+1<0

解得,X〈土也或X>1;

2

當/-1<0時，函數/（加）單調遞減，

要使不等式成立，則應有/（2）<0,

x2-l<0

即有4/2\，

2（X2-1）-2X+1<0

解得，匕

2

綜上所述，x的取值范圍為x<上近或x>匕YL

22

23.對于任意左e[-1,1],函數&0=/+（04訴-2左+4的值恒大于零，則x的取值范圍是（）

A.x<0B.x>4

C.x<l或x>3D.x<1

【答案】C

【分析】將函數/（X）的解析式變形為〃X）=（X-2N+X2-4X+4,并構造函數g/）=（x-2%+x2-4x+4,

由題意得出，解此不等式組可得出實數X的取值范圍

[g⑴>0

【詳解】對任意后函數y（x）=/+（左一4）x-2左+4的值恒大于零

設g（上）=（x—2）上+x?—4x+4,即g（左）>。在。1,1]上恒成立.

g（左）在左上是關于左的一次函數或常數函數，其圖象為一條線段.

則只需線段的兩個端點在X軸上方，即1J2,。八，

g（l）=x-3x+2>0

解得％>3或x<1.

故選：C.

24.在區間[TJ上，函數歹=/一％+1的圖象恒在直線y=2x+加上方，則實數機的取值范圍是

【答案】(-%-1)

【分析】依題意/_x+l>2x+加在區間上恒成立，^y=x2-3x+l-m,則只要其最小值大于0即可,

根據二次函數的性質求出其最小值，即可得到不等式，解得即可.

【詳解】由題意得/-x+l>2x+加在區間[T』上恒成立，

即X2—3x+l—m>0在區間[-n]上恒成立,

設丁=/-3x+l-加，則只要其最小值大于0即可，

因為>=X2-3X+1-伍的對稱軸為直線x=],

所以當x=l時，y=x2-3x+l-m取得最小值-l-w,

則-1-機>0,解得加<-1,即m的取值范圍是(-8,-1).

故答案為：(-叫-1).

考點05:利用函數的單調性求參數的取值范圍

-x2-ax—9,x<l

25.已知函數〃x)=a在R上單調遞增，則實數。的取值范圍為()

—,x>1

、X

A.[-5,0)B.(-8,-2)

C.[-5,-2]D.(-叫0)

【答案】C

【分析】根據函數單調性即可求出實數。的取值范圍.

【詳解】由題意，xeR,

-X2—ax—9,x<l

在/(x)=a,中，函數單調遞增，

一,X>1

、X

-------->1

2x(-1)-

。<0,解得：-5<a<-2,

-l-a-9<—

1

故選：C.

26.函數/(無)=白-"+1,對/不,々e(-0o,2)且x產龍2，(xl-x2)[f(xl)-f(x2)]<0,則實數。的范圍為()

A.（-8,4]B.[4,+co）

C.（T?,2]D.[2,+oo）

【答案】B

【分析】首先判斷函數在區間（-/,2）的單調性，再結合二次函數的對稱軸，列式求實數。的范圍.

【詳解】因為對％戶2€（-00,2）且X產龍2，（%-%）[/（再）-/（%）]<0,

所以函數在區間（-吟2）單調遞減，函數/（X）=/一"+1的對稱軸是X=j,

所以晟22,得.24.

故選：B

27.函數y=4/+x在R上是增函數，則實數a的值為.

【答案】0

【分析】根據一次函數及二次函數的單調性即可得到結論.

【詳解】當。=0時，函數無，在R上單調遞增，符合題意；

當時，函數了=。/+工，其對稱軸為x=-二~,

若a>0,當x<-二時，函數單調遞減；當》>-上時，函數單調遞增；

2a2a

若a<0,當時，函數單調遞增；當時，函數單調遞減，

2a2a

綜上，a=0.

故答案為：0.

28.函數y=（x-l）4在（-8,心）上是減函數，則加的取值范圍是.

【答案】SH

【分析】依題意函數>是由y=/向右平移1個單位得到，再由累函數的性質判斷了=/的單調性,

即可得到>=（x-1）4的單調性，從而求出參數的取值范圍.

【詳解】因為函數y=（x-l）4是由>=向右平移1個單位得到，

函數了=/為偶函數，且函數在（0,+。）上單調遞增，則在（-多。）上單調遞減，

所以函數y=（x-1），在（1,+⑹上單調遞增，則在（-叫1）上單調遞減，

又函數y=（X-1），在（-（?,"）上是減函數，所以wvi,即加的取值范圍是（一叫1].

故答案為：

29.函數/（x）=x2+5x+2a+l,若對于任意占，x2e（2,+?）,當為/工?時，都有:/（：）：：/（再）>0,則

實數a的取值范圍是.

【答案】?<<3

2

【分析】首先將不等式變形，并構造函數/!（x）=W=x+鋁+5,討論2。+1的正負，結合函數在區間

（2,+8）的單調性，求實數。的取值范圍.

【詳解】:對于任意不，x,?2,+8）當x產X?時，都有當"無2）一無2〃再）>0,

X2一項

/（X2）/（Xl）”\

?,?^）o，令"、）=山，則〃（X）在（2,+8）上單調遞增，

X2-Xy

又???"X）=X+2F+5,當2a+140時，滿足題目條件，此時aV-g；

當2a+l>0時，a>-1,x>0時，x+^^22卜^^=2,2a+l,當x=J2a+1時,等號成立，根據對

勾函數單調性可知，有病工142,.?.-:〈后■|,

,3

綜上可知，a<—.

2

3

故答案為：。<5.

30.“a>5”是“函數〃司=/一”在區間（1,2）上單調遞減”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據函數的單調性與導數的關系和必要不充分條件的判斷即可求解.

【詳解】若〃司=/-"在區間（1,2）上單調遞減，

所以，'（x）=3x2-aW0在區間（1,2）上恒成立,

所以3x2Wq在區間a,2）上恒成立，

所以（3nMa,

\/max

所以423x2?=12,

所以“a>5”是“a>12”的必要不充分條件，

所以“。>5”是函數/(司=/-如在區間(1,2)上單調遞減”的必要不充分條件,

故選：C.

考點06：判斷函數的奇偶性

31.已知函數〃引=62工+產+2,則()

A./(x+1)為奇函數B.+為偶函數

C.7(x-l)為奇函數D.為偶函數

【答案】B

【分析】方法一：可得/(I-x)=/(x),即可得到函數/(X)關于x=9寸稱，從而得到/卜+￡|為偶函數;

方法二：求出/'口+￡|的解析式，即可判斷.

【詳解】方法一：因為〃x)=e2x+e3+2,所以〃l-x)=e5+e2'=〃x),

所以函數/(x)關于尤=：對稱，將/(x)的函數圖象向左平移;個單位，關于了軸對稱,

22

即/卜+￡|為偶函數.

方法二：因為/(x+:=e2z+e3+i=6卜2工+F2),XeR,

則/1x+J=e(e"+e3)=/1+J,所以+'為偶函數；

224-24

又/(x+l)=e2*+2+e3,^/(-l+l)=e°+e=l+e,/(l+l)=e+e=e+-17,

e

所以〃T++/(-1+1)^-/(1+1)，故/(x+1)為非奇非偶函數；

又/(xT)=e2i+e2+4,故/(_i_i)=e-4+e6=[+e6,/(l-l)=e°+e2=l+e2,

e

所以〃_1一1)工/(1一1),故〃X-1)為非奇非偶函數；

故選：B

32.函數/(x)=(l+x)乒的奇偶性為()

A.奇函數B.偶函數C.非奇非偶函數D.既奇又偶函數

【答案】C

【分析】求出的定義域不關于原點對稱，即可判斷/'(x)為非奇非偶函數.

【詳解】函數〃x)=(l+x)E的定義域為

則'八)=>-l<x<l,

Xw—I

由于定義域不關于原點對稱，故/(%)為非奇非偶函數.

故選：C.

33.若/(x),g(x),〃(x)分別是定義在R上的偶函數、奇函數、偶函數，則下列函數不是偶函數的是

()

A.y=/(g(x))//(x)B.V=/(g(x))+〃(x)

C.j=/(A(x))g(x)D.y=/(x)|g(x)|〃(x)

【答案】C

【分析】根據/(x),g(x),"x)分別是定義在R上的偶函數、奇函數、偶函數，再由奇偶函數的定義逐

項判斷即可.

【詳解】若尸(x)=/(g(x)M(x)，則F(-x)=/(g(r)M(r)=/(-g(x))A(x)=/(g(x))A(x),

則7=/(g(x)M(x)是偶函數，故A錯誤；

若F(x)=/(g(x))+h(x),則F(-x)=/(g(-x))+h(-x)=/(-g(x))+h(x)=/(g(x))+h{x)，貝！=/(g(x))+h(x)

是偶函數，故B錯誤；

若尸(x)=/(〃(x))g(x),則尸(-x)=/(/z(-x))g(-x)=-/(/z(x))g(x),則y=/(//(x))g(x)是奇函數,故C正確;

若尸(x)=/(x)lg(x)Ih(x),則F(-x)=f(-x)Ig(-x)Ih(-x)=f(x)\-g(x)|h[x)=/(x)|g(x)|-h(x),

則了=/(x)|g(x)|〃(x)是偶函數，故D錯誤.

故選：C

34.判斷下列函數的奇偶性.

，16、+1+2工

⑵〃X)

(3)/(x)=log2(x+G+1)(xeR)；

(4)/(x)=lg|x-2|；

(5)〃x)=(常數叱0).

\x+a\-a

【答案】(1)既是奇函數，又是偶函數

(2)偶函數

(3)奇函數

(4)非奇非偶函數

(5)奇函數

【分析】(1)(2)(3)(4)(5)求出函數/(x)的定義域，結合函數奇偶性的定義判斷可得出結論.

x2-l>0

【詳解】(1)解：對于函數/(x)=V?=LF?斛倚x=±l,

所以，函數〃尤)的定義域為｛-域｝,此時〃x)=0,滿足〃-無)=-〃尤)，/(-x)=/(x),

故函數=二既是奇函數，又是偶函數.

J16'+l+2'的定義域為R,

(2)解:函數〃x)=

2,

______j_j_1+16_'___1

■716-，+]+2-_\方++二_\⑹+一

2X

對任意的XER,/(-%)=

2T11

F2工

V1+1674X

+港，1+16'+2、

X=〃x),

42X

F

如、+1土2、為偶函數.

所以，函數/(X)

2X

22

(3)解：對任意的XER,A/X+1>|x|>-X,貝I\lx+1+x>0?

所以，函數〃X)的定義域為R,

Wry+]_q=bg

對任意的xeR,/(-^)=log2'2+1,

22:2

所以，/(x)+/(-x)=log2Rx+1-x)+log2(Jd+1+x)=log2(x+l-x)=0,

所以，y(-x)=-/(x),故函數〃x)=log2(x+Gn)為奇函數.

(4)解：對于函數/(同=囿無一2|,有|x-2|>0,解得xw2,

故函數"X)=坨1-2|的定義域為{x|x#2},

所以，函數〃x)為非奇非偶函數.

(5)解：因為awO,對于函數/x=：一,一,有?,八，解得一a4x<0或0<x4a,

\x+a\-a[|。+用一400

所以，函數〃x)雌義域為[-同為川(0,同,

_y/a2-x2

此時,

|x+tz|-6Zx+a-ax

/2__2

所以，函數：X(常數。*0)為奇函數.

+q—〃

考點07;利用奇偶性求函數值或參數值

35.若函數/■(%)=|2工-1|一|2尤-4為奇函數，則a=.

【答案】±1

【分析】根據奇函數的性質，得到/(。)=0,求得a=±l,結合奇偶性的定義，即可求解.

【詳解】由函數f(x)=|2x-lH2x-4為奇函數,可得/(0)=|0_1|_|°_4=14=°，

即時=1,解得。=±1,

當。=1時,/(x)=|2x-l|-|2x-l|=0,此時函數〃x)為奇函數，符合題意；

當°=一1時，/(^)=|2x-l|-|2x+l|,

則f(-x)=|-2x-l|-|-2x+l|=|2x+l|-|2x-1|=-/W)即〃-x)=-/(x),

此時函數〃x)為奇函數，符合題意,

綜上可得，實數。的值為士L

故答案為：±1.

36.設aeR,貝=1”是“/(無)=ln(G7T+ax)為奇函數”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據/。戶問而公+")為奇函數，可得/(x)+/(-x)=0,即可求得。，再根據充分條件和必

要條件的定義即可得解.

【詳解】若/(x)=ln(朽i+力)為奇函數，

則/(x)+f(-x)=InRx?+1+ax)+ln(J/+1-ax)=ln^l-a2)x2+1J=0,

1—a2=0，

解得〃=±1,經檢驗，符合題意，

；?“a=1”是“/(x)=可而力+")為奇函數”的充分不必要條件.

故選：A.

37.函數/(x)是偶函數，當xNO時，〃x)=x(l+x),則/(一1)=

【答案】2

【分析】根據函數的奇偶性求出解析式后即可代入求解.

【詳解】因為當xNO時,/(x)=x(l+x),

所以當x<0時，-x>0,

所以/(-x)=-x(l-x),

函數/(x)是偶函數，

所以f(x)=f(-x)=-x(l-x),

所以止1)=1(1+1)=2,

故答案為：2.

38.若〃x)=lnk-系卜”是奇函數，則"=()

.1In3In6

A.In-B.-------C.-------D.InJ

3366

【答案】A

【分析】根據奇函數的定義結合對數運算求解即可.

19

【詳解】由題意得了^'解得x'±3'

則/(X)的定義域為{xIX*±3},又f(x)為奇函數,

所以〃O)=ln：-系-〃=0,可得〃=1理，

當〃=ln2時，/(x)=ln1--J--ln|,

3vvIDD

其定義域為卜1工?！?},

/(x)+f(-x)=In!---口-Ing+ln?2-In；

7v77v)3x+333—x+3

=lnR--21nq=21nJ_21n4=0,所以/(x)是奇函數,

\3X~rJJ\J—X十D1/D3J

故〃=ln；.

故選：A.

考點08：利用奇偶性求解析式

39.已知函數/(x)是定義域為R的奇函數，且當x<0時，〃》)=-2-,+”.求函數〃x)的解析式.

—2*+a,x<0

【答案】/(x)=-0,x=0

2"—a,x>0

【分析】由奇函數的性質可得出〃0)的值，利用奇函數的定義可求得函數/(x)在、>0時的解析式，綜合

可得出函數/(%)在R上的解析式.

【詳解】因為函數歹=/(%)是定義域為R的奇函數，所以/(0)=0,

當x<0時，f(x)=-2~x+a,

當x>0時，一x<0,貝!J/(-x)=-2X+a,

所以當％>0時,/(x)=-f(-x)=-(-2X+a)=2"-a,

—2*+a,x<0

所以/'(X)=<0,x=0.

2"—tz,x>0

40.校聯考階段練習)己知函數〃x)滿足y=〃x+l)-l為奇函數，則函數的解析式可能為

(寫出一個即可).

【答案】/(x)=x(答案不唯一)

【分析】根據奇函數的定義選擇函數/(x)的解析式即可.

［詳解］取/(尤)=無，貝Ijy=/(x+l)_l=(x+l)_l=x符合題意.

故答案為：/(x)=x.

41.已知函數"x)=d+芯+無為定義在［2a-l,3-a］上的奇函數，則不等式〃2x+l)+〃x-b)>0的解集

為.

【答案】［-1，2

【分析】根據奇函數性質可得定義域關于原點對稱求出〃=-2,6=0,再利用函數單調性和奇偶性即可求

出不等式的解集.

【詳