任意角和弧度制、三角函數的概念(2種核心題型+基礎保分

練+綜合提升練+拓展沖刺練)

m【考試提醒】

1.了解任意角的概念和弧度制

2.能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.

3.借助單位圓理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義.

血【知識點】

1.角的概念

(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形.

⑵分類

按旋轉方向不同分為正角、負角、零角

’按終邊位置不同分為象限角和軸線角.

(3)相反角：我們把射線ON繞端點。按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反

角.角a的相反角記為二口

(4)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，可構成一個集合S=/|￡=a+

上360°,kb].

2.弧度制的定義和公式

(1)定義：把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示.

⑵公式

m=4弧長用i表示)

角a的弧度數公式

r

角度與弧度的換算1°=-rad；1rad=[nJ°

180

弧長公式弧長l=\a\r

扇形面積公式S=-lr=~\a\r2

22

3.任意角的三角函數

⑴任意角的三角函數的定義：

設尸(x,y)是角a終邊上異于原點的任意一點，其到原點O的距離為r,則sina=^,cosa=-,

r

tana=2(xW0).

x

⑵三角函數值在各象限內的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦,如圖.

【常用結論】

1.象限角

第一象限角|｛$|2ATT<a<2k,n+^-,A6Z

象

限T第二象限角闡2而+￡<a<2而+八*勾

錯

的+TT<a<2k^+^~,Aez}

集

小

Ja|2Air+a<2,kw+2TT,4CZ

2.軸線角

r/終邊落在x軸上的角］｛戊,=而，*ez）

軸

線a、

患T終邊落在y軸上的角）｛眼透+而，

集

凹7終邊落在坐標軸上的劇上卜=胃

S【核心題型】

題型一角及其表示

確定ht,2（左GN*）的終邊位置的方法

k

先寫出hx或9的范圍，然后根據左的可能取值確定kx或旦的終邊所在位置.

kk

【例題1】（2023?安徽?模擬預測）已知角。終邊上有一點尸［sin7,cosw）貝I」兀-。為（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

【分析】根據終邊相同角的定義即可求解.

【詳解】已知角a終邊上有一點尸siny

兀

CC=-------F2kjt(keZ),

6

7TL

：.it-a=---2kit(kGZ)為第三象限角.

6

故選：C.

（4jr47r\

【變式1】（2023?遼寧?一模）己知角"的終邊上一點的坐標為sing,cos^J,則a的最小

正值為（）

兀3兀47i17K

A.-B.—C.—D.---

510510

【答案】D

【分析】通過用誘導公式將點的坐標化為（cos%sine）,根據三角函數的

定義即可寫出判斷選項即可.

所以角a的終邊上點的坐標可寫為：嚴［一而J,叫-mJJ,

所以。=-普Qjr+2阮,左iZ,因此a的最小正值為一存+2兀=17IT

故選：D

【變式2］（2024?北京東城?一模）已知角見￡的終邊關于直線N=x對稱，且sin（a-￡）=；,

則a,"的一組取值可以是a=,B=.

【答案】?jr（答案不唯一，符合題意即可）7Jr（答案不唯一，符合題意即可）

36

【分析】由角名尸的終邊關于直線＞=x對稱，可得a+￡=；7T+2E,再由sin（c-4）=51可

7TTT

得尸=：+E或4=-二+配，即可求出答案.

66

【詳解】因為角的終邊關于直線＞=x對稱,

7T7T

貝!Ja+尸=萬+2E,k￡Z,貝！)0=5-/?+2左兀,

因為sin（a_尸）二;，所以sin1T-4+2左兀-/?j=sinf-^--2yff+2左兀j=cos2/3=；,

jrjr

所有2/?=§+2E或2/7=--+2hi,keZ,

jrIT

解得：B=—FE或/?=---卜ku,k￡Z,

66

TTTV

取人=0,萬的一個值可以為7，a的一個值可以為三.

63

7171

故答案為：3（答案不唯一，符合題意即可）；6（答案不唯一，符合題意即可）

【變式3】（2024?湖南岳陽?三模）已知角a,尸的終邊關于直線了=x對稱，且sin（a一仍=冬

則a,"的一組取值可以是a=,p=.

【答案】需5（答案不唯一，符合￡=（左+加）兀+泮尸=（""）兀+5或

A4I乙1.乙A乙

a=（左+加）兀+工，0=（k-m）冗-q,左，加cZ即可）

【分析】由條件角/夕的終邊關于直線y=x對稱可得a+￡,由sin（a-〃）=g可得

解方程求a,6即可.

【詳解】因為角d￡的終邊關于直線了=彳對稱,

■JI

所以a+,=2kli+—,左eZ,

又sin（cr-0）=，

兀、271

所以a-/?=2冽兀+§?或a-/?=2zrni+?-,mGZ,

57r7C/ITjr

所以a=（左+加）兀H-----,0=（k---或a=（左+加）兀H-----,夕=（左一加）兀----,k,meZ,

12121212

取左=0,加=0可得a=&，尸=±或°=四，夕=--—

12121212

所以a*的一組取值可以是a=骨57r,4qJi,

5%[,（答案不唯一，符合=（左+加）兀+需，（左一加）兀+；或

故答案為:a/=1

U，

7兀jr

a=（k+加兀H-----,（3=[k-m）Tt~—,左，加EZ即可）

）12

題型二弧度制及其應用

應用弧度制解決問題的方法

（1）利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.

（2）求扇形面積最大值的問題時，常轉化為基本不等式或二次函數的最值問題.

【例題2】（2024?全國?模擬預測）設a=；cos；,b=sin；,c=tan；,則（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【分析】由sina<a<tana,可證—>1,得結論.

a

【詳解】先證明：當二寸，sina<a<tana.

如圖，角。終邊為OP其中點尸為角。的終邊與單位圓的交點，尸軸，交x軸于點

M,

4點為單位圓與x軸的正半軸的交點，軸，交角a終邊于點T,

則有向線段MP為角a的正弦線，有向線段4T為角。的正切線，

設弧PA長/=axl=a,

由圖形可知：SAOAP<S扇形OAP<S.OAT，即,xO/x/<5xCMx/T,

所以,xCUxsinavLxCUxavLxOZxtana,即sina<a<tana.

222

貝ljsin」<tan!，所以b<c.

33

ffij-=3tan->3x-=l,所以心。，

a33

所以C>6>Q.

故選：D.

【變式1］（23-24高三上?北京?階段練習）已知圓錐的頂點為S,母線$4,S3所成角的余弦

值為1,S4與圓錐底面所成角為45。，若△S3的面積為1,則該圓錐的側面積

為.

【答案】4拒兀

【分析】根據條件算出母線長和底面半徑即可求出側面積.

【詳解】如圖：其中。是底面圓心，設半徑為r,則/O=r,

s

3i------------------4

cosZASB=—,,/Z.ASBG（0,兀）,「.sin//SB=Jl—cos2Z.ASB=—,

由于S4,SB都是母線，所以“=SB,

2

LSAB的面積SASAB=^SA-SB-sinZASB=^SAx^-==26,

因為1s4與圓錐底面所成角為45。，所以/WO=45。，

所以在等腰直角三角形S/。中，AO=r=^SA=2,

2

所以側面積=!"-2兀廠=工-2e-2兀-2=4行71；

22

故答案為：4也71■

【變式2］（22-23高一下?遼寧朝陽?期中）已知扇形的面積為4,圓心角的弧度數是2,則該

扇形的半徑為.

【答案】2

【分析】根據扇形的面積公式列式可求出結果.

【詳解】依題意得S=4,a=2,設半徑為?

11

由5=—得4=—x2/，得，=2.

22

故答案為：2

【變式3］（2024?內蒙古呼和浩特?一模）用一個圓心角為120。，面積為3萬的扇形。兒W（O

為圓心）用成一個圓錐（點恰好重合），該圓錐頂點為P,底面圓的直徑為N8,則

cos/APB的值為.

【答案】j7

【分析】根據扇形的面積及弧長求出母線及底面圓半徑，再由余弦定理求解.

【詳解】設圓錐的母線長為/,底面半徑為小

???扇形的圓心角為鼻

???$扇形=［”./2=叱=3兀，解得/=3，

扇形233

:扇形的弧長等于它圍成的圓錐的底面周長,

:.生/=2口:.r=\,

3

所以圓錐的軸截面尸中，PA=PB=3,AB=2,

PA2PB2AB218-4_7

由余弦定理可得C0S//P8=+-

2PAPB2x3x3—9

,,7

故答案為：—

題型三三角函數的概念

（1）利用三角函數的定義，已知角a終邊上一點尸的坐標，可以求出a的三角函數值；已知角a

的三角函數值，也可以求出點尸的坐標.

（2）利用角所在的象限判定角的三角函數值的符號時，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標

軸上的情況.

【例題3】（2023?福建福州?模擬預測）已知角a的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重

合，cosa=*,尸（加,2）為其終邊上一點，則機=（）

A.-4B.4C.-1D.1

【答案】D

【分析】根據已知條件，結合任意角的三角函數的定義，即可求解.

【詳解】始邊與x軸非負半軸重合，cosa=立，尸（見2）為其終邊上一點，

5

17]JS

則/2=~V，且加＞0,解得冽=1.

y/m+43

故選：D.

【變式1】（2024?河南?一模）以坐標原點為頂點，x軸非負半軸為始邊的角其終邊落在

直線〉二x上，則有（）

起亞

A.sina=----B.coscr=——C.sina+cosa=±eD.tana=±1

22

【答案】C

【分析】利用角a的終邊落在直線y=x上易于求得角&W+2E或a=3+2E1eZ,分別

44

求出角a的正弦、余弦值，即可對選項一一判斷.

【詳解】因角a的終邊落在直線y=x上，故a=：TT+2析或a=STL+2MKeZ.

44

對于A,當c=：+2E,左eZ時，sina='＞故A項錯誤；

42

對于B,當時，cosa=一也,故B項錯誤；

42

兀5兀

對于C,當a=—Jr2kn，左eZ時，sina+cosa=y/2，當a=~^+2kji,k￡Z時，sina+cosa=一萬，

44

故C項正確;

對于D項，當a=f+2祈，左eZ時，sina=cosa=,則tana=1；

422

當a=￥+2E,左eZ時，sina=--,cosa=-—,貝！Jtana=1.故D項錯誤.

422

故選：C.

【變式2］（2024?湖南邵陽?二模）在中，/=￡,/8邊上的高為145,則

33

cosC=

【答案】與》近

【分析】作出圖形，利用真假三角形邊角關系求出sin3,cos8,再利用誘導公式及和角的余

弦公式計算得出結果.

A

【詳解】令的內角//CB所對邊為c,過。作于。則CZ）=火c，

3

CD12

罰’則從而以

222cI2不

在直角△3。中,BC=y]CD+DB=3一CY+-c

3/

,_.DCV3n_DB_2

從(T而7sinn8=-----=-=c,cos5=——=-^

BCV7BCV7

在中，C=+

ri2vjV7

所以cosC=-cos--cos5-—sin5

22120214

7

故答案為：f

【變式3］（2023?廣東佛山?一模）若點/（cos。,sin。）關于原點對稱點為

SCOSR-0Lsin7PT-0j,寫出夕的一個取值為

6

【答案】—（答案不唯一，e=—+kn,左eZ均可以）

【分析】根據A、8關于原點對稱，所以兩角的終邊在一條直線上，得：8=3-。+（24+1）兀,

左eZ.再令左隨意取值，可得結論.

【詳解】???/（cos。,sin。）和3卜小@,sin]-磯關于原點對稱.

jrjr

二。與二一0的終邊在一條直線上.即：0=。+（2左+1）兀，kez.

66

7兀

0-----Fkit,keZ.

12

7兀

令人=0得e=—.

12

ZZE。=乂+而

故答案為：12（滿足12,上eZ即可）

口【課后強化】

【基礎保分練】

一、單選題

Qjr

1.（2023高三?全國?專題練習）與丁終邊相同的角的表達式中，正確的是（）

4

TT

A.45°+2版,左eZB.h360°+—,后eZ

4

C.h360。+315°,在eZD.2kn-號keZ

【答案】D

【分析】根據角度的表示方法分析判斷AB,根據終邊相同的角的定義分析判斷CD.

【詳解】在同一個表達式中，角度制與弧度制不能混用，所以A,B錯誤.

與M終邊相同的角可以寫成2版+智信eZ）的形式，

左=-2時，2E+岑=-4，315。換算成弧度制為了，所以C錯誤，D正確.

444

故選：D.

2.（23-24高三上■江西贛州?期中）已知C為第一象限角，且sinacos￡=costzsin"+l,則"

為（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】D

【分析】由已知，利用差角正弦公式可得sin（c-￡）=1,進而有a=2匕兀+]7T+/?,匕eZ,結

合&為第一象限角列不等式求尸范圍即可.

兀

【詳解】由題設sinacos,—cosasin/?=sin（a—/）=l,則a-尸=2尢兀+,尢GZ,

JT

所以a=2左兀+,+/,左eZ,而夕為第一象限角，

r

JJJIJI

所以2祈<2^71+—+^<2析+萬,左，左iGZ,貝I」2（左一左）兀一,<P<2（左一左]）兀,左一左1GZ,

7T

所以2右兀-]<￡<2后2兀，后2?Z,即用為第四象限角.

故選：D

3.（23-24高三上?重慶渝北?階段練習）已知角a終邊上有一點尸（sin27^r,co2s7r]）,貝5+a是

（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【分析】首先由點尸的坐標確定角a終邊的位置，再確定兀+□所在象限.

【詳解】sing=1,即

點?在第四象限，即角￡的終邊在第四象限，k+a的終邊為角a終邊的反向延長線，

那么兀+。的終邊在第二象限.

故選：B

4.（23-24高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習）若a是第一象限角，則下列各角為第四

象限角的是（）

A.90°-aB.90°+aC.360°-aD.3600+a

【答案】C

【分析】由題意，根據角的定義和象限角的概念可判斷各個選項.

【詳解】因為a是第一象限角，所以是第四象限角，

則90。-a是第一象限角，故A錯誤；90。+a是第二象限角，故B錯誤;

360。-夕是第四象限角，故C正確；360。+&是第一象限角，故D錯誤.

故選：C.

二、多選題

5.(2024?全國?模擬預測)如圖，設單位圓與無軸的正半軸相交于點/(1,0),以x軸的非負

TT

半軸為始邊作銳角C,P，a-/3,它們的終邊分別與單位圓相交于點耳，4,P-若□=］，

則下列說法正確的是()

A.當￡=:兀時，尸的面積為1:

44

IT

B.當尸=2時，扇形。46的面積為72T

66

C.當月=：時，四邊形O4P4的面積為2+6一收

48

D.四邊形"44面積的最大值為1

【答案】AC

【分析】根據三角形面積公式可判斷A；由扇形面積公式可判定B；S四邊形

根據三角形面積公式即可判斷C；S四邊形借助三角函數恒等式化簡即

可判斷D.

【詳解】由題意，得圓的半徑廠=1,ZAOP^a,NAOA1=0,ZAOP=a-/3.

對于A,由々=—,p——,得/AQP=0—(a—/3)=20—a=—,

346

1JT1

則S/\o4.n彳xlxlxsiniu：，故A正確；

264

對于B,當/?=1時，因為N4O4=a_￡=g_m=2，

6366

所以扇形。4《的面積S=1X2XF==,故B錯誤；

2612

兀11

對于C,當，二^時,§四邊形04尸4=S△ONP+8根4尸=,xlxlxsin(。-夕)+1

1.(717l)12+-\/~6—,,_

=—sin-----+—=-------------，故C正確；

2H4J48

對于D,S四邊形叫M=S4AOA]+5氈04

=gxlxlxsin6+(x1x1xsin(a-0)sin/?-H^sir(a-0),

由戊二1，得S四邊形%/=gsin尸+；sinp

1.Q1(.兀Q兀.f-.|

=-sin/>+—Isin—cosp-cos^-smpI

=-sin/7+—cos/?=--sin^+—cosy5

442222

所以當月+f=J,即4時，S四邊形即出取得最大值，為;，故D錯誤.

32oz

故選：AC

6.（2024?全國?模擬預測）如圖，已知正三棱錐/-P8C和正三棱錐。-P8C的側棱長均為

41,BC=2.若將正三棱錐/-P8C繞8C旋轉,使得點4尸分別旋轉至點4,尸,處，且

也氏C,。四點共面，點HQ分別位于8C兩側，則下列說法中正確的是（）

A.多面體4BDPC存在外接球B.PP'±BC

D.點尸運動所形成的最短軌跡長大于叵

C.尸P//平面HBOC

3

【答案】BCD

【分析】若多面體4BOPC存在外接球，則球心必為ABCP的外心。，由OCw。/即可判斷

A；正三棱錐N-PBC中側棱互相垂直且相等，正三棱錐。-P8C中側棱互相垂直且相等，

將正三棱錐。-尸3c放到正方體中，即可判斷BCD.

【詳解】若多面體/8DPC存在外接球，則球心必為ABCP的外心O,連接NO,OC,

則0。=速，/O_L平面2cP,又OCu平面3cP,所以/O_LOC,

3

所以CM=S!AC2-OC2=—,

3

因為OCwCM,所以多面體4B0PC不存在外接球，故選項A錯誤;

H

D

因為正三棱錐A-PBC和正三棱錐D-PBC的側棱長均為板,BC=2,

則正三棱錐N-PBC中側棱兩兩互相垂直且相等，正三棱錐。-P3C中側棱兩兩互相垂直且

相等，

所以正三棱錐D-PBC可以放到正方體EPFP'-BDCA'中，當點4P分別旋轉至點H,尸處，

且四點共面，點4。分別位于3C兩側時，如圖所示，

易知四邊形DPP'A'為平行四邊形,則A'DUPP',

又4。u平面HBOC,且尸尸'平面43DC,所以尸尸'〃平面HBOC,故C正確；

因為四邊形5OCH為正方形，所以所以PPU3C,故B正確；

設交于點G,則8c,4。互相平分，DP=y/2,DG=l,PP'=A'D=2,

在RtAPDG中，尸G=6，同理可得PG=6，

3+3-411

在△尸GP中，cos/PGP'=------,所以NPGP〉一，

2x3323

又因為點尸運動的最短軌跡是以的中點G為圓心，半徑為6的圓弧尸P,

所以點P運動所形成的最短軌跡長大于叵.故選項D正確.

3

故選：BCD.

【點睛】關鍵點點睛：本題BC選項的關鍵是利用線面平行的判定得到尸尸7/平面HBOC,D

選項的關鍵是得到點尸運動的最短軌跡是以8c的中點G為圓心，半徑為右的圓弧PP.

三、填空題

7.(2023?天津河北?一模)直線x-y-1=0將圓(x-2)2+(y-3)2=8分成兩段圓弧，則較短

圓弧與較長圓弧的弧長之比為.

【答案】1:2

【分析】首先假設直線與圓的兩個交點為48,圓心為C,乙4cB=2a(Q<a<吟,利用已

知求得a,再用兩段圓弧的弧長之比等于兩段弧長所對的圓心角的弧度數之比即可求得兩段

圓弧的弧長之比.

【詳解】設直線與圓的兩個交點為圓心為C,^ACB=2a(0<a<^),

b-3-ll

?.?圓心到直線的距離d='.——1=V2,

V1+1

V2_1

cosa=

2V2-2

?「0<a<乃,

71

???cc-_j

3

24

AZACB=2a=——,

3

所以兩段圓弧的弧長之比等于兩段弧長所對的圓心角的弧度數之比為1:2.

故答案為：1:2.

8.(2024高三?全國?專題練習)已知一個扇形圓心角60°,。所對的弧長/=3兀，則該扇形面

積為.

【答案】冬27兀

2

【分析】根據題意，結合弧長公式以及扇形面積公式，即可求解.

【詳解】因為扇形圓心角a=60。，且a所對的弧長/=3兀，

設扇形所在圓的半徑為「，可得/=1r=3兀，解得r=9,

所以扇形的面積為S=』r=3兀x9=*.

222

、,27N

故答案為：.

2

9.(2024?全國?模擬預測)己知。是第二象限角，且其終邊經過點(-3,4),貝!]tan￡=.

【答案】2

【分析】根據題意，求得++得到tan1>0,再結合三角函數的定

2142J2

義和正切的倍角公式，即可求解.

【詳解】因為a是第二象限角，可得ae［^+2ht,兀Z,

則—e］彳+析,—+也］,左eZ,所以tan^->0,

,a

42tanV4

又因為a的終邊經過點（-3,4）,可得tana=-:,可得tana=-------==-；，

31-tan2-3

2

解得tan?=2或tan［=-：（舍去）.

222

故答案為：2.

四、解答題

10.（2024高三?全國?專題練習）已知角a終邊經過點「1,-收）（x^0）,且COSCC—%,求

sina+---的值.

tana

［冬:安］6拈一&或6A/5+yj~6

66

【分析】根據三角函數定義求解.

【詳解】：網無，-拒）（戶0）,.??點尸到原點的距離—在

FV3.X_V3

又cosa=—xJ.?cosa=',=~—x.

6six2+26

?xwO,??x=±J10,??r=2-\/3?

當x=時，尸點坐標為（而,-0），

由三角函數的定義，有sina=-如，—=-V5,

6tana

..1V6/-6V5+V6

??sinaH-------=----------75=---------------;

tana66

當x=-廂時，同理可求得Sina+—^=6.一

tana6

IL（22-23高三上?安徽阜陽?期中）已知角。的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半

軸重合，終邊經過點（T9）.

（1）求tan（2a+亳的值；

（2）求sin2a+3cos2a的值.

【答案】⑴-;

（2）-3

【分析】（1）根據三角函數的定義求出三角函數值，再利用正切的倍角公式與和差公式即可

得解;

（2）利用正余弦函數的倍角公式，轉化為齊次式，從而化簡代入即可.

9

【詳解】（1）依題意，tan^z==—3.

-2tana-63

貝!jtan2a=--------

1-tana^84

,,(.3兀tan2a-l41

故^tan12aH——

1+tan2a27

4

(2)依題意，sin2a+3cos2a

_2sinacos。+Seos2a-3sin2a

一?22

sina+cosa

_2tan<7+3-3tan2a

—2,

tana+1

_-6+3-27

―9+i

=—3.

【綜合提升練】

一、單選題

1.(2024?河南商丘?模擬預測)"sin(a-2024?i)>0"是"a為第一象限角”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】利用誘導公式及正弦函數的性質結合充分、必要條件的定義判定選項即可.

【詳解】易知sin（a—2。24兀）=sine,所以sin（a—2024兀）>0=>sina>On

?為第一象限角、第二象限角或終邊落在縱軸正半軸上的角，

顯然不滿足充分性，滿足必要性.

故選：B

2.（2024?黑龍江?二模）已知角a的終邊與單位圓的交點尸-g],則sin[a-]）=（）

【答案】B

3

【分析】根據題意可知cosa=（,利用誘導公式運算求解.

【詳解】因為角a的終邊與單位圓的交點尸可知cosc=|,

（兀）3

所以sin（a-5J=-cosa--—.

故選：B.

3.（2024?北京懷柔?模擬預測）攢尖是我國古代建筑中屋頂的一種結構樣式，多見于亭閣式

建筑、園林建筑等，如圖所示的亭子帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個圓錐，其底面積為

1671,屋頂的體積為期5兀，算得側面展開圖的圓心角約為（）

3

5兀4717兀

B.D.

6T~6

【答案】C

【分析】根據底面圓面積求出底面圓半徑，從而求出底面圓周長，得側面展開圖扇形的弧長,

再由圓錐體積求圓錐的高，勾股定理求圓錐母線長，得側面展開圖扇形半徑，可求側面展開

圖的圓心角.

【詳解】底面圓的面積為16冗，得底面圓的半徑為r=4,

所以底面圓周長為8兀，即圓錐側面展開圖扇形的弧長為/=8兀，

屋頂的體積為必亞兀，由』xl6M=""兀得圓錐的高力=2追，

所以圓錐母線長，即側面展開圖扇形半徑R="2+,.2=720716=6，

兀

得側面展開圖扇形的圓心角約為a=!I=?8=：47r.

R63

故選：C.

4.（2024?遼寧撫順?三模）已知圓錐的底面圓的半徑為1,其側面展開圖是一個圓心角為萬的

扇形，則該圓錐的母線長為（）

57

A.—B.3C.—D.4

22

【答案】D

【分析】設母線長為/,根據題意得到g/=2兀xl,即可求解.

2

【詳解】設母線長為/,由題意，可得g7T/=2兀xl,解得/=4,即圓錐的母線長為4.

2

故選：D.

JT

5.（22-23高三上?安徽安慶?階段練習）已知條件0：。二;，條件q：tanawl,則P是1的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】將已知條件轉化為逆否命題來判斷，在利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即

可得結論

【詳解】命題轉化為逆否命題："tana=l〃是〃，的充分、必要問題

4

7T7T

因為tana=1,有a=—+E（4eZ）,所以a不一定為一

44

故充分性不成立

7T

當。=—時，則tana=1,

4

所以必要性成立

所以“tanc=l"是"a=："的必要不充分條件

4

由原命題與逆否命題等價性

所以。是9的必要不充分條件

故選：B.

6.(22-23高三上?貴州貴陽?期末)己知集合/=卜|2航+航+|?，左ez1,

B=ja|AK+^-<a<kn+e,貝I」()

A.A=BB.BuAC.A=BD.AcB=0

【答案】A

【分析】根據角的范圍及集合的關系即可判斷.

【詳解】當％=2%〃eZ時，B=|?|2?71+-^-<a<2,nn+^,kezj-=^4,

當左=2〃+1,”eZ時，B=,a|2〃7i+n+：Ma<2ml+n+^,kezj,

所以N=

故選：A

7.(2024?重慶?模擬預測)已知角c的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊

上有兩點/。⑷，8(2,6),且cos2a=丁貝!］卜一,=()

A.yB.—C.—D.1

252

【答案】A

【分析】利用二倍角的余弦公式可求得cos2g=1,進而可求得|tanc|的值，利用斜率公式

可求得的值.

【詳解】???角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點

8(2,6),

L33

且cos2a=—,cos2a=2cos2a-\=—,

55

421

解得cos2a=1,；.|cosa|=為，|sina|=-^=,

??b-a?,|sine1

tan?=----=\a-b\=------=—.

112-111cose2

故選：A.

8.(2024?四川南充?三模)如圖，圓。內接一個圓心角為60。的扇形48C,在圓。內任取一

點，該點落在扇形/3C內的概率為()

A

【答案】c

【分析】根據圓的半徑與扇形半徑的關系及扇形的面積公式，由幾何概型求解即可.

【詳解】設圓的半徑為R,過。作于。點，如圖，

所以扇形的面積5'=!/￡=』*二尺2=或，

2232

圓的面積5=兀尺2,

nR2

由幾何概型可得：p_￡_3Z_l-

~S~nR2~2

故選：C

二、多選題

9.（2024?廣東廣州?模擬預測）下列命題正確的是（）

A.是第二象限角或第三象限角"，4："cosa<0",則P是9的充分不必要條件

B.若。為第一象限角，則/c°s"+sina=零

A/1+COS2。“一cos2a2

C.在一BC中，若taidtan5>l,則為銳角三角形

D.已知且cos2a=則tana=—

I4；32

【答案】ACD

【分析】對A,根據充分，必要條件的概念判斷；對B,利用二倍角余弦公式化簡求解；對

C,將條件式切化弦結合三角變換求解判斷；對D,利用二倍角余弦公式化簡條件式，再弦

化切求解.

【詳解】對于A,若a是第二象限角或第三象限角，則