2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型綜合訓(xùn)練專題13等腰(等邊)三角形中的重要模型之維維尼亞模型解讀與提分精練(教師版)_第1頁
2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型綜合訓(xùn)練專題13等腰(等邊)三角形中的重要模型之維維尼亞模型解讀與提分精練(教師版)_第2頁
2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型綜合訓(xùn)練專題13等腰(等邊)三角形中的重要模型之維維尼亞模型解讀與提分精練(教師版)_第3頁
2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型綜合訓(xùn)練專題13等腰(等邊)三角形中的重要模型之維維尼亞模型解讀與提分精練(教師版)_第4頁
2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型綜合訓(xùn)練專題13等腰(等邊)三角形中的重要模型之維維尼亞模型解讀與提分精練(教師版)_第5頁
已閱讀5頁,還剩42頁未讀 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

專題13等腰(等邊)三角形中的重要模型之維維尼亞模型

維維亞尼定理(Viviani'stheorem):在等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)P到三邊的垂直距離之和,等于該等邊

三角形的高。這個(gè)定理可一般化為:等角多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)P跟各邊的垂直距離之和,是不變的,跟該點(diǎn)

的位置無關(guān)。它以溫琴佐·維維亞尼命名。

而今天我們要學(xué)習(xí)的維維亞尼模型就是維維亞尼定理及其拓展,它的證明主要利用了等面積法,消去

相等底邊后得到高之間的關(guān)系,因此等腰三角形的維維亞尼模型動(dòng)點(diǎn)只能在底邊所在直線上運(yùn)動(dòng),此時(shí)連

接點(diǎn)和底邊所對(duì)頂點(diǎn),能江原圖分割成兩個(gè)底相等的三角形。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.等邊三角形中維維尼亞模型..............................................................................................................1

模型2.等腰三角形中維維尼亞模型..............................................................................................................6

.................................................................................................................................................13

模型1.等邊三角形中維維尼亞模型

條件:在等邊VABC中,P是平面上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥AC,PF⊥BC,PD⊥AB,過點(diǎn)A作AM⊥BC。

結(jié)論:①如圖1,若動(dòng)點(diǎn)P在三角形ABC內(nèi)時(shí),則PD+PE+PF=AM;

②如圖2,若動(dòng)點(diǎn)P在三角形ABC外時(shí),則PD+PE-PF=AM。

(當(dāng)點(diǎn)P在三角形ABC外時(shí),受P的位置影響,不同的位置結(jié)論稍有不同,但都可以使用等面積法證明)。

圖1圖2

證明:①如圖1,連結(jié)AP,BP,CP。∵VABC是等邊三角形,∴AB=BC=AC,

1111

則SSSSABPDBCPFACPEBCPDPFPE,

ABCABPBCPACP2222

1

∵SSSSBCAM;∴PD+PE+PF=AM。

ABCABPBCPACP2

②如圖3,連結(jié)AP,BP,CP。∵VABC是等邊三角形,∴AB=BC=CA,

1111

則SSSSABPDACPEBCPFBCPDPEPF,

ABCABPACPBCP2222

1

∵SSSSBCAM;∴PD+PE-PF=AM。

ABCABPBCPACP2

例1.(2024·河北·二模)如圖,P為邊長為2的等邊三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn),連接PA、PB、PC,過P點(diǎn)

分別作BC、AC、AB邊的垂線,垂足分別為D、E、F,則PD+PE+PF等于()

3

A.B.3C.2D.23

2

【答案】B

【分析】求出等邊三角形的高,再根據(jù)ABC的面積等于PAB、PBC、PAC三個(gè)三角形面積的和,列

△△△△

式并整理即可得到PD+PE+PF等于三角形的高.

1

【詳解】解:∵正三角形的邊長為2,∴高為2×sin60°=3,∴SABC=×2×3=3,

2

111

∵PD、PE、PF分別為BC、AC、AB邊上的高,∴SPBC=BC?PD,SPAC=AC?PE,SPAB=AB?PF,

222

△△△

1111

∵AB=BC=AC,∴SPBC+SPAC+SPAB=BC?PD+AC?PE+AB?PF=×2(PD+PE+PF)=PD+PE+PF,

2222

△△△

∵SABC=SPBC+SPAC+SPAB,∴PD+PE+PF=3.故選B.

△△△△

【點(diǎn)睛】本題利用等邊三角形三邊相等的性質(zhì)和三角形的面積等于被分成的三個(gè)三角形的面積的和求解.

例2.(2024八年級(jí)·廣東·培優(yōu))如圖,點(diǎn)P為等邊ABC外一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P到三邊的距離PDh1,PEh2,PFh3,

且h1h2h36,則ABC的面積等于()

A.43B.63C.123D.243

【答案】C

【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì),連接PA、PB、PC,過B作BGAC于點(diǎn)G,根據(jù)面積相等得出

11113

ACBGBCh2ABh1ACh3,求出BGh1h2h36,得出AC2AG2643,即

22223

可求出面積.

【詳解】解:如圖,連接PA、PB、PC,過B作BGAC于點(diǎn)G,

1111

∵SSSS,ACBGBChABhACh,

ABCPBCPABPAC2222123

3

ABACBC,BGh1h2h36,∴AC2AG2643,

3

1

∴S436123.故選:C

ABC2

例3.(23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期中)如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),且PA4,PB23,PC2,

V

以下3個(gè)結(jié)論:①BPC120;②AB27;③S△ABP43;④若點(diǎn)P到ABC三邊的距離分別為PE,

3

PF,PG,則有PEPFPGAB,其中正確的有()

2

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【分析】將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,得到AHB,連接HP,由全等三角形的性質(zhì)可得AHAP4,

BHPC2,AHBAPC,可證△AHP是等邊三角形,由勾股定理的逆定理可求HBP90,取HP中

1

點(diǎn)Q,連接BQ,根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)可求BQHPPQHQ2HB,進(jìn)判斷△BHQ為等邊

2

三角形,HPB30,可得AHB120APC,BPC150,可判斷①,由勾股定理可求AB的長,

可判斷②,由三角形的面積公式可求ABP的面積,可判斷③,由三角形的面積公式可求PEPFPG的

值,即可判斷④.

【詳解】解:如圖,將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,得到AHB,連接HP,

∴APC≌AHB,HAP60,∴AHAP4,BHPC2,AHBAPC,

∴△AHP是等邊三角形,∴HP4,AHPAPH60,

∵HP216,BH2BP216,∴HP2BH2BP2,∴HBP90,

1

取HP中點(diǎn)Q,連接BQ,∴BQHPPQHQ2HB,∴△BHQ是等邊三角形,

2

∴BHQBQH60,∵QPQB,∴QBPQPB,

又BQHQBPQPB∴BPH30°,∴APBHPBAPH90,

∴AHBAHPBHP120APC,∴BPC360APBAPC150,故①錯(cuò)誤;

∵APB90,∴ABAP2BP227,故②正確;

11

∴SBPAP42343,故③正確,如圖,

ABP22

133

∴ABPGPFPEAB2,∴PGPFPEAB,故④正確,故選:B.

242

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題,考查了等邊三角形的性質(zhì),勾股定理的逆定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形

的性質(zhì),三角形的面積公式,添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

例4.(23-24八年級(jí)上·云南昆明·期末)如圖(1),已知在VABC中,ABAC,且B60,過A作APBC

于點(diǎn)P,點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)M到VABC兩邊AB、AC的距離分別為m,n,VABC的高為h.

(1)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),mn,并說明理由.

(2)如圖(2),試判斷m、n、h之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

m2n2h2mn

(3)如圖(3),當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BC的延長線上時(shí),求證:

202220221011

【答案】(1)證明見解析(2)mnh,證明見解析(3)證明見解析

【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí),過點(diǎn)M作MDAB于點(diǎn)D,MEAC于點(diǎn)E,由等邊三角形的性質(zhì)

得出BMCM,則S△ABMS△ACM,根據(jù)三角形面積公式可得出結(jié)論;(2)連接AM,根據(jù)SABCSABPSAPC

可得出結(jié)論;(3)連接AM,根據(jù)SAMCSABCSABM可得出nhm,進(jìn)行變形后可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解:當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí),mn,

理由:過點(diǎn)M作MDAB于點(diǎn)D,MEAC于點(diǎn)E,如圖,則MDm,MEn,

∵ABAC,且B60,∴VABC是等邊三角形,

∵APBC即AMBC,∴BMCM,∴S△ABMS△ACM,

11

∴ABMDACME,∴MDME,∴mn;

22

(2)解:mnh.理由如下:如圖②,連接AM,則SABCSABMSAMC,

111111

∴ABMDMEACBCAP,即ABmACnBCh,

222222

又∵VABC是等邊三角形,∴BCABAC,∴mnh;

(3)解:如圖,連接AM,則SAMCSABCSABM,

111111

∴ACMEBCAPABMD,即ACnBChABm,

222222

又∵VABC是等邊三角形,∴ACBCAB,∴nhm,

222

22mn2mnh

∴mnh,∴m2n22mnh2,兩邊同時(shí)除以2022得,,

202220222022

m2n2mnh2m2n2h2mn

∴,即.

202210112022202220221011

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題,考查了等邊三角形的判定與性質(zhì),三角形的面積,完全平方公式的應(yīng)用,

運(yùn)用等積法建立關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

模型2.等腰三角形中維維尼亞模型

條件:如圖,等腰VABC(AB=AC)中,點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P作PD⊥AB,PH⊥AC,CE⊥AB,

結(jié)論:①如圖1,若動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí),則PE+PD=CF。

②如圖2,若動(dòng)點(diǎn)P在BC延長線上時(shí),則|PF-PE|=CD。

圖1圖2

證明:①如圖1,連結(jié)AP;∵VABC是等邊三角形,∴AB=AC,

1111

則SSSABPDACPEABPDPE,∵SABCF;∴PE+PD=CF。

ABCABPACP222ABC2

①如圖2,連結(jié)AP;∵VABC是等邊三角形,∴AB=AC,

1111

則SSSABPFACPEABPFPE,∵SABCD;∴PF-PE=CD。

ABCABPACP222ABC2

例1.(23-24八年級(jí)上·廣西百色·期末)如圖,已知ABC是等腰三角形,AB=AC,點(diǎn)O是BC上任意一點(diǎn),

OE⊥AB,OF⊥AC,等腰三角形的腰長為4,面積為△43,則OE+OF的值為()

A.1.5B.23C.2.5D.3

【答案】B

11

【分析】連接AO,根據(jù)三角形的面積公式即可得到AB?OE+AC?OF=12,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)而

22

求得OE+OF的值.

【詳解】連接AO,如圖,

11

∵AB=AC=4,∴SABC=SABO+SAOC=AB?OE+AC?OF=12,

22

△△△

1

∵AB=AC,∴AB(OE+OF)=43,∴OE+OF=23.故選:B.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形的面積,熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例2.(23-24九年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí))如圖,將矩形ABCD沿EF折疊,使點(diǎn)D落在點(diǎn)B處,P為折

痕EF上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作PGBE,垂足分別為G,H,若AD16,CF6,則PGPH.

【答案】8

【分析】本題考查的是矩形與折疊問題,掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理和等角對(duì)等邊是解決此

題的關(guān)鍵.連接BP,過點(diǎn)E作EQBC于Q,根據(jù)SBEPSBFPSBEF可得出PGPHEQ,根據(jù)折疊的

性質(zhì)可得CFCF6,BCCD,CC90,利用勾股定理求出BC,繼而求出EQ,然后即可求出

結(jié)論.

【詳解】解:如圖,過點(diǎn)E作EQBC于Q,連接BP,

∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴DEFBFE,

由折疊可得,DEFBEF,∴BFEBEF,∴BEBF,

111

∵PGBE、PHBC,∴SSSBEPGBFPHBFPGPH,

BEFBEPBFP222

1

∵SBEFBFEQ,∴PGPHEQ,∵四邊形ABCD是長方形,∴ADBC,CADC90.

2

∵AD16,CF6,∴BFBCCFADCF10.

由折疊易知,CFCF6,BCCD,CC90,

∴BCBF2CF28∴CBCDEQ8.∴PGPHEQ8.故答案為:8.

例3.(23-24八年級(jí)下·江西吉安·階段練習(xí))數(shù)學(xué)課上,老師畫出一等腰VABC并標(biāo)注:ABAC10,

A30,然后讓同學(xué)們提出有效問題并解決請(qǐng)你結(jié)合同學(xué)們提出的問題給予解答.

(1)甲同學(xué)提出:BC______度;(2)乙同學(xué)提出:VABC的面積為:______;

(3)丙同學(xué)提出:點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn),DEAB,DFAC,垂足為E、F,請(qǐng)求出DEDF的值;

(4)丁同學(xué)說受丙同學(xué)啟發(fā),點(diǎn)D為邊BC上任一點(diǎn),DEAB,DFAC,CHAB,垂足為E、F、H,

則有DEDFCH.請(qǐng)你為丁同學(xué)說明理由.

【答案】(1)75(2)25(3)5(4)見解析

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出結(jié)果即可;(2)過點(diǎn)B作BHAC,交AC于點(diǎn)H,根據(jù)30角所

111

對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BHAB5,根據(jù)三角形面積公式求出SACBH10525

2ABC22

11

即可;(3)先證明DEDF,根據(jù)SABDE,SACDF得出SABCSABDSACD5DEDF,

ABD2ACD2

1

即5DEDF25,即可求出結(jié)果;(4)連接AD,根據(jù)三角形的面積公式得出SABDE,

ABD2

11111

SACDF,SABCH,根據(jù)S△ABDS△ACDS△ABC,得出ABDEACDFABCH,

ACD2ABC2222

即ABDEDFABCH,即可求出結(jié)果.

1

【詳解】(1)解:ABAC10,A30,BC180A75;

2

(2)解:過點(diǎn)B作BHAC,交AC于點(diǎn)H,則:BHA90°,

111

ABAC10,A30,BHAB5,SACBH10525;

2△ABC22

(3)解:連接AD,如圖所示:ABAC,點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn),AD平分BAC,

∵DE⊥AB,DFAC,DEDF(角平分線的性質(zhì));

11

∵ABAC10,SABDE,SACDF,

ABD2ACD2

111

SSSABDEACDFACDEDF5DEDF

△ABC△ABD△ACD222

由(2)知SABC25,5DEDF25,DEDF5;

(4)證明:連接AD,如圖所示:

111

∵DEAB,DFAC,CHAB,SABDE,SACDF,SABCH,

ABD2ACD2ABC2

111

SSS,ABAC,ABDEACDFABCH,

ABDACDABC222

即:ABDEDFABCH,DEDFCH.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形面積的計(jì)算,三角形內(nèi)角和定理,解題的關(guān)鍵是熟練

掌握等腰三角形的性質(zhì),準(zhǔn)確計(jì)算.

例4.(23-24山西八年級(jí)上期中)(1)如圖(1),已知在等腰三角形ABC中,ABAC,點(diǎn)P是底邊BC上

的一點(diǎn),PDAB,垂足為點(diǎn)D,PEAC,垂足為點(diǎn)E.求證:PDPE為定長.

(2)如圖(2),已知在等腰三角形ABC中,ABAC,點(diǎn)P是底邊BC的延長線上的一點(diǎn),PDAB,垂

足為點(diǎn)D,PEAC,垂足為點(diǎn)E.求證:PDPE為定長.(3)如圖(3),已知:點(diǎn)P為等邊三角形ABC

內(nèi)任意一點(diǎn),過P分別作三邊的垂線,分別交三邊與D、E、F.求證:PDPEPF為定長.

【答案】證明見解析

【分析】(1)首先過點(diǎn)C作CFAB,垂足為點(diǎn)F;連接AP,根據(jù)S△ABCS△ABPS△ACP列出等式,

111

ABCFABPDACPE,然后根據(jù)ABAC,即可得證;

222

(2)首先過點(diǎn)C作CFAB,垂足為點(diǎn)F;連接AP,根據(jù)S△ABCS△ABPS△ACP,得出

111

ABCFABPDACPE,然后根據(jù)ABAC,即可得證;

222

1111

(3)根據(jù)S△S△S△S△,得出關(guān)系式BCAGABPDBCPECAPF,然后

ABCBCPCAPABP2222

根據(jù)ABC為等邊三角形,得出ABBCCA,即可得證.

【詳解】(1)過點(diǎn)C作CFAB,垂足為點(diǎn)F;連接AP.

111

∵S△S△S△,∴ABCFABPDACPE.

ABCABPACP222

又∵ABAC,∴PDPECF,為定長.即等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn),到兩腰的距離之和等于定長.

(2)過點(diǎn)C作CFAB,垂足為點(diǎn)F;連接AP.

111

∵S△S△S△,∴ABCFABPDACPE.

ABCABPACP222

又∵ABAC,∴PDPECF,為定長.

即等腰三角形底邊的延長線上的任意一點(diǎn),到兩腰的距高之差等于定長.

1111

(3)∵S△S△S△S△,∴BCAGABPDBCPECAPF.

ABCBCPCAPABP2222

又∵ABC為等邊三角形,∴ABBCCA.∴PAPBPCAG,為定長.

即等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊距離之和為定長.

【點(diǎn)睛】此題主要考查利用面積構(gòu)建等式,結(jié)合等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì),即可解題.

例5.(2024·江西·一模)我們定義:有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”,例如:如圖1,∠B

=∠C,則四邊形ABCD為等鄰角四邊形.

(1)定義理解:已知四邊形ABCD為等鄰角四邊形,且∠A=130°,∠B=120°,則∠D=______度.

(2)變式應(yīng)用:如圖2,在五邊形ABCDE中,ED∥BC,對(duì)角線BD平分∠ABC.

①求證:四邊形ABDE為等鄰角四邊形;②若∠A+∠C+∠E=300°,∠BDC=∠C,請(qǐng)判斷BCD的形狀,

并明理由.(3)深入探究:如圖3,在等鄰角四邊形ABCD中,∠B=∠BCD,CE⊥AB,垂足△為E,點(diǎn)P為

邊BC上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PM⊥AB,PN⊥CD,垂足分別為M,N.在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,判斷PM+PN

與CE的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由.(4)遷移拓展:如圖4,是一個(gè)航模的截面示意圖.四邊形ABCD是等鄰角

四邊形,∠A=∠ABC,E為AB邊上的一點(diǎn),ED⊥AD,EC⊥CB,垂足分別為D、C,AB=213dm,AD

=3dm,BD=37dm.M、N分別為AE、BE的中點(diǎn),連接DM、CN,求DEM與CEN的周長之和.

△△

【答案】(1)55°(2)①見解析;②△BCD是等邊三角形,理由見解析

(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,PM+PN=CE,理由見解析(4)(6+213)dm

【分析】(1)由∠A=130°,∠B=120°知不可能還有內(nèi)角與∠A、∠B相等(否則內(nèi)角和大于360°),則∠C=

∠D,即得∠D=55°;(2)①由ED//BC得∠EDB=∠DBC,根據(jù)對(duì)角線BD平分∠ABC得∠ABD=∠DBC,

故∠ABD=∠EDB,即證四邊形ABDE為等鄰角四邊形;②設(shè)∠EDB=∠DBC=∠ABD=x°,∠BDC=∠C=y°,

x60

由∠A+∠C+∠E=300°得3x+y=240,在BCD中,x+2y=180,可解得,即∠DBC=60°,∠BDC=∠C=60°,

y60

故BCD是等邊三角形;(3)過P作PGCE于G,由圖象可得:四邊形PMEG是矩形,再證明PGC≌

△C△NP,得CG=PN,即有PM+PN=EG+CG=CE;(4)作BHAD,由(3)中的結(jié)論可得:ED+EC=△BH,設(shè)

DH=xdm,利用BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2,解得x,求得BH,進(jìn)而求出ED+EC,再根據(jù)斜中線定理求得

DEM與CEN的周長之和.

△【詳解】(△1)解:∵∠A=130°,∠B=120°,根據(jù)“等鄰角四邊形”定義可知:

∠C=∠D,∴∠D=(360°?130°?120°)÷2=55°;

(2)①證明:∵ED//BC,∴∠EDB=∠DBC,

∵對(duì)角線BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∴∠ABD=∠EDB,∴四邊形ABDE為等鄰角四邊形,

②解:BCD是等邊三角形,理由如下:由①知:∠EDB=∠DBC=∠ABD,

設(shè)∠ED△B=∠DBC=∠ABD=x°,∠BDC=∠C=y°,

∵∠A+∠C+∠E=300°,五邊形ABCDE內(nèi)角和為(5﹣2)×180°=540°,

∴∠EDC+∠ABC=540°-300°=240°,即:3x+y=240,

在BCD中,∠DBC+∠BDC+∠C=180°,即x+2y=180,

3xy240x60

由聯(lián)△立方程組,解得,

x2y180y60

∴∠DBC=60°,∠BDC=∠C=60°,∴△BCD是等邊三角形;

(3)解:在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,PM+PN=CE,理由如下:

過P作PGCE于G,如圖:

∵PMAB,CEAB,PGCE,∴∠PME=∠MEG=∠EGP=90°,

∴四邊形PMEG是矩形,∴PM=EG,ME//PG,AB//PG,∴∠B=∠GPC,

∵∠B=∠NCP,∴∠GPC=∠NCP,∵PNCD,∴∠PGC=∠CNP=90°,

∵CP=PC,∴△PGC≌△CNP(AAS),∴CG=PN,∴PM+PN=EG+CG=CE,

即在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,PM+PN的值總等于CE;

(4)作BHAD,垂足為H,如圖:由(3)中的結(jié)論可得:ED+EC=BH,

設(shè)DH=xdm,則AH=AD+DH=(3+x)dm,

∵BH⊥AF,∴∠BHA=90°,∴BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2,

∵AB=213,AD=3,BD=37,∴(37)2﹣x2=(213)2﹣(3+x)2,解得:x=1,

∴BH2=BD2﹣DH2,=37﹣1=36,∴BH=6dm,∴ED+EC=6,

∵∠ADE=∠BCE=90°,且M、N分別為AE、BE的中點(diǎn),

11

∴DM=AM=EM=AE,CN=BN=EN=BE,

22

∴△DEM與CEN的周長之和

DE+DM+EM+CN+EN+EC=DE+AE+BE+EC=DE+AB+EC=DE+EC+AB=6+213,

∴△DEM與CEN的周長之和為(6+213)dm.

【點(diǎn)睛】本題△考查多邊形綜合應(yīng)用,涉及新定義等鄰角四邊形的證明,三角形全等的判定和性質(zhì),等邊三

角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),解題的關(guān)鍵是作輔助線,構(gòu)造全等三角形.

2.(23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末)如圖,在等腰ABC中,ABAC5,BC6,O是ABC外一點(diǎn),

O到三邊的垂線段分別為OD,OE,OF,且OD:O△E:OF1:4:4,則AO的長度為()△

4080

A.5B.6C.D.

717

【答案】D

【分析】連接OA,OB,OC,由OD:OE:OF=1:4:4,設(shè)OD=x,OE=4x,OF=4x,根據(jù)OE=OF,得到AO為∠

BAC的角平分線,再根據(jù)AB=AC,得到AO⊥BC,根據(jù)三線合一及勾股定理求出AD=4,再根據(jù)

S△ABCS△ABOS△ACOS△BCO,得到方程求解即可.

【詳解】解:連接OA,OB,OC,由OD:OE:OF=1:4:4,設(shè)OD=x,OE=4x,OF=4x,

∵OE=OF,∴AO為∠BAC的角平分線,

又∵AB=AC,∴AO⊥BC,∴AD為ABC的中線,∴A、D、O三點(diǎn)共線,∴BD=3,

22△22

在RtABD中,AD=ABBD53=4,∴S△ABCS△ABOS△ACOS△BCO

△121280

∴12=10x+10x?3x,∴x=∴AO=4+=.故選:D.

171717

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定及性質(zhì),熟知等腰三角形的三線合一、角平分線的判定及三角形的面

積公式是解題的關(guān)鍵.

2.(23-24九年級(jí)上·重慶·期中)如圖,在等腰ABC中,AB=AC,tanC=2,BD⊥AC于點(diǎn)D,點(diǎn)G是底

邊BC上一點(diǎn),過點(diǎn)G向兩腰作垂線段,垂足分△別為E、F,若BD=4,GE=1.5,則BF的長度為()

A.0.75B.0.8C.1.25D.1.35

【答案】C

【分析】連接AG,根據(jù)SCGA+SBGA=SABC,AC=AB,得到GE+GF=BD,求得GF的長,根據(jù)∠ABC=

△G△F△

∠C,得到tan∠ABC=tanC=2=,求解即可.

BF

【詳解】解:連接AG,

∵SCGA+SBGA=SABC,

1△△1△1

∴×AC×GE+×AB×GF=×AC×BD,

222

∵AC=AB,

∴GE+GF=BD,

∵BD=4,GE=1.5,

∴GF=2.5,

GF

∵tan∠ABC=tanC=2=,

BF

∴BF=1.25.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角的正切值,三角形面積公式,解此題的關(guān)鍵在于作輔助線構(gòu)造三角形.

3.(23-24八年級(jí)下·福建泉州·期中)如圖,P是三角形內(nèi)一點(diǎn),PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,若

PDPEPF6,且VABC是等邊三角形,則VABC的周長為()

A.12B.18C.24D.30

【答案】B

【分析】延長FP交BC于N,延長EP交AB于M,由條件推出四邊形PMBD,四邊形PNCE是平行四邊

形,PFM,PDN是等邊三角形,得到BCPFPDPE6,即可求出VABC的周長.

【詳解】解:延長FP交BC于N,延長EP交AB于M,

PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,

四邊形PMBD,四邊形PNCE是平行四邊形,

CNPE,BDPM,

ABC是等邊三角形,

∴BC60,

PDNB60,PNDC60,

DPN180PDNPND60,

PDN是等邊三角形,

同理:△PFM是等邊三角形,

PDDN,PFMP,

PFBD,

BCBDDNCNPFPDPE6,

ABC的周長為6318,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì),平行線的性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),關(guān)鍵是由等邊三

角形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)證明BCPFPDPE6.

4.(23-24八年級(jí)上·江蘇常州·階段練習(xí))如圖,VABC為等邊三角形,點(diǎn)D是BC邊上異于B,C的任意一

點(diǎn),DEAB于點(diǎn)E.DFAC于點(diǎn)F.若BC邊上的高線AM6,則DEDF.

【答案】6

【分析】

此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì),用到的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù),難度不大,有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研和探索

問題的精神.

先設(shè)BDx,則CD6x,根據(jù)VABC是等邊三角形,得出BC60,再利用三角函數(shù)求出ED和DF

的長,即可得出DEDF的值.

【詳解】

解:

BC邊上的高線AM6,

∴ABBCAC43,

設(shè)BDx,則CD43x,

ABC是等邊三角形,

∴BC60.

3

∴EDBDsin60,即EDx,

2

33

同理可證:DF43x6x,

22

33

∴DEDFx6x6.

22

故答案為:6.

5.(2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè))如圖,在Rt△ABC中,C90,CA6,CB8,點(diǎn)P為此三角形內(nèi)部

(包含三角形的邊)的一點(diǎn)且P到三角形三邊的距離和為7,則CP的最小值為.

11

【答案】5

5

【分析】以點(diǎn)C為原點(diǎn),CB為x軸正半軸,CA為y軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)P為x,y根據(jù)已知

和等面積法得到x、y的關(guān)系式,則可知點(diǎn)P在直線y2x11上運(yùn)動(dòng),當(dāng)CP垂直該直線時(shí),CP最小,求

出CP所在的直線方程,聯(lián)立方程組求點(diǎn)P坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)間距離公式即可求解.

【詳解】如圖所示,以點(diǎn)C為原點(diǎn),CB為x軸正半軸,CA為y軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)P為x,y,過P作PEx軸,PFy軸,PDAB,

∴PEy,PFx,連接PA,PC,PB,

∴S△ABCS△ACPS△BCPS△ABP,

1111

∴68x6y810PD,

2222

243x4y

解得:PD,

5

∵P到三角形ABC三邊的距離和為7,

∴PEPFPD7,

243x4y

即:xy7,

5

整理得:y2x11,

∴點(diǎn)P在直線y2x11上運(yùn)動(dòng),設(shè)直線y2x11為l,

∴當(dāng)CP1l交l于點(diǎn)P1時(shí),CP1最小,

1

∴kCPkl1,∴k,

1CP12

又∵直線CP1過原點(diǎn)C0,0,

1

∴直線CP為:yx,

12

22

1x

yx5

聯(lián)立2,解得:,

11

y2x11y

5

2211

∴點(diǎn)P1為,,

55

∴最小值CP為CP1,

22

221111

即:5.

555

【點(diǎn)睛】本題是將幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的問題,涉及三角形的等面積法、求直線方程、

直線方程的動(dòng)點(diǎn)和最值問題、解二元一次方程組、兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí),解答的關(guān)鍵是找到相關(guān)知識(shí)

的關(guān)聯(lián)點(diǎn),利用代數(shù)知識(shí)解決幾何問題,是有一定難度的填空壓軸題.

6.(2024八年級(jí)·廣東·培優(yōu))如圖,ABC中,ACBC,點(diǎn)P是邊AB上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q是AB延長線上

任意一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作PDAC于點(diǎn)D,PEBC于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q分別作QFAC于點(diǎn)F,QGBC于

點(diǎn)G,則PDPEQGFQ.(填“>”“<”或“=”)

【答案】

【分析】本題考查三角形的概念,熟練掌握三角形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵,連接連接CP、CQ,利

用“等面積法”可得SACPSBCPSACQSBCQ,從而得到ACPDBCPEACFQBCQG,又ACBC,

進(jìn)而可得PDPEFQQG,即可得答案.

【詳解】解:連接CP、CQ,如圖所示:

∵SACPSBCPSACQSBCQ﹐且PDAC,PEBC,QFAC,QGBC,

∴ACPDBCPEACFQBCQG,

∵ACBC,

∴PDPEFQQG,

∴PDPEQGFQ.

故答案為:.

7.(23-24九年級(jí)上·山東青島·期末)如圖,將矩形ABCD沿EF折疊,使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上,點(diǎn)C落在點(diǎn)C

處,點(diǎn)Р為折痕EF上的任一點(diǎn),過點(diǎn)Р作PGBE、PHBC,垂足分別為G、H,若AD24cm,CF9cm,

PG2cm則下列結(jié)論正確的有(填正確結(jié)論的序號(hào))①DE15cm②△BEF的面積是90cm2③

3

sinDFC④PH10cm.

5

【答案】①②④

【分析】根據(jù)將矩形ABCD沿EF折疊,使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上,點(diǎn)C落在點(diǎn)C處,證明四邊形BFDE是菱形,

可得BFBCCF15cm,得DE15cm,判斷①符合題意;求出CDDF2CF212cm,可得

CD4

△BEF的面積,判斷②符合題意,在RtVCDF中,sinDFC,判斷③不符合題意;由

DF5

SBEFSBEPSBFP,可得PH10cm,判斷④符合題意.

【詳解】解:∵將矩形ABCD沿EF折疊,使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上,點(diǎn)C落在點(diǎn)C處,

∴DEFBEF,DEBE,DFBF,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴AD∥BC,ADBC24,

∴DEFBFE,

∴BFEBEF,

∴BEBF,

∴DEBEBFDF,

∴四邊形BFDE是菱形,

∵BFBCCF24915cm,

∴DE15cm,故①符合題意;

∴DFDE15cm,

在Rt△DFC中,CDDF2CF21529212cm,

11

∴△BEF的面積為BFCD151290cm2,故②符合題意;

22

CD124

在RtVCDF中,sinDFC,故③不符合題意;

DF155

如圖,連接BP,

∵SBEFSBEPSBFP

11

∴15PG15PH90,而PG2cm,

22

∴PH10cm,故④符合題意,

∴正確的有①②④,

故答案為:①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形中的翻折變換,菱形的判定,涉及勾股定理及應(yīng)用,銳角三角函數(shù)等知識(shí),解題的

關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì).

8.(2024八年級(jí)·廣東·培優(yōu))如圖,在ABC中,線段AD為中線,點(diǎn)O為線段AD的中點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn)

O,且B,C兩點(diǎn)在l的同側(cè),過點(diǎn)B,C,D,A作直線l的垂線,垂足分別為點(diǎn)E,F(xiàn),H,G.則下列說

法一定正確的有.

①△AIG≌△BIE;

②AGDH;

③2AGBECF;

④若點(diǎn)B,C位于l異側(cè),有2AGBECF.

【答案】②③/③②

BDEH

【分析】連接AH,DG,證明AOG≌DOHAAS,可判定②;證明BE∥DH∥CF,得,

CDFH

由BDCD,可得EHFH,即DH是梯形BCFE的中位線,由梯形中位線性質(zhì)可判定③;在VAIG與VBIE

中,AGIBEI90,AIGBIE,GAIEBI,得AG與BE是對(duì)應(yīng)邊,由于AGDH,無條件

能得出DHBE,故不能判定兩三角形全等,可判定①;若點(diǎn)B,C位于l異側(cè),分兩種情況:當(dāng)BECF時(shí),

求得2AGBECF;當(dāng)BECF時(shí),求得2AGCFBE,可判定④.

【詳解】解:連接AH,DG,如圖,

∵AGl,DHl,

∴AGHDHG90

∵AOGDOH,OAOD,

∴AOG≌DOHAAS,

∴AGDH,故②正確;

∵BEl,DHl,CFl,

∴BE∥DH∥CF,

BDEH

CDFH

∵AD為ABC的中線,

∴BDCD

∴EHFH

∴DH是梯形BCFE的中位線,

1

∴DHBECF

2

∵AGDH

∴2AGBECF,故③正確;

在VAIG與VBIE中,AGIBEI90,AIGBIE,GAIEBI,

∵AGDH,而DH與BE不一定相等,則AG與BE不一定相等,

∴VAIG與V

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論