第03講等式與不等式的性質

目錄

r-比較大小基本方法

1-不等式的性質

目錄

題型一：不等式性質的應用

題型二：比較數（式）的大小與比較法證明不等式

題型三：已知不等式的關系，求目標式的取值范圍

題型四：不等式的綜合問題

題型五：糖水不等式

考點要求考題統計考情分析

高考對不等式的性質的考查比較穩定，

考查內容、頻率、題型難度均變化不大，

1.掌握等式性質.單獨考查的題目雖然不多，但不等式的

2.會比較兩個數的大小.性質幾乎可以滲透到高考的每一個考

2022年II卷第12題，5分

3.理解不等式的性質，并能點，是進行不等式變形、證明以及解不

簡單應用.等式的依據，所以它不僅是數學中的不

可或缺的工具，也是高考考查的一個重

點內容.

等式與不等式的性質

夯基?必備基礎知識梳理

1、比較大小基本方法

方法

關系做差法做商法

與0比較與1比較

a>ba-b>Q

0>1(〃,Z?>0)或@<l(a,b<0)

bb

a=ba-b=O

-=l(Z?^0)

b

a<ba-b=O

3<1(°,6>0)或色>1(4,6<0)

bb

2、不等式的性質

（1）基本性質

性質性質內容

對稱性a>b<^b<a；a<b<^b>a

傳遞性a>b,b>c^a>c；a<b,b<c^a<c

可加性a>b<=>a+c>b>c

可乘性a>b,c>O^ac>bc；a>b,c<O^>ac<bc

同向a>c,c>d^>a+c>b+d

可加性

同向同正a>b>O,c>d>O^>ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>O,neN*an>bn

【解題方法總結】

1、應用不等式的基本性質，不能忽視其性質成立的條件，解題時要做到言必有據，特別提醒的是在解

決有關不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率.

2、比較數（式）的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質、基本不等式、利用函數的單調

性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結論.

作商比較大小（一般用來比較兩個正數的大小）的步驟是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結論.

其中變形是關鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大

小.

作差法是比較兩數（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數（式）均為正數，且是幕或者因式

乘積的形式，也可考慮使用作商法.

.提升?必考題型歸納

題型一：不等式性質的應用

【解題方法總結】

1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明.

2、充分利用基本初等函數性質進行判斷.

3、小題可以用特殊值法做快速判斷.

例1.（多選題）（2023?重慶?統考模擬預測）已知。>8>c,ac>0,則下列關系式一定成立的是（）

A.c2>bcB.Z?c（fl-c）>0

cb

C.〃+Z?〉cD.-i—>2

bc

【答案】BD

【解析】因為QC>0,所以a>Z?>c>0或0>a>Z?>c,

當Q>b>c>0時，be>c1,A不成立，/?c（6Z-c）>0,a+b>c,

由:>0造>0,故±+32、或=2,當且僅當5=2,即6=c時，等號成立，

bcbe\bcbc

ch

因為6>c,故等號不成立，故9+±>2；

bc

當0>Q>〃>C時，be<c2ybc^a-c）>Q,

不妨設0>T>—2>—3,貝！Ja+b=c,故此時C不成立，

由:>0造>0,故￡+幺22、口=2,當且僅當￡=2,即6=C時，等號成立，

bcbe\bcbc

ch

因為6>c,故等號不成立，故￡+2>2；

bc

綜上：BD一定成立.

故選：BD

例2.（多選題）（2023?山東?校聯考二模）已知實數。，瓦。滿足且〃+b+c=0,則下列說法正確

的是（）

A.--—>---B.a—c>2bC.a2>b2D.ab+bc>0

a—cb—c

【答案】BC

【尚軍析】對于A,?：a>b>c,.\a—ob—c>0,/.—-—<,A錯誤；

a—cb—c

對于B,a>b>c,4+0+c=0,:.a>0,c<0,:.b+c=—a<G,a—b>0f

:.a-b>b+c,a—c>2b,B正確；

對于C,\'a-b>0,a+b=-c>G,/.6Z2-b2=（tz+Z?）（（2-&）>0,BPa2>b2C正確；

對于D,ab+bc=b^a+c）=-b1<0,D錯誤.

故選：BC.

例3.（多選題）（2023?全國?校聯考模擬預測）^a>0>b>c,則下列結論正確的是（）

A.->-B.b2a>c2a

cb

C.———>—D.t-c22yl(a-b)(b-c)

【答案】ACD

【解析】：a>0>6>c,則6-c>0,bc>0,：.—=絲［1>即A正確；

cobecb

例如q=l,b=-2,c=-3,〃“=(-2)2=4,c2a=(-3)2=9,顯然4<9,B錯誤；

a-bba(c-b)-bb一?

由。>0>6>c得c-6c0,a-c>0,-------=~;----7>°n，即a---->—,C正確；

a-ccc(a-c)a—cc

易知a-c>0,a-b>0,b-c>0,

a-c-2d(a-b)(b-c)=(a-b)+(b-c)-2d(a-b)(b-c)-(y/a-b-y/b-c)2>0,

/.a-c>2j(a—6)(6—c),D正確；

故選：ACD.

題型二：比較數(式)的大小與比較法證明不等式

【解題方法總結】

比較數(式)的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質、基本不等式、利用函數的單調性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

(1)作差；(2)變形；(3)判斷差式與。的大小；(4)下結論.

作商比較大小(一般用來比較兩個正數的大小)的步驟是：

(1)作商；(2)變形；(3)判斷商式與1的大小；(4)下結論.

其中變形是關鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于。或1比較大

小.

作差法是比較兩數(式)大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(式)均為正數，且是暴或者因式

乘積的形式，也可考慮使用作商法，作商法比較大小的原理是：

hhh

若a>0,Z?>0,貝U—>lob>a；——=lo/?=a；

aaa

bbb

右a<0,Z?<0,則一>lob<a；一<lob>a；—=lob=a

aaa

例4.(2023?全國?高三專題練習)若0<av〃M+b=l,則將。也;,2〃〃,/+〃從小到大排列為

【答案】a<2ab<^<a2+b2<b

i?

【尚軍析】:Ovavda+b=l,不妨令Q==

則有2M=>2+b2=|,

.,.有b>+/>—>2ab>a,

2

即a<2ab<—<a2+b2<b.

2

故答案為：a<2ab<^<a2+b2<b.

例5.(2023?全國?高三專題練習)如果a>b,給出下列不等式：

①!<、；②；③;@2ac2>2bc2；⑤1>1；@a2-\~b2~\~1>ab

其中一定成立的不等式的序號是.

【答案】②⑥

【解析】令a=l，6=T，->y,排除①，證=后,排除③選項，7=-1<1,排除⑤.當c=O時，排除

abb

④.由于累函數y=V為R上的遞增函數，故②是一定成立的.由于

4+/+1—(ab+a+Z?)=51(〃一Z?)+(〃一1)+,一故a?+〃+1>々〃+々+人.故⑥正確.所以一*定成立

的是②⑥.

ha

例6.(2023?高三課時練習)(1)已知〃>Z?>0,c<d<0,求證：——<----；

a-cb-d

(2)設x,yeR,比較(尤2_力-與孫(尤_y)2的大小.

【解析】(1)由〃>b>0,c<dV0,得一c>—d>0,a—c>b—d>0,從而得。<—-—<—--.

a-cb-d

hn

又4b>3所以——<——.

a-cb-d

(2)因為(爐一y2『一孫(％一))2=/+>4_元3>_孫3=%3(兀_y)+y3(y_工)

=(x-j)(x3--(x-j)2(x2+xy+y2)=(x-y)2[+]]+|/20，當且僅當x=y時等號成立，

所以當X=y時，(%2_y2)2=盯(1_,)2；

當XW,時，(工2_9)2>xy(x-J)2.

例7.(2023?全國?高三專題練習)(1)試比較(x+l)(x+5)與(x+3)2的大小；

(2)已知求證：ab>0.

ab

【解析】(1)由題意，(x+l)(x+5)-(x+3)2

—%2+6%+5—%2—6%—9——4<0,

所以(元+1)(X+5)v(x+3).

（2）證明：因為上<4,所以工-；<0,即々<0,

ababab

而所以b—QvO,貝！）次?〉0.得證.

題型三：已知不等式的關系，求目標式的取值范圍

【解題方法總結】

在約束條件下求多變量函數式的范圍時，不能脫離變量之間的約束關系而獨立分析每個變量的范圍，

否則會導致范圍擴大，而只能建立已知與未知的直接關系.

例8.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）已知實數無，y滿足-3<x+2y<2,-l<2x-y<4,則（）

A.x的取值范圍為（-1,2）B.）的取值范圍為（-2,1）

C.x+y的取值范圍為（-3,3）D.x—y的取值范圍為（-1,3）

【答案】ABD

【解析】因為T<2x-y<4,所以-2<4x-2y<8.因為-3<x+2y<2,所以一5<5x<10,貝！J—1<尤<2,

故A正確；

因為-3<x+2y<2,所以-6<2x+4y<4.因為-l<2x-y<4,所以-4<-2x+y<1,所以-10<5y<5,所

以一2<、<1,故B正確；

936114

因為一3<x+2y<2,-l<2x-y<4,所以一二<二（尤+2丫）<1,一二<二（2》一/）<《，貝[|-2<x+y<2,故C錯

誤；

2133312

因為一3<x+2y<2,-l<2x-y<4,所以一1<一]（了+2丫）<不一^<《（2尤一y）<《，貝故Q

正確.

故選：ABD.

例9.（2023?廣東?高三校聯考期末）已知14。-643,3<a+b<7,則5a+6的取值范圍為（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

【答案】D

,/、/、/、/\fm+n=5fm=2

【尚軍析】設5〃+6=m（。一/?）+幾（〃+3=（m+幾）]+（〃一相）人，所以JnJ,

I幾—HZ—1I72—3

則5a+Z?=2（〃一Z?）+3（a+b）,又l<a—3<a+b<7

所以242（.-6）46,943（a+6）421,由不等式的性質得：ll<2（a-b）+3（a+b）<27,

則5a+。的取值范圍為[1L27].

故選：D.

例10.（2023?全國?高三專題練習）已知-l<b<4,則。-26的取值范圍是（）

A.—7<a—2b<4B.—6<a—2b<9

C.6<a-2b<9D.—2Wa—2b<8

【答案】A

【解析】因為一14人W4,所以一84—處42,

由1<々42,得-7Ka—2b<4.

故選：A.

77—2c

例11.（2023?全國?高三專題練習）已知三個實數〃、b、c,當c>。時，6<2Q+3c且歷=4，則一.一的

b

取值范圍是.

【解析】當C>0時滿足：女,為+3c且歷=々2,

2

—?2a+3c,a2-2ac-3c2<0,進而（烏尸一2/一3,,0,解得一啜d3.

cCCC

所以2C2=1或C￡4-1,

令_C=/,/￡1—,+oIokj（-co-l],

a3）

由于正；,+oo）D（f°T]

所以/■⑺在/?（?，1]單調遞增，在儀,，？字單調遞減，

當W時，『14'當"一州，〃T）=3

3臂，

所以一?￡/

y

紜1

題型四：不等式的綜合問題

【解題方法總結】

綜合利用等式與不等式的性質

41

例12.（多選題）（2023?河北衡水?高三河北衡水中學校考階段練習）已知a>0,b>0,且滿足“2—+:,

ab

b>^-+-.則的取值可以為（）

A.10B.11C.12D.20

【答案】CD

4151

【解析】因為〃2—+y,b>—+—,

abba

所以"24+，，b2>5+—,

ba

22

r^tz+Z?>4+—+5+—>9+2A/—-—=11,

ba\ba

當"=4+f,廿=5+2且f=而q時即等號不能同時成立，

baba

所以6+廿〉]],故AB錯誤，CD正確.

故選：CD.

例13.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）己知=則（）

1

A.xy<lB.xy9>--

C.x+xy<lD.x2+xy<^

【答案】ABD

【解析】由丁（丁+1）=1得X2=l-x2/,由于所以0<f<1,

所以爐'2=172?[0,1）,因此T〈孫<1且孫力0,故A正確，

丁廣"，當y<0時，>y2+l—1,由于y+—4-2,當且僅當y=-l時，等號成立，故

y+1y+—y

y

o>--->--1

2

y+L~2,當y20時，xy>0,所以/丁上―5,故B正確，

y

x2（l+y）2=%2（i+2y+y2）=%2（y2+i）+2%2y=i+2x2y4i+%2（i+y2）=2,當且僅當

2y=l+y2?y時取等號，故一04x（l+y）=x+盯W0,所以C錯誤，

x2+^=l-x2y2+xy=-^-1J+|<|，當且僅當孫=；取等號，又f（y2+i）=i,所以尤=￥/=#或

者尤=一且》=一走等號成立，

23

故選：ABD

例14.（多選題）（2023?全國?模擬預測）已知實數m匕滿足力>京，則（）

A.logo.2023a<log0.2023'B-a3<b3

bb+\D

c.—>------"+￡的最小值為i

aQ+1

【答案】BC

由J

【解析】可知a>0,b>0,由不等式的性質可知，則

7bab

選項A：因為對數函數y=logo.2023X為減函數，Q<a<b,所以Iogo2023a>bgo2023b，故A錯誤;

選項B：由函數>=丁的單調性可知〃〈獷，故B正確;

bb+1_Z?(<2+1)-<7(Z?+1)_b-ahA4-1

選項C：因為-------=------:---:----=—:-->--o,所以故c正確;

aQ+1研4+1)aQ+1

選項D：ab-\----=(ab+l)-\-----l>2j(ab+l)x———1=1,

ab+1ab+\.V)ab+1

當且僅當必+1=r二，即而=0時取得等號，顯然等號不成立，故D錯誤.

故選：BC.

例15.（2023?全國?高三專題練習）已知實數〃，b,c滿足〃+b+c=0,則〃的最大值是—.

【答案】近

3

222

【解析】?.?〃+/?+<?=0,a+b+c=lf

b+c=-a,b2+c2=1-a2,

bc=--(2bc)=-[(/?+c)2-(Z?2+c2)]=a2——

222

:.b、C是方程：/+4工+〃2一;=0的兩個實數根,

：.A>0

/—4(。2——)>0

即a2<-

3

?avv"

,?-------(2-----

33

即”值為手

故答案為：叁

3

題型五：糖水不等式

【解題方法總結】

糖水不等式：若。>人>0,m>0,則一定有竺竺>?,或者△‘〈q.

a+mab+mb

例16.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）已知bg糖水中含有，g糖若再添加加g糖完全

溶解在其中，則糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大），根據這個事實，下列不等式中一定成立的有（）

aa+ma+ma+2m

A.—<-------------<--------

bb+mb+mb+2m

21

C.(tz+2m)(/?+m)<(tz+m)(/?+2m)D.<---r

3"-l3"一

【答案】ABD

【解析】對于A,由題意可知?〈產，正確;

bb+m

“工nrm-加r-ia+ma+m+2m-ma+2m

對于3,因為m<2",所c以r----<------------=------正確;

b+mb+m+2m-mb+2m

對于C,"也'="也即(a+根)(6+2〃7)<(a+2〃7)0+〃7),錯誤;

b+mb+m+mb+2m

22+1311十收

對于n曰（下，1=剪=聲＜護，正確?

故選：ABD

例17.（2023?山西?統考一模）我們都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水會更甜.這句話用數學符號可

bb+m854366239

表示為：L右,其中且上—據止匕可以判斷兩個分數的大小關系,比如荻而百

854366236

（填

998763418

【答案】>

【解析】令a=854366236,貝ij々+3=854366239,

令6=998763418,貝1J人+3=998763421,

叱…854366239Q+3854366236a

所以---------=-——，----------=-

998763421。+3998763418b

854366236aa+3854366239

根據題設知:________——<—_________

998763418bh+3998763421

故答案為：＞

b

例18.（2023?福建?高三校聯考階段練習）若。克不飽和糖水中含有人克糖，則糖的質量分數為一，這個

a

質量分數決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加加克糖，生活經驗告訴我們糖水會變甜，從而可抽象出

/7+mh

不等式把上＞'（a＞b＞0,機＞0）數學中常稱其為糖水不等式.依據糖水不等式可得出log、2

a+ma

10勖10（用“〈”或""填空）；并寫出上述結論所對應的一個糖水不等式___________.

In2+ln5In2

【答案】＜;------------〉-----

In3+ln5In3

【解析】空1：因為0＜log32＜l,所以可得:

log2」唱2Jog52+1=logs2JogslO

=logi510；

3log53log53+1log53log515

...sIn2InlOIn2+In5In2+ln5In2

空2：由空1可得:log2<log10n——<------=-------------即nn-------->——.

31l5In3In15In3+In5In3+ln5In3

In2+ln5In2

故答案為：<；------------〉-----

In3+ln5In3

真

1.（多選題）（2022?全國?統考高考真題）若無，y滿足V+V一孫=i,則（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2