2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)三帆中學(xué)九年級(jí)（上）

期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。

1.（2分）2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)的體育圖標(biāo)是用對(duì)稱(chēng)版式加上幾何圖形來(lái)展示各種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的.下列各圖案

中，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形的為（）

2.（2分）將拋物線卜=（x-3）2-1向左平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的解析式是（）

A.y=（x-6）2B.y=（x-6）2-2

C.-2D.

3.（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，如果的半徑為3,那么點(diǎn)/（-2,2）在。。（）

A.外B.內(nèi)C.上D.不確定

4.（2分）若方程（a+1）/+1-x=2是關(guān)于x的一元二次方程，則a的值為（）

A.1B.-IC.±1D.不存在

5.（2分）下列命題中正確的是（）

A.平分弦的直徑垂直于這條弦

B.正方形的半徑等于正方形的邊長(zhǎng)

C.直徑是圓中最長(zhǎng)的弦

D.兩條弦所對(duì)的弧相等

6.（2分）二次函數(shù)夕=如2+加+,QW0）的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.ac>0

B.b>0

C.Z）2<4izc

D.此函數(shù)圖象與直線歹=c有兩個(gè)公共點(diǎn)

7.（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=*x+6的圖象與X軸、y軸分別交于/、3兩點(diǎn)，點(diǎn)P

在線段/O上，0P與X軸交于M、。兩點(diǎn)，當(dāng)。尸與該一次函數(shù)的圖象相切時(shí)，的長(zhǎng)度是（）

8.（2分）已知拋物線y=ax2+bx+c（aWO）與直線y=2x+2的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別是-1和1,拋物線與x軸

的其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)加滿足3（機(jī)<4,那么。的取值可能是（）

A.-3B.1C.2D.衛(wèi)

4

二、填空題（共16分，每題2分）

9.（2分）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向上且經(jīng)過(guò)（0,3）的拋物線的解析式.

10.（2分）若一個(gè)扇形的半徑是9c機(jī),且它的弧長(zhǎng)是6TTC機(jī),則此扇形的圓心角等于.

H.（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4（2,-5）與點(diǎn)5關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)5的坐標(biāo)

是.

13.（2分）如圖，PA,必分別與。。相切于4,5兩點(diǎn)，C是優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若NP=30°,則

ZACB=,

BP

14.（2分）二次函數(shù)y=-x2+4x+a滿足以下條件：當(dāng)-3<x<-2時(shí)，它的圖象位于x軸的上方；當(dāng)7V

x<8時(shí)，它的圖象位于x軸的下方，那么-x2+4x+"z>0的解集是.

15.（2分）如圖，點(diǎn)3、C在。。上，點(diǎn)/在。。內(nèi)，其中04=7,48=11,N4=/B=60°，則2C

16.（2分）如圖，。。的半徑為2,四邊形4BCD內(nèi)接于O。，圓心。到/C的距離等于

下列說(shuō)法中：

①/C的長(zhǎng)為2；

（2）ZADC=120°；

③若劣弧血被點(diǎn)。分為1：2的兩部分，則/。8。=20°；

④若點(diǎn)E是線段/C上一動(dòng)點(diǎn)，連接過(guò)點(diǎn)C作CFL0E于點(diǎn)尸，則/尸的最小值是JE；

所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題（本題共68分，第17、18、19、21、22、23題每題5分，第20、24、25、26題每題6分，

第27、28題每題7分）

17.（5分）解方程：x2-6x+8=0.

18.（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程--（H4）x+k+3=0.

（1）求證：不論左為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若該方程有一個(gè)根是負(fù)數(shù)，求后的取值范圍.

19.（5分）在△/2C中，NC=90°,AC=BC.將△48C繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到直線DE

交BC于點(diǎn)F.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)若C尸=1,求線段40的長(zhǎng).

口

CB

20.(6分)已知二次函數(shù)y=a/+6x+c(aWO)的圖象過(guò)點(diǎn)/(0,3),B(2,3),C(-1,0).

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)補(bǔ)全表格，畫(huà)出二次函數(shù)的圖象；

X??????

y??????

(3)關(guān)于該二次函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有.

①圖象開(kāi)口朝下，頂點(diǎn)為(1,4)；

②當(dāng)xWl時(shí)，y隨x增大而減小；

③當(dāng)0<x<3時(shí)，>的取值范圍為0<y<4；

④圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)所形成的三角形面積為6.

21.(5分)2024年9月28日北師大二附中舉行“校友秩年返校活動(dòng)”，二附中校友發(fā)展基金會(huì)為校友們

準(zhǔn)備了印有“三色帆”log。的禮物.已知沒(méi)有校標(biāo)的禮物價(jià)格是150元，印制log。后每份禮物的價(jià)格

是x元.經(jīng)核算發(fā)現(xiàn)，禮物的份數(shù)y與x之間有如下關(guān)系：-Wx+2000(150^x<200).設(shè)在這次

活動(dòng)中印制logo花費(fèi)W元.

(1)求W與X之間的函數(shù)表達(dá)式.

(2)請(qǐng)你幫助基金會(huì)算一下給禮物印制log。最多需要花費(fèi)多少錢(qián)?

22.(5分)等分圓周，是一種分割圓形的方法，包含尺規(guī)作圖法、單規(guī)作圖法等.

馬斯凱羅尼圓規(guī)問(wèn)題是一個(gè)著名的問(wèn)題，即能否僅用圓規(guī)完成歐幾里得幾何作圖.很早人們就注意了這

類(lèi)作圖問(wèn)題.例如，法國(guó)軍事家拿破侖就曾向法國(guó)數(shù)學(xué)家們提出了這樣一個(gè)問(wèn)題只用圓規(guī)將一個(gè)圓周

4等分.

智慧的小亦同學(xué)就解決了此問(wèn)題，小亦的做法如下：

第一步：首先利用圓規(guī)如圖所示，把。。六等分；

第二步：分別以N、。為圓心，NC為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)G；

第三步：以/為圓心，0G為半徑畫(huà)弧，交。。于M、N.則/、M、D、N是的四等分點(diǎn).

（1）請(qǐng)你按照小亦的做法補(bǔ)全圖1;

（2）根據(jù)圖2完成以下證明過(guò)程：

已知：AB=BC=CD=DE=EF=AF=r,AG=DG=AC,AM=AN=OG.

求證：AM=DM=DN=M1.

證明：AB=BC—CD—DE—EF—AF—r,

=BC=CD=DE=EF=FA（推理依據(jù)①）

AZDAC=（2）,ZCDA=60a,ZACD=90°.

??.40是O。的直徑.（推理依據(jù)③）

在RtZX/CD中,

■；AD=2r,CD=r,

AC=V3r，

,.ZG=DG=/C,AO=DO,

/.GOLAD.

在RtZ\/OG中，AG=V3r-AO=r,

：.OG=④.

■:AM=AN=OG,AO=OM=r,

：.AM2=AO2+OM2,

：.ZAOM=90°,

同理可證N/CW=90°=NMOD=/DON,

AM=DM=DN=AN.

23.（5分）已知直線y=-2x+6過(guò)點(diǎn)（-3,4）.

（1）求6的值；

（2）過(guò)第二象限的點(diǎn)P（〃，-2"）作平行于x軸的直線，交直線y=-2x+6于點(diǎn)3,交直線x=-3于

點(diǎn)C.

①當(dāng)”=-1時(shí)，用等式表示線段PC與尸3的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②當(dāng)-1<〃<0時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，則尸C2PB（填或"=

24.（6分）已知：如圖，48是。。的直徑，CD是。。的弦，過(guò)。作OGLCD于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作。。的

切線CP交。G的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接尸D.

（1）求證：尸。是OO的切線；

（2）連接BC.若/DAB=74°,ZCBA=46°,求。P的長(zhǎng).

A

25.（6分）如圖，小林和小偉在玩沙包游戲.沙包（看成點(diǎn)）拋出后，在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡可看作拋物線的

一部分，小林和小偉分別站在點(diǎn)O和點(diǎn)A處，測(cè)得04距離為8m.若以點(diǎn)0為原點(diǎn)，04所在直線為x

軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，小偉在距離地面1”?的2處將沙包拋出，小林在點(diǎn)C處接住，運(yùn)

動(dòng)軌跡如圖中。；然后小林跳起將沙包回傳，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中。2.

（1）軌跡Ci中，測(cè)得沙包的水平距離x（單位：m）與豎直高度〉（單位：m）的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m02468

豎直高度?心1.02.53.02.51.0

請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解決問(wèn)題：

①拋物線G中，沙包運(yùn)行的最高點(diǎn)距離地面的高度是m；

②求歹與x滿足的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；

（2）已知小林跳起將沙包回傳的運(yùn)動(dòng)軌跡。2近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=9x2+bx+2.小偉在％軸上方

1%的高度上，且到點(diǎn)/水平距離不超過(guò)1加的范圍內(nèi)接到了沙包，則b的取值范圍

是_______________________

圖

圖12

26.（6分）在平面直角坐標(biāo)系x（方中，點(diǎn)（-2,m）（3,n）在拋物線y=ax2+bx+c（a>0）上，設(shè)拋物

線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=f.

（1）當(dāng)f=l時(shí)，

①直接寫(xiě)出b與a滿足的數(shù)量關(guān)系；

②加與〃的大小關(guān)系是：m（填“>”，“<”或“=”）

(2)已知點(diǎn)(xo，p)在拋物線上，若對(duì)于3<x()<4,都有加>0>小求f的取值范圍.

27.(7分)已知：線段將線段繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得到線段/C.再將線段/C繞點(diǎn)C逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)B，得到線段8.連接40、BC.分別取線段4D,2C的中點(diǎn)E,F,直線環(huán)分別交48,CD于

點(diǎn)G、H.

(1)如圖1所示，a=80°,0=34°時(shí)，/BGF=57°.求證：BG=CH.

(2)當(dāng)6<1800-a時(shí),(1)中結(jié)論是否仍然成立，若成立補(bǔ)全圖2,并證明你的結(jié)論；若不成立

2

28.(7分)已知平面直角坐標(biāo)系芯帆中，存在點(diǎn)Af(%i，yi),N(》2，y2)，且滿足axi+6yi=c,ax^by^

=c(其中a、6不能同時(shí)為0).

對(duì)于點(diǎn)尸、Q,直線和圖形少給出如下定義：點(diǎn)尸、。關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P,Q.

若線段尸0和線段PQ'都在圖形獷內(nèi)部(含邊界)，則稱(chēng)圖形少為點(diǎn)P、0關(guān)于【a,b,cl的反射

圖形.

例如點(diǎn)M(1,4),N(-2,-2)滿足2X1+(-1)X4=-2,2X(-2)+(-1)X(-2)=-

2.如圖所示，點(diǎn)尸、0關(guān)于直線血W的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P,Q',所以△NBC為點(diǎn)尸、。關(guān)于［2,-1,-

2］的反射圖形.

(1)若矩形N2CD為點(diǎn)尸(2,0),Q(2,2)關(guān)于11,-1,-21的反射圖形，矩形/BCD的邊

Lt軸，邊8cA軸，則符合要求的矩形N8C。的面積的最小值為；

(2)若。P=l,O"是點(diǎn)O,P關(guān)于11,-1,-2］的反射圖形，求O8的半徑的最小值；

(3)若點(diǎn)尸(赤，切)，點(diǎn)0CXQ,yo)滿足(xp-XQ)2+(yp-yQ)2=8，其中xpWO,切WO,xQ^

0、V0WO,且半徑為R的O。為點(diǎn)P、0關(guān)于11,1,4］的反射圖形，請(qǐng)直接寫(xiě)出R的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。

1.選：A.

2.選：D.

3.選：B.

4.選：A.

5.選：C.

6.選：D.

7.選：C.

8.選：D.

二、填空題（共16分，每題2分）

9.y=x2+x+3,答案不唯一.

10.120°.

11.（-2,5）.

12.>.

13.75°.

14.-3<x<7.

15.18.

16.①.

三、解答題（本題共68分，第17、18、19、21、22、23題每題5分，第20、24、25、26題每題6分,

第27、28題每題7分）

17.解：（x-2）（x-4）=0,

x-2=0或x-4=0,

所以X]=2,X2=4.

18.（1）證明：?方程/-（A+4）x+k+3=0,a=l,b=-（左+4）,c=k+3>

：.A=b2-4ac=[-（左+4）]2-4X1X（k+3）=廬+44+4=（后+2）2^0,

無(wú)論k為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（2）解：由求根公式，得尸”+4）士（k+2）.

2

??X1=1,%2~~左+3，

?.?方程有一個(gè)根為負(fù)數(shù)，

.?.上+3<0.

：.k<-3.

左的取值范圍是左<-3.

(2)設(shè)直線DE交48于點(diǎn)G,連接CE,過(guò)點(diǎn)E作即，2C于點(diǎn)〃，

由旋轉(zhuǎn)得，AE=AC,AD=AB,ZAED=ZACB=90°,ZCAE=6Q°,

為等邊三角形，

AZACE=60°,AC=CE,

：./ECF=3Q°.

VZC=90°,AC=BC,

：.ZABC=ZBAC=45°,

：.ZEAG=ZCAE-ZBAC=15°,

:./AGE=NBGF=l80°-15°-90°=乃°,

/.Z5FG=180°-45°-75°=60°,

/BFG=ZECF+ZCEF,

：.ZCEF=30°,

：./ECF=NCEF,

：.EF=CF=1.

在RtZ\￡FH中，NEFH=60°,

:.EH=EF,sin60°=近，

2

在RtZXCE”中，/ECH=30°,

:.CE=2EH=?,

:.AC=M，

'.AB=\[2AC=yjls，

:.AD=\[^.

20.解：(1)由題意得：

rc=3

,4a+2b+c=3>

-

kab+c=0

'a=-l

解得：，b=2，

、c=3

則拋物線的表達(dá)式為：y=-X2+2X+3；

(2)取點(diǎn)補(bǔ)全表格為：

X???-10123???

.?????

y03430

如圖,

(3)@a=-1,則圖象開(kāi)口朝下，由表格數(shù)據(jù)知，頂點(diǎn)為(1,4),故①正確，符合題意；

②拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,則當(dāng)尤W1時(shí)，/隨x增大而增大，故②錯(cuò)誤，不符合題意；

③從圖象看，當(dāng)0<x<3時(shí)，y的取值范圍為0<yW4,故③錯(cuò)誤，不符合題意；

④圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)所形成的三角形面積■義(3+1)義3=6,故④正確，符合題意;

故答案為：①④.

21.解:(1)根據(jù)題意得：

w=xy=x(-lOx+2000)=-10/+2000x(150Wx<200)；

(2)-10X2+2000X=-10(x-100)2+100000,

且-10<0,150Wx<200,

.?.當(dāng)x=150時(shí)，.有最大值，最大值為75000元,

答:給禮物印制log。最多需要花費(fèi)75000元錢(qián).

9：AB=BC=CD=DE=EF=AF=r,

AB=BC=CD=DE=EF=FA（①在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧分別

相等），

AZDAC=（2）30°,ZCDA=60°,ZACD=90°.

???4。是OO的直徑（③90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑），

9：AD=2r,CD=r,

***AC=V3r,

9：AG=DG=AC,AO=DO,

：.GOLAD,

在RtZX/OG中，AG二愿r，AO=rf

：.OG=V(V3r)2-r2=折④.

?：AM=AN=OG,AO=OM=r,

：.AM2^AO2+OM2,

：.ZAOM=90°,

同理可證N/CW=90°=/MOD=/DON,

/.AM=DM=DN=AN.

故答案為：①在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧分

別相等，

②30。，

③90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，

(V3r)2-r2=^r-

23.解：(1)?.?直線y=-2x+6過(guò)點(diǎn)(-3,4),

.1.4=-2X(-3)+b,

解得：b=-2,

：.b的值為-2；

(2)由(1)可知：直線的解析式為y=-2x-2.

①當(dāng)〃=-1時(shí)，PC—2PB,理由如下：

當(dāng)〃=-1時(shí)，-2〃=-2X(-1)=2,

.,.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,2),

.??過(guò)點(diǎn)P(-1,2)作平行于x軸的直線的解析式為y=2；

當(dāng)尸2時(shí)，-2%-2=2,

解得：x=-2,

二點(diǎn)5的坐標(biāo)為(-2,2)；

直線y=2與直線x=-3交于點(diǎn)C,

.,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,2),

：.PC=-1-(-3)=2,PB=-1-(-2)=1,

...當(dāng)〃=-1時(shí)，PC=2PB；

②當(dāng)y=-2〃時(shí)，-2x-2=-2”,

解得：x=n-1,

?,?點(diǎn)5的坐標(biāo)為(w-1,-2〃)；

直線y=-2n與直線x=-3交于點(diǎn)C,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-3,-2篦),

:?PC=n-(-3)=〃+3,PB=n-(〃-1)=1.

V-1</2<0,

—+3V3,

:.PC>2PB.

故答案為：>.

24.(1)證明：PC為。。的切線，OC是半徑,

：.OCl.CPf

：.ZOCP=9Q°,

VOG±CZ),OC=OD,

：.ZCOP=ZDOP,

?：OP=OP,

:?△ODPQAOCP(S4S),

：.ZODP=ZOCP=90°,

：.OD±PD,

???。。是半徑，

???尸。是OO的切線；

(2)解：U：OB=OC,ZCBA=46°,

：.ZOCB=ZCBA=46a,

...N2OC=180°-46°-46°=88°,

同理得：ZAOD=32°,

:./DOP=/COP=30°,

Rt^OC尸中，PC=^OP,

2

設(shè)CP=x,則0P=2x,

由勾股定理得：x2+(3)2=(2x)2,

2

:.x=?(負(fù)值舍)，

2

：.OP=42.

25.解：(1)①由表中數(shù)據(jù)可得拋物線G的最高點(diǎn)坐標(biāo)為的(4,3),

拋物線Ci中，沙包運(yùn)行的最高點(diǎn)距離地面的高度是3m,

故答案為：3；

②設(shè)拋物線G的解析式為y=Q(x-4)2+3,

把(0,1)代入得1=16。+3,

解得a=-―,

8

??.設(shè)拋物線Q的解析式為尸-1(x-4)2+3；

(2)?.?小偉在x軸上方1加的高度上，且到點(diǎn)/水平距離不超過(guò)1〃?的范圍內(nèi)接到了沙包,

此時(shí)，點(diǎn)3的坐標(biāo)范圍是(7,1)?(9,1),

當(dāng)經(jīng)過(guò)(7,1)時(shí)，1=-Lx49+7b+2,

7

解得：b=—,

7

當(dāng)經(jīng)過(guò)(9,1)時(shí)，1=-工義81+96+2,

7

解得：b=至,

63

.?._1W6W2A,

763

??力的取值范圍是旦W6《工生

763

故答案為：旦

763

26.解：(1)①由題意，/一=1,

??b~~~2Q.

②,拋物線y=ox2+foc+c中，a>0,

.??拋物線開(kāi)口向上，

:點(diǎn)/(-2,m),點(diǎn)、B(3,〃)在拋物線^=^2+&+。(a>0)上，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,

點(diǎn)/(-2,m)到對(duì)稱(chēng)軸的距離大于點(diǎn)2(3,〃)到對(duì)稱(chēng)軸的距離，

:?m>n.

故答案為：>.

(2)由題意，???拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=K且拋物線開(kāi)口向上，

.,.當(dāng)x>f時(shí)，y隨x的增大而增大.

：-2<3<x0,

...點(diǎn)N(-2,m)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，點(diǎn)8(3,n),C(x0,p)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，

V3<x0<4,都有加>p>〃，

點(diǎn)/到對(duì)稱(chēng)軸的距離大于點(diǎn)C到對(duì)稱(chēng)軸的距離，

\<3

,?<2+4?

1W/W3.

.?"的取值范圍是1W/W3.

27.(1)證明：在8c下方作N8CK=//CD=34°,點(diǎn)K在直線跖上，如圖1,

/./HCK=/HCF+/BCK=ZHCF+ZACD=ZACB,

"：AB=AC,ZBAC=80°,

：.ZABC=ZACB=^-(180°-NBAC)=50°,

2

/./ABC=ZHCK,即ZGBF=/HCK,

?：C4=CD,ZACD=34°,

：.ZCAD=ZD=73°,

：.ZEAG=ZBAC-ZCAD=SO°-73°=7°,

VZBGF=57°,

：?/DEH=/AEG=/BGF-/EAG=57°-7°=50°,

AZCHK=ZDHE=180°-ZD-ZDEH=51°,

JZBGF=ZCHK,

??,/是BC的中點(diǎn),

:.BF=CF,

：.ABGF^ACHK(AAS)f

：.BG=CH.

(2)解：延長(zhǎng)HG至點(diǎn)M,使EM=EH,連接延長(zhǎng)G/至點(diǎn)N,使得兩=GR連接CM

'：AC=CD.ZACD=^f

：.ZCAD=ZD=^-(180°-B)=90°

2

AZBAD=ABAC-ZDAC=a-(90°

???￡、F是4D、BC的中點(diǎn),