第一部分考點梳理第四章圖形的性質第19課時全等三角形知識點1三角形全等的概念能夠完全重合的兩個三角形叫做全

等三角形.知識點2全等三角形的性質全等三角形的對應邊

?，對

應角

?，對應線段（高、中線、

角平分線）

，周長、面積

??.相等

相等

相等

相等

知識點3全等三角形的判定已知條件全等的判定兩角一邊兩角及夾邊ASA兩角及其中一角

的對邊AAS兩邊一角兩邊及夾角SAS直角三角形中的

斜邊和直角邊HL三邊SSS知識點4全等的基本圖形及結論【模型（2）－（5）針對練習見作業本

微專題十一】（1）平移、對稱、旋轉三

種基本模型平移型

對稱型

旋轉型

（2）中點模型倍長中線模型已知點D為△ABC中BC邊的中點，延長線段AD到點E，使DE＝AD點D為△ABC

中BC邊的中

點，延長線

段FD到點

E，使DE＝

DF，連接EC倍長中線模型圖示

結論（1）連接EC，則

△ABD≌△ECD，

AB∥CE（2）連接BE，則

△ADC≌△EDB，

AC∥BE△BDF≌△C

DE，AB∥CE平行線中點模型與雨傘模型已知AB∥CD，點

E，F分別在直

線AB，CD

上，點O為線

段EF的中點，

延長PO交CD

于點QAP平∠BAC，

BD⊥AP，垂足為點D，延長BD交AC于點C平行線中點模型與雨傘模型圖示

結論△POE≌△QO

F，PO＝QO△ABD≌△ACD，AB＝AC，BD＝

CD（3）手拉手模型對角互補模型已知如圖1，∠AOB＝

∠DCE

＝90°，

OC平分∠AOB如圖2，∠AOB＝2∠DCE＝120°，

OC平分∠AOB如圖3，△ABC是等腰三角形，且

∠BAC＝120°，∠BPC＝60°對角互補模型圖示

圖1圖2圖3對角互補模型結論如圖1，（1）CD＝CE（2）OD＋OE＝

OC（3）S四邊形ODCE＝S△COE＋S△COD＝

OC2如圖2，（1）CD＝CE（2）OD＋OE＝OC

（3）S△COD＋S△COE＝

OC2如圖3，PB＋PC＝

PA共頂點三角形模型已

知如圖1，直線AB的同一側的△ABC和△AMN都為等邊三角形（A，B，N三點共線），連接BM，CN交于點E如圖2，△ABC和△AMN都為等邊三

角形（A，B，N三點不共線），連

接BM，CN交于點O如圖3，四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，連接EB，GD交于點O共頂點三角形模型圖示

圖1圖2圖3共頂點三角形模型結論如圖1，（1）△ABM≌△ACN

（2）BM＝CN（3）∠MEN＝60°（4）△ANF≌△AMD

（5）△AFC≌△ADB（6）連接DF，DF∥BN（7）連接AE，AE平分∠BEN（8）存在3組四點共圓（9）EN＝EM＋EA，EB＝EC＋

EA共頂點三角形模型結論如圖2，（1）△ABM≌△ACN

（2）BM＝CN（3）∠MON＝60°（4）連接AO，AO平分∠BON（5）存在2組四點共圓（6）ON＝OM＋OA，OB＝OC＋

OA如圖3，（1）△AGD≌△AEB

（2）GD＝EB（3）GD⊥EB

（4）連接AO，AO平分∠EOD（4）含半角模型含半角模型已知如圖1，四邊形ABCD是正方形，

∠ECF＝45°如圖2，∠BAC＝2α，AB＝AC，

∠DAE＝α圖示圖1

圖2含半角模型結論如圖1，（1）△BCE≌△DCG（2）△CEF≌△CGF（3）EF＝BE＋DF（4）△AEF的周長＝2AB（5）CE，CF分別平分∠BEF和

∠EFD如圖2，（1）△BAD≌△CAF（2）△EAD≌△EAF（3）∠ECF＝180°－2α（5）一線三等角模型一線三等角模型已

知（同側）∠A＝∠CPD＝∠B＝α，

CP＝PD圖

示

結

論△ACP≌△BPD，AB＝AC＋BD一線三等角模型已

知（異側）∠EAC＝∠ABD＝∠DPC＝α，CP＝PD圖

示結

論△ACP≌△BPD，AB＝BD－AC名師指津1.

全等三角形的判定定理本身容易理

解，但定理的靈活應用以及尋找定理需

要的條件有時比較困難.三角形全等是平

面幾何中培養邏輯推理能力的重要手段.2.

證明三角形全等的思路（1）已知兩邊：①找夾角（SAS）；②

找直角（HL）；③找第三邊（SSS）.（2）已知一邊和一角：①邊為角的對

邊，找任意一角（AAS）；②邊為角的

鄰邊，找夾角的另一邊（SAS）；找夾

邊的另一角（ASA）；找邊的對角

（AAS）.（3）已知兩角：找夾邊（ASA）或角的

對邊（AAS）.3.

尋找對應邊、對應角的方法和規律：（1）有公共邊的，公共邊一定是對應

邊；（2）有公共角的，公共角一定是對應

角；（3）有對頂角的，對頂角一定是對應

角；（4）兩個全等三角形中一對最長（短）

的邊（或最大、最小的角）一定是對應

邊（角）.考點一

全等三角形的性質例1

（1）如圖1，△ABC≌△BDE，

AB⊥BD，AC＝4，DE＝3，則CE的

長為（

A

）AA.

1B.

2C.

3D.

4圖1（2）如圖2，△ABC≌△ADE，線段

BC的延長線過點E，與線段AD交于點

F.

若∠AED＝108°，∠CAD＝12°，

∠B＝48°，則∠DEF的度數為

?.圖236°

考點二

全等三角形的判定例2

（1）（2024·八中）如圖1是雨傘

在開合過程中某時刻的截面圖，傘骨AB

＝AC，點D，E分別是AB，AC的中

點，DM，EM是連接彈簧和傘骨的支

架，且DM＝EM，已知彈簧M在向上

滑動的過程中，總有△ADM≌△AEM，其判定依據是（

C

）CA.

ASAB.

AASC.

SSSD.

SAS圖1（2）如圖2，∠E＝∠F＝90°，∠B

＝∠C，AE＝AF，則下列結論：①

∠EAC＝∠FAB；②CM＝BN；③CD

＝DN；④△ACN≌△ABM.

其中正確

的有（

B

）A.

4個B.

3個C.

2個D.

1個B圖2

（3）如圖3，AB＝4cm，AC＝BD＝

3cm，∠CAB＝∠DBA，點P在線段

AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動.

同時，點Q在線段BD上由點B向點D運

動.設運動時間為ts，則當△ACP與△BPQ全等時，點Q的運動速度為

??cm/s.

圖3考點三

全等三角形的判定與性質例3

如圖，在△ABM中，∠ABM＝

45°，AM⊥BM，垂足為M，C是BM

的延長線上一點，連接AC.

設D是線段

AM上一點，且MD＝MC，連接BD；

E是△ABC外一點，且EC＝AC，連接

ED并延長交BC于點F，且F是線段BC

的中點.求證：∠BDF＝∠CEF.

[答案]

證明：延長EF到點G，使得FG＝EF，連接BG，如答案圖所示.（答案圖）∵AM⊥BM，∠ABM＝45°，∴∠BMD＝∠AMC＝90°，BM＝AM.

∵DM＝CM，∴△BMD≌△AMC（SAS），∴BD＝AC.

又∵CE＝AC，∴BD＝CE.

∵F是線段BC的中點，∴BF＝CF.

∵∠BFG＝∠CFE，FG＝FE，∴△BFG≌△CFE（SAS），∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDF＝∠G＝

∠CEF.

（答案圖）例4

（2024·南開）如圖，在Rt△ABC

中，∠ACB＝90°，BC＜AC，過點B

作DE∥AC，且BD＝BC，過點B作

BF⊥AB交CD于點F，連接EF.

圖1

圖2（1）如圖1，若∠BAC＝40°，且BF＝BE，求∠CFE的度數；圖1

（2）如圖2，若DE＝AC，求證：AB

＝BF＋EF.

圖2

（答案圖）

（答案圖）1.

如圖，在△ABC和△DEF中，AB＝

DE，BC＝EF.

添加下列條件，仍不能

確定△ABC≌△DEF的是（

B

）A.

∠B＝∠DEFB.

∠A＝∠DC.

AB∥DED.

AC＝DF（第1題）B2.

（2024·一中）如圖，在Rt△ABC中，

∠BAC＝90°，AB＝AC，MN是過點

A的直線，BD⊥MN于點D，CE⊥MN

于點E.

若BD＝4，CE＝6