2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）

第二章方程與不等式

2.1一次方程（組）

考點分布考查頻率命題趨勢

考點1一元一次方程的解數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)一次方程（組）的部分，每年考查

☆☆

法及解的應(yīng)用1道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答

題的形式考察。若以解答題出現(xiàn)，考法基本上是兩種

考點2二元一次方程(組)

☆☆

類型：一是根據(jù)題意列出一次方程（組），解方程求

及其解法

解，給出結(jié)論；二是根據(jù)題意列出一次方程，結(jié)合不

考點3二元一次方程(組)

☆☆☆等式，函數(shù)來確定作答思路。考查列方程解應(yīng)用題是

的實際應(yīng)用

每年全國各省市必考內(nèi)容，需要學(xué)生深入系統(tǒng)掌握列

考點4列一次方程(組)解各種應(yīng)用題類型的等量關(guān)系，考查知識比較綜合。

☆☆☆

應(yīng)用題的常用分析

☆☆☆代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。

夯實基礎(chǔ)

考點1.一元一次方程的解法及解的應(yīng)用

1.等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1：等式的兩邊都加上（或減去）同一個____或同一個_____，所得結(jié)果仍是等式。

性質(zhì)2：等式的兩邊都乘以（或除以）同一個_____（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式。

要點詮釋：（1）分?jǐn)?shù)的分子、分母同時乘以或除以同一個不為0的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變。

（2）理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況:

①a≠0時，方程有唯一解x＝b/a；

②a=0，b=0時，方程有無數(shù)個解；

③a=0，b≠0時，方程無解。

2.解一元一次方程的一般步驟

（1）______。在方程的兩邊都乘以各自分母的最小公倍數(shù)。去分母時不要漏乘不含分母的項。當(dāng)分

母中含有小數(shù)時，先將小數(shù)化成整數(shù)。

（2）______。括號前負號時，去掉括號時里面各項應(yīng)變號。

（3）_____。把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項。

（4）_______。把若干能合并的式子的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變，起到化簡的作用。

（5）系數(shù)化為1，得出一元一次方程的解。

3.一元一次方程解的應(yīng)用

（1）使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的______叫做方程的解。

（2）根據(jù)一元一次方程的解可以求代數(shù)式的值；根據(jù)一元一次方程的解可以求字母的值；根據(jù)一元

一次方程的解可以解決其他問題。

【易錯點提示】

在解類似于“ax+bx＝c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即（a+b）x＝c．使

方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax＝b的最簡形式體現(xiàn)化歸思想．將ax＝b系數(shù)化為1時，要準(zhǔn)確計算，一弄清求x

時，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分?jǐn)?shù)時；二要準(zhǔn)確判斷符號，a、b同號x為正，a、b異

號x為負．

考點2.二元一次方程(組)及其解法

1.二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的_______叫做二元一次。方程一般

形式是ax+by=c(a≠0,b≠0)。

2．二元一次方程組：把兩個二元一次方程合在一起，就組成一個二元一次方程組。

3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的____叫做二元一次方程的

解。

4．二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的______叫做二元一次方程組的解。

a1xb1yc1

一般形式為

a2xb2yc2

【溫馨提醒】二元一次方程組滿足三個條件：

①方程組中的兩個方程都是整式方程．

②方程組中共含有兩個未知數(shù)．

③每個方程都是一次方程．

5．二元一次方程組的解法：將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。消元，即

將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。

（1）_____消元：將一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，

進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

（2）_____消元法：當(dāng)兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相

減，

就能消去這個未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。

考點3.二元一次方程(組)的實際應(yīng)用

1.方程(組)的實際問題

利潤

（1）銷售打折問題：利潤售價-成本價；利潤率=×100％；售價=標(biāo)價×折扣；銷售額=售價×

成本

數(shù)量．

（2）儲蓄利息問題：利息=本金×利率×期數(shù)；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數(shù))；貸款利

息=貸款額×利率×期數(shù)．

（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間．

（4）行程問題：路程=速度×?xí)r間．

（5）相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．

（6）追及問題一（同地不同時出發(fā)）：前者走的路程=追者走的路程．

（7）追及問題二（同時不同地出發(fā)）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．

（8）水中航行問題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．

（9）飛機航行問題：順風(fēng)速度=靜風(fēng)速度+風(fēng)速度；逆風(fēng)速度=靜風(fēng)速度-風(fēng)速度．

（10）和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率

（11）數(shù)字問題：多位數(shù)的表示方法：例如：abcda103b102c10d.

（12）其他問題：探索尋找等量關(guān)系，構(gòu)造方程。

2.解有關(guān)方程(組)的實際問題的一般步驟

第1步：_____。認真讀題，分析題中各個量之間的關(guān)系。

第2步：______。根據(jù)題意及各個量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。

第3步：______。根據(jù)題中各個量的關(guān)系列出方程(組)。

第4步：______。根據(jù)方程(組)的類型采用相應(yīng)的解法。

第5步：_______。檢驗所求解是否符合實際意義，并作答。

考點4.列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析

1.由實際問題列方程組：是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量

聯(lián)系起來，找出題目中的____關(guān)系．

2.所列方程必須滿足條件：

①方程兩邊表示的是___類量；

②同類量的____要統(tǒng)一；

③方程的等號兩邊的數(shù)值要_____．

3.找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點，有如下規(guī)律和方法：

①確定應(yīng)用題的類型，按其一般規(guī)律方法找等量關(guān)系．

②將問題中給出的條件按意思分割成兩個方面，有“；”時一般“；”前后各一層，分別找出兩個等

量關(guān)系．

③借助表格提供信息的，按橫向或縱向去分別找等量關(guān)系．

④圖形問題，分析圖形的長、寬，從中找等量關(guān)系．

【易錯點提示】

在列方程（組）實際問題時，設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．當(dāng)問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要

求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方

程．

考點1.一元一次方程的解法及解的應(yīng)用

【例題1】（2023貴州）小明解方程﹣1＝的步驟如下：

解：方程兩邊同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①

去括號，得3x+3﹣1＝2x﹣2②

移項，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③

合并同類項，得x＝﹣4④

以上解題步驟中，開始出錯的一步是（）

A．①B．②C．③D．④

【對點變式練1】（2024廣州一模）運用等式性質(zhì)進行的變形，正確的是（）

A．如果a=b，則a+c=b﹣cB．如果a2=3a，那么a=3

C．如果a=b，則=D．如果=，則a=b

【對點變式練2】（2024百色一模）方程3x＝2x+7的解是（）

A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7

【對點變式練3】（2024聊城一模）若﹣3＜a≤3，則關(guān)于x的方程x+a＝2解的取值范圍為（）

A．﹣1≤x＜5B．﹣1＜x≤1C．﹣1≤x＜1D．﹣1＜x≤5

【例題2】（2024福建省）今年我國國民經(jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，第

一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長4.7%，求去年第一季度社會消費品

零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設(shè)為x億元，則符合題意的方程是（）

A.14.7%x120327B.14.7%x120327

xx

C.120327D.120327

14.7%14.7%

【對點變式練1】（2024棗莊一模）《算學(xué)啟蒙》是我國較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問題：

“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”題意是：

快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x

天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（）

A．240x+150x＝150×12B．240x﹣150x＝240×12

C．240x+150x＝240×12D．240x﹣150x＝150×12

【對點變式練2】（2023?陜西）小紅在一家文具店買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共

用了62元．已知她買的這種大筆記本的單價比這種小筆記本的單價多3元，求該文具店中這種大筆

記本的單價．

考點2.二元一次方程(組)解法及解的應(yīng)用

x2y3

【例題3】（2024廣西）解方程組：

x2y1

【對點變式練1】（2024四川樂山一模）解二元一次方程組：．

【對點變式練2】（2024河南一模）方程組的解為．

考點3.二元一次方程(組)的實際應(yīng)用

【例題4】（2024深圳）在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有首住店詩：我問開店李三公，眾客都來到

店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間

客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．設(shè)該店有客房x間，

房客y人，則可列方程組為（）

7x7y7x7y

A.B.

9x1y9x1y

7x7y7x7y

C.D.

9x1y9x1y

【對點變式練1】（2024甘孜州一模）有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3

斛（斛，音hú，是古代的一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛.1個大桶、1個小桶

分別可以盛酒多少斛？設(shè)大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，則可列方程組為（）

A．B．

C．D．

【對點變式練2】（2024張家界一模）為拓展學(xué)生視野，某中學(xué)組織八年級師生開展研學(xué)活動，原計

劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出三輛車，且其

余客車恰好坐滿．現(xiàn)有甲、乙兩種客車，它們的載客量和租金如下表所示：

甲型客車乙型客車

載客量（人/輛）4560

租金（元/輛）200300

（1）參加此次研學(xué)活動的師生人數(shù)是多少？原計劃租用多少輛45座客車？

（2）若租用同一種客車，要使每位師生都有座位，應(yīng)該怎樣租用才合算？

【對點變式練3】（2024齊齊哈爾一模）列方程（組）或不等式（組）解應(yīng)用題：

學(xué)校為了支持體育社團開展活動，鼓勵同學(xué)們加強鍛煉，準(zhǔn)備增購一些羽毛球拍和乒乓球拍．

（1）根據(jù)圖中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的價格；

（2）學(xué)校準(zhǔn)備用5300元購買羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的數(shù)量為羽毛球拍數(shù)量的3倍，請問

最多能購買多少支羽毛球拍？

考點4.列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析

【例題5】（2024江蘇連云港）我市將5月21日設(shè)立為連云港市“人才日”，以最大誠意禮遇人才，

讓人才與城市“雙向奔赴”．活動主辦方分兩次共郵購了200把繪有西游文化的折扇作為當(dāng)天一項活

動的紀(jì)念品．折扇單價為8元，其中郵費和優(yōu)惠方式如下表所示：

郵購數(shù)

1~99100以上（含100）

量

郵寄費總價的

免費郵寄

用10%

折扇價

不優(yōu)惠打九折

格

若兩次郵購折扇共花費1504元，求兩次郵購的折扇各多少把？

【對點變式練1】（2024安徽一模）（數(shù)字問題）一個兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大

9；如果交換十位上的數(shù)與個位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個兩位數(shù)．

【對點變式練2】（2024青海一模）（速度問題）在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個加油站，

A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米．分別在A、C兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪

團伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場，正在B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的

命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個加油站駛?cè)ィY(jié)果往B站駛來的團伙在1小時后就被其中

一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團伙經(jīng)過3小時后才被另一輛巡邏車追趕上．問巡邏車和犯罪

團伙的車的速度各是多少？

考點1.一元一次方程的解法及解的應(yīng)用

1.（2024貴州省）小紅學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“■”“●”

“▲”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡．若設(shè)“■”與“●”的質(zhì)量分別為x，y，則下列關(guān)

系式正確的是（）

A.xyB.x2yC.x4yD.x5y

2.（2024貴州省）在元朝朱世杰所著的《算術(shù)啟蒙》中，記載了一道題，大意是：快馬每天行240

里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，則快馬追上慢馬需要的天數(shù)是______．

3.（2024廣州）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月

交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛．設(shè)該車企去年5月交付新車x輛，根據(jù)題意，可列方程為（）

A.1.2x110035060B.1.2x110035060

C.1.2(x1100)35060D.x1100350601.2

4.（2024廣西）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個問題，大致意思為：現(xiàn)

有田出租，第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢．三年共得100錢．問：出租的田有

多少畝？設(shè)出租的田有x畝，可列方程為（）

xxxxxx

A.1B.100

345345

C.3x4x5x1D.3x4x5x100

考點2.二元一次方程(組)及其解法

2xy7

1.（2024江蘇蘇州）解方程組：．

2x3y3

2.（2024眉山）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x﹣y＝4，則m的值為（）

A．0B．1C．2D．3

考點3.二元一次方程(組)的實際應(yīng)用

1.（2024黑龍江齊齊哈爾）校團委開展以“我愛讀書”為主題的演講比賽活動，為獎勵表現(xiàn)突出的

學(xué)生，計劃拿出200元錢全部用于購買單價分別為8元和10元的兩種筆記本(兩種都要購買)作為獎

品，則購買方案有（）

A.5種B.4種C.3種D.2種

2.（2024湖北省）《九章算術(shù)》中記載這樣一個題：牛5頭和羊2只共值10金，牛2頭和羊5只

共值8金，問牛和羊各值多少金？設(shè)每頭牛值x金，每只羊值y金，可列方程為（）

5x2y102x5y10

A.B.

2x5y85x2y8

5x5y105x2y10

C.D.

2x5y82x2y8

3.（2024內(nèi)蒙古赤峰）用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制

成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板．現(xiàn)在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問恰好用A型鋼板、B

型鋼板各多少塊？如果設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為（）

3x2y403x5y403x5y583x4y58

A.B.C.D.

4x5y584x2y584x2y405x2y40

4.（2024四川成都市）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個題目：今有共買琎，人出

半，盈四；人出少半，不足三．問人數(shù)，琎價各幾何？其大意是：今有人合伙買琎石，每人出1錢，

2

1

會多出4錢；每人出錢，又差了3錢．問人數(shù)，琎價各是多少？設(shè)人數(shù)為x，琎價為y，則可列方

3

程組為（）

1111

yx4yx4yx4yx4

2222

A.B.C.D.

1111

yx3yx3yx3yx3

3333

5.（2024江蘇鹽城）中國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載的“繩索量竿”問題，大意是：現(xiàn)

有一根竿子和一條繩索，用繩索去量竿子，繩索比竿子長5尺；若將繩索對折去量竿子，繩索就比竿

子短5尺，問繩索、竿子各有多長？該問題中的竿子長為________尺．

考點4.列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析

1.（2024安徽省）鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略實施以來，很多外出人員返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．某村有部分返鄉(xiāng)青年承包了一

些田地．采用新技術(shù)種植A，B兩種農(nóng)作物．種植這兩種農(nóng)作物每公頃所需人數(shù)和投入資金如表：

農(nóng)作物品每公頃所需人

每公頃所需投入資金（萬元）

種數(shù)

A48

B39

已知農(nóng)作物種植人員共24位，且每人只參與一種農(nóng)作物種植，投入資金共60萬元．問A，B這兩種

農(nóng)作物的種植面積各多少公頃？

2.（2024湖南省）某村決定種植臍橙和黃金貢柚，助推村民增收致富，已知購買1棵臍橙樹苗和2

棵黃金貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元．

（1）求臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價；

（2）該村計劃購買臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗共1000棵，總費用不超過38000元，問最多可以購買臍

橙樹苗多少棵？

考點1.一元一次方程的解法及解的應(yīng)用

3x

1.已知下列方程：①x＋1＝；②5x＝8；③＝4x＋1；④x2＋2x－3＝0；⑤x＝1；

x3

⑥3x＋y＝6。其中是一元一次方程的個數(shù)是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.已知方程(m+1)x|m|+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值是（）

A.±1B.1C.－1D.0或1

3.關(guān)于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，則其解為．

11

4.解一元一次方程(x1)1x時，去分母正確的是（）

23

A．3(x+1)=1-2xB．2(x+1)=1-3xC．2(x+1)=6-3xD．3(x+1)=6-2x

5.解方程：+＝4．

6．甲、乙兩人在一條筆直的道路上相向而行，甲騎自行車從A地到B地需4分鐘，乙騎自行車從B

地到A地需6分鐘．現(xiàn)乙從B地先發(fā)出1分鐘后，甲才從A地出發(fā)，問多久后甲、乙相遇？設(shè)乙出發(fā)

x分鐘時，甲、乙相遇，則可列方程為（）

A．B．C．D．

7．《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題，其譯文為：有人合伙買羊，每人出5錢，還缺45錢；每人

出7錢，還缺3錢，問合伙人數(shù)是多少？為解決此問題，設(shè)合伙人數(shù)為x人，可列方程為．

8．對聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、

右空白處統(tǒng)稱為邊．一般情況下，天頭長與地頭長的比是6：4，左、右邊的寬相等，均為天頭長與

地頭長的和的．某人要裝裱一副對聯(lián)，對聯(lián)的長為100cm，寬為27cm．若要求裝裱后的長是裝裱

后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長．

考點2.二元一次方程(組)及其解法

1.已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足x﹣y＝4，則a的值為．

2．解方程組．

3．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，