2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國(guó)版）

第四章三角形及四邊形

4.5多邊形與平行四邊形

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1多邊形☆☆數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)的多邊形與平行四邊形部分，每年

考查1~2道題,分值為3~8分，通常以選擇題、填空

考點(diǎn)2平行四邊形的判定

題、解答題的形式考查。在解答題里出現(xiàn)涉及證明和

☆☆☆

及相關(guān)證明計(jì)算，屬于中考重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)。

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。

夯實(shí)基礎(chǔ)

考點(diǎn)1.多邊形

1．多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

2．多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。

3．多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫多邊形的外角。

4．多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。

5．正多邊形：在平面內(nèi)，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

6．多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）·180°

7．多邊形的外角和：多邊形的內(nèi)角和為360°。

8.多邊形對(duì)角線的條數(shù)：

（1）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（n-3）條對(duì)角線，把多邊形分成（n-2）個(gè)三角形。

n(n-3)

（2）n邊形共有條對(duì)角線。

2

考點(diǎn)2.平行四邊形的判定及相關(guān)證明

1.平行四邊形定義

有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號(hào)“□ABCD”表示，讀作“平行四邊

形ABCD”。

2.平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；

（2）平行四邊形的對(duì)角相等；

（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。

3.平行四邊形的判定

（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

（4）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

（5）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

4.平行四邊形的面積：S平行四邊形=底邊長(zhǎng)×高=ah

5.三角形中位線問(wèn)題

1．三角形中位線的定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

2．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

3.對(duì)三角形中位線的深刻理解

（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.

（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)小三角形的周長(zhǎng)為原三角

11

形周長(zhǎng)的，每個(gè)小三角形的面積為原三角形面積的.

24

（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.

【易錯(cuò)點(diǎn)提示】

易錯(cuò)點(diǎn)1.截角問(wèn)題中忽視多種情況而致錯(cuò)

分析指導(dǎo)：截去一個(gè)角的方法不止一種，要按照截線經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論：（1）不經(jīng)過(guò)

頂點(diǎn)；（2）經(jīng)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)；（3）經(jīng)過(guò)兩個(gè)頂點(diǎn).

易錯(cuò)點(diǎn)2.無(wú)圖的題目中因沒(méi)有分類討論而出現(xiàn)漏解

分析指導(dǎo)：對(duì)于題目中沒(méi)有給出圖形但需要畫(huà)圖形解答的題目，要考慮周到，畫(huà)出符合條件的所有圖

形，以免漏解.

考點(diǎn)1.多邊形

【例題1】（2024甘肅臨夏）“香渡欄干屈曲，紅妝映、薄綺疏欞．”圖1窗欞的外邊框?yàn)檎?/p>

形（如圖2），則該正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為_(kāi)_____．

【答案】120

【解析】本題考查多邊形內(nèi)角和，正多邊形的性質(zhì)．掌握n邊形內(nèi)角和為n2180和正多邊形

的每個(gè)內(nèi)角都相等是解題關(guān)鍵．根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求出正六邊形的內(nèi)角和為720，再除以6即

可．

【詳解】∵正六邊形的內(nèi)角和為62180720，

∴正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為7206120．

【變式練1】（2024黑龍江龍東一模）已知一個(gè)多邊形內(nèi)角和是外角和的4倍，則這個(gè)多邊形是（）

A.八邊形B.九邊形C.十邊形D.十二邊形

【答案】C

【解析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，然后根據(jù)內(nèi)角和與外角和公式列方程求解即可.

設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，

則（n－2）×180°＝4×360°，

解得：n＝10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理及多邊形的外角和定理，熟練掌握多邊形內(nèi)角和定理是解

答本題的關(guān)鍵.n變形的內(nèi)角和為：(n-2)×180°，n變形的外角和為：360°；然后根據(jù)等量關(guān)系列出方

程求解．

【變式練2】（2024上海一模）如果一個(gè)正多邊形的中心角是20，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為

________．

【答案】18

【解析】根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為360n進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．

根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為360n，

則n3602018，

故這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為18．

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形內(nèi)角和中心角的知識(shí)，掌握中心角的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．

【變式練3】（2024湖南長(zhǎng)沙一模）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和的比它的外角和多90°，那么這個(gè)多

邊形的邊數(shù)是多少？

【答案】12

【解析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，

由題意得：（n﹣2）×180°﹣360°＝90°，

∴n＝12，

答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是12．

考點(diǎn)2.平行四邊形的判定及相關(guān)證明

【例題2】（2024廣西）如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60，

則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長(zhǎng)為_(kāi)_____cm．

【答案】83

【解析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，菱形的周長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)A作AMBC于M，

ANCD于N，由題意易得四邊形ABCD是平行四邊形，進(jìn)而由平行四邊形的面積可得

AN

AMAN，即可得到四邊形ABCD是菱形，再解Rt△ADN可得AD23cm，即可

sin60

求解，得出四邊形ABCD是菱形是解題的關(guān)鍵．

【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AMBC于M，ANCD于N，則AND90，

∵兩張紙條的對(duì)邊平行，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

又∵兩張紙條的寬度相等，∴AMAN，

∵，∴，

SABCDBC·AMCD·ANBCCD

∴四邊形ABCD是菱形，

在Rt△ADN中，ADN60，AN3cm，

AN3

AD23cm

∴sin603，

2

∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為23483cm

【變式練1】（2024鄭州一模）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列條件

不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

A．AB∥DC，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BC

C．AB∥DC，AD＝BCD．OA＝OC，OB＝OD

【答案】C

【解析】∵AB∥DC，AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)A中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；

∵AB＝DC，AD＝BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)B中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；

∵AB∥DC，AD＝BC，則無(wú)法判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)C中的條件，不能判斷四邊

形ABCD是平行四邊形；

∵OA＝OC，OB＝OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；

【變式練2】（2024福州一模）如圖，在□ABCD中，BE⊥AB交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，若∠1=20°，

則∠2的度數(shù)是_______.

【答案】110°

【解析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和和三角形外角的性質(zhì)求角的大小，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平

行四邊形性質(zhì)或三角形外角的有關(guān)知識(shí)．思路：首先利用平行四邊形的性質(zhì)求出∠BAE的度數(shù)，再由

∠2是△ABE的外角求出∠2的大小.

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB∥CD，

∴∠BAE=∠1=20°

∵BE⊥AB

∴∠ABE=90°

∵∠2是△ABE的外角

∴∠2=∠ABE+∠BAE=90°+20°=110，故答案為110°.

【變式練3】（2024杭州一模）如圖，□ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O與AB、CD分

別相交于點(diǎn)E、F.求證：OE＝OF.

【答案】見(jiàn)解析。

【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，證出△DFO≌△BEO即可．

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO.

∠FDO＝∠EBO，

在△DFO和△BEO中，OD＝OB，

∠FOD＝∠EOB，

∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.

方法總結(jié)：利用平行四邊形的性質(zhì)解決線段的問(wèn)題時(shí)，要注意運(yùn)用平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角線互

相平分的性質(zhì)．

【變式練4】（中位線問(wèn)題）如圖，菱形ABCD周長(zhǎng)為20，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)，

則OE的長(zhǎng)是（）

A．2.5B．3C．4D．5

【答案】A

【解析】∵四邊形ABCD為菱形，

∴CD＝BC5，且O為BD的中點(diǎn)，

∵E為CD的中點(diǎn)，

∴OE為△BCD的中位線，

∴OECB＝2.5

考點(diǎn)1.多邊形

1.（2024四川樂(lè)山）下列多邊形中，內(nèi)角和最小的是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】邊數(shù)為n的多邊形的內(nèi)角和n2180，分別求出三角形，四邊形，五邊形，六邊形

的內(nèi)角和，即可得到．

三角形的內(nèi)角和等于180

四邊形的內(nèi)角和等于360

五邊形的內(nèi)角和等于52180540

六邊形的內(nèi)角和等于62180720

所以三角形的內(nèi)角和最小故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，能熟記邊數(shù)為n的多邊形的內(nèi)角和n2180是解此題

的關(guān)鍵．

2.（2024云南省）一個(gè)七邊形的內(nèi)角和等于（）

A.540B.900C.980D.1080

【答案】B

【解析】本題考查多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)n邊形的內(nèi)角和為n2180求解，即可解題．

一個(gè)七邊形的內(nèi)角和等于72180900，故選：B．

3.（2024重慶市A）如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是40，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi)_____．

【答案】9

【解析】本題考查了多邊形的外角和定理，用外角和360除以40即可求解，掌握多邊形的外角和

等于360是解題的關(guān)鍵．

360409，

∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是9．

4.（2024河北省）直線l與正六邊形ABCDEF的邊AB,EF分別相交于點(diǎn)M，N，如圖所示，則a

（）

A.115B.120C.135D.144

【答案】B

【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，正多邊形的每個(gè)內(nèi)角，鄰補(bǔ)角，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解決本題的

關(guān)鍵．

先求出正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為120，再根據(jù)六邊形MBCDEN的內(nèi)角和為720即可求解

ENMNMB的度數(shù)，最后根據(jù)鄰補(bǔ)角的意義即可求解．

62180

【詳解】解：正六邊形每個(gè)內(nèi)角為：120，

6

而六邊形MBCDEN的內(nèi)角和也為62180720，

∴BCDEENMNMB720，

∴ENMNMB7204120240，

∵ENMNMB1802360，

∴360240120，故選：B．

5.（2024內(nèi)蒙古赤峰）如圖，是正n邊形紙片的一部分，其中l(wèi)，m是正n邊形兩條邊的一部分，

若l，m所在的直線相交形成的銳角為60，則n的值是（）

A.5B.6C.8D.10

【答案】B

【解析】本題考查了正多邊形，求出正多邊形的每個(gè)外角度數(shù)，再用外角和360除以外角度數(shù)即可

求解，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【詳解】如圖，直線l、m相交于點(diǎn)A，則A60，

∵正多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，

∴正多邊形的每個(gè)外角也相等，

18060

∴1260，

2

360

∴n6，

60

故選：B．

6.（2024山東棗莊）如圖，已知AB，BC，CD是正n邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以BC為

邊在該正n邊形的外部作正方形BCMN．若ABN120，則n的值為（）

A.12B.10C.8D.6

【答案】A

【解析】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和，先求解正多邊形的1個(gè)內(nèi)角度數(shù)，得到

正多邊形的1個(gè)外角度數(shù)，再結(jié)合外角和可得答案.

【詳解】∵正方形BCMN，

∴NBC90，

∵ABN120，

∴ABC36090120150，

∴正n邊形的一個(gè)外角為18015030，

360

∴n的值為12；故選A

30

7.（2024內(nèi)蒙古包頭）已知一個(gè)n邊形的內(nèi)角和是900，則n________．

【答案】7

【解析】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式求多邊形的邊數(shù)，多邊形的內(nèi)角和可以表示成

n2180，依此列方程可求解．

根據(jù)題意，得n2180900，

解得n7

8.（2024山東威海）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AH∥FG，BIAH，垂足為點(diǎn)I．若

EFG20，則ABI________．

【答案】50##50度

【解析】本題考查了正六邊形的內(nèi)角和、平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，先求出正六邊形的每個(gè)

內(nèi)角為120，即EFAFAB120，則可求得GFA的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求得FAH

的度數(shù)，進(jìn)而可求出HAB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出ABI的度數(shù)．

∵正六邊形的內(nèi)角和(62)180720，

每個(gè)內(nèi)角為：7206120，

EFAFAB120，

EFG20，

GFA12020100，

AH∥FG，

FAHGFA180，

FAH180GFA18010080，

HABFABFAH1208040，

BIAH，

BIA90，

ABI904050．

考點(diǎn)2.平行四邊形的判定及相關(guān)證明

1.（2024貴州省）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論一定正確的

是（）

A.ABBCB.ADBCC.OAOBD.ACBD

【答案】B

【解析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分是解

題的關(guān)鍵．

∵ABCD是平行四邊形，

∴ABCD，ADBC，AOOC，BOOD，故選B．

2.（2024河南省）如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，EF∥AB

交BC于點(diǎn)F．若AB4，則EF的長(zhǎng)為（）

14

A.B.1C.D.2

23

【答案】B

【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，利用平行四邊形的性質(zhì)、

1

線段中點(diǎn)定義可得出CEAC，證明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．

4

【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

1

∴OCAC，

2

∵點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，

11

∴CEOCAC，

24

∵EF∥AB，

∴△CEF∽△CAB，

EFCEEF1

∴，即，

ABAC44

∴EF1，故選：B．

3.（2024四川廣安）如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，若A45，

CED70，則C的度數(shù)為（）

A.45B.50C.60D.65

【答案】D

【解析】本題考查了三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)定理，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確

識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．先證明DE∥AB，可得CDEA45，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得

答案.

【詳解】∵點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，

∴DE∥AB，

∵A45，

∴CDEA45，

∵CED70，

∴C180457065，故選D

4.（2024湖南長(zhǎng)沙）如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，連接DE．若DE12，

則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

【答案】24

【解析】本題主要考查三角形中位線定理，熟知三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半是

解題的關(guān)鍵．

∵D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，

∴DE是ABC的中點(diǎn)，

∴AB2DE21224．

5.（2024重慶市A）如圖，在ABC中，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使CDCA，過(guò)點(diǎn)D作DE∥CB，且

DEDC，連接AE交BC于點(diǎn)F．若CABCFA，CF1，則BF______．

【答案】3

【解析】先根據(jù)平行線分線段成比例證AFEF，進(jìn)而得DECDAC2CF2，AD4，

再證明CAB≌DEA，得BCAD4，從而即可得解．

【詳解】∵CDCA，過(guò)點(diǎn)D作DE∥CB，CDCA，DEDC，

FACA

∴1，CDCADE，

FECD

∴AFEF，

∴DECDAC2CF2，

∴ADACCD4，

∵DE∥CB，

∴CFAE，ACBD，

∵CABCFA，

∴CABE，

∵CDCA，DECD，

∴CADE，

∴CAB≌DEA，

∴BCAD4，

∴BFBCCF3，故答案為：3，

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形

的判定及性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵．

6.（2024河北省）下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習(xí)題及解答過(guò)程：

已知：如圖，ABC中，ABAC，AE平分ABC的外角CAN，點(diǎn)M是AC的中

點(diǎn)，連接BM并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)D，連接CD．

求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

證明：∵ABAC，∴ABC3．

∵CANABC3，CAN12，12，

∴①______．

又∵45，MAMC，

∴△MAD≌△MCB（②______）．

∴MDMB．∴四邊形ABCD是平行四邊形．

若以上解答過(guò)程正確，①，②應(yīng)分別為（）

A.13，AASB.13，ASA

C.23，AASD.23，ASA

【答案】D

【解析】本題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊對(duì)等角得ABC3，

根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義可得23，證明△MAD≌△MCB，得到MDMB，

再結(jié)合中點(diǎn)的定義得出MAMC，即可得證．解題的關(guān)鍵是掌握：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行

四邊形．

【詳解】證明：∵ABAC，∴ABC3．

∵CANABC3，CAN12，12，

∴①23．

又∵45，MAMC，

∴△MAD≌△MCB（②ASA）．

∴MDMB．∴四邊形ABCD是平行四邊形．故選：D．

7.（2024廣州）如圖，平行四邊形ABCD中，BC2，點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線上，BE3，若BA平

分EBC，則DE______．

【答案】5

【解析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)

鍵．由平行四邊形的性質(zhì)可知，ADBC2，BC∥AD，進(jìn)而得出BAEEBA，再由等角

對(duì)等邊的性質(zhì)，得到BEAE3，即可求出DE的長(zhǎng)．

【詳解】在平行四邊形ABCD中，BC2，

ADBC2，BC∥AD，

CBABAE，

BA平分EBC，

CBAEBA，

BAEEBA，

BEAE3，

DEADAE235．

8.（2024武漢市）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，AFCE．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）連接EF．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件，使四邊形ABEF是平行四邊形．（不需要說(shuō)明理由）

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）添加AFBE（答案不唯一）

【解析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定；

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出ABCD，BD，結(jié)合已知條件可得DFBE，即可證明

△ABE≌△CDF；

（2）添加AFBE，依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可求解．

【小問(wèn)1詳解】

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ABCD，ADBC，BD，

∵AFCE，

∴ADAFBCCE即DFBE，

在ABE與CDF中，

ABCD

BD，

BEDF

∴ABE≌CDFSAS；

【小問(wèn)2詳解】

添加AFBE（答案不唯一）

如圖所示，連接EF．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，即AF∥BE，

當(dāng)AFBE時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形．

9.（2024湖北省）已知：如圖，E，F(xiàn)為□ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF，連接BE，DF，

求證：BE=DF．

【答案】證明見(jiàn)解析．

【解析】利用SAS證明△AEB≌△CFD，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB//DC，AB=DC，

∴∠BAE=∠DCF，

在△AEB和△CFD中，

ABCD

BAEDCF，

AECF

∴△AEB≌△CFD（SAS），

∴BE=DF．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵．

10.（2024湖南省）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E在邊AB上，．請(qǐng)從

“①BAED；②AEBE，AECD”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上

（填序號(hào)），再解決下列問(wèn)題：

（1）求證：四邊形BCDE為平行四邊形；

（2）若ADAB，AD8，BC10，求線段AE的長(zhǎng)．

【答案】（1）①或②，證明見(jiàn)解析；（2）6

【解析】題目主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形，理解題意，熟練掌握平行四邊

形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

（1）選擇①或②，利用平行四邊形的判定證明即可；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DEBC10，再由勾股定理即可求解．

【小問(wèn)1詳解】

解：選擇①，

證明：∵BAED，

∴DE∥CB，

∵AB∥CD，

∴四邊形BCDE為平行四邊形；

選擇②，

證明：∵AEBE，AECD，

∴CDBE，

∵AB∥CD，

∴四邊形BCDE為平行四邊形；

【小問(wèn)2詳解】

解：由（1）得DEBC10，

∵ADAB，AD8，

∴AEDE2AD26．

11.（2024黑龍江大慶）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是BAD，BCD的平分

線，且E、F分別在邊BC，AD上．

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）若ADC60，DF2AF2，求GDF的面積．

2

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）S3．

GDF3

【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到BADBCD，AD∥BC，結(jié)合角平分線的

條件得到DAEBCF，由AD∥BC得到DFCBCF，DAEDFC，根據(jù)平行線

的判定得到AE∥FC，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到AECF是平行四邊形；

（2）求得△DFC是等邊三角形，得到DFDCCF2，CEAF1，證明△DFG∽△ECG，

42

求得FG，作GHDF于點(diǎn)H，在RtFGH中，求得GH3，據(jù)此求解即可．

33

【小問(wèn)1詳解】

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BADBCD，AD∥BC，

∵AE，CF分別是BAD、BCD的平分線，

11

∴BAEDAEBAD，BCFDCFBCD，

22

∴DAEBCF，

∵AD∥BC，

∴DFCBCF，

∴DAEDFC，

∴AE∥FC，

∴四邊形AECF是平行四邊形；

【小問(wèn)2詳解】

1

解：由（1）得DFCBCF，BCFDCFBCD，

2

∴DFCDCF，

∵ADC60，

∴△DFC是等邊三角形，

∴DFC60，

∵DF2AF2，

∴DFDCCF2，CEAF1，

∵AD∥BC，

∴△DFG∽△ECG，

FGDF2

∴2，

CGCE1

24

∴FGCF，

33

作GHDF于點(diǎn)H，

4

在RtFGH中，GFH60，F(xiàn)G，

3

2

∴GHFGsin603，

3

1122

∴SDFGH233．

GDF2233

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，

等邊三角形的判定和性質(zhì)．正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．

12.（2024深圳）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作關(guān)于不相鄰的兩個(gè)頂

點(diǎn)的對(duì)角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點(diǎn)是這條邊的中點(diǎn)，則該平行四邊形是“垂中平行四

邊形”．

（1）如圖1所示，四邊形ABCD為“垂中平行四邊形”，AF5，CE2，則AE________；

AB________；

（2）如圖2，若四邊形ABCD為“垂中平行四邊形”，且ABBD，猜想AF與CD的關(guān)系，并說(shuō)

明理由；

（3）①如圖3所示，在ABC中，BE5，CE2AE12，BEAC交AC于點(diǎn)E，請(qǐng)畫(huà)出

以BC為邊的垂中平行四邊形，要求：點(diǎn)A在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；

②若ABC關(guān)于直線AC對(duì)稱得到VABC，連接CB，作射線CB交①中所畫(huà)平行四邊形的邊于點(diǎn)

P，連接PE，請(qǐng)直接寫(xiě)出PE的值．

【答案】（1）1，17

（2）AF2CD，理由見(jiàn)解析

341341

（3）①見(jiàn)解析；②PE或．

42

AFAE

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可推出△AEF∽△CEB，得到，從而推出AE，再根

BCCE

據(jù)勾股定理可求得BE，再求得AB；

AEADDE

（2）根據(jù)題意可推出AED∽FEB，得到2，設(shè)BEa，則DE2a，

EFBFEB

ABCD3a，再利用勾股定理得到AE，從而推出EF、AF，即可求得答案；

（3）①分情況討論，第一種情況，作BC的平行線AD，使ADBC，連接CD，延長(zhǎng)BE交AD

于點(diǎn)F；第二種情況，作ABC的平分線，取CHCB交ABC的平分線于點(diǎn)H，延長(zhǎng)CH交BE

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，在射線BA上取AFAB，連接DF；第三種情況，作AD∥BC，交BE的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接CD，作BC的垂直平分線；

在DA延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使AFAD，連接BF；

②根據(jù)①中的三種情況討論：

第一種情況，根據(jù)題意可證得△PAC是等腰三角形，作PHAC，則AHHC，可推出

PHCH

△CPH∽△CBE，從而推出，計(jì)算可得PH，最后利用勾股定理即可求得PE；

BECE

第二種情況，延長(zhǎng)CA、DF交于點(diǎn)G，同理可得PGC是等腰三角形，連接PA，可由

GAF∽CAB，結(jié)合三線合一推出PAAC，從而推出CPA∽CBE，同第一種情況即可求得PE；

第三種情況無(wú)交點(diǎn)，不符合題意．

【小問(wèn)1詳解】

解：ADBC，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，ADBC，AF5，CE2，

AEF∽CEB，BCAD2AF25，

AFAE5AE

，即，解得AE1，

BCCE252

BE2BC2CE2(25)22216，

ABAE2BE2121617；

故答案為：1；17；

【小問(wèn)2詳解】

解：AF2CD，理由如下：

根據(jù)題意，在垂中四邊形ABCD中，AFBD，且F為BC的中點(diǎn)，

ADBC2BF，AEB90；

又AD∥BC，

AED∽FEB，

AEADDE

2；

EFBFEB

設(shè)BEa，則DE2a，

ABBD，

ABBDBEEDa2a3a，

AEAB2BE2(3a)2a222a，EF2a，

AFAEEF22a2a32a，

ABCD，

AFAF32a

2，

CDAB3a

AF2CD；

【小問(wèn)3詳解】

解：①第一種情況：

作BC的平行線AD，使ADBC，連接CD，

則四邊形ABCD為平行四邊形；

延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F，

BCAD，

AEF∽CEB，

AFAE

，

BCCE

ADBC，CE2AE，

AFAE111

，即AFBCAD，

BCCE222

F為AD的中點(diǎn)；

故如圖1所示，四邊形ABCD即為所求的垂中平行四邊形：

第二種情況：

作ABC的平分線，取CHCB交ABC的平分線于點(diǎn)H，延長(zhǎng)CH交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，在

射線BA上取AFAB，連接DF，

故A為BF的中點(diǎn)；

1

同理可證明：ABCD，

2

則BFABAF2ABCD，

則四邊形BCDF是平行四邊形；

故如圖2所示，四邊形BCDF即為所求的垂中平行四邊形：

第三種情況：

作AD∥BC，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接CD，作BC的垂直平分線；

在DA延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使AFAD，連接BF，

則A為DF的中點(diǎn)，

1

同理可證明ADBC，從而DFBC，

2

故四邊形BCDF是平行四邊形；

故如圖3所示，四邊形BCDF即為所求的垂中平行四邊形：

②若按照?qǐng)D1作圖，

由題意可知，ACBACP，

四邊形ABCD是平行四邊形，

ACBPAC，

PACPCA，

△PAC是等腰三角形；

過(guò)P作PHAC于H，則AHHC，

BE5，CE2AE12，

BEBE5，AE6，

111

AHHCAC(AECE)(612)9，

222

EHAHAE963；

PHAC,BEAC，

△CPH∽△CBE，

PHCHCHBE9515

，即PH

BECECE124

2

22215341

∴PEEHPH3

44

若按照?qǐng)D2作圖，

延長(zhǎng)CA、DF交于點(diǎn)G，

同理可得：PGC是等腰三角形，

連接PA，

GF∥BC，

GAF∽CAB，

AFAG

1，

ABAC

AGAC，

PAAC；

同理，△CPA∽△CBE，

AE6，EC12，BEBE5，

BECEBEAC51815

，即PA，

PAACCE122

2

22152341

PEPAAE6，

22

若按照?qǐng)D3作圖，則：沒(méi)有交點(diǎn)，不存在PE（不符合題意）

341341

故答案為：PE或．

42

【點(diǎn)睛】本題考查了垂中平行四邊形的定義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，

勾股定理，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意并作出合適的輔

助線是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)1.多邊形

1.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個(gè)多邊形是（）

A.七邊形B.八邊形C.九邊形D.十邊形

【答案】A

【解析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，列出方程即可求解．

根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式，得

（n﹣2）?180°=900°，

解得n=7，

∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是7，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟記內(nèi)角和公式并列出方程．

2．一個(gè)10邊形的內(nèi)角和等于（）

A．1800°B．1660°C．1440°D．1200°

【答案】C

【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和等于（n﹣2）?180°即可得解．

根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式得，10邊形的內(nèi)角和等于：

（10﹣2）×180°＝8×180°＝1440°．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．

3．如圖，正五邊形ABCDE中，∠CAD的度數(shù)為（）

A．72°B．45°C．36°D．35°

【答案】C

【解析】首先可根據(jù)五邊形內(nèi)角和公式求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后求出∠CAB和∠DAE，即可求出∠

CAD．

根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式可得，

正五邊形ABCDE的內(nèi)角和＝180°×（5﹣2）＝540°，

則∠BAE＝∠B＝∠E＝＝108°，

根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，△ABC≌△AED，

∴∠CAB＝∠DAE＝（180°﹣108°）＝36°，

∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°.

4．若正多邊形的一個(gè)外角是45°，則該正多邊形的內(nèi)角和為（）

A．540°B．720°C．900°D．1080°

【答案】D

【解析】先根據(jù)多邊形的外角和定理求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出這個(gè)正多邊

形的內(nèi)角和．

正多邊形的邊數(shù)為：360°÷45°＝8，

∴這個(gè)多邊形是正八邊形，

∴該多邊形的內(nèi)角和為（8﹣2）×180°＝1080°．

2

5.（2022四川眉山）一個(gè)多邊形外角和是內(nèi)角和的，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi)_______．

9

【答案】11

【解析】多邊形的內(nèi)角和定理為(n2)180，多邊形的外角和為360°，根據(jù)題意列出方程求出n

的值．

2

根據(jù)題意可得：(n2)180360，

9

解得：n11．

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和公式以及外角和定理，屬于基礎(chǔ)題型．記憶理解并應(yīng)用這

兩個(gè)公式是解題的關(guān)鍵．

6.如圖，正六邊形ABCDEF和正五邊形AHIJK內(nèi)接于O，且有公共頂點(diǎn)A，則BOH的度數(shù)

為_(kāi)_____度．

【答案】12

【解析】連接AO，求出正六邊形和正五邊形的中心角即可作答．

連接AO，如圖，

∵多邊形ABCDEF是正六邊形，

∴∠AOB=360°÷6=60°，

∵多邊形AHIJK是正五邊形，

∴∠AOH=360°÷5=72°，

∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°．

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的中心角的知識(shí)，掌握正多邊形中心角的計(jì)算方法是解答本題的關(guān)鍵．

7．如圖，一個(gè)正五邊形和一個(gè)正六邊形有一個(gè)公共頂點(diǎn)O，則∠1+∠2＝．

【答案】132°．

【解析】∵正五邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)＝180°﹣360°÷5＝108°，

正六邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)＝180°﹣360°÷6＝120°，

∴∠1+∠2+108°+120°＝360°，

∴∠1+∠2＝132°．

考點(diǎn)2.平行四邊形的判定及相關(guān)證明

1．下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（）

A．對(duì)角線互相平分

B．對(duì)角線互相垂直

C．對(duì)角線相等

D．對(duì)角線互相垂直且相等

【答案】A

【解析】A、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．正確．

B、對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形．錯(cuò)誤．

C、對(duì)角線相等的四邊形不一定是平行四邊形．錯(cuò)誤．

D、對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形不一定是平行四邊形．錯(cuò)誤．

故選：A．

2.如圖，點(diǎn)O是□ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，EF過(guò)點(diǎn)O分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，下列結(jié)論成立的

是（）

A．OE＝OFB．AE＝BFC．∠DOC＝∠OCDD．∠CFE＝∠DEF

【答案】A

【解析】證△AOE≌△COF（ASA），得OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，進(jìn)而得出結(jié)論．

∵?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，

∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，

∴∠EAO＝∠FCO，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，

又∵∠DOC＝∠BOA，

∴選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C、D不正確．

3.如圖，在□ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于點(diǎn)E，∠D＝58°，則∠AEC的大小是（）

A．61°B．109°C．119°D．122°

【答案】C

【解析】由平行四邊形的性質(zhì)可得∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝58°，由角平分線的性質(zhì)和外角性質(zhì)

可求解．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠D＝58°，

∴∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝58°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝61°，

∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝119°．

4．如圖，在?ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，∠BCD的平分線交AD于點(diǎn)F，若AB＝3，

AD＝4，則EF的長(zhǎng)是（）

A．1B．2C．2.5D．3

【答案】B

【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明DF＝CD，AE＝AB，進(jìn)而可得AF和ED的長(zhǎng)，然后可得答案．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，

∴∠DFC＝∠FCB，

又∵CF平分∠BCD，

∴∠DCF＝∠FCB，

∴∠DFC＝∠DCF，

∴DF＝DC＝3，

同理可證：AE＝AB＝3，

∵AD＝4，

∴AF＝5﹣4＝1，DE＝4﹣3＝1，

∴EF＝4﹣1﹣1＝2．

5．如圖，在□ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，則?ABCD的面積為（）

A．30B．60C．65D．

【答案】B

【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理求出四邊形ABCD的底邊BC和其對(duì)角線AC的值，然

后根據(jù)平行四邊形的面積計(jì)算公式求解．

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴BC＝AD＝5．

∵AC⊥BC，

∴△ACB是直角三角形．

∴AC＝＝＝12．

∴S?ABCD＝BC?AC＝5×12＝60．

6．如圖，在四邊形ABCD中AB∥CD，若加上AD∥BC，則四邊形ABCD為平行四邊形．現(xiàn)在請(qǐng)你

添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：，使得四邊形AECF為平行四邊形．（圖中不再添加點(diǎn)和線）

【答案】BE＝DF．

【解析】添加的條件：BE＝DF．

證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF

又∵BE＝DF

∴△ABE≌△CDF

∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD

∴∠AEF＝∠EFC

∴AE∥FC

∴四邊形AECF為平行四邊形．

故答案為：BE＝DF．

7．四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝6，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，若CE＝2，則?ABCD

的周長(zhǎng)為．

【答案】28．

【解析】由平行四邊形的性質(zhì)知BC∥AD，由平行線的性質(zhì)即角平分線的定義可得∠BEA＝∠BAE，

進(jìn)而可求解BE的長(zhǎng)，即可求得BC的長(zhǎng)，再根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)可求解．

如圖：

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴BC∥AD，

∴∠BEA＝∠EAD，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠EAD，

∴∠BEA＝∠BAE，

∴BE＝AB，

∵AB＝6，

∴BE＝6，

∵CE＝2，

∴BC＝BE+CE＝6+2＝8，

∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：2×（6+8）＝28，

8．如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AH⊥BD于點(diǎn)H，若AB＝2，BC＝2，

則AH的長(zhǎng)為．

【答案】．

【解析】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分別利用勾股定理可求出BC和OB的長(zhǎng)，又AH⊥OB，可利

用等面積法求出AH的長(zhǎng)．

如圖，

∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2，

∴AC＝＝2，

在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，

∴OA＝OC＝，

在Rt△OAB中，

OB＝＝，

又AH⊥BD，

∴OB?AH＝OA?AB，即＝，

解得AH＝．

9．如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，連接AE，G是AB的中點(diǎn)，連接GF，

若AE＝4，則GF＝_____．

【答案】2

【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可求解∠CBE=∠BEC，即可得CB=CE，利用等

腰三角形的性質(zhì)得到BF=EF，進(jìn)而可得GF是ABE的中位線，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可求解．

在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABE△=∠BEC．

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BEC，∴CB=CE．

1

∵CF⊥BE，∴BF=EF．∵G是AB的中點(diǎn)，∴GF是ABE的中位線，∴GF=AE，

2

∵AE=4，∴GF=2．故答案為：2．△

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線的性質(zhì)，證明

GF是△ABE的中位線是解題的關(guān)鍵．

10．如圖，在△ABC中，M，N分別是AB和AC的中點(diǎn)，連接MN，點(diǎn)E是CN的中點(diǎn)，連接ME并

延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．若BC＝4，則CD的長(zhǎng)為．

【答案】2

【解析】依據(jù)三角形中位線定理，即可得到MNBC＝2，MN∥BC，依據(jù)△MNE≌△DCE（AAS），

1

即可得到CD＝MN＝2．=2

∵M(jìn)，N分別是AB和AC的中點(diǎn)，

∴MN是△ABC的中位線，

∴MNBC＝2，MN∥BC，

1

∴∠N=ME2＝∠D，∠MNE＝∠DCE，

∵點(diǎn)E是CN的中點(diǎn)，

∴NE＝CE，

∴△MNE≌△DCE（AAS），

∴CD＝MN＝2．

11.證明：平行四邊形的對(duì)邊相等。平行四邊形的對(duì)角相等。

【解析】已知：四邊形ABCD是平行四邊形.

AD

B