微專題46幾何綜合題

類型一動(dòng)點(diǎn)型探究

1.綜合探究

已知點(diǎn)E是邊長(zhǎng)為2的正方形AH2內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，始終保持NAEQ=90°.

【初步探究】

(1)如圖①，延長(zhǎng)。E交邊5。于點(diǎn)尸.當(dāng)點(diǎn)尸是5。的中點(diǎn)時(shí)，求筆的值;

AE

【深入探究】

⑵如圖②，連接虛并延長(zhǎng)交邊AZ)于點(diǎn)環(huán)當(dāng)點(diǎn)”是AZ)的中點(diǎn)時(shí)，求票的

值.

第1題圖

2.綜合運(yùn)用

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形A5CD的頂點(diǎn)。在原點(diǎn)。處，已知點(diǎn)5(8,

0),D(0,6),連接AC,E是CO上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)。，。重合)，過(guò)點(diǎn)E

作E尸〃AC交于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)E作EG_LE/交5。于點(diǎn)G,連接尸G.

(1)若DE=CG,求證：bDEF”XCGE；

(2)設(shè)。E=a,用含Q的式子表示AEFG的面積，并求出△EFG面積的最大值.

第2題圖

3.已知R304BZOAB^90°,ZABO=30°,斜邊05=4,將Rt/k。45繞

點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,如圖①，連接5C

(1)填空：ZOBC=°；

(2)如圖①，連接4C,作OPLAC,垂足為尸，求。尸的長(zhǎng)度；

(3)如圖②，點(diǎn)V,N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，在△。。臺(tái)邊上運(yùn)動(dòng)，M沿OTC—B

路徑勻速運(yùn)動(dòng)，N沿。一5一。路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，已知點(diǎn)

M的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單位鄧，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1單位/秒.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為％秒,

△OMN的面積為》求當(dāng)％為何值時(shí)y取得最大值？最大值為多少？

第3題圖

類型二動(dòng)線型探究

1.(2024佛山一模節(jié)選)綜合探究

如圖，點(diǎn)B,E是射線4。上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊在射線4。上方作正方形A5CD,

連接。E,作。石的垂直平分線/G,垂足為“，尸G分別與直線5C,AD,DC交

于點(diǎn)V,F,G,連接EG交直線于點(diǎn)K.

(1)設(shè)A5=4,當(dāng)石恰好是A5的中點(diǎn)時(shí)，求。尸的長(zhǎng)；

(2)若DG=DE,猜想"G與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

DC八DC

*iry\</A-

AEBQABQ

笫I題圖備用圖

2.綜合探究

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形。45。的頂點(diǎn)A在％軸的正半軸上，點(diǎn)A(5,

0),C(-3,4),直線/：y=x+t(-5<?<0)交。4邊于點(diǎn)。，交A5邊于

點(diǎn)E,點(diǎn)A與點(diǎn)4關(guān)于直線/對(duì)稱，連接AD,A'E.

(1)當(dāng)彳的值為多少時(shí)，E為A5的中點(diǎn)；(直接寫(xiě)出結(jié)果，不要求寫(xiě)出解答過(guò)

程)

(2)如圖②，設(shè)△ADE的邊A'D^AA'E分別與BC交于點(diǎn)M,N.記四邊形DENM

的面積為S,求S關(guān)于i的函數(shù)表達(dá)式，并求出才的取值范圍.

第2題圖

3.(2024佛山南海區(qū)二模)綜合探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為原點(diǎn)，口A5CD的頂點(diǎn)5,。在入軸上，A

在y軸上，。4=0。=205=4,直線>=%+%(―2W/W4)分別與％軸，y軸，

線段A。，直線交于點(diǎn)E,F,P,Q.

(1)當(dāng)1=1時(shí)，求證：AP=DP；

(2)探究線段AP,尸。之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)在入軸上是否存在點(diǎn)V,使得NPNQ=90°,且以點(diǎn)V,P,。為頂點(diǎn)的

三角形與△495相似，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)才的值以及點(diǎn)m的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

類型三動(dòng)面型探究

1.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，矩形。45。的頂點(diǎn)A(4,0),

C(0,3).以點(diǎn)。為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形。45C,得到矩形。45。，點(diǎn)A,B,

。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4,B',C.

(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。落在AC上時(shí)(不與點(diǎn)。重合)，求點(diǎn)夕的坐標(biāo)；

(2)如圖③，。4交5。于點(diǎn)。，當(dāng)05恰好平分N4Q4時(shí)，求的長(zhǎng).

第1題圖

2.在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形。45。的頂點(diǎn)A(4,0),C(2,

2V3),矩形OOE下的頂點(diǎn)。(0,V3),F(-4,0).

(1)如圖①，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)5的坐標(biāo)為；

(2)將矩形ODE尸沿水平方向向右平移，得到矩形OD七戶'，點(diǎn)O,D,E,F

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O,D',E',9.設(shè)00=7,矩形七戶與菱形。45。重疊部

分的面積為S.當(dāng)邊OD與AB相交于點(diǎn)G,邊OC分別與D'E',E尸相交于點(diǎn)H,

M,且矩形ODE9與菱形。45。重疊部分為六邊形時(shí)，試用含才的式子表示S,

并直接寫(xiě)出才的取值范圍.

第2題圖

3.(2024廣東22題13分)【知識(shí)技能】

(1)如圖①，在AABC中，。石是△ABC的中位線.連接CD,將繞點(diǎn)。

按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△4。。.當(dāng)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)？與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：AB

=BC.

【數(shù)學(xué)理解】

(2)如圖②，在△A3。中〃5<5。)，。石是△ABC的中位線.連接CD,ADC

繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△ADC,連接AB,CC,作△A5。的中線。尸.

求證：2DFCD=BDCC：

【拓展探索】

⑶如圖③，在△A5C中，tanB=1,點(diǎn)。在A5上,AZ)=^.過(guò)點(diǎn)。作。

垂足為E,BE=3,CE*.在四邊形ADEC內(nèi)是否存在點(diǎn)G,使得NAGD+NCGE

=180°?若存在，請(qǐng)給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第3題圖

類型一動(dòng)點(diǎn)型探究

1.解：（1）如解圖①，?.?在正方形A5C。中，N4ED=NAZ）C=NC=90°，AB

=BC=CD=AD=2,

：.Z2=90°-Z3=Z1,

tanZ2=tanZl,

.DE_CF_CF

*9AECDCB*

丁方是BC的中點(diǎn)，

?DE_CF_1

??----------；

AECB2

p￡4

____覘

4n

第1題解圖①

(2)如解圖②，延長(zhǎng)。E交邊5C于點(diǎn)尸，

是A。的中點(diǎn)，ZAED=90°,

1

：.AM=MD^ME=-AD=1,

2

：.Z2=Z1,

在中，MC=IMD*12+CD2=J12+22=V5,

CE=MC-ME=VS~1.

,在正方形A5CD中，AD//BC,

.*.Z2=Z4,

VZ1=Z3,

.*.Z4=Z3,

：.CF=CE=V5-1,

與(1)同理可得，有=!!=??

第1題解圖②

2.(1)證明：?.?四邊形A5CZ)是矩形，

ZADC=ZDCB=90°,

\'EG±EF,：.ZFEG=90°,

：.ZCEG+ZFED=90°,

VZDFE+ZFED=90°,

：.ZDFE=ZCEG,

"：DE=CG,NFDE=/ECG,

.*.△ACGE(AAS)；

(2)解:VB(8,0),D(0,6),

：.CB=8,CD=6,

???四邊形A5CD是矩形，

：.AD=BC=S,

在Rt^AQC中，AC=JAD2+CD2=10.

\'EF//AC,

：.ADEF^ADCA

由(1)知NZ)FE=NCEG,

'：EF//AC,

：.ZDFE=ZDAC,

：.ZCEG=ZDAC,

,?ZECG=ZADC,

.*.△CEG^ADAC,

即匚=吧，解得EG=9(6—a),

DAAC8104V7

：.SEFG=-EF-EG=-X-aX-(6-a)=-(6a-a2)=--(a-3)2+-,

A2234124^24^8

25

V--<0,0<a<6,

24

J當(dāng)a=3時(shí)，△EFG的面積有最大值，最大值為捺

O

3.解：(1)60；

【解法提示】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，OB=OC,/50。=60°,05。是等邊三

角形，：.ZOBC=60°.

(2)在R3OAB中，05=4,ZABO=30°,

：.ZAOB=60°,OA=/5=2,AB=OBcos30°=2?

2

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，OB=OC,ZBOC=60°,

，△05C是等邊三角形，

ZAOB=ZOBC=60°,BC=OB=4,

：.OA//BC,A5即為△AOC的高，

：.S^AOC=-AO-AB=-X2X243=2-^3,

22

VZABC=ZABO+ZOBC=90°,

：.AC=JAB2+BC2=J(2V3)2+42=2V7,

'：OP±AC,

：.S^AOC=IAC-OP,BP|X2V7-OP=2V3,

解得OP二等；

一題多解法

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，OB=OC,

/BOC=60°,

.*.△08。為等邊三角形，

：.BC=OB=4,ZOBC=60°,

VZAB0=30°,

：.OA=-OB=2,AB=—OB=2V3,NA5C=90°,

22

J.BC//OA,AC=JAB2+BC2=2V7,

：.ZPAO=ZACB,

AB

???sm?Z/A人CCDB=—=——V21，

AC7

：.smZPAO=sinZACB=—,

7

.OP_421

??,

OA7

（3）根據(jù)題意得，M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，所需時(shí)間為W=|（秒），N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)5時(shí)，所

需時(shí)間為：=4（秒），當(dāng)V,N相遇時(shí)，所需時(shí)間為—==（秒），

1（1+1.5）5

...分三種情況討論：

①當(dāng)0<%甘時(shí)，點(diǎn)又在0。上，點(diǎn)N在05上，如解圖①，過(guò)點(diǎn)N作NELOC

于點(diǎn)E,

則NE=OMsin60°=*,

：.y=-OM-NE=-X1.5xX—=—x2,

,222x8

??38、八

?1U，

8

???當(dāng)尸町y最廣￥><（守=哈

②當(dāng)：<%<4時(shí)，點(diǎn)”在上，點(diǎn)N在05上，如解圖②，

W=8-|x,過(guò)點(diǎn)M作MF±0B于點(diǎn)F,

：.MF=BMsin60°=y(8-|x),

,-.y=>W=|4(8-|x)=2V3x-^,

y最大=2遮X//X(.=竽

③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M,N都在BC上，如解圖③,

MN=12—%,

2

過(guò)點(diǎn)。作0GLBC于點(diǎn)G,

則0G=AB=2?

.?.y=|M^-OG=|(12-|x)-2V3=-^x+12a

V--<0,

2

工當(dāng)％=4時(shí),y最大=2班.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，y取得最大值，最大值為

第3題解圖

類型二動(dòng)線型探究

1.解：(1)如解圖①，連接ER

在正方形A5CD中，AB=AD=4,

?；E是AB中點(diǎn),

：.AE=EB=2,

?1F為線段DE垂直平分線上一點(diǎn),

：.DF=EF,

設(shè)。尸=%,則A尸=4—%,

在R3AFE中，根據(jù)勾股定理得，(4-%)2+22=%2,

解得％=三，；.DF=J

22

r“K3C76-

/I

A￡RQ

第1題解圖①

(2)HG=V3AE.證明如下：

?「G尸垂直平分。E,

：.DG=GE,ZDHG=9Q°,

,:DG=DE,

:.DG=DE=EG,

.?.△QGE是等邊三角形，

.*.ZGDE=60°,

二?正方形ABC。中，ZCDA=ZDAB=90°,

：.ZADE=ZDGH=30°,

1

：.AE=-DE^DH,

2

?：NDAE=/DHG=90°,

.'.AADE^AHGD,

：.AD=HG,

在Rt^AQE中，AD^y/3AE,

:.HG=6AE.

2.解：⑴—一|時(shí)，E為A5的中點(diǎn)；

【解法提示】:4(5,0),四邊形。45。是菱形，.\。4=5。=5,OA//BC.VC(-

3,4),.?.5(2,4).丁石為A5中點(diǎn)，.-.￡(1，2),將點(diǎn)E代入>=%+/中，得(十1

=2,解得/=一|.

(2)如解圖，記交y軸于點(diǎn)區(qū)

???四邊形O4BC為菱形,4(5,0),。(一3,4),

：.ZOAE=ZC,BC//OA,OA=BC=5,CH=3,OH=4,

,,OH4

在RtACOH中，tanC=—=~,

CH3

由對(duì)稱的性質(zhì)，得A3=A。，ZAr=ZOAE=ZC,ZADE=ZArDE,AtanAr

_4

3,

由題意可知，NAOE=45°,

ZA'DE=ZADE=45°,

：.ZA'DA=9Q°,

ZA'MN^90°,DM=OH=4.

在y=%+/中，令y=0,得％+/=0,解得％=一/，.,.OD=~t,AD=5+t.

4

VDM=4,tan4'==

3

：.A'M^A'D-DM=AD-DM=l+t,

：.在RtAA'MN中，MN=A'M-tanAf=1(l+1),

/.SAA'MN=^A'M-MN=^(1+02.

如解圖，過(guò)點(diǎn)E作EKLOA于點(diǎn)K,

設(shè)。K=x,則4K=5+/—%.

VZEDK=45°,ZEKD=90°,

：.EK=DK=x,

在R3AEK中，VtanA=—=-,解得％=生

AK35+t-x37

???SAA，DE=SAADE=^AD-EK=^X(5+。X^^=|(5+tf,

S=SAADE-SAAMV=：(5+02-1(I+/)2=一白2+今+等.

\"A'D>DM,.*.5+?>4,：.t>~l,

又:一5<彳<0,

??"的取值范圍為一

rh"

-+DKA*

第2題解圖

3.(1)證明：由04=00=205=4知，0C=4,05=2,

又???四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AD=BC=6,

則點(diǎn)A,5的坐標(biāo)分別為(0,4),(-2,0),

當(dāng)y=4時(shí)，y=x-\-t=4,

則x=4—?=4—1=3=1AD,

即點(diǎn)尸(3,4),

：.AP^DP-,

(2)解：PQ=2^2AP,理由：

由點(diǎn)4,5的坐標(biāo)，得直線45的表達(dá)式為y=2%+4,

聯(lián)立上式和y=%+/得2%+4=%+/，

解得％=/—4,

即點(diǎn)。。一4,2/—4),

在直線>=%+%中，當(dāng)y=4時(shí)，x=4~t,

???點(diǎn)尸(4—彳，4),

則AP=4-r,

由點(diǎn)尸，。的坐標(biāo)，得尸。=2迎(4—。=2魚(yú)AP；

(3)解：存在.如解圖①②③，過(guò)點(diǎn)P作PH±x軸于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)Q作QILx軸于點(diǎn)

I,

設(shè)點(diǎn)"(機(jī)，0),

由(2)知，點(diǎn)尸,。的坐標(biāo)分別為(4—K4),Q—4,2Z-4),

則Im-4+rI,PH=OA=4,IM=Im-?+4I,QI=I4-2?I,

VZPMH+ZQMI=90°,ZQMI+ZIQM=90°,

ZIQM=ZPMH,

又?：NPHM=/MIQ=90°,

：.APHM^AMIQ,

?.?以點(diǎn)M,P,。為頂點(diǎn)的三角形與相似，

則PM：QM=2或點(diǎn)

.,.RtAPHM和RtAMIQ的相似比為2或3

-1

則PH：MI=HM：IQ=2或點(diǎn)

當(dāng)機(jī)＞0時(shí)，如解圖①②，

當(dāng)相似比為2時(shí)，如解圖①，

里=吧=2

MIQI'

則?”=24〃，MH=2QI,

即4=2(m一/+4)且4—t—m=2(2t—4),

/ovH*

第3題解圖①

解得

m=-3,t=~3,

17

即點(diǎn)M(I,0),?=-；

當(dāng)相似比為機(jī)寸，如解圖②,

PH_MH_1

MIQI2'

則尸”=之必，MH=^QI,

'〃

第3題解圖②

則2X4=zw—4)且2(加一4+。=4-2彳,

解得加=甘，片|,

則點(diǎn)M(—,0)>?=-；

當(dāng)加<0時(shí)，如解圖③，

第3題解圖③

當(dāng)相似比為2時(shí)，如解圖③,

空=吧

MIQI'

則尸"=2Af/,MH=2QI,

則4=2[?-4)一川且4一才一加=2(4—2。,

解得加=-7,t=-1,

即點(diǎn)"(一7,0),t=~l；

當(dāng)相似比為機(jī)寸，

經(jīng)驗(yàn)證，該情況不存在，

綜上所述，點(diǎn)嗚0),/=(或M(g,0),/=|或M—7,0),t=~l.

類型三動(dòng)面型探究

1.解：(1)如解圖,連接。9，AB',

VA(4,0),C(0,3),

AOA=4,OC=3,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得。O=CO=3,OA'=OA=4,

：.ZOCA=ZOC'C,

??/4。44

?tanZOCA=—=一，

oc3

p'r'4

tanZB,OC,=^=-,

OC3

：.ZOCA=ZB'OC,

：.ZOC'C=ZB'OC,

：.AC//OB',

?四邊形A5co為矩形，

：.AC=OB',

：.四邊形OCA9是平行四邊形，

：.AB'=OC=3,AB'//OC,即A5'〃y軸，

.?.點(diǎn)"的坐標(biāo)為(4,-3)；

第1題解圖

(2):05平分/4。4,

：.ZDOB=ZAOB,

,JBC//OA,

ZDBO=ZAOB,

：.ZDOB=ZDBO,

：.BD=OD,

設(shè)則50=5。一CO=4一%,

0D=4—x,

在RtAOCD中，由勾股定理，得OD^CD^OC2,

(4—x)2=x2+32,解得x=2,

8

25

：.BD=4-x=—.

8

2.解：(1)(-4,V3),(6,2V3)；

【解法提示】?.?四邊形OOE尸為矩形，。(0,V3),F(-4,0),，E(—4,V3),

?.?四邊形。45。為菱形，4(4,0),.\5。=。4=4,VC(2,2巡)，：.B(6,2舊).

(2)如解圖，過(guò)點(diǎn)。作CNLOA于點(diǎn)N,

VC(2,2V3),

：.ON=2,CN=?W,

???CN2V3/TV

tan/CON=—ON=——2=V3,

：.ZCON=60°,

過(guò)點(diǎn)"作"HXx軸于點(diǎn)H,

"：E'F'=V3,

：.HR=E'F'=V3,

VZCOA=60°,

.CDHR遮1

..07?=------=7=1,

tan60°v3

V3),

由平移可知OO'=EE'=t,

VE(-4,V3),

：.E'(~4+t,V3),

：.E'H=l-(~4+t)=5-t,

VZE'HO=ZH0F'=6Q°,

.?.石河=?”心1160°=V3(5-r),

?.?在RtAAGO中，AO'=OO'-OA=t-4,ZGAO'=ZCOA=60°,

：.GO,=AO,-tan60°=g?—4),

S=S矩形oDE戶，—SAMHE，—5AAGO,=4A/3—|XV3(5—02—|xV3(r—4)2=—V3^+

9.一當(dāng),其中t的取值范圍是4<r<5.

第2題解圖

3.(1)證明：?「DE是△4與。的中位線，

：.DE=-BC,AD=-AB,

22

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AZ)=Z)E,

C.AB^BC-,(3分)

(2)證明：如解圖①，連接AT,

?.?。石是△ABC的中位線，尸為A3的中點(diǎn)，

：.DA=BD,

尸是△ART的中位線，

：.2DF^AA',

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得△A。。0△A。。，ZA'DA=ZC'DC,A'D^AD,C'D=CD,

???~A'D_AD,

CDCD

.*.AA'DA^ACDC,

?A'ADA

CCDC

?2DF_BD

??，

CCDC

：.2DFCD=BD?CC；（7分）

A'

R乙-----—

第3題解圖①

（3）解：存在點(diǎn)G,使得NAGD+NCGE=180°,證明如下：

如解圖②，過(guò)點(diǎn)。作。尸〃5。交AC于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)。作CHLA5于點(diǎn)區(qū)DF與

CH交于點(diǎn)G,連接EG,AG,

'：DE±BC,

：.ZDEB=90°,

在RtABDE中,tanB=[,BE=3,

：.DE=4,BD=5,cosB=~,sin5=3,（8分）

在R35C"