專題12函數(shù)的圖象

【考點預測】

一、掌握基本初等函數(shù)的圖像

(1)一次函數(shù)；(2)二次函數(shù)；(3)反比例函數(shù)；(4)指數(shù)函數(shù)；(5)對數(shù)函數(shù)；(6)三角函數(shù).

二、函數(shù)圖像作法

1、直接畫

①確定定義域；②化簡解析式；③考察性質(zhì)：奇偶性(或其他對稱性)、單調(diào)性、周期性、凹凸性；④

特殊點、極值點、與橫/縱坐標交點；⑤特殊線(對稱軸、漸近線等).

2、圖像的變換

(1)平移變換

①函數(shù)y=f(x+a)(a>Q)的圖像是把函數(shù)7=/(x)的圖像沿x軸向左平移。個單位得到的；

②函數(shù)y=/(x-a)(a>0)的圖像是把函數(shù)>=/(%)的圖像沿x軸向右平移。個單位得到的；

③函數(shù)》=/(x)+a(a>0)的圖像是把函數(shù)>=/(%)的圖像沿y軸向上平移。個單位得到的；

④函數(shù)y=/(x)+a(?>0)的圖像是把函數(shù)y=/(x)的圖像沿y軸向下平移。個單位得到的；

(2)對稱變換

①函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖像關(guān)于y軸對稱；

函數(shù)>=/W與函數(shù)y=-/(x)的圖像關(guān)于x軸對稱；

函數(shù)>=/(x)與函數(shù)yn-A-x)的圖像關(guān)于坐標原點(0,0)對稱；

②若函數(shù)〃x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱，則對定義域內(nèi)的任意x都有

f(a-x)=f(a+x)或/(x)=/(2a-x)(實質(zhì)上是圖像上關(guān)于直線x=a對稱的兩點連線的中點橫坐標為

a,即(。一x)+(a+x)=q為常數(shù));

2

若函數(shù)/(%)的圖像關(guān)于點(a,b)對稱，則對定義域內(nèi)的任意x都有

/(x)=2Z>-/(2a-x)^f(a—x)=2b-f{a+x)

③夕=|/(x)|的圖像是將函數(shù)/(x)的圖像保留X軸上方的部分不變，將X軸下方的部分關(guān)于X軸對稱翻

折上來得到的(如圖(a)和圖(b))所示

@y=f(\x\)的圖像是將函數(shù)/(x)的圖像只保留y軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關(guān)于y軸對稱得

到函數(shù)>=/(國)左邊的圖像即函數(shù)了=/(國)是一個偶函數(shù)(如圖(c)所示).

注：|/(x)|的圖像先保留“X)原來在X軸上方的圖像，做出X軸下方的圖像關(guān)于X軸對稱圖形，然后擦

去x軸下方的圖像得到；而了(⑼的圖像是先保留“X)在y軸右方的圖像，擦去/軸左方的圖像，然后做出

y軸右方的圖像關(guān)于y軸的對稱圖形得到.這兩變換又叫翻折變換.

(3)伸縮變換

①y="(x)(/>0)的圖像，可將y=/(x)的圖像上的每一點的縱坐標伸長(N>1)或縮短(O<N<1)到原

來的A倍得到.

②片f(?x)(?>0)的圖像，可將y=/(x)的圖像上的每一點的橫坐標伸長或縮短(。>1)到原

來的,倍得到.

CD

【典例例題】

例1.(2024?廣東廣州?一模)已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則/(x)的解析式可能是()

A./(x)=sin(tanx)B.f(x)=tan(sinx)

C.f(x)=cos(tanx)D./(x)=tan(cosx)

【答案】D

【解析】觀察圖象可知函數(shù)為偶函數(shù)，

對于A,/(-%)=sin(tan(-x))=sin(-tan^=-sin(tan^為奇函數(shù)，排除；

對于B,/(—x)=tan(sin(—x))=tan(-sin@=—tan(sin》=一人］，為奇函數(shù)，排除；

同理，C、D選項為偶函數(shù)，而對于C項，其定義域為，、+加弓+加)，不是R,舍去，故D正確.

故選：D

例2.(2024?四川南充?二模)已知函數(shù)〃x)的圖象如圖所示，則〃x)的解析式可能是()

【答案】D

【解析】對于A：函數(shù)卜=苫3=?的定義域為［°，+8），顯然不符合題意，故A錯誤;

1

對于B：函數(shù)y=x2的定義域為（0,+8）顯然不符合題意，故B錯誤;

對于C:函數(shù)了=d的定義域為R,又了=》3為奇函數(shù)，又了=/在（0,+/）上函數(shù)是下凸遞增，故不符合題

意，故C錯誤;

對于D：函數(shù)y=￡=近的定義域為R，又了=）為奇函數(shù)，且y=x3在（°，+8）上函數(shù)是上凸遞增，故D

正確.

故選：D

例3.（2024?天津和平?一模）函數(shù)/（同=丘上的圖象大致是（）

【解析】???/（x）定義域為R,〃_無）=3-=-4=一/■⑷，

x+2Ld+2

\/（X）為定義在R上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于坐標原點對稱，C錯誤;

Y3z3%2(%+2)—2/(無+3)

當x>。時，〃小不’"(xx)=…>0,

x+2)2

\/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，AD錯誤，B正確.

故選：B.

例4.（2024?陜西西安?二模）已知函數(shù)〃刈的圖象如圖所示，則函數(shù)/（x）的解析式可能為（）

X2+1

B./(x)=sin2x-In——^―

x

C.〃》)=土立1V2

口?…Uy

X

【答案】B

【解析】對于A,函數(shù)/（x）=cos2x-（e=eT）的定義域為R,而題設(shè)函數(shù)的圖象中在自變量為0時無意義,

不符合題意，排除;

X+Q-X

對于C,當x>0時,〃x）=E不符合圖象，排除;

對于D,當x>0時,1In右=：[ln/_In(/+1)]<0,不符合圖象，排除.

故選：B

函數(shù)/(x)=(l-六

例5.（2024?高三?四川遂寧?開學考試）?COSX的圖象大致為（）

￡3

【解析】/（x）=（l-鏟口）-COSX,則/（X）的定義域為R,

乂…蟲,2x3,

?COS(-X)=cosx=?cosx

所以/'（X）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故排除CD,

當X=7T時，〃兀）=11一高2

故排除A.

COS^-1+FTT<0,

故選：B.

例6.（2024?安徽蕪湖?二模）我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)

合百般好，隔裂分家萬事休.在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的

解析式來分析函數(shù)的圖象特征.

【解析】由題意可知：的定義域為R,關(guān)于原點對稱,

-2x2x

且〃-x)=-=-/W，可知為奇函數(shù),排除AB,

(-以+1x2+l

且/⑴=-1<0,排除D.

故選：C.

例7.（2024?四川南充二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則/（》）的解析式可能是（）

i

B.C.y=x3

A.y=x^y-AD.y=x^

【答案】D

【解析】對于A：函數(shù)y=）=4的定義域為［0,+”）,顯然不符合題意，故A錯誤;

對于B：函數(shù)y=x2的定義域為（0,+8）顯然不符合題意，故B錯誤;

對于C:函數(shù)＞=/的定義域為R,又y=d為奇函數(shù)，

但是＞=/在（0,+e）上函數(shù)是下凸遞增，故不符合題意，故C錯誤;

對于D:y=，=板定義域為R，又y=f為奇函數(shù)，

且v=在（°，+8）上函數(shù)是上凸遞增，故D正確.

故選：D

例8.（2024?高三?江西?開學考試）函數(shù)/'（到二域/的圖象大致為（）

【解析】/（-x）=-H_=-/（x）.且函數(shù)定義域為｛x|x#0｝，關(guān)于原點對稱，所以“X）為奇函數(shù)，排除

2x—2》

CD.

當x＞0時，2*-27＞0,所以/（x）＞0,排除B,經(jīng)檢驗A選項符合題意.

故選：A.

【解析】由函數(shù)=/(-x)=^^=/(x),令0,解得XH±1,

則其定義域為{x|xw±l},關(guān)于原點對稱,

3°+30

所以函數(shù)在定義內(nèi)為偶函數(shù)，排除C,D選項,因為/(0)=中=-2,觀察選項可知，選A.

-1

故選：A

ax+b

例10.(2024?高三?江蘇鎮(zhèn)江?開學考試)函數(shù)/(%)=的圖象如圖所示，則(

(x+c)2

A.a<0,b<0,c>0B.a>0,b<0,c>0

C.a>0,b>0,c<0D.?>0,Z?<0,c<0

【答案】D

【解析】由X+CWO,得％W—C，所以/(%)的定義域為(—8,—C)U(—Q+8),

由圖可知—。〉0,得c<0,

令/。)=0,貝!］辦+6=0,得工二一2,

a

bb

由圖可知％=—>0,得一<0,

aa

bh

令x=0,得y=—由圖可知f<0,得6<0,

cC

所以。〉0,

綜上，〃〉0,Z?<0,c<0,

故選：D

例11.(2024?高三?全國?專題練習)函數(shù)/■⑺:丁(尤e[-2無,2可)的圖象大致是()

【解析】xc［-2兀,2兀］,定義域關(guān)于原點對稱，且〃_"=亭"=-于=-/卜）,

則/（x）=飛］函數(shù)為奇函數(shù)，排除AC;

當工40,可，/@）=詈＞0,則D符合題意.

故選:D

例12.（2024?高一?河南駐馬店?階段練習）我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入

微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常

用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.我們從這個商標

中抽象出一個圖象如圖，其對應(yīng)的函數(shù)可能是（）

D-/W=7TT

【答案】A

【解析】因為函數(shù)/（月=向的定義域為{x|xwl},函數(shù)的定義域為R,

函數(shù)”"）二片可與"X）=”的定義域均為Nx'±1}?

由圖知/（x）的定義域為同》*±1},排除選項B、D,

又因為當x=0時，/（0）=-1,不符合圖象/'（0）=1,所以排除選項C.

故選：A.

例13.（2024?高三?全國?階段練習）函數(shù)〃%）=.乎在［-私可上的大致圖象為（）

X4-1

A.3。八B.

一兀O兀X

?JD.斗

—3a

7O-J7

【答案】B

【解析】"（-上曰=吧=（），；

/（x）在［-同上為偶函數(shù).

又〃°)=皆^=0，7(x)2°，，只有選項B的圖象符合.

故選:B.

4x

例14.(2024?高三?全國?開學考試)已知函數(shù)/■(無)=sinx,g(x)=--l，若函數(shù)〃。）在［兀,兀］上的大致圖

X+

象如圖所示，則〃(X)的解析式可能是()

斗

.2

/^20!'■

A.h(x)=f(x)-g(x)B.〃(x)=/(x)+g(x)

C.A(x)=/(x)g(x)D./?(x)=4^

g(x)

【答案】C

4%

【解析】易知/(x)=sinx為奇函數(shù)，由g(—切=(_步+1=一二^=西")，則g(x)為奇函數(shù)，

因為/(x)是奇函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，由圖象可知，所求函數(shù)是偶函數(shù)，而/'(x)土g(x)是奇函數(shù)，A,B不符

合題意；

因為當x=0時，＞=弋無意義，所以D不符合題意.

g(x)

故選：C.

例15.（2024?全國?模擬預測）函數(shù)/（%）=駕凹圖象大致是()

e-1

%

A.—

O%B-

y/k

斗

C/\

Oxv、

【答案】c

【解析】定義域為{x|xw0},〃_x)=e：22j;)=-exsin2x”、

l-e-=/W，

故該函數(shù)為偶函數(shù)，故可排除B、D,

當》=兀時，有/(%)=詈字=0,故可排除A.

故選：C.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.(2024?四川?模擬預測)函數(shù)=-4)(丁

-3x）的圖象大致是（）

AB

B111

Jyjk/L

r1

【答案】A

【解析】因為-+](丁一3x),定義域為R,

又〃T)=]/止j卜x、氏[:女)

；-七J(x3-3x)=〃x),可知f(x)為偶函數(shù)，排除CD；

當x〉0時,

當0<x<時,x3-3x=x(x2-3)<0,貝U/(x)<0,

當時，X3-3X>0,貝IJ/(X)〉O,B不符題意，

故選：A.

2.(2024?陜西?模擬預測)已知函數(shù)/(%)的部分圖象如圖所示，則/(x)的解析式可能為()

D.=

【答案】D

【解析】根據(jù)函數(shù)“X)的圖象，知/⑴土1,而對A選項/6=e-eT>2排除A；

79

對B選項〃x)=l-1有，因為3+1>1，則1幣40,2),

7

則”x)=l-最下e(Tl)，但圖象中函數(shù)值可以大于1，排除B；

根據(jù)C選項的解析式，42)=2血22.8,而根據(jù)函數(shù)〃x)的圖象，知〃2)句，排除C.

故選：D.

5-5r4

3.(2024?高三?全國?階段練習)函數(shù)>=一^部分圖象大致為()

尤4+1

【解析】函數(shù)”烹、工一5的定義域為R,為偶函數(shù)'故0不正確,

函數(shù)在［o,+8）上單調(diào)遞減，當尤=0時，了最大值為5,故D不正確;

因為尸瑞所以廣工一5>-5’故A不正確,

故選：B.

【答案】B

3（一%）—3x

【解析】r（r）=（=門=一/（、,所以/（x）為奇函數(shù)，此時可排除AC,

3x

由于當x>0時，/（X）-4±7>0,故此時可排除D,

X+1

故選：B

5.（2024?高三?山西太原?期末）如圖是函數(shù)/（x）的部分圖象，則“X）的解析式為（

cos6%

B./?=

2X-2~X

〃/、cos6x

D./?=——

，一2

【答案】c

【解析】由圖象可知函數(shù)/（X）為偶函數(shù)，且尤-0+J（x）＜0,

四個選項函數(shù)的定義域均為｛中豐0）,

r,、sin(-6x)-sin6x.,,..

=f

對于A項，/H)=2-；_2/=(r_2-x\)-即/(x)為偶函數(shù),

而Xf0+,2工-27>0,sin6無>0=>?>0,故A錯誤;

cos(-6x)cos6x

對于B、D項,〃一無）==一人@,

2~X-2X-(2，-2一工)

cos(-6x)cos6x,、

〃一力=顯然兩項均為奇函數(shù)，故B、D錯誤;

2X-2~x

對于C項，八_a=怨上"=粵"=/卜），即/'（X）為偶函數(shù),

2%一2%2~2%X—22-%X

而》-0+,2-r2,〈0,5畝6?0=/6)<0,故C正確.

故選：C

2

x-]

6.（2024?高三?廣東梅州?階段練習）函數(shù)/（x）=一1廠的圖象大致為（）

X-1

【解析】/(x)的定義域為(-叫0)3。,+⑹，且/(-x)="=/(x),故/'(x)為偶函數(shù);

又當x>0時，/(x)=x-1,其為(0,+8)上的單調(diào)增函數(shù)；

綜上所述，只有D選項滿足.

故選：D.

2_1

7.(2024?安徽宿州?三模)函數(shù)〃x)=Fr的圖象大致為()

【答案】A

【解析】由〃0)=-1,排除BD,

,（x）=_v_yT

e

由/'(x)>0,可得*一2工-1<0,解得1-也<x<l+&，

由/'(x)<0,可得/-2x-l>0,解得x<l-C或x>l+也,

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-00,1-亞),(l+V2,+co),

單調(diào)遞增區(qū)間為(1-血,1+6)，故排除C.

故選：A

8.(2024?高三?天津?期末)已知函數(shù)/(x)在［-4,4］上的大致圖象如圖所示，則〃x)的解析式可能為(

、7rx

B.j[x)=x-cos-

“\.TLX

D.j[x)=x-sm—

【答案】c

【解析】由圖可知函數(shù)/(X)為奇函數(shù),

若/(x)=葉COS羨，貝Ij有/(-X)=kxtcos^-y^

=/(x)=|x|-cosy,

若〃x)=x-sin羨，則有〃-x)=-x-sin/(x)=x-sin^,

所以〃x)=|斗cos合與"x)=x.si吟都不是奇函數(shù)，故排除AD；

而由/。)>0,可排除B,

.TIX

xsin——,0<x<4

若/(x)=k].sin?=2,經(jīng)檢驗C選項符合題意.

.71X八

-xsin——,-4<x<0

2

故選：C.

9.(2024?全國?模擬預測)函數(shù)/(x)=3cos(m)+ln”l|+x2-2r的圖象大致為(

【答案】A

【解析】由題可得，解得XH1,故/(x)的定義域為{x|xwl},排除D;

又/(-l)=3cos(-兀)+ln2+l+2=ln2>0,排除B,C.

故選：A.

10.（2024?高三天津?期末）函數(shù)/（x）的部分圖象如下圖所示，則/⑺的解析式可能為（）

B./(x)=eA+e-x-sinx--

D./(x)=eJ++sinx--

【答案】A

【解析】由圖象可得/（。）=0,據(jù)此排除BCD.

故選：A.

已知函數(shù)/（X）的部分圖象如圖所示，則/（X）的解析式為（

B.f(x)=

X4+COSX

2cosx

D.〃x)=

X4+cosx

【答案】A

【解析】由圖可知函數(shù)圖象關(guān)于夕軸對稱，所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故應(yīng)先判斷各選項中函數(shù)/（X）的奇偶

性.

eJ+e-J

對于A,〃-x)==W勾，所以/（切=半￡:是偶函數(shù)，故A選項的函數(shù)

4

x+cosXX+COSX

〃X）=:為其定義域內(nèi)的偶函數(shù).

X+COSX

同理，對B、C選項的/（x）均為其定義域內(nèi)的奇函數(shù)，D選項的/（x）為其定義域內(nèi)的偶函數(shù)，故B錯，C

錯

兀

由圖可知函數(shù)在［0,2］上/（x）＞0,考慮到［0,2］,所以/>0,

e2+e2

->0

代入A選項，即~^4

兀71

+COS—

2

2cos—

代入D選項，即/

71

+COS—

2

故選：A

2

12.（2024?高三?北京海淀?階段練習）)

【解析】因為「（X）的定義域為R,且〃_x）=&J=A=/（x），

可知;■（可為偶函數(shù)，故A錯誤;

因為/（2）=/（4）=1,可得/'（x）在（0,+⑹內(nèi)不單調(diào)，故BC錯誤;

故選：D.

2X-1?sin卜+［在區(qū)間-71封71］上的圖象大致為（

13.（2024?高一?云南昆明?期末）函數(shù)/（%）=

2X+122

c.D.

【答案】D

【解析】化簡函數(shù)/（%）解析式可得定義域為R,

1Z—12—12X

,/J（X）+J（-X）=-----------?COSXH一---?COS（-X）=----------?COSX住---?COS；

X-xX

2+12+l2+1J_+i

F

2X-11-2X

?COSX+?cosx=0，

2X+11+2X

??JO）為奇函數(shù),AC錯誤;

又因為當時，/（x）=-^^-cosx>0,B錯誤，D正確.

故選：D.

3e；cosx的部分圖像大致為（）

14.（2024?陜西寶雞?一模）函數(shù)/（x）=

e2T

【解析】由于函數(shù)的定義域為門,片0},故可排除ABD,

故選：C

15.（2024?高三?四川?階段練習）函數(shù)〃幻=的圖象大致為（）

2x2+1

【答案】A

【解析】由題意知“X)的定義域為(-叫+8),

2

In(~x+J(-x)+11In(x+42+]]

又_，所以/(x)為奇函數(shù)，故排除C項，D項.

2(-x)2+12x2+1

又當x>0時，ln(x+77+T)>0,2X2+1>0,所以/'(x)>0.故排除B項.

故選：A.

16.(2024?高三?湖北?階段練習)已知函數(shù)/'(X)的定義域為(-8,0)30,+e),滿足/(附=〃江當x<0時

【解析】因為函數(shù)/(x)的定義域為(-”,0)U(0,+⑹，滿足/(W)=〃x),

所以尤)是偶函數(shù)，所以“X)的圖象關(guān)于丁軸對稱，故排除A；

1-x<0,lnx2<0,所以〃x)=(-x)nx2>o,故排除B,C.

當一1<%<0時,

故選:D

17.(2024?高三?全國?專題練習)函數(shù)了=xsin尤在[-兀，兀]上的圖象是()

-710兀X/

【答案】A

【解析】令/(x)=xsinx,則/(-x)=-xsin(-x)=xsinx=/1),所以/1(x)為偶函數(shù)，排除D選項,

因為/1］=9吟=^>0,排除B選項，因為《)=7tsin兀=0,排除C選項.

故選：A.

18.(2024?全國?模擬預測)函數(shù)〃x)=ln洞7T+cosx在［r,兀］上的大致圖象為()

【解析】函數(shù)/(x)=ln5W+l+cosx,xe[-7t,7t],

/(-x)=ln^|-x|+l+cos(-x)=InjW+1+cosx=/(x),

所以函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，A選項錯誤；

/(0)=Ini+cosO=1,/(it)=InVn+1+cosn=Injit+l-1=InJjt+l-Ine<0,

BD選項錯誤；

故選：C

3T—3工

19.(2024?四川樂山一模)函數(shù)/(x)=的圖象大致為()

【解析】由函數(shù)/卜)=三3,可得函數(shù)/(')的定義域為(-*0)U(0,+8),

XX

3-3-3r—3》

且〃-x)==一小)，

x2

所以函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除A項,

Q

又由/(1)=一§<0,排除B項,

當x-小時，/(x)f-oo,排除C項，所以選項D符合題意.

故選：D.

20.(2024?高一?湖北?階段練習)函數(shù)/@)=-四忖的部分圖象大致為

)

【解析】因為函數(shù)〃x)=-4羋的定義域為(-e,0)U(0,+⑹，關(guān)于原點對稱,

21n21n

且/(_x)=_H=N=_1(x)，

一XX

所以函數(shù)/'（x）=為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除選項BD,

當x>l時，/（%）=-策<0,所以選項A符合題意，選項C不符合題意.

故選：A

21.（2024?廣西玉林?模擬預測）函數(shù)/5）=整包的圖象大致是（）

e"+e”

■▼如Jc,\COS（7LX）...、一_n、rL'\COS（-7LX）COS（7LX）/、

【解析】函數(shù)/（x）=，的定義域為R,且〃-x）=―_'-=―

所以函數(shù)/仁）=竽空為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，所以選項A、B不滿足；

e+e

當x=0時，/（0）=半1=（>0,顯然選項D不滿足，結(jié)合選項只有C滿足題意.

e+e2

故選：C

22.（2024?高三?天津武清?階段練習）已知函數(shù)/（x）的部分圖象如圖所示，則"X）可能是（）

【答案】A

【解析】由圖可知，該函數(shù)定義域包括0,對B、C選項中，6°—-=0,故排除B、C；

當x>0時，易得4尤>0、e~1x|>0，故4狀小>0，與圖象矛盾，故排除D.

故選：A.

二、多選題

23.（2024?高三?遼寧鐵嶺?期末）已知/（X）是/（x）的導函數(shù)，