第4章圓

第1節(jié)切線的判定

前言：“切線的判定”是圓綜合題常見問題之一，從性質(zhì)出發(fā)，探討出判定的方法，對大量中考題解法的提煉總

結(jié)，可發(fā)現(xiàn)常見的證明切線的構(gòu)圖及方法.

知識導航

1性質(zhì)與判定

（1）性質(zhì)：切線垂直于過切點的半徑.（連半徑，得垂直）

引例1：如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,則△ABC的內(nèi)切圓半徑r=.

解析：r=,=/=1,；.內(nèi)切圓半徑r=l.

C3十4十5

（2）切線的判定：

判定1（定義法）：和圓只有一個交點的直線是圓的切線；判定2（距離法）：到圓心距離等于半徑的直線是圓的

切線；（常用于已知數(shù)據(jù)的計算，比如動圓相切問題.）

判定3（判定定理）：經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

有交點：連半徑，證垂直

即.無交點：作垂直，證半徑多用于幾何證明.

多數(shù)情況為有交點，重點考慮如何證垂直：

①證明和已知垂線平行；②證明夾角為直角.

引例2:如圖在△ABC中,0為AC上一點，以點0為圓心，0C為半徑作圓，與BC相切于點C,過點A作AD

J_BO交BO的延長線于點D,且NAOD=/BAD.

(1)求證：AB為。。的切線；

(2)若BC=6,tanZABC=1求AD的長.

解析：(1)ZAOD+ZDAO=90°,ZABD+ZBAD=90°,HZA0D=ZBAD,

AZDA0=ZABD,又/DA0=N0BC,

ZABD=ZOBC,

過點O作OHLAB交AB于H點，貝!]OH=OC,

/.ABOH^ABOC,

.*.OH=OC,

AAB是。。的切線.

(2)BC=6,tanzXBC=AC=8,4B=10BH=BC=6,AH=4,OH=3,OA=5,

OD=yOX=5=小,AD=20D=2乘.

；.AD的長為2V5

常見相切圖

(1)角分+等腰得平行：

點C在以AB為直徑的。0上，AHXCH,且AC平分NHAB.

H/

連接OC,則OC=OA,...NOCAnNOAC,又NOAC=NHAC,；./0?人=/11人。；.0（：〃人11,；.OC_LCH,；.CH

是0O的切線.

⑵證明和已知直角相等

證明△PCO^APAO,可得/PCO=/PAO=90。.

⑶證明夾角為直角.（弦切角定理）

如圖，若/BAC=ND,則AB是0O切線.

如圖，連接AO并延長交＜30于點PjJ!!/P=ND=NBAC,：/P+/PAC=90o,，NBAC+NPAC=90。，即AB_LAP,

?'.AB是。0的切線.

真題演練

1.如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點，/ABC的平分線交。。于點D,DELBC于點E.

(1)試判斷DE與。。的位置關系，并說明理由；

⑵過點D作DFJ_AB于點F,若BE=3V3,DF=3,求圖中陰影部分的面積.

2.如圖,AB為0O的直徑，點C在。O上,ADLCD于點D,且AC平分/DAB,

求證：(1)直線DC是。O的切線；

⑵解=2AD-A0.

3.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AE平分NBAC交BC于點E,0是AB上一點，經(jīng)過A、E兩點的。0交AB

于點D,連接DE,作NDEA的平分線EF交。。于點F,連接AF.

(1)求證：BC是。0的切線.

⑵若sinzEFX=1,AF=5Vx求線段AC的長.

4.如圖.在△ABC中，以BC為直徑的圓C交AC于點E,過點E作AB的垂線交AB于點F,交CB的延

長線于點G,且/ABG=2/C.

(1)求證：EG是。0的切線;

⑵若tanC==8,求OO的半徑.

5.如圖，AB、AC分別是。O的直徑和弦QDLAC于點D.過點A作。。的切線與OD的延長線交于點P,PC、

AB的延長線交于點F.

(1)求證：PC是。O的切線；

(2)若/ABC=60。，AB=10,求線段CF的長.

6.如圖，OA、OD是OO半徑，過A作。。的切線，交NAOD的平分線于點C,連接CD,延長AO交。。于

點E,交CD的延長線于點B.

(1)求證：直線CD是0O的切線；

(2)如果D點是BC的中點，。。的半徑為3cm,求弧DE的長度.(結(jié)果保留兀)

7.如圖，直線AD經(jīng)過。。上的點A,AABC為。。的內(nèi)接三角形，并且/CAD=NB.

(1)判斷直線AD與。。的位置關系，并說明理由；

⑵若/CAD=30。，OO的半徑為1,求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留兀)

8如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,CD是斜邊B上的中線，以CD為直徑的。0分別交AC、BC于點M、N,

過點N作NEXAB,垂足為E.

(1)若。O的半徑為|,AC=6,求BN的長;

(2)求證：NE與＜30相切.

9.如圖，在RtAABC中，/C=90。，點0、D分別為AB、BC的中點，連接0D，作。0與AC相切于點E,在

AC邊上取一點F,使DF=DO,連接DF.

(1)判斷直線DF與。。的位置關系,并說明理由；

(2)當.乙4=30°,CF=魚時，求。O的半徑.

10.如圖,。。是△ABC的外接圓,AC是直徑弦BD=BA,EB_LDC,交DC的延長線于點E.

(1)求證：BE是。O的切線;

(2)當sinNBCE=-,AB=3時，求AD的長.

4

B

第1節(jié)切線的判定

解析：(1)相切.

連接OD,；BD平分NABE,NABD=NEBD,

OB=OD,；.ZOBD=ZODB,

，/EBD=/ODB,；.OD〃BE,

VDEXBE,.\ODXDE,

ADE與圓O相切.

(2)易證△BEDgABFD,；.BF=BE=3V3,又DF=3,；./ABD=30。，連接OD,貝！j/AOD=60。，易證(OD=2

V3,

???S=:兀?(2V3)2-|XV3X3=27T-^,

故陰影部分面積為2兀-誓.

2.解析：(1)連接OC,：OA=OC,.../OACn/OCA,又AC平分/DAB,.?.NDAC=/OAC,

ZOCA=ZDAC,/.AD/7OC,

VADXCD,AOCXCD,

/.DC是圓。的切線.

(2)連接BC,過點C作CH±AN交AB于H點，則AC2=AHAB,,.,AH=AD,AB=2AO,AC2=2AD-AO,

3.解析：(1)連接EO,貝！］OA=OE,.?.NOAE=/OEA,又AE平分/BAC,.*.NOAE=/CAE,.,.NOEA=/CAE,

.?.OE/7AC,VAC±BC,AOEXBC,

；.BC是圓。的切線.

(2)EF平分NAED,則點F是半圓AD中點連接0旦則4AOF是等腰直角三角形，.0A=yXF=三x5

V2=5,AD=10,sinzEDX=sin/EFA=，.?.AE=8,DE=6,：AE平分/BAC,；.cos/CAE=cos/EAD=(即

令=Q.4C="E.X8W故AC的長為方

解析：(1)連接0E,則OE=OC,.,./OEC=/OCE,；.NEOG=2NC,XZABG=2ZC,/.ZEOG=ZABG,.\OE

〃AB,：EG_LAB,，EG_LOE,

.,.EG是圓O的切線.

(2)連接8日則8￡，人(：,：￡?〃人8,.必人8(2是等腰三角形，.?田是人€：中點，：4。=8,；”5=楙4:=4,：

tanC=BF=|CF=2,.-.BC=2低；.r=OB=低故圓O的半徑為V5

解析：(1)連接OC,^.^OP，AC,.^.OP平分AC,.^.OP是AC的垂直平分線，.^.PA=PC.

易證△POAgAPOC,.../PCONPAOgO。，，0(21.「(2,；下€：是圓O的切線.

(2)若/ABC=6(T^!UOBC是等邊三角形ZBOC=60°,OC=OB=5,在RtAOCF中，CF=V3OC=58,故CF

的長為5V3

6.解析：⑴由題意可證△COA名△COD,，/ODC=/OAC=90。，即OD_LCD,；.CD是圓。的切線.

⑵若點D是BC的中點，貝必BOC是等腰三角形,.?./OBC=/OCB,又/OCB=NOCA,

???設NOBC=NOCB=NOCA=a,

.,.3a=90°,a=30°,ZBOD=60°,

???弧DE=--2TT-3=ncm,

6

故弧DE的長度是兀cm.

解析：⑴相切.

連接AO并延長交圓。于點P,連接CP,則/P=/B,又：/B=/CAD,；./P=/CAD,

,/ZP+ZPAC=90°,ZCAD+ZPAC=90°,

PAXAD,AAD是圓O的切線.

⑵連接oc,則/AOC=2NAPC=2NCAD=60。,SAA0C=g牛?出=)%/=fxMS=9=-當故

oo44o4

陰影部分的面積為

64

8.解析:(1)Vr=*；.CD=5,；.AB=10,；.BC=8,連接DN,則DN_LBC,；.DN〃AC,...點N是BC中點，BN

11

=-BC=-X8=4.

22

故BN的長為4.

(2)連接NO,

：N、O分別是BC、CD中點，

VNEXBD,ANEINO,

.*.NE與圓O相切.

解析：⑴相切.

連接0E,則OE±A