2025年中考數學二輪復習：圓壓軸填空題練習題

一.填空題(共25小題)

1.在平面直角坐標系中，A(1,0),B(0,V3),過點8作直線軸，點尸是直線BC上的一個動點

以AP為邊在AP右側作使乙4尸。=90°,且AP：AQ=\-.2,連結AB、BQ,則AABQ周

2.如圖，以G(0,1)為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、8兩點，與y軸交于C,D兩點、，點E為0G

上一動點，CPLAE于F,則弦A3的長度為；當點￡在OG的運動過程中，線段

3.點/為△ABC的內心，連A/交△ABC的外接圓于點。，若A/=2C。，點E為弦AC的中點，連接E/,

IC,若/C=6,ID=5,則出的長為.

4.如圖，ZiABC內接于為OO的直徑，/為△ABC的內心，連接O/,AI,BI.若OI=

1,則AB的長為

AB

O

5.如圖，AB是半圓。的直徑，點C在半圓上，AB=5,AC=4,。是船上的一個動點，連接AD過點

C作CE_LAO于E,連接BE,則BE的最小值是

6.如圖，正方形ABCD中，AB=4,M是C。邊上一個動點，以CM為直徑的圓與相交于點Q,尸為

C。上另一個動點，連接AP,PQ,則AP+PQ的最小值是.

7.如圖，矩形ABCD中，AD=6,AB=8,AB是。。的直徑，將矩形A3CD繞點A順時針旋轉得到矩形

A'B'CD',且交。。于點E,AB'交。0于點RD'C與。。相切于點下列說法正

確的有.（只填寫序號）

@AE=4,②版=前=砧，?AF=4V3,④/DAD'=30°.

8.如圖，A2為。。的直徑，CD、C2為。。的切線，D、B為切點,連接AD、BD,0c交。。于點E,

AE交BD于G,AE的延長線交BC于點P,以下結論：?AD//OC-,②點E為△CO3的內心；③FC=

FE；?EG=FE；⑤/CFE=/AGB.其中正確的有

9.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,E為AB邊上一點，以AE為直徑的半圓。與8c相切于點。，連

結AD,BE=3,BD=3V5.尸是AB邊上的動點，當尸為等腰三角形時，AP的長

為___________________.

10.如圖，ZACB=60°,半徑為2的。。與角的兩邊相切，點尸是。。上任意一點，過點尸向角的兩邊

作垂線，垂足分別為E,F,設-PE+2PF,貝h的取值范圍是.

11.如圖，等腰△ABC中，底邊BC長為10,腰長為7,點。是BC邊上一點，過點8作AC的平行線與

過A、B、。三點的圓交于點E,連接。E,則。E的最小值是.#ZZ01

12.如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB=6,/CBA=30°,點。在線段AB上運動，點E與點O

關于AC對稱，。歹，。￡于點。，并交EC的延長線于點尺下列結論正確的.（填序號）

①CE=CF；②當時，點廠恰好落在弧BC上；③當EF與半圓相切時，AD=2；④當點。從

點A運動到點3時，線段所掃過的面積是6次.

13.在RtZ\ABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,直線/經過△ABC的內心O,過點C作CO_L/,垂

足為。，連接AD,則AD的最小值是

14.已知。O半徑為4,點A,B在上，ZBAC=9Q°,sinZB=^yp,則線段OC的最大值

為.

15.如圖，點C在以為直徑的半圓上，AB=4,NCBA=30°,點。在線段AB上運動，點E與點。

關于AC對稱，DFLDE于點D,并交EC的延長線于點E下列結論：

①/尸=30°；

②CE=CF；

③線段EF的最小值為2V3；

④當4。=1時，E尸與半圓相切；

⑤當點D從點A運動到點B時，線段EF掃過的面積是8V3.

其中正確的結論的序號為

F

c

16.如圖，半圓。的直徑DE=12cm,在RtZXABC中，ZACB=90°,ZABC=30°，BC=12cm.半圓。

以2cm/s的速度從左向右運動，當圓心。運動到點B時停止，點。、E始終在直線8c上.設運動時間

為t(s),運動開始時，半圓。在△ABC的左側，0c=8的.當/時，Rt^ABC的一

邊所在直線與半圓O所在的圓相切.

17.如圖，在平面直角坐標系中，。。與x軸正半軸，y軸負半軸分別交于點A,B,點C(-2,2)在。。

上，點。為的中點，連結CD并延長CO交。。于點E,點F在x軸的正半軸上，聯結。凡CF交

。。于點G,若弧47=弧2區則△CDP的面積為.#ZZ01

18.△ABC中，ZACB=90°,ZB=30°，AC=4,E是AC的中點，MN分別是邊AB、BC上的動點,

。也是3c邊上的一個動點，以CD為直徑作O。，連接即交。。于R連接FM,MN,則FM+MN

的最小值為_____________________

19.如圖，半徑為2的與正六邊形ABCDEF相切于點C,F,則圖中陰影部分的面積

為

E

0

7-----

20.正方形ABC。中，E是AO邊中點，連接CE作N3CE的平分線交A5于點R則以下結論：①NECD

BFV5-1

=30°,②&BCF的外接圓經過點E；③四邊形AFCD的面積是△3CP面積的曲倍；④啟=——.其

AD2

中正確的結論有.(請填寫所有正確結論的序號)

21.在平面直角坐標系xOy中，已知點P(-5,2),M(-5,3),O尸的半徑為1,直線/：y=辦，給出

下列四個結論：

①當。=1時，直線/與。尸相離；

②若直線I是OP的一條對稱軸，則a=-1;

③若直線/與O尸只有一個公共點A,則。4=2夕；

④若直線/上存在點3。尸上存在點N,使得NMBN=90°,則。的最小值為

其中所有正確的結論序號是.

22.已知矩形MNPQ的頂點M,N,P,。分別在正六邊形ABCDE尸的邊DE,FA,AB,CD±,在點M

從E移動到D的過程中，下列對矩形MNPQ的判斷：

①矩形MNPQ的面積與周長保持不變；

②矩形MNPQ的面積逐漸減少；

③矩形MNPQ的周長逐漸增大；

④矩形MNPQ的對角線長存在最小值.

一定正確的是.(填序號)

BC

23.如圖，AB是半圓。的直徑，點C在半徑。4上，過點C作CDLAB交半圓。于點D以CD,CA

為邊分別向左、下作正方形CDEF,CAGH.過點8作GH的垂線與G4的延長線交于點/,M為的

中點.記正方形CDEECAGH,四邊形BC”/的面積分別為Si，S2,S3.

S1

(1)若AC：BC=2：3,則U的值為____________________；

S2

(2)若D,O,M在同條直線上，則空之的值為

24.如圖，拋物線y=-/+2x+3與無軸交于A、2兩點(A在2的左側)，與y軸交于C點，QD過A、B、

C三點,尸是。。上一動點，連接PC、P0,則魚尸。+時20的最小值為.

25.已知：如圖，RtAABC，ZACB=90°,AC=BC=U,圓C半徑為6,P為斜邊AB上的一個動點,

PM、PN分別與圓C相切于M、N,連接交PC于點。，則A。的最小值為

參考答案與試題解析

一.填空題(共25小題)

1.在平面直角坐標系中，A(1,0),B(0,V3),過點8作直線軸，點尸是直線上的一個動點

以AP為邊在AP右側作使/APQ=90°,且AP：AQ=\-.2,連結AB、BQ,則AABQ周

長的最小值為_JV13+2.

【考點】圓周角定理；軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質；勾股定理的逆定理.

【專題】平移、旋轉與對稱；應用意識.

【答案】2舊+2.

【分析】設P百).作AML8C于M,QNLBC^N.利用新三角形的性質求出點。的坐標推出，

點。的運動軌跡是直線y=-V3x+5V3,作點A關于直線＞=-1效+5百的對稱點A',連接BA1交直

線于Q',連接AQ',此時△ABQ'的周長最小.

【解答】解：ZAPQ=90°,且APAQ=\-.2,

：.ZAQP=30°.

./4cD_P4_慮

??tan/AQjP=-pQ--2-.

設V3).作AM_L8C于M,QNLBC于■N.

VZAMP=ZAPQ=ZQNP=9Q°,

/.ZAPM+ZNPQ=90°,ZNPQ+ZPQN=9Q°,

ZAPM=ZPQN,

：.AAMP^APNQ,

.AMPMPAV3

PN-NQ-PQ-3)

.V3m-11

,,PN-NQ-技

:.PN=3,NQ=V3Qm-1),

Q(〃z+3,2V3—Win),

點Q的運動軌跡是v=-V3.r+5V3,

作點A關于直線y=—年+5百的對稱點A',連接BA'交直線于。，連接AQ',此時△ABQ'的

周長最小.

VA/(7,2V3),B(0,V3),A(1,0),

.?.A'B=J72+(V3)2=2V13,AB=Jl2+(V3)2=2,

.?.△ABQ的周長的最小值=40'+80'+AB=A'Q'+BQ'+AB=A'B+AB=2g+2,

故答案為：2VH+2.

【點評】本題考查軸對稱-最短問題，坐標與圖形的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找點。的運動

軌跡，學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

2.如圖，以G(0,1)為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C,D兩點，點E為OG

上一動點，CPLAE于R則弦AB的長度為」必_；當點E在0G的運動過程中，線段FG的長度

的最小值為—b

【考點】垂徑定理；坐標與圖形性質.

【專題】圓的有關概念及性質.

【答案】見試題解答內容

【分析】作GMLAC于M,連接AG.因為/AFC=90°,推出點尸在以AC為直徑的。加上推出當點

F在MG的延長線上時，FG的長最小，最小值=FM-GM,想辦法求出FM、GM即可解決問題；

【解答】解：作GMLAC于連接AG.

GO±ABf

：.OA=OBf

在RtZkAGO中，?.?AG=2,OG=1,

???AG=2OG,OA=V22-l2=V3,

：.ZGAO=30°,A8=2AO=2回

AZAGO=60°,

???GC=GA,

：.ZGCA=ZGAC,

???ZAGO=NGCA+NGAC,

：.ZGCA=ZGAC=30°,

-1

.".AC=2(9A=2A/3,MG=^CG=1,

,：ZAFC=90°,

...點尸在以AC為直徑的OM上，

當點P在MG的延長線上時，FG的長最小，最小值GM=B-L

故答案為2VV3—1.

【點評】本題考查垂徑定理、直角三角形30度角的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會

添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

3.點/為△ABC的內心，連A/交△ABC的外接圓于點。，若A/=2CD,點E為弦AC的中點，連接￡/,

IC,若7c=6,ID=5,則IE的長為4.

A

I\\E\

I

BC

D

【考點】三角形的內切圓與內心；三角形的外接圓與外心.

【專題】圓的有關概念及性質.

【答案】見試題解答內容

【分析】延長/。到使得0M=/0,連接CM.想辦法求出CM,證明正是△ACM的中位線即可解

決問題；

???/是△A3C的內心，

：.ZIAC=ZIABfNICA=/ICB,

VZDIC=ZIAC+ZICA,NDCI=/BCD+/ICB,NBCD=/IAB,

：.ZDIC=ZDCI,

:.DI=DC=DM,

：.ZICM=90°,

：.CM=V/M2-IC2=8,

*：AI=2CD=10,

：.AI=IM,9：AE^EC,

1

：.IE=^CM=4,

故答案為4.

【點評】本題考查三角形的內心、三角形的外接圓、三角形的中位線定理、直角三角形的判定、勾股定

理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造三角形中位線解決問題.

4.如圖，△ABC內接于OO,AB為。。的直徑，/為△ABC的內心，連接0/,AI,BI.若01=

1,則A2的長為2小.

【考點】三角形的內切圓與內心；三角形中位線定理；垂徑定理；圓周角定理；三角形的外接圓與外心.

【專題】計算題；幾何綜合題；數形結合；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】2遙.

【分析】延長2/交O。于M點，連接AM,通過中位線定理可求出AM的長，再通過角的關系可求得

ZMM=45°,進而求證直角三角形跖4/為等腰直角三角形，求得的長，MB的長，利用勾股定理

求出的長.

【解答】解：延長B/交于M點，連接K4,

在中斜邊AB經過圓心0,

：.ZAMB=9Q°,

X'.'B/XOZ,AO^OB,

：.OI為LAMB的中位線，

：.AM=2OI=2,

在RtZ\ABC中，/為三個角平分線的交點

：.ZIAB+ZIBA=45°,

即NM7A=45°（三角形外角與內角的關系）,

.?.n△MA/為等腰直角三角形，

:.MA=MI=IB=2,

根據勾股定理可得，

AB2=M^+MB2=22+42=20,

即AB=2V5,

故答案為：2遍.

【點評】本題考查了三角形中位線，三角形內切圓圓心，直角三角形以及勾股定理，解題的關鍵是掌握

三角形中位線定理，三角形內切圓圓心，直角三角形性質以及勾股定理.

5.如圖，A2是半圓。的直徑，點C在半圓上，AB=5,AC=4,D是元上的一個動點，連接AD過點

C作于E,連接BE,則BE的最小值是_反一2_.

【考點】圓周角定理；三角形三邊關系；勾股定理.

【專題】與圓有關的計算；應用意識.

【答案】見試題解答內容

【分析】如圖，連接BO'、BC.在點O移動的過程中，點E在以AC為直徑的圓上運動，當O'、E、

8共線時，BE的值最小，最小值為B-0'E,利用勾股定理求出3。'即可解決問題.

【解答】解：如圖，取AC的中點O',連接80'、BC.

：.ZAEC=9Q°,

.??在點。移動的過程中，點E在以AC為直徑的圓上運動，

'：AB是直徑，

AZACB=90°,

在RtZXABC中，VAC=4,AB=5,

：.BC=yjAB2-AC2=V52-42=3,

在RtZXBCO，中，BO'=VSC2+CO'2=V22+32=V13,

"：O'E+BE^O'B,

...當O'、E、B共線時，BE的值最小，最小值為O'B-O'E=V13-2,

故答案為：V13-2.

【點評】本題考查圓周角定理、勾股定理、點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是確定等E的運動

軌跡是以AC為直徑的圓上運動，屬于中考填空題中壓軸題.

6.如圖，正方形ABCO中，AB=4,M是CD邊上一個動點，以CM為直徑的圓與相交于點Q,P為

CD上另一個動點，連接AP,PQ,則AP+PQ的最小值是，g—2_.

【考點】垂徑定理；軸對稱-最短路線問題；正方形的性質.

【專題】幾何動點問題；動點型；數形結合；幾何直觀；推理能力.

【答案】2VH—2.

【分析】AP+PQ中，A點是定點，P,。是動點，尸在線段。C上，想到將軍飲馬，。在以2C為直徑

的圓上，最終轉化為點圓最值問題.

【解答】解：連接C。，以C。為一條邊在右側作正方形CDER則NMQC=90°,

/.ZBQC=90°,

...點。在以BC為直徑的圓上運動，

'：AD=DE,ZADP=ZEDP,DP=DP,

.?.△ADP妾4EDP(SAS),

：.AP=EP,

：.AP+PQ=EP+PQ^EQ^EO-ON=VOF2+EF2-2=A/62+42-2=2V13-2,

：.AP+PQ的最小值為2VH-2,

故答案為：2"\/1巨-2.

【點評】本題考查了將軍飲馬、隱圓、點圓最值問題，關鍵是找出定點和動點，以及動點在什么圖形上

運動.

7.如圖，矩形A3CZ）中，AD=6,AB=8,A3是的直徑，將矩形ABC。繞點A順時針旋轉得到矩形

A'B'CD',且交OO于點E,AB'交。。于點FD'C與相切于點下列說法正

確的有①②③④.（只填寫序號）

@AE=4,②藤=麗=血,?AF=4V3,?ZDAD'=30°.

【考點】圓的綜合題.

【專題】幾何綜合題；壓軸題；推理填空題；矩形菱形正方形；與圓有關的位置關系；運算能力；推

理能力.

【答案】①②③④.

【分析】連接OE,OM,過點。作ONLAD'于點N,可得四邊形OM。'N是矩形，證明OM=NZ）'

=4,根據OA=OE,ONLAD',可得AN=EN=2,進而可以判斷①正確；證明△OAE是等邊三角形，

可得/EOM=60°,ZBOM=60°,進而可以判斷②正確；連接8凡根據是OO的直徑，可得/

AFB=90°,利用含30度角的直角三角形即可判斷③正確；根據/。43=90°,ZD'49=60°,即

可判斷④正確.

【解答】解：如圖，連接。石，OM,過點。作ON_LA。'于點N,

D____________。

??,》C與。。相切于點

：.OMLCD',

???四邊形OM。'N是矩形，

：.OM=ND,

,.?A8=8,A8是。。的直徑，

：.OM=ND=4,

在矩形A3CD中，由旋轉可知：AD'=AD=6,

：.AN^ADr-ND'=6-4=2,

9：OA=OE,ONLAD1,

:.AN=EN=2,

??.AE=4,故①正確；

???AE=AO=O5=4,

???△O4E是等邊三角形，

AZAOE=ZOEA=60°,

：.ZOEDr=120°,

VZD'=ZOMD'=90°,

AZEOM=60°,

AZBOM=60°,

：.AE=EM=MB,故②正確；

如圖，連接BE

???A8是。。的直徑，

AZAFB=90°,

VZ￡AO=60°,ZD'AB'=90°,

：.ZBAF=30°,

1

：.BF=次=4,

：.AF=V3BF=4V3,故③正確；

VZDAB=90°,ND'AO=60°,

ZDAD'=30°,故④正確.

綜上所述：正確的有①②③④.

故答案為：①②③④.

【點評】本題屬于幾何綜合題，是中考選擇題的壓軸題，考查了切線的性質，圓周角定理，垂徑定理,

矩形的判定與性質，旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，含30度角的直角三角形，解決本題的關

鍵是得到△OAE是等邊三角形.

8.如圖，A2為OO的直徑，CD、C2為的切線，D、B為切點、,連接AD、BD,0c交于點E,

AE交BD于G,AE的延長線交于點尸，以下結論：?AD//OC；②點E為△CO8的內心；③FC=

FE；?EG=FE-,⑤NCFE=/AGB.其中正確的有①②④⑤.

A

【考點】三角形的內切圓與內心；垂徑定理；圓周角定理；切線的性質.

【專題】圓的有關概念及性質；推理能力.

【答案】①②④⑤.

【分析】如圖所示，連接O。，DE,EB,先證明Rt/XCDO也RtZ\CBO(HL),得到/COD=/COB,

再由圓周角定理得到NCOB=4DAB=g/DOB即可判斷①；根據切線的性質和三角形內角和定理得到

1

ZDOC+ZDCO^90°=ZODE+ZCDE,進而推出NBDE=則DE是/CZJ3的角平分線，同理

可證得BE是/C8D的平分線，即可判斷②；若FC=FE,則應有N0C2=NCER應NCEF=NAEO

=ZEAB=ZOCB,進而推出NCOB=60°而NCOS的度數不一定是60度，即可判斷③；由E為ACBD

的內心，推出BE是NF8G的角平分線，證明△FEB之△GEB(ASA),據此可判斷④⑤.

【解答】解：如圖，連接O。，DE,EB,

c

VC￡>>BC是。。的切線，

：.ZODC=ZOBC=90°,OD=OB,

ARtACDO^RtACBO(HL),

:?/COD=/COB,

1

SB=乙DAB乙DOB,

J.AD//OC,故①正確；

???C。是OO的切線，

：.ZODC=90°,

ZDOC+ZDCO^90°=/ODE+NCDE,

°：OD=OE,

???2NOD￡+NDOC=180°

1

LCDE="DOC,

1

■:乙BDE=《ABOE,

：.ZCDE=ZBDE,即DE是/CDB的角平分線，同理可證得BE是NCB。的平分線,

為△CBD的內心，故②正確；

若FC=FE,則應有/OCB=/CER應有NCEF=NAEO=/EAB=/0CB,

：.ZCOB=ZOAE+ZOEA=2ZOCB,

.\ZCOB=60°,

而/COB的度數不一定是60度，故③不正確；

?:E為ACBD的內心，

：.BE是/FBG的角平分線，

為O。的直徑，

AZA￡B=90°,BPBELFG,

:.LFEB咨LGEB(ASA),

：.EG=FE,BG=BF,故④正確；

,:BG=BF,

：.ZBGF=ZBFG,

：.ZCFE=ZAGB,故⑤正確；

因此正確的結論有：①②④⑤.

故答案為：①②④⑤.

【點評】本題主要考查了切線的性質，全等三角形的判定和性質，圓周角定理，內心的概念，三角形內

角和定理，等腰三角形的性質等，解決本題的關鍵是掌握切線的性質.

9.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,E為AB邊上一點，以AE為直徑的半圓。與BC相切于點。，連

結AD,BE=3,BD=3亞.P是AB邊上的動點，當△AOP為等腰三角形時，AP的長為6或2同.

【考點】圓的綜合題.

【專題】幾何綜合題；圓的有關概念及性質；推理能力.

【答案】6或2回.

【分析】連接。。，DE,根據切線的性質和勾股定理求出。￡>=6,然后分三種情況討論：①當

時，此時尸與。重合，②如圖2,當AP'=AD時，③如圖3,當DP''=AD時，分別進行求解即可.

【解答】解：如圖1,連接OO,DE,

?.?半圓。與BC相切于點

：.OD±BC,

在Rt/XOB。中，OB=OE+BE=OD+3,BD=34.

：.OB2=BD1+OD2,

：.(OD+3)2=(3V5)2+OD2,

解得0D=6,

.\AO—EO—OD—6,

①當AP=P。時，此時P與。重合，

：.AP=AO=6；

②如圖2,當AP=AD時，

在RtAABC中,

VZC=90°,

：.AC±BC,

：.OD//AC,

MBODs^BAC,

.ODBDBO

"ACBC~BA

.63753+6

"AC—3^5+CD—3+6+6’

：.AC=1Q,CD=2小,

：.AD=y/AC2+CD2=V100+20=2府，

：.AP'=AO=2同；

③如圖3,當DP—=A。時，

VAD=2V30.

:.DP''=AD=2V30,

\'OD^OA,

：.ZODA=ZBAD,

：.OD//AC,

：.ZODA=ZCAD,

：.ZBAD=ZCAD,

.?.AO平分/BAC,

過點D作DH±AE于點H,

：.AH=P"H,DH=DC=2后

?：AD^AD,

：.RtAADH^RtAADC(HL),

：.AH=AC=10,

：.AH^AC=P"H=1Q,

：.AP"=2AH=20(尸為AB邊上一點，不符合題意，舍去),

綜上所述：當△ADP為等腰三角形時，AP的長為6或2同.

故答案為：6或2回.

圖1

【點評】此題屬于圓的綜合題，考查了切線的性質，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質，

全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，綜合性強，解決本題的關鍵是利用分類討論思想.

10.如圖，ZACB=60°,半徑為2的。。與角的兩邊相切，點尸是。。上任意一點，過點P向角的兩邊

作垂線，垂足分別為E,F,設胃PE+2PF,則/的取值范圍是6-2V3<f^6+2V3

A

【考點】切線的性質.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【答案】6-2V3<f^6+2V3.

【分析】設半徑為2的。0與角的兩邊相切于M,N,連接OM,ON,延長NO交CB于。，求得/CND

=ZOMD=9Q°,根據直角三角形的性質得到NCr>N=30°,求得OD,得到CN=圣加，如圖1,延

長￡尸交3c于。，推出△ECQ與△PFQ是直角三角形，根據直角三角形的性質得到CE=E。，PQ=

2PF,求得f=PE+2PF=PE+PQ=EQ,當EQ與。。相切且點P在圓心的右側時，f有最大值，連接

OP,則四邊形ENO尸是正方形，根據正方形的性質得到硒=。尸=2,求得f；如圖2,當EQ與。。相

切且點尸在圓心的，左側時，f有最小值，同理可得f,于是得到結論.

【解答】解：設半徑為2的。。與角的兩邊相切于V,N,如圖1,連接OM,ON,延長NO交CB于

D,

:.NCND=/OMD=90°,

VZACB=60°,

...△CND是直角三角形，

：.ZCDN=3Q°,

'：0N=0M=2,

：.OD=4,

：.DN=OD+ON=4+2=6,

F5

：.CN=YDN=2?

如圖b延長石尸交3c于Q,

???EQ_LAC,PFLBC,

：.ZCEQ=ZPFQ=90°,

VZACB=60°,

???NEQC=30°,

...△ECQ與△PPQ是直角三角形，

：.s/3CE=EQ,PQ=2PF,

t=PE+2PF=PE+PQ=EQ,

當E。與。O相切且點尸在圓心的右側時，r有最大值，

連接。尸，

則四邊形ENOP是正方形，

:.EN=OP=2,CN=CM=2后

：.t=PE+2PF=PE+PQ=EQ=V3C￡=V3(CN+EN)=V3(2A/3+2)=6+2g；

如圖2,當與O。相切且點尸在圓心的左側時，/有最小值，

同理可得t=PE+2PF=PE+PQ=EQ=V3CE=V3(CN-EN)=V3(2V3-2)=6-2V3；

故t的取值范圍是6-2V3<^6+2A/3,

故答案為：6-2V3<Z^6+2V3.

圖1

【點評】本題是圓的綜合題，考查了切線的性質，等腰直角三角形的判定和性質，正方形的判定和性質，

正確地作出輔助線是解題的關鍵.

11.如圖，等腰AABC中，底邊BC長為10,腰長為7,點。是BC邊上一點，過點8作AC的平行線與

過A、B、。三點的圓交于點E,連接DE,則DE的最小值是2遍.#ZZ01

【考點】三角形的外接圓與外心；等腰三角形的性質.

【專題】與圓有關的計算；應用意識.

【答案】2V6.

【分析】如圖，連接AE,AD,OE,OD,作于J,OKLDE于K.首先證明/EOZ)=2/C=

定值，推出。。的半徑最小時，DE的值最小，推出當是直徑時，DE的值最小.

【解答】解：如圖，連接AE,AD,OE,OD,作AJ，BC于J,OK_L于

\'BE//AC,

：.Z￡BC+ZC=180°,

VZ￡BC+ZEAZ)=180°,

：.ZEAD=ZC,

'：ZEOD=2ZEAD,

.?.NEOD=2NC=定值，

O。的半徑最小時，DE的值最小,

當AB是。。的直徑時，DE的值最小,

'：AB=AC=1,AJLBC,

：.BJ=CJ=5,

：.AJ=J4c2_Cf=V72-52=2①，

'：OK.LDE,

:?EK=DK,

???A8=7,

???OE=O￡>=3.5,

*.*ZEOK=ZDOK=ZC,

sinZEOK—sinZC—44=

.EK2V6

??=,

3.57

：.EK=V6,

：.DE=246,

：.DE的最小值為2旄，

故答案為：2爬.

【點評】本題考查三角形的外接圓，解直角三角形，圓周角定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知

識解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

12.如圖，點C在以為直徑的半圓上，AB=6,ZCBA=30°,點D在線段AB上運動，點E與點。

關于AC對稱，DFLDE于點D,并交EC的延長線于點尸.下列結論正確的①②.（填序號）

①CE=CF；②當斯〃AB時，點廠恰好落在弧BC上；③當所與半圓相切時，AD=2;④當點。從

點A運動到點B時，線段EF掃過的面積是6百.

【考點】切線的性質；扇形面積的計算；軸對稱的性質；圓周角定理；直線與圓的位置關系.

【專題】綜合題；幾何直觀；推理能力.

【答案】①②.

【分析】①由點E與點。關于AC對稱可得CE=CD再根據。即可證到CE=CR②利用三角

形的中位線的判定方法得到△尸8。等邊三角形，只需證明/AFB=90°,就能得出結論，③連接OC,

OD,易證△AOC是等邊三角形，4。=。。，根據含30°角的直角三角形的性質求出AD長，④首先根

據對稱性確定線段EF掃過的圖形,然后探究出該圖形與AABC的關系，就可求出線段EF掃過的面積.

【解答】解：①連接CD,如圖1所示：

F

c

1

E<///I/\\\

7%^?/\

ADOB

圖1

???點E與點。關于AC對稱，

：.CE=CD,

：./E=/CDE,

■:DF1DE,

；?NEDF=9U°,

AZE+ZF=90°,ZCDE+ZCDF=90°,

???/F=/CDF,

:?CD=CF,

???CE=CD=CF,

故①正確，

丁點石與點。關于AC對稱,

C.EDLAC,

：.ZAGD=9Q°,

AZAGD=ZACB=90°,

J.ED//BC,

9：EC=CF

：?FH=DH,

9：DE//BC,

：.ZFHC=ZFDE=90°,

：.BC是DF的垂直平分線,

：?BF=BD,CF=CD,

:./FBH=/DBH=30°,

：.ZFBD=60°,

:AFDB是等邊三角形，

：.ZFDB=60°,

*：EF//AB,

：.ZCFB=ZFDBC^60°,

.,.△FDC是等邊三角形，

:,DC=DF

VZACB=90°,

：.ZCAD+ZFBA^9Q°,

*：OA=OC,N/3A=30°,

???NA=NACO=60°,

△O4C是等邊三角形

又,：EF〃AB,EG=GD,

：.CG=AGf

VAC±E￡),

：.DA=DC,

：.DAC是等邊三角形，

?,?點。與點。重合，

即：。尸與。尸重合，

:?DF=OF=OA

?,?點/恰好落在弧8C上，

故②正確，

③連接OC,CD,如圖3所示:

F

c

E<//17\

/\\

/1/\i

'L--------^!

ADOB

圖3

???斯與半圓相切，

???OCLEF,

???NECO=90°,

AZECA+ZACO=90°,

VZACB=90°,

AZA+ZB=90°,

???OA=OC,N3=30°,

AZA=ZACO=60°,

???△OAC是等邊三角形，NECA=N3=30°,

1

：.AC=OA=^AB=3f

???點E與點。關于AC對稱，

???N石CA=NZ)CA=30°,

???NA+N0CA=9O°,

：.AD=1AC=I，

故③錯誤，

④：點。與點E關于AC對稱，點D與點F關于BC對稱，

當點。從點A運動到點3時，點E的運動路徑AM與關于AC對稱，點P的運動路徑NB與A3

關于BC對稱.

所掃過的圖形面積就是圖4中AM4c和△NCB面積，

MN

S^MAC+ANCB—2S^ABC

1

=2xxAC*BC

=AC?8C

=3X3V3

=9V3,

掃過的面積為9V3,

故④錯誤.

故答案為：①②.

【點評】本題是一個幾何綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、三角形中位

線的判定、切線的性質、軸對稱的性質、含30°角的直角三角形判定和性質、求圖形面積等知識，熟

練掌握幾何圖形的性質和判定是解題的關鍵.

13.在RtzXABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,直線/經過△ABC的內心O,過點C作CD_L/,垂

足為D,連接AD,則AD的最小值是

【考點】三角形的內切圓與內心；勾股定理.

【專題】推理填空題；圓的有關概念及性質；運算能力；推理能力.

【答案】2VL

【分析】圓。與Rt^ABC三邊的切點分別為E,F,G,連接OE,OF,OG,先根據圓。是Rt^ABC

的內切圓，ZACB=90°,BC=3,AC=4,求出正方形CEO尸的邊長為無，根據勾股定理可得0C=/，

連接AQ,過點。作QPLAC于點P,當點。運動到線段QA上時，A。取得最小值，再利用勾股定理

即可解決問題.

【解答】解：如圖，圓。與RtZXABC三邊的切點分別為E,F,G,連接OE,OF,OG,

?.?圓。是Rt^ABC的內切圓，ZACB=90°,BC=3,AC=4,

：.CE=CF,BE=BG,AF=AG,AB=V32+42=5,

.??四邊形CEO尸是正方形，

設正方形CEO尸的邊長為x,

則BE=BG=3-x,AF=AG=4-x,

根據題意，得

3-x+4-x—5,

解得x=1，

OC=Vl2+l2=V2,

VCD±Z,

???NCDO=90°,

??.點。在以oc為直徑的圓。上，如圖，

連接AQ,過點。作QPJLAC于點尸，

當點。運動到線段QA上時，AO取得最小值,

1

：.CP=QP=

：.AP=AC-CP=4—號=:，圓Q的半徑QD=考，

???QA=8P2+AP2=J（扔+（今2=竽，

.'.AD的最小值為AQ-QD=竽—孝=2V2.

故答案為：2位.

【點評】本題考查了三角形內切圓與內心，正方形的判定與性質，勾股定理，解決本題的關鍵是掌握三

角形內切圓與內心.

7/TQ4A/138

14.已知。。半徑為4,點A,8在。。上，ZBAC=9Q°,sinZB=%則線段OC的最大值為—二一+

【考點】圓周角定理；解直角三角形.

【專題】圓的有關概念及性質；圖形的相似；應用意識.

【答案】見試題解答內容

【分析】如圖,連接OA,。8,作ADLOA,使得NADO=ZABC.利用相似三角形的性質證明OC=

求出的最大值即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接OA,OB,作AOLOA,使得/ADO=/ABC.

??sin^.ABC—Bc~~，

設AC=2gk,BC=13k,貝ijAB=3g公

ZADO=ZABC,ZDAO=ZBAC=90°,

.?.△ZMOSABAC,

.ADAO

??=，

ABAC

'：ZDAO=ZBAC,

：.ZDAB=ZOAC,

：.ADAB^AOAC,

.BDAB3V13/C3

OC~AC~2713/C—2

2

???OC=^BD,

在RtZXAOO中，VZDAO=90°,

?.0A2風

..smAADO=Qp=]3,

?.3=08=4,

：.OD=2V13,

'：OD-0BWBDW0D+0B,

.,.2V13-4<BD<2V13+4,

：.BD的最大值為2m+4,

OC的最大值=+*

,4V138

故答案為F—+

33

【點評】本題考查圓周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添

加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

15.如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB=4,/CBA=30°,點。在線段AB上運動，點E與點。

關于AC對稱，DFLDE于點￡>,并交EC的延長線于點F.下列結論：

①/尸=30°；

②CE=CF；

③線段EF的最小值為2V3：

④當4。=1時，與半圓相切；

⑤當點D從點A運動到點B時，線段EF掃過的面積是8V3.

其中正確的結論的序號為②③④.

F

c

E</\

ADOB

【考點】切線的判定與性質；扇形面積的計算；軸對稱的性質；三角形三邊關系；含30度角的直角三

角形；直角三角形斜邊上的中線；圓周角定理；點與圓的位置關系；直線與圓的位置關系.

【專題】壓軸題；推理能力.

【答案】②③④.

【分析】(1)由對稱證明出得到只有當時，ZF^ZCDF^ZCBA=30°；

(2)由點E與點D關于AC對稱可得CE=CD,再根據DFLDE即可證到CE=CF；

(3)根據“點到直線之間，垂線段最短”可得時C。最小，由于跖=20,求出CD的最小

值就可求出EF的最小值；

(4)連接0C,易證△AOC是等邊三角形，AD^OD,根據等腰三角形的“三線合一”可求出NACZ),

進而可求出/ECO=90°,從而得到EF與半圓相切；

(5)首先根據對稱性確定線段所掃過的圖形，然后探究出該圖形與△MC的關系，就可求出線段跖

掃過的面積.

【解答】解：①連接CD,如圖1所示.

:點E與點。關于AC對稱，

：.CE=CD.

：.ZE=ZCDE.

'：DF±DE,

:./EDF=90°.

：.ZE+ZF=90°,ZCDE+ZCDF=90°.

：.ZF=ZCDF.

只有當CD_LAB時，ZF=ZCDF=ZCBA=30°,故①錯誤；

②又；/F=/CDF,

：.CD=CF,

：.CE=CD=CF.故②正確；

③當CD_LAB時，如圖2所示.

c

E<//；/\

ADOB

圖2

...AB是半圓的直徑，

/.ZACB=9Q°,

VAB=4,ZCBA=3Q°,

：.ZCAB=60°,AC=2,8c=2百，

'：CD±AB,ZCBA=30°,

:.CD=^BC=W,

根據“點到直線之間，