四川省成都市蓉城名校2023-2024學年高二下學期數學期中考試試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．在各項均為正數的等比數列{an}中，aA．2 B．3 C．12 D．2．已知limΔx→0f(x0+Δx)?f(A．?3 B．3 C．?6 D．63．在數列{an}中，an=1?1aA．2 B．12 C．?124．下列求導運算正確的是（）A．(1x)C．(x?1x5．函數y=f(x)在定義域(?32,3)內可導，記y=f(x)的導函數為A．(?32,?13)C．(?1,?13)，(436．已知數列{an}滿足：an=(3?a)n?3,n<7aA．2 B．157 C．1677．已知f(x)=xex，g(x)=?(x+1)2+a，若?x1A．[e,+∞) B．(?∞,e] C．8．如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》中，后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…….，設從上往下各層的球數構成數列{an}A．20252026 B．20251013 C．40462025二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．公差為d的等差數列{an}，其前n項和為Sn，A．d<0 B．aC．{Sn}中S810．已知函數f(x)=xA．當m≥0時，f(x)有兩個極值點B．當m=1，n=1時，f(x)有三個零點C．當m=1，n=1時，直線y=?3x是曲線f(x)的切線D．當m=1時，若f(x)在區間[?1,c]上的最大值為2+n11．意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1，1，2，3，5，…….，其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，后來人們把這樣的一列數組成的數列{an}稱為“斐波那契數列”.已知數列{bn}，b1=1，b2=2，A．bB．SC．bD．a三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．曲線y=sinx+cosx在點13．數列{an}滿足a1=3，an+114．已知函數f(x)是定義在(?∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數，且f(x)>0，其導函數為f'(x)，且x<0時，2f(x)+xf'(x)<0恒成立，a=f(?4)，b=f(5)，c=f(?6)四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，點M為PC邊上一點，DM⊥PC，PA=AD=2.（1）證明：平面MBD⊥平面PCD；（2）求二面角M?BD?C的余弦值.16．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），P（1）求橢圓C的標準方程；（2）過右焦點F且斜率為1的直線l交橢圓C于M，N兩點，點P為直線x=4上任意一點，求證：直線PM，PF，PN的斜率成等差數列．17．已知函數f(x)=ln（1）若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為?1，求m的取值和曲線y=f(x)在點（2）求函數y=f(x)在區間[2,18．已知數列{an}滿足：a（1）求數列{a（2）設bn=15n+1(1?an)(1?an+1)（19．數列{an}滿足a1=（1）計算a2，a3，猜想數列（2）求數列{an(n+1)（3）設bn=2an（n∈N*），數列{b

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因為數列{an}各為正項等比數列，即an>0，且a3a8=82．【答案】D【解析】【解答】解：因為f'x0=limΔx→0f(x0+Δx)?f(x03．【答案】B【解析】【解答】解：因為an=1?1an?1（n≥2），且a1=2，

則a2=1?1a1=4．【答案】A【解析】【解答】解：對于A：(1x)'=(x-12)'=-12x-5．【答案】B【解析】【解答】解：由圖可知當且僅當?1<x<12或43<x<83時，f'故答案為：B.【分析】導數恒正的范圍即增區間.6．【答案】C【解析】【解答】解：若數列{an}是遞增數列，則3-a>0a>115-6a<a，解得157<a<3，

7．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可知[f(x)]min因為f(x)=xex，則f'(x)=(x+1)ex，ex>0，所以令所以f(x)在(?∞,?1)上單調遞減，在(?1,又因為g(x)=?(x+1)2+a可得a≥?1e，所以實數a的取值范圍是故答案為：C.【分析】由題意可知[f(x)]min≤[g(x)]max，利用導數求8．【答案】B【解析】【解答】解：由題意知a1=1，a2=1+2，所以1a所以1=2×(1?12026)=20251013.

9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因為S13=13a7>0，S14=7a1+a14=7a7+a8<0，

即a7>0，a7+a8<0，可知a7>0，a8<0，故B正確；

所以d=a8-a710．【答案】B,D【解析】【解答】解：對于A：當m=0時，f(x)=x3+n，可知f(x)所以m=0時，f(x)無極值點，故A錯誤，對于B：當m=1，n=1時，f(x)=x3?3x+1令f'(x)>0，得到x<?1或x>1；令f'可知f(x)的單調增區間為(?∞,且f(?1)=3>0，f(當x趨近于?∞時，f(x)趨近于?∞，當x趨近于+∞時，f作出f(x)對于C：當m=1，n=1時，f(x)=x3?3x+1令f'(x)=3x可得f(0)=1，即切點為(0,1)，但(0,所以y=?3x不是曲線f(對于D：當m=1時，f(x)=x由選項B可知：f(x)在(?∞,?1)令x3?3x+n=2+n，整理得(x+1)2又f(x)在區間[?1,c]上的最大值為2+n，所以故答案為：BD.【分析】對于A：根據冪函數單調性分析判斷；對于B：利用導數判斷f(x)11．【答案】C,D【解析】【解答】解：A、易知1，2，3，5，8，13，所以b6B、S2025C、b=bD、∵bn∴a故答案為：CD.【分析】由{bn}得b6=13，判斷A；計算可得S12．【答案】x+y+1?5π=0【解析】【解答】解：因為y=sinx+cosx，則y'=cosx-sinx，可知y'|x=5π=-1，

即切點坐標為(5π,?1)，切線斜率為k=-1，

所以切線方程為13．【答案】60【解析】【解答】解：因為a1=3，an+1?an=2n?1，

則a2?a1=2?1，a3?a2=214．【答案】a>b>c【解析】【解答】解：令F(x)=x2f(x)因為當x<0時，2f(x)+xf'(x)<0可知F(x)在(?∞,又因為f(x)則F(?x)=(?x)2f(?x)=則F(x)在(0,+∞)上單調遞減，可得即16f(4)>25f(5)>35f(6)，因為f(x)>0，可得f(4)f(5)>25所以f(4)>f(5)>f(6)，又因為f(x)為偶函數，所以f(?4)>f(5)>f(?6).故答案為：a>b>c．【分析】構建函數F(x)=x2f(x)，結合題意分析可知F(x)為偶函數，在(?∞,0)上單調遞增，在(015．【答案】（1）證明：如圖所示，連接AC，BD，因為底面ABCD為正方形，所以BD⊥AC，因為PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，所以PA⊥BD，又PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以BD⊥PC，由題得DM⊥PC，且DM∩BD=D，DM，BD?平面MBD，則PC⊥平面MBD，又PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD；（2）解：如圖，以點D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，點D豎直向上方向所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，D(0,0,0)，A(2,0,因為DM⊥PC，所以由勾股定理可得DM即8?PM2且PM+MC=PC=PC聯立①②兩式，可得PM=433=23PC所以M(23,43由題意可知，AP=(0,0設平面MBD的法向量為n=(x有DM?n=設二面角M?BD?C為θ，則cosθ=所以二面角M?BD?C的余弦值為33【解析】【分析】（1）連接AC，BD，可證得BD⊥平面PAC，進而得BD⊥PC，結合已知可證PC⊥平面MBD；（2）以點D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，點D豎直向上方向所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，求得平面MBD的一個法向量為n=(1,?1,1)，又AP16．【答案】（1）解：根據橢圓的對稱性，必過點P1(?1,32代入點P3(0,?3)得，∴橢圓C的標準方程為：x2（2）證明：設M(x1,y1設直線MN的方程為：y=x?1，由y=x?1x24Δ>0，x1+xk===2×(?因為kPF=n所以直線PM，PF，PN的斜率成等差數列．【解析】【分析】(1)分析可知橢圓必過P1(?1,32)，P2(1,32)，必不過點17．【答案】（1）解：因為f(x)=lnx?mx，所以則k=f'(1)=1?m=?1，∴f(x)=lnx?2x，則切線方程為y+2=?(x?1)，整理得x+y+1=0；（2）解：由f'(x)=1x?m，因為m>0當0<x<1m時，f'(x)>0，當故函數f(x)在(0,1m①當1m≤2，即m≥12時，函數所以f(x)在區間[2,3]上的最小值為②當1m≥3，即0<m≤13時，函數所以f(x)在區間[2,3]上的最小值為③當2<1m<3，即13<m<12又f(3)?f(2)=ln所以當13<m<ln32時，當ln32≤m<12綜上可知，當0<m<ln32時，函數f(x)的最小值為當m≥ln32時，函數f(x)的最小值為【解析】【分析】(1)求導，根據導數的幾何意義可得m=2，進而可得切點坐標和切線方程；

(2)求導可知f(x)的單調性，分類討論y=f(x)在[2,18．【答案】（1）解：a1+5a1+5a2+①－②得5n?1an∴an=1當n=1時，a1∴an=2（2）解：當n=1時，b1S1當n≥2時，b=S==5∵14×1綜上所述，Sn【解析】【分析】(1)分析可知5n?1an的前n項和為n+15，根據通項公式與前n項和的關系分析求解；19．【答案】（1）由題意可得a2=1猜想：an=n證明：由an+1=1所以1an+1?1所以1an+1?1數列{1an?1}所以1an?1（2）解：設cn設{an(n+1)?3nTn=1×3Tn①－②得，?2Tn所以{an(n+1)?3n（3）解：bnSn要證Sn只需證2n?2(1即證12方法一：設f(n)=lnn+2只需證明f(n)的最大值小于0，作差得f(n+1)?f(n)=lnn+3構造函數g(x)=ln(1+x)