吉林省部分名校2023-2024學年高二下學期期中聯考數學試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．5名同學分別報名參加學校的足球隊、籃球隊、排球隊，每人限報其中的一個運動隊，不同報法的種數為（）A．15 B．8 C．35 D．2．已知函數f(x)的導函數為f'(x)，若f'A．1 B．2 C．－1 D．－23．若圓M：(x?2)2+y2=A．1 B．2 C．2 D．24．已知數列{an}的通項公式為an=kA．(1,+∞) B．(0,+∞) C．5．已知數列{aA．an=nC．an=n6．已知函數f(x)的部分圖象如圖所示，f'(x)為A．f(1)?f(0)>f'(1)>C．f'(0)>f(1)?f(0)>f7．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為A，過FA．23 B．12 C．348．在等差數列{an}中，a1=1，a1+a4=a3．設A．5 B．6 C．7 D．8二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列函數求導正確的有（）A．(xsinx)'C．[ln(x10．某同學在研究“有一個角為π3A．若這個角的正弦值是另外兩個角正弦值的等差中項，則該三角形為等邊三角形B．若這個角的余弦值是另外兩個角余弦值的等差中項，則該三角形不一定是等邊三角形C．若這個角的正弦值是另外兩個角正弦值的等比中項，則該三角形不一定是等邊三角形D．若這個角的余弦值是另外兩個角余弦值的等比中項，則該三角形是等邊三角形11．已知函數f(x)=xlnx?emx，對定義域內任意x1A．1e B．13 C．1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12．一個柜臺銷售的智能手機中，國產品牌有5種，國外品牌有3種，要從中選擇1個品牌進行購買，不同的選法種數為．13．在數列{an}中，a1=2，a214．過直線x?2y?4=0上一點P向圓x2+y2=1引兩條切線，切點分別為M，N，則|PM|的最小值為；已知直線MN過定點Q四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．設數列{an}的前n項和為Sn，（1）求{a（2）求數列{an?log16．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F分別為BC（1）證明：EG⊥平面BC（2）求平面BC1D17．已知函數f(x)=x3?a（1）求a，b的值；（2）求經過點(1,2)與曲線18．已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點F到準線（1）求拋物線C的方程；（2）已知點A(?p2,m)，B(?p2,n)（m≠n）是l上的兩點，點P(x19．已知函數f(x)=ae（1）討論f(x)的單調性；（2）若f(x)≥0恒成立，求實數a的取值范圍；（3）證明：方程f(x)=e

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因為每名同學都有3種不同的報名方法，故不同報法的種數為35故選：C【分析】本題考查分布乘法計數原理.根據題意可得：每名同學都有3種不同的報名方法，再利用分步乘法計數原理可求出答案.2．【答案】C【解析】【解答】解：因為f'(2)=1，即所以limΔx→0故選：C【分析】本題考查導函數的定義.已知f'3．【答案】A【解析】【解答】解：雙曲線C的漸近線方程為y=±x，不妨取y=x，點M(2,0)到直線y=x因為圓M與雙曲線C的漸近線相切，所以m=1．故選：A【分析】本題考查直線與圓的位置關系.先根據雙曲線方程求出漸近線方程，根據直線與圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，利用點到直線的距離公式可求出距離為21+14．【答案】D【解析】【解答】解：an=kn2?n?2有k(n+1)2?(n+1)?2>kn2n=1時(12n+1)max=13故選：D【分析】本題考查數列的單調性.根據數列為遞增數列可得：an+1>an(n∈N*)，解不等式可得5．【答案】A【解析】【解答】解：A、an+1B、a1=?6，C、a5=25，D、a1故選：A.【分析】本題考查數列的單調性.根據數列{an}是遞增數列，可得：a6．【答案】D【解析】【解答】解：由導數的意義可知，f'(1)和f'(0)分別表示所以由圖像可知，f'而f(1)?f(0)=f(1)?f(0)1?0表示過點由圖像可知，f'故選：D.【分析】本題考查導函數的幾何意義.先根據導數的意義分析出：f'(1)和f'(0)表示的意義，觀察圖形可得：7．【答案】B【解析】【解答】解：設F1(?c,0)，則直線直線PF1的斜率為直線PF1的方程為令x=0，得y=c2b因為|PF所以(3a3故選：B.【分析】本題考查橢圓的簡單幾何性質.先根據條件求得直線PF1的方程，進而求出點P的坐標：P(0,8．【答案】B【解析】【解答】解：設{an}因為a1所以a2=0，則an=2?n，bn因為Sm=6316，所以故選：B【分析】本題考查等差數列的通項公式，等比數列的前n項和公式.根據等差數列的性質可得：a1+a4=a2+a3=a39．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、(xB、(π+2C、因為(lnx)'=1D、(x故選：BC【分析】本題考查導數的運算法則，簡單復合函數的導數計算規則.根據積的導函數運算法則可判斷A選項；根據常數求導結果為0，可判斷B選項；利用簡單復合函數求導法則可判斷C選項；根據和差的導數等于導數的和差，可判斷D選項.10．【答案】A,D【解析】【解答】解：不妨設C=πA、因為sinA+則sinA+即sin(A+π6)=1，且則A+π6=B、因為cosA+所以cosA?且0<A<2π3，可得則A+π6=C、因為sinA則sinA可得34sin2A?且0<A<2π3，可得則2A?π6=D、因為cosA則cosA可得34sin2A?且0<A<2π3，可得則2A?π6=故選：AD.【分析】本題考查等差中項，等比中項，三角恒等變換.不妨設C=π3.對于A：根據等差中項可得：sinA+sinB=3，再利用兩角和的正弦公式變形可推出A=π3，進而判斷A選項；對于B：根據等差中項可得：cosA+cosB=111．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因為x1<x所以f(x1)?f(即f(x1)?則有對于定義域內任意x1<x所以h(x)在(0,+∞)上單調遞減，所以在(0,因為f'(x)=lnx+1?me因為x∈(0,+∞)，所以xln令g(x)=xlnx(x>0)，g'(x)=ln所以當x∈(0,1e)時，當x∈(1e,+∞)時，xlnx≤emx?ln(emx由g(x)=xlnx(x>0)，可知當x∈(0,1)時，g(x)<0，當根據g(x)在(0,+∞)上的單調性以及有：若g(x)≤g(emx)，則x≤emx即m≥lnxx在x>0上恒成立；令t(x)=t'(x)=0，解得x=e，所以當x∈(0,e)時，當x∈(e,+∞)時，t'所以x=e時，t(x)取得最大值，tmax(x)=t(e)=1因為1e=1e，1>1故選：ACD.【分析】本題考查函數恒成立問題.根據已知條件將問題轉化為xlnx≤emx?ln(emx)，構造函數g(x)=xlnx(x>0)，xlnx≤emx?ln(12．【答案】8【解析】【解答】解：若從國產品牌購買，則有5種不同的選法，若從國外品牌購買，則有3種不同的選法，所以不同的選法種數為5+3=8種.故答案為：8.【分析】本題考查分類加法計數原理.先求出從國產品牌購買和從國外品牌購買的選法，再根據分類加法計數原理可求出答案.13．【答案】1【解析】【解答】解：a1=2，a2=5，a3=3，a4a8=1，a9=1，可知{a則a2023=a7+672×3=故答案為：1【分析】本題考查數列的遞推公式，數列的周期性.先利用數列的遞推公式求出a3至a14．【答案】555；【解析】【解答】解：由題知，圓心為O(0,0)，半徑r=1，圓心到直線y=1因為△PMO為直角三角形，且PM⊥MO，所以|PM|=|PO|當且僅當PO與直線x?2y?4=0垂直時，等號成立，所以|PM|的最小值為555設P(x0,以點P為圓心，|PM|為半徑的圓的方程為(x?x即x2將圓P的方程與x2+y2=1因為點P(x0,y0即xx0+y(由x+12y=0?2y?1=0，解得x=1故答案為：555；(【分析】本題考查直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系.先求出圓心到直線的距離，再利用勾股定理結合圓的弦長公式可推出|PM|=|PO|2?r2≥d2?1，利用圓切線的性質可求出|PM|的最小值；先寫出以點P為圓心，|PM|為半徑的圓的方程，與圓的方程：x15．【答案】（1）解：由Sn+1?3S兩式相減，得an+1?3a因為a1=3，所以(a1+所以{an}（2）解：因為an=3因為Tn所以3T兩式相減，得?2T所以T【解析】【分析】本題考查an、Sn的關系求通項公式，利用錯位相減法求數列的和.

（1）根據題目式子寫出前一個式子可得：Sn?3S（2）利用對數的運算法則可得：an?log316．【答案】（1）證明：以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．設AB=2，則D(0,0,0)，B(2,DB=(2,2,0)∵DB?EG=0，DC1?∵DB∩DC1=D，∴EG⊥（2）解：由（1）可知平面BC1D易得F(2,1,0)，設平面DEF的法向量為n=(x,y取x=1，則y=?2，z=3，得平面DEF的一個法向量為n=(1∴平面BC1D【解析】【分析】本題考查利用空間向量證明直線與平面垂直，利用空間向量求平面與平面所成的角.

（1）以D為原點，建立空間直角坐標系，寫出對應點的坐標，求出對應向量，通過驗證可得：DB?EG=0（2）由（1）知平面BC1D17．【答案】（1）解：因為f(x)=x3?a因為函數f(x)在x=2處取得極值－2，所以f(2)=8?4a?2b+10=?2f'(2)=12?4a?b=0驗證：當a=1，b=8時，f'由f'(x)>0，得x>2或x<?43，由所以f(x)在x=2處取得極小值，滿足題意．（2）解：設切點坐標為(x因為f'所以切線方程為y?(x因為切線過點(1,2)，所以即x03?2x0所以經過點(1,2)與曲線y=f(x)相切的切線方程為8x+y?10=0或【解析】【分析】本題考查利用導函數研究函數的極值，曲線的切線方程的求法.（1）先求出導函數f'(x)，再根據題意由點(2,?2)在函數上和極值點處導函數為零即（2）設切點為(x0,y0)，由導數的意義可得切線的斜率為18．【答案】（1）解：因為焦點F(p2,0)到準線所以拋物線C的方程為y（2）解：由題知直線PA的方程為y?m=y化簡得(y因為原點到直線PA的距離為3，所以|3(y所以9(因為x0>3，所以化簡得同理，有(x所以m，n是關于t的方程(x根據韋達定理得m+n=?6y0所以|AB|2因為y02=12因為點P(x0,y0所以S△PAB令x0則S△PAB因為λ2+3當且僅當λ=6時，等號成立．所以S△PAB≥372+360+288=365【解析】【分析】本題考查拋物線線方程，直線與拋物線的位置關系.（1）根據焦點到準線的距離等于P，據此可得p=6，進而可求出拋物線C的方程；（2）分別表示出PA,PB的直線方程，利用原點到直線PA，PB的距離均為3，通過化簡可得m,n是關于t的方程(x0?3)t2+6y0t?9(x019．【答案】（1）解：f'當a<?1時，a+1a>0，令f'(x)>0，得x<ln所以f(x)在(?∞,lna+1a當?1≤a≤0時，f'(x)≤0恒成立，所以f(x)在當a>0時．令f'(x)>0，得x>lna+1a所以f(x)在(?∞,lna+1a（2）解：當a≤0時，因為f(0)≤0，所以不滿足f(x)≥0，所以a>0．由（1）知當a>0時，f(x)在(?∞,lna+1a所以f(x)由(a+1)(1?lna+1a)≥0，得即實數a的取值范圍是[1（3）證明：令g(x)=ae則g'當a≤0時，令g'(x)>0，得x<0，令g'所以f(x)在(?∞,0)上單調遞增，在(0,所以g(x)<0恒成立，此時方程f(x)=e當0<a<1時，令g'(x)>0，得x<0或x>?lna，令所以g(x)在(?∞,0)和(?ln因為g(?ln所以g(x)至多只有一個零點，即方程f(x)=e當a=1時，g'(x)≥0恒成立，所以g(x)在所以g(x)至多只有一個零點，