第02講二次根式的乘除

T模塊導(dǎo)航一素養(yǎng)目標(biāo)”

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.掌握二次根式的乘法法則：

V^-Vb=V^b(?>0,Z7>0),能利用其進(jìn)行計(jì)算，并

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理(吃透教材)

能逆用法則進(jìn)行化簡(jiǎn)；

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

2.掌握二次根式的除法法則：^=^(a>0,b>0),

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)

能利用其進(jìn)行計(jì)算，并能逆用法則進(jìn)行化簡(jiǎn)；

3.理解最簡(jiǎn)二次根式的概念，會(huì)進(jìn)行二次根式的乘除

法混合運(yùn)算，并能將二次函數(shù)化為最簡(jiǎn)形式。

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

1.被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡的因數(shù)或因式

最簡(jiǎn)二次根式

-2被.開(kāi)方數(shù)中不含分母

-

次3分.母中不含有根號(hào)

根

兩個(gè)二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變

式

乘法法則L冗=，

的/Lc\

y/aVb=\ab(a>0)(b>0)

乘

、JI二次根式的乘除兩個(gè)二次根式相除,把被開(kāi)方數(shù)相除，指數(shù)不變

除

I除法法則一^=^(a>0,b>0)

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-----------------------------

知識(shí)點(diǎn)1：二次根式的乘法法則

1.二次根式的乘法法則：&.瓜=疝僅>0,6>0)

(二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變)

2.二次根式的乘法法則的推廣

(1)Va-Vb-Vc=Vabc(a>0,6>0,c>0)

(2)a^-c4d=ac^b>0,d>0),即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類(lèi)比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)

行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開(kāi)方數(shù)之積作為被開(kāi)方數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)2：二次根式的乘法法則的逆用

1.二次根式的乘法法則的逆用

Vab=冊(cè)?瓜a>0,b>0）（二次根式的乘法法則的逆用實(shí)為積的算數(shù)平方根的性質(zhì)）

2.二次根式的乘法法則的逆用的推廣

Jabcd=Va-Vb-Vc-a>Q,b>0,c>0,tZ>0）

知識(shí)點(diǎn)3：二次根式的除法法則

1.二次根式的除法法則

-^=^a>0,b>0）（二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變）

2.二次根式的除法法則的推廣

4^<a；b；c(a>Q,b>0,c>0)

注意

(1)a》0,b>0時(shí),不=余才有意義;

（2）如果被開(kāi)方數(shù)時(shí)帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化成假分?jǐn)?shù)

知識(shí)點(diǎn)4：最簡(jiǎn)二次根式的概念

1.最簡(jiǎn)二次根式的概念

（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母

（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方開(kāi)得盡得因數(shù)或因式

2.化簡(jiǎn)二次根式的一般方法

方法舉例

將被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡得因數(shù)或因式進(jìn)行開(kāi)V8=74^2=272

方

若被開(kāi)方數(shù)中含有帶FT[42V3

分?jǐn)?shù)，先將被開(kāi)方數(shù)N3一《3一折—3

化成假分?jǐn)?shù)

若被開(kāi)方數(shù)中含有小廝=二=、匹=①

數(shù)，先將小數(shù)化成分vioviooio

化去根號(hào)下的分母

數(shù)

若被開(kāi)方數(shù)時(shí)分式，15a__15a-3c1~15ac~yJ15ac

6bc

先將分式分母化成能X126)一爪2b,Sc)36b2cL

轉(zhuǎn)化為平方的形式，(a>0,b>0,c>0)

2

再進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算

被開(kāi)方數(shù)時(shí)多項(xiàng)式的要先因式分解22

^x+2xy+y=x+y

(x>0,y>0)

3.分母有理化

(1)分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號(hào)。

方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號(hào)。

6模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

考點(diǎn)一：二次根式的乘法

1.計(jì)算:

(1)V20xV5(2)V8xV18

(3)V48xV12>0)

【變式1-1】計(jì)算：

(1)2V3x5V15；⑵后?A/18ab(a>0,/?>0)；G喏喏S>0,b>0,c>0).

【變式1-2］計(jì)算:

(桂局；

X(2)5727x(-3V3)

【變式1-2】計(jì)算：

⑴2卜卜3周;(2)V15x2

3

【變式1-3】計(jì)算:

(l)V2a?V8a；(2)|V12x(-V27)x(-|V49).

考點(diǎn)二：二次根式的除法

125b：

(3),>0,b>0).

16a2

(3)6疝&+3

【變式2-1】計(jì)算:

c/⑵-J手a73ab+(a>0,b>0).

【變式2-21計(jì)算:

(2)475-2710.(4)2V6a7-4a

(3te2

考點(diǎn)三：二次根式的乘除混合運(yùn)算

3.計(jì)算:

4

)

(1)V5xV2x2V2-r2V5；(2)Jl|x2V3x(-1V10;

（3）x?｛謂彳歷;

【變式3-11計(jì)算：

(1)V27xV50-V6；

(4)8，a2b_2y[ab-倒a>0,b>0).

【變式3-2】計(jì)算：

⑴1岳*（-9聞）；⑵點(diǎn)乂口143M(3)6aVa2b5+(-2Va3b)x

考點(diǎn)四：最簡(jiǎn)二次根式的判斷

［、例4.下列選項(xiàng)中的式子，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.RB.V243C.V36m

D.Vm2+2

【變式4-1】下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.V30B.V12C.D.V0?5

【變式4-2】下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.專(zhuān)B.V02C.V7D.V12

5

【變式4-3】請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)正整數(shù)機(jī)的值使得痂是最簡(jiǎn)二次根式,m—

考點(diǎn)五：化為最簡(jiǎn)二次根式,

例I5.化簡(jiǎn)短的結(jié)果是（）

A.5V2B.4V2C.3V2D.6V2

【變式5-1］將何化成最簡(jiǎn)二次根式為（）

A.2V10B.4V5C.2V5D.10V2

【變式5-2】下列各組式子中，化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的一組是（

A.同與《B.與小

C.何與2乃D.聞與回

【變式5-3］將V3麗化成最簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果為

考點(diǎn)六：已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)

6.VTI與最簡(jiǎn)二次根式標(biāo)率I是同類(lèi)二次根式，則m=()

A.2B.3C.6D.11

【變式6-1】若我和最簡(jiǎn)二次根式廝二萬(wàn)是同類(lèi)二次根式,則m的值為（

A.m=4B.m=3C.m=5D.m=6

【變式6-2］若最簡(jiǎn)二次根式后曾與是同類(lèi)二次根式，貝必=

【變式6-3］若何與最簡(jiǎn)二次根式能合并成一項(xiàng)，貝必=

6模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)

一、單選題

1.化簡(jiǎn)聞x的正確結(jié)果是（）

A.2B.V5C.V6D.3

2.下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.B.V5C.V4D.V0?8

3.化簡(jiǎn)歷的結(jié)果是（）

A.2V10B.2V5C.4V5D.4V10

_2

4.化簡(jiǎn)（-C）的結(jié)果為（）

A.V2B.2C.4D.-4

5.下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）

A.V—4xV—9=6B.J(-3'=3

C.3V3xV6=9V2D.2V3^V12=1

6

二、填空題

6.化簡(jiǎn)：—V8=.

7.計(jì)算（2a）=.

8.計(jì)算:6+6乂居=-----

9.二次根式的乘法在生活和高科技領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，如圖，在“神舟八號(hào)”中要將某一部件的一個(gè)長(zhǎng)

方形變化成等面積的一個(gè)圓形，已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是，lMircm,寬是，3571cm,那么圓的半徑應(yīng)

是.

三、解答題

10.計(jì)算：

(2)1Va^->0,b>0).

11.計(jì)算:

(2)147-G次？)+g(久>0,y>0%

12.計(jì)算：3jx2yX,［亍+2jx3y2(久>0,y>0)

7

第02講二次根式的乘除

模塊導(dǎo)航素養(yǎng)目標(biāo)”

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.掌握二次根式的乘法法則：

V^-Vb=V^b(?>0,Z7>0),能利用其進(jìn)行計(jì)算，并

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理(吃透教材)

能逆用法則進(jìn)行化簡(jiǎn)；

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

2.掌握二次根式的除法法則：^=^(a>0,b>0),

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)

能利用其進(jìn)行計(jì)算，并能逆用法則進(jìn)行化簡(jiǎn)；

3.理解最簡(jiǎn)二次根式的概念，會(huì)進(jìn)行二次根式的乘除

法混合運(yùn)算，并能將二次函數(shù)化為最簡(jiǎn)形式。

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

1.被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡的因數(shù)或因式

最簡(jiǎn)二次根式2.被開(kāi)方數(shù)中不含分母

二

次3分.母中不含有根號(hào)

根

兩個(gè)二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變

式

乘法法則I_/-1—,-

的~y/a\b=vab(a>0)(b>0)

乘

二次根式的乘除:兩個(gè)二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，指數(shù)不變

除

除法法則■=、口(a20220)

4b]lb

令模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-----------------------------

知識(shí)點(diǎn)1：二次根式的乘法法則

1.二次根式的乘法法則：VI-Tb=疝(a>0,Z)>0)

(二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變)

2.二次根式的乘法法則的推廣

(3)Va-Vb-Vc=Vabc(a>0,6>0,c>0)

(4)aVb-cVd=?cVbd(Z7>0,c?>0),即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類(lèi)比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)

行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開(kāi)方數(shù)之積作為被開(kāi)方數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)2：二次根式的乘法法則的逆用

8

1.二次根式的乘法法則的逆用

Vab=冊(cè)?瓜a>0,b>0）（二次根式的乘法法則的逆用實(shí)為積的算數(shù)平方根的性質(zhì)）

2.二次根式的乘法法則的逆用的推廣

Jabcd=Va-Vb-Vc-a>Q,b>0,c>0,tZ>0）

知識(shí)點(diǎn)3：二次根式的除法法則

1.二次根式的除法法則

-^=^a>0,b>0）（二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變）

2.二次根式的除法法則的推廣

4^<a；b；c(a>Q,b>0,c>0)

注意

(3)a》0,b>0時(shí),不=余才有意義;

（4）如果被開(kāi)方數(shù)時(shí)帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化成假分?jǐn)?shù)

知識(shí)點(diǎn)4：最簡(jiǎn)二次根式的概念

1.最簡(jiǎn)二次根式的概念

（3）被開(kāi)方數(shù)不含分母

（4）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方開(kāi)得盡得因數(shù)或因式

2.化簡(jiǎn)二次根式的一般方法

方法舉例

將被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡得因數(shù)或因式進(jìn)行開(kāi)V8=74^2=272

方

若被開(kāi)方數(shù)中含有帶FT[42V3

分?jǐn)?shù)，先將被開(kāi)方數(shù)N3一《3一折—3

化成假分?jǐn)?shù)

若被開(kāi)方數(shù)中含有小廝=二=、匹=①

數(shù)，先將小數(shù)化成分vioviooio

化去根號(hào)下的分母

數(shù)

若被開(kāi)方數(shù)時(shí)分式，15a__15a-3c1~15ac~yJ15ac

先將分式分母化成能X126)一爪2b,Sc)36b2cL6bc

轉(zhuǎn)化為平方的形式，(a>0,b>0,c>0)

9

再進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算

被開(kāi)方數(shù)時(shí)多項(xiàng)式的要先因式分解22

^x+2xy+y=x+y

(x>0,y>0)

3.分母有理化

(2)分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號(hào)。

方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號(hào)。

?〉模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

考點(diǎn)一：二次根式的乘法

L計(jì)算:

(l)V20xV5(2)V8xV18

(3)V48xV12(4)V6a3?>0)

【答案】(1)10

(2)12

⑶24

(4)3a2

【分析】本題考查了二次根式的乘法，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算，再化簡(jiǎn)即可;

(2)根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算，再化簡(jiǎn)即可

(3)根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算，再化簡(jiǎn)即可;

(4)根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算，再化簡(jiǎn)即可.

【詳解】(1)解：同=VW=10；

(2)解：V8xV18=V144=12；

(3)解：V48xV12=4V3x2V3=24：

(4)解；46a3■=79a4-3a2.

【變式1-1】計(jì)算：

(1)2V3x5V15；(2)后■”8ab(a>O,b>0)；⑶a杵?2百(”，—).

【答案】(1)30西

⑵2a府

(3)2V6ac

10

【分析】本題考查二次根式的乘法：

(1)根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可；

【詳解】(1)解：原式=2x5x“3x15=10x3萌=304;

(2)原式=.18ab=V12a2b=2aV3fe；

(3)原式=2a］觀(guān),=2V^ac.

\ab

【變式1-2】計(jì)算：

(l)J|xV75；(2)5727x(-3V3)

【答案】⑴5

(2)-135

【分析】本題考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則求解，結(jié)果要為最簡(jiǎn)；

(2)根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則求解，結(jié)果要為最簡(jiǎn)；

【詳解】(1)JxV75

=V25

=5；

(2)5V27x(-3V3)

=5x(-3)xV27x3

=-15x9

二一135

【變式1-2】計(jì)算：

⑴2gxi3點(diǎn))⑵同義26義.跖

【答案】(1)-4

(2)^715

O

【分析】本題考查了二次根式的乘法法則，熟練運(yùn)用法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可求解；

(2)根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可求解.

11

=2x(-3)x

4

=一69

N

2

=-6x-

3

=—4；

(2)V15x2

51~

=2x—x15x—x6

12Q6

6

【變式1-3】計(jì)算：

(l)V2a-V8a；(2)|V12x(-V27)x(-1V49).

【答案】(l)4a

(2)63

【分析】本題考查二次根式的乘法運(yùn)算：

(1)根據(jù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)利用乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：原式=72x8a2=4a；

(2)原式=：x|x,12x27x49

32i------------------------------

=-x-xV2x2x3x3x3x3x7x7

43

32

=-x-x2x3x3x7

43

=63.

考點(diǎn)二：二次根式的除法

12

【分析】本題考查了二次根式乘的除法及二次根式的化簡(jiǎn).

(1)直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案;

(2)直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算得出答案;

(3)直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.

【詳解】(1)解：原式==譽(yù)=/

W#V81XV121

(2)解:原式=-7=—

V144

9x11

12

33

原式=普

(3)解:

6a2

_5b同

4a

【變式2-1］計(jì)算:

⑴曝(2)-11導(dǎo)攝(3)6"+3卡.

【答案】(1)K

⑵-3夜

⑶6a

【分析】本題主要考查了二次根式的除法，根據(jù)二次根式的除法法則逐個(gè)計(jì)算即可.

【變式2-1】計(jì)算:

(1)V72(2)_J1|+薪；

(3)V3ab-?(a>0,￡>>0).

【答案】(1)4傷

(2)-372

(3)3a

【分析】(1)根據(jù)二次根式的除法計(jì)算法則求解即可;

(2)根據(jù)二次根式的除法計(jì)算法則求解即可；

(3)根據(jù)二次根式的除法計(jì)算法則求解即可.

13

【詳解】（1）解：原式=2-72+3

=2V24

=3a.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的除法，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2】計(jì)算：

⑴等(2)475-2710.(4)27607+4

【答案】（1）5

⑵或

（3百

（4）6a-\/a

【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)直接化簡(jiǎn)即可;

（2）根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則直接化簡(jiǎn)即可;

（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)直接化簡(jiǎn)即可；

（4）根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則直接化簡(jiǎn)即可.

【詳解】（1）解：零

=V25

=5；

(2)4V5-2V10

14

_4V5

_2V10

=V2

(3)原式=3bVab

2byfa

3Vb

2

⑷原式=2x*x2

=y/36a3

=6ay[a.

【點(diǎn)睛】題目主要考查二次根式的除法運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)三：二次根式的乘除混合運(yùn)算

[\]例3.計(jì)算:

(1)V5xV2x2V22V5；(2)Jl|x2V3x

(3次歷+(甘丹3屈;(%昌.(一閭+層.

【答案】(1)2

(2)-473

(3)-1%3/

(4)一條標(biāo)

【分析】本題主要考查了二次根式的乘除法計(jì)算，熟知二次根式的乘除法計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)先計(jì)算二次根式乘法，再計(jì)算二次根式除法即可得到答案；

(2)直接根據(jù)二次根式乘法計(jì)算法則求解即可；

(3)把根號(hào)外面的式子進(jìn)行乘除法計(jì)算，再把根號(hào)里面的式子根據(jù)二次根式的乘除法計(jì)算法則計(jì)算,

據(jù)此可得答案；

(4)把根號(hào)外面的式子進(jìn)行乘除法計(jì)算，再把根號(hào)里面的式子根據(jù)二次根式的乘除法計(jì)算法則計(jì)算,

據(jù)此可得答案.

【詳解】(1)解：原式=西義2x2+2花

=4V5+2V5

=2；

15

(2)解：原式=￥^x2gx(—[VTU)

=—4A/3；

31、

(3)解：原式=—X--X-xy2???x4y

22,

3i------

——Xy/x4y4

4

3

——“x-x2y2

332

一/y；

(4)解：原式=—3

=——1?nmy/m

=一、師.

【變式3-1】計(jì)算：

(1)V27XV50-V6；(2)3745+

⑶34(4)8，a2b+2y[ab-H(a>0,b>0).

【答案】(1)15

⑵20n

O)-T

(<Vb

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算

(1)根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；

(2)根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；

(3)根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；

(4)根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：原式=x5魚(yú)+逐=15①+遍=15

518

4-X-

(2)原式=3x|x53

16

=2xV600=20V6；

(3)原式3x(一工)x2-x15x-=--x5=--；

8y^3244

(4)原式=4憐.？=4

yabb\bb

【變式3-2】計(jì)算：

b

(l)|^x(-V45)⑵6足十3局.(3)6aVa2/?5+(-2Va3b)x

9；a

【答案】(1)-4573

2

(3)-3b2Vb

【分析】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，

(1)根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算即可求出答案.

(2)根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則即可求出答案.

(3)根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】⑴解：|x(-9V45)

215,l、

=小，(-27佝

2V15

=-x^—X(-27V5)

32

V15

-----x(-27佝

=-45V3：

(2)

V2'

V

3

b

(3)6ay/a2bs4-(―2Va3/))x

a

17

=-3

=-

=-3b2Vb.

考點(diǎn)四：最簡(jiǎn)二次根式的判斷

］例4.下列選項(xiàng)中的式子，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.B.V243C.V36nlD.Vm2+2

【答案】D

【分析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念是解題的關(guān)鍵.根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念

判斷即可.

【詳解】A、R=當(dāng),故該選項(xiàng)不符合題意；

B、V243=9V3,故該選項(xiàng)不符合題意；

C、V36m=故該選項(xiàng)不符合題意；

D、而F不能再化簡(jiǎn)，是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【變式4-1】下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.V30B.V12C.D.V0?5

【答案】A

【分析】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義：“被開(kāi)方數(shù)中不含有分母，且被開(kāi)

方數(shù)中不含開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式”進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：=2百，=爭(zhēng)苑=電=爭(zhēng)

二河是最簡(jiǎn)二次根式，

故選：A.

【變式4-2】下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.爰B.V02C.V7D.V12

18

【答案】c

【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件：（1）

被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.是否同時(shí)滿(mǎn)足，同時(shí)滿(mǎn)足的就是

最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是.

【詳解】解：A、專(zhuān)=手，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；

B、＜2=f,不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；

C、位是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；

D、g=2V3,不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；

故選：C

【變式4-3】請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)正整數(shù)加的值使得際是最簡(jiǎn)二次根式，m=.

【答案】1

【分析】本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式的含義，根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義可得巾=1或a=3等，從而可

得答案.

【詳解】解：???后是最簡(jiǎn)二次根式，m為正整數(shù)，

正整數(shù)〃？的值可以為1或3等，

故答案為：1（答案不唯一）.

考點(diǎn)五：化為最簡(jiǎn)二次根式,

A.5V2B.4V2C.3V2D.6V2

【答案】B

【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì),熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)二次

根式的性質(zhì)進(jìn)行求解.

【詳解】解：忌=716x2=4vL

故選B.

【變式5-1］將何化成最簡(jiǎn)二次根式為（)

A.2V10B.4V5C.2V5D.10V2

【答案】C

【分析】本題主要考查了化簡(jiǎn)二次根式,直接根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：V20==2V5,

故選：C.

19

【變式5-2】下列各組式子中，化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的一組是（）

A.舊與點(diǎn)B.g與出

C.后與D.聞與回

【答案】C

【分析】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而即可得到答案.

【詳解】A.V18-3V2,被開(kāi)方數(shù)不一樣，故不符合題意；

B.V12=2V3,￡=爭(zhēng)被開(kāi)方數(shù)不一樣，故不符合題意；

C.V27=3V3,與2次被開(kāi)方數(shù)一樣，故符合題意；

D.V45=3V5,V54=3V6,被開(kāi)方數(shù)不一樣，故不符合題意，

故選C.

【變式5-3】將麻化成最簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果為.

【答案】6V3

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化為最簡(jiǎn)二次根式，即可求解.

【詳解】解：V108=73x36=6V3,

故答案為：6V3.

考點(diǎn)六：已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)

A.2B.3C.6D.11

【答案】A

【分析】此題主要考查了同類(lèi)二次根式，正確把握同類(lèi)二次根式的定義是解題關(guān)鍵.

直接化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而利用同類(lèi)二次根式的定義分析得出答案.

【詳解】解：；g=2日與最簡(jiǎn)二次根式后41是同類(lèi)二次根式，

m+1—3,

解得：m-2.

故選：A.

【變式6-1］若我和最簡(jiǎn)二次根式痂:7是同類(lèi)二次根式，則加的值為（）

A.m=4B.m=3C.m=5D.m=6

【答案】B

【分析】把強(qiáng)化成最簡(jiǎn)二次根式，由最簡(jiǎn)二次根式的含義：被開(kāi)方數(shù)相同，可得關(guān)于根的方程，解方程

20

即可.

【詳解】?..迎=2/，而最簡(jiǎn)二次根式廝:7與傷是同類(lèi)二次根式，

3m—7=2,

解得：m=3；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念是解題的關(guān)鍵.但要注意，要把我化成最

簡(jiǎn)二次根式.

【變式6-2］若最簡(jiǎn)二次根式荷1與是同類(lèi)二次根式，貝必=.

【答案】3

【分析】本題主要考查的是同類(lèi)二次根式的定義，由同類(lèi)二次根式的定義可知a+2=3a-4,從而可

求得。的值.

【詳解】解：?.?最簡(jiǎn)二次根式標(biāo)I與7^口是同類(lèi)二次根式，

d+2=3Q—4,

解得：a=3.

故答案為：3

【變式6-3］若何與最簡(jiǎn)二次根式VI=^能合并成一項(xiàng)，則口=.

【答案】-2

【分析】先化簡(jiǎn)歷，因?yàn)樗c最簡(jiǎn)二次根式能合并成一項(xiàng)，所以它們是同類(lèi)二次根式，被開(kāi)方

數(shù)相同，列出方程即可得到。的值.

【詳解】解：?:何=3百，它與最簡(jiǎn)二次根式V!』能合并成一項(xiàng)，

1-a=3,

a=-2,

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了同類(lèi)二次根式的概念，一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們

的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式，牢記同類(lèi)二次根式的概念是解題的關(guān)鍵.

6模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)-------------------------------

一、單選題

1.化簡(jiǎn)同X』的正確結(jié)果是（）

A.2B.V5C.V6D.3

【答案】A

【分析】本題主要考查了二次根式的乘法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次根式的乘法運(yùn)算法則.

利用二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

21

【詳解】解：V28x出=128義^=〃=2,

故選：A.

2.下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是()

A.￡B.V5C.V4D.Vo^8

【答案】B

【分析】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的判別.最簡(jiǎn)二次根式必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①被開(kāi)方數(shù)中不能含有分

母；②被開(kāi)方數(shù)不能含有開(kāi)得盡的因數(shù)或因式.根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，依次作出判斷即可.

【詳解】解：A.J被開(kāi)方數(shù)含有分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.西是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)正確；

C.四被開(kāi)方數(shù)含有開(kāi)的盡的因數(shù)4,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.底被開(kāi)方數(shù)含有分母，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

3.化簡(jiǎn)歷的結(jié)果是()

A.2V10B.2V5C.4V5D.4V10

【答案】B

【分析】本題考查化最簡(jiǎn)二次根式，掌握化最簡(jiǎn)二次根式的方法是解題關(guān)鍵.根據(jù)加=7^x4化簡(jiǎn)

即可.

【詳解】解：V20-V4xV5=2V5.

故選B.

2

4.化簡(jiǎn)的結(jié)果為()

A.V2B.2C.4D.-4

【答案】C

,_2

【分析】本題考查了二次根式的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法.根據(jù)乘方可得：(-〃)=

(-V4)(-V4),再利用二次根式的乘法法則計(jì)算即可.

［詳解］解：(_〃)=(-V4)(-V4)=4,

故選：C.

5.下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是()

A.7^4x7=9=6B.J(—3.=3

C.3V3xV6=9V2D