考試要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進行弧度與角度的互化.3.理解任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義．【知識梳理】1．角的概念的推廣(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的________旋轉所形成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋轉方向不同分為、、.,按終邊位置不同分為和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1)定義：長度等于________的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad.(2)公式角α的弧度數公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝________弧長公式弧長l＝________扇形面積公式S＝________＝________3.任意角的三角函數(1)定義前提如圖，設α是一個任意角，它的終邊與________交于點P(x，y)定義正弦______叫做α的正弦函數，記作sinα，即sinα＝________余弦________叫做α的余弦函數，記作cosα，即cosα＝________正切_________________叫做α的正切函數，記作tanα，即tanα＝________(x≠0)三角函數正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點的坐標或坐標的比值為函數值的函數，將它們統稱為三角函數(2)定義的推廣設P(x，y)是角α終邊上異于原點的任一點，它到原點的距離為r(r>0)，那么sinα＝________；cosα＝________，tanα＝________(x≠0)．[常用結論與微點提醒]1．三角函數值在各象限的符號規律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．角度制與弧度制可利用180°＝πrad進行互化，半徑為R，圓心角為n°的扇形的弧長公式和面積公式分別為l＝eq\f(nπR,180)，S＝eq\f(nπR2,360).3．象限角4．軸線角【診斷自測】1．思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)小于90°的角是銳角．()(2)銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角．()(3)角α的三角函數值與其終邊上點P的位置無關．()(4)若α為第一象限角，則sinα＋cosα>1.()2．(必修一P176T7(2))已知α是第一象限角，那么eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或二象限角 D．第一或三象限角3．(必修一P180T3改編)已知角θ的終邊經過點P(－12，5)，則sinθ＋cosθ＝________．4．已知扇形的圓心角為30°，其弧長為2π，則此扇形的面積為________.考點一象限角及終邊相同的角例1(1)(多選)下列命題正確的是()A．終邊落在x軸的非負半軸的角的集合為{α|α＝2kπ，k∈Z}B．終邊落在y軸上的角的集合為{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}C．第三象限角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))D．在－720°～0°范圍內所有與45°角終邊相同的角為－675°和－315°(2)已知角θ在第二象限，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))＝－sineq\f(θ,2)，則角eq\f(θ,2)在()A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限C．第三象限 D．第四象限________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數k(k∈Z)賦值來求得所需的角．2．確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在的位置．訓練1(1)集合{α|kπ＋eq\f(π,4)≤α≤kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}中的角所表示的范圍(陰影部分)是()(2)終邊在直線y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)內的角α的集合為________________．考點二弧度制及其應用例2已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l(α>0)．(1)已知扇形的周長為10cm，面積是4cm2，求扇形的圓心角；(2)若扇形的周長為20cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升應用弧度制解決問題時應注意：(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．訓練2(1)(2024·貴港模擬)圖①是杭州第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”，圖②是會徽的幾何圖形，設弧AD的長度是l1，弧BC的長度是l2，扇環ABCD的面積為S1，扇形BOC的面積為S2.若eq\f(l1,l2)＝3，則eq\f(S1,S2)＝()A．3 B．4C．6 D．8(2)數學中處處存在著美，機械學家萊洛發現的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊△ABC，再分別以A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形(如圖所示)．若萊洛三角形的周長為2π，則其面積是________．考點三三角函數的定義及應用角度1三角函數的定義例3(1)(2024·湖北新高考協作體考試)已知角α的頂點與坐標原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合．若Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)，1))是角α終邊上一點，則sinα＝()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2\r(5),5)(2)(2024·豫北名校聯考)已知角α的頂點與坐標原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點P(－4m，3m)(m≠0)，則2sinα＋cosα的值為________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度2三角函數值符號的判定例4(1)(2024·成都石室中學模擬)若α是第三象限角，則下列各式中成立的是()A．tanα－sinα>0 B．sinα＋cosα>0C．cosα－tanα>0 D．tanαsinα>0(2)(多選)(2024·衢州質檢)若sinxcosx>0，sinx＋cosx>0，則eq\f(x,2)可以是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.三角函數定義的應用(1)直接利用三角函數的定義，找到給定角的終邊上一個點的坐標，及這點到原點的距離，確定這個角的三角函數值．(2)已知角的某一個三角函數值，可以通過三角函數的定義列出含參數的方程，求參數的值．2．要判定三角函數值的符號，關鍵是要搞清三角函數中的角是第幾象限角，再根據正、余弦函數值在各象限的符號確定值的符號．如果不能確定角所在象限，那就要進行分類討論求解．訓練3(1)已知角α的