/河北省邢臺市寧晉縣2024_2025學年高二下冊第一次月考數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若函數滿足，則（）A． B．4 C．1 D．22．已知函數，則（）A． B．C． D．3．如圖，直線是曲線在點處的切線，則（）A．1 B．2 C． D．04．已知火箭發射秒后，其高度（單位：米）為，則火箭發射后第5秒時，火箭爬高的瞬時速度為（）A． B．C． D．5．“”是“函數有極值”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知定義在上的函數滿足，，其導函數滿足，則（）A． B．16 C．12 D．247．已知函數在上單調遞增，則的取值范圍為（）A． B．C． D．8．函數及其導函數的定義域均為．若，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．函數的導函數的圖象如圖所示，則（）A．B．C．有2個極大值點，1個極小值點D．的單調遞減區間為，10．若函數的定義域為，且存在，使得，則稱是的一個“二倍階值點”．下列四個函數中，存在“二倍階值點”的是（）A． B．C． D．11．若，，，則（）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．若函數，則．13．如果函數滿足在閉區間上連續，在開區間上可導，那么在開區間上至少存在一個實數，使得，其中稱為“拉格朗日中值”．函數在上的“拉格朗日中值”為．14．已知函數有三個不同的零點，則的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數．(1)若曲線與軸相交于點，求該曲線在點處的切線方程；(2)若曲線上點的切線與坐標軸圍成的三角形面積為，求點的坐標．16．已知函數．(1)若在上不單調，求的取值范圍；(2)若，求在上的值域．17．將一個邊長為2分米的正八邊形硬紙片的八個角截去八個全等的四邊形，再把它沿虛線折起，如圖所示，做成一個無蓋的正八棱柱紙盒（忽略紙片厚度）．（參考數據：）

(1)試把該正八棱柱紙盒的容積（單位：立方分米）表示為盒底正八邊形邊長（單位：分米）的函數．(2)試問當盒底正八邊形邊長為何值時，這個正八棱柱紙盒的容積最大？容積的最大值是多少立方分米？18．已知函數，，．(1)求的單調區間．(2)若的最大值為1，證明：對任意的，．(3)當時，若恒成立，求實數的取值范圍．19．若連續函數的極值點是函數的零點，為函數的導函數，且存在實數滿足，則稱是的強化原生函數，記的最大值為，則為的強化原生系數．已知函數．(1)設函數，證明有唯一極值點，并求出滿足的整數的值．(2)設函數，函數．已知是的強化原生函數．（i）證明：．（ii）求的強化原生系數的最小值．

答案1．【正確答案】C【詳解】.故選C.2．【正確答案】B【詳解】因為，則.故選B.3．【正確答案】A【詳解】由圖可知，切線過點，所以切線的斜率為，又由導數的幾何意義知.故選A4．【正確答案】B【詳解】，則火箭發射后第5秒時，火箭爬高的瞬時速度為.故選B.5．【正確答案】B【詳解】，所以，若函數有極值點，則方程的判別式大于，即，整理得：，解得，所以是函數有極值的充要條件，所以“”是“函數有極值”的充分不必要條件.故選B.6．【正確答案】D【詳解】根據，構造函數，由，則,則，令，則，令，則.故選D.7．【正確答案】B【詳解】由，得，因為函數在上單調遞增，所以在上恒成立，即，，整理得：，，令，，則，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以在處取得極小值，且為最小值，所以.故選B8．【正確答案】C【詳解】令，則，，，即在R上單調遞減，又，則不等式等價于，，即，，解得.所以不等式的解集為.故選C.9．【正確答案】BCD【詳解】對A，由圖知當時，，此時單調遞減，則，故A錯誤；對B，當時，，此時單調遞增，則，故B正確；對C，由圖知，當時，，此時單調遞增，當時，，此時單調遞減，則為的極大值點；，當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增，則為的極小值點；，當時，，此時單調遞增，當時，，此時單調遞減，則為的極大值點；則有2個極大值點，1個極小值點，故C正確；對D，當時，，當時，，則的單調遞減區間為，，故D正確.故選BCD.10．【正確答案】ABD【詳解】對于A，，，由得，解得，所以函數存在“二倍階值點”，A正確；對于B，，，由得，因為，，解得，所以函數存在“二倍階值點”，B正確；對于C，，，由得，令，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以當時，有極小值也是最小值，所以無解，所以函數不存在“二倍階值點”，C錯誤；對于D，，，由得，令，，所以在上單調遞增，又，，根據零點存在性定理可知在上存在零點，所以方程有解，所以函數存在“二倍階值點”，D正確；故選ABD.11．【正確答案】BCD【詳解】，，，，所以，，所以，所以，所以B、C、D正確，A錯誤.故選BCD.12．【正確答案】6【詳解】，則，解得.13．【正確答案】【詳解】設函數的“拉格朗日中值”為，根據已知條件有：，因為，，所以，，根據題意有：，整理得：，因為，所以.14．【正確答案】【詳解】函數的定義域為，由可得，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數的增區間為，減區間為，且當時，，當時，，作出函數的圖象如下圖所示：設，由圖象可知，函數有兩個不等的零點、，且，，若，解得，此時，，由可得或，不合乎題意；若，可得，則，由，解得，不合乎題意；所以，，，所以，，解得.因此，實數的取值范圍是.15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）由，令，得，所以曲線與軸的交點為，又，則曲線在點處切線的斜率為，所以曲線在點處切線的方程為，即.（2）設，，，則切線的斜率，所以切線的方程為，即，，令，得，令，得，所以切線與坐標軸圍成的三角形面積為，解得，所以點的坐標為或.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知，，因為在R上不單調，所以方程在R上有變號零點，即方程在R上有兩解，得，解得，即實數的取值范圍為.（2）當時，，則，令或，所以在上單調遞減，在上單調遞增，即在上單調遞減，在上單調遞增，且，所以在上的值域為.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）

根據已知條件，得到如上圖所示圖形，已知條件有正八邊形的內角為，所以，，，設，，在中，，解得，在中，，，所以，所以，正八邊形面積為：，所以正八棱柱紙盒的容積：，.即，.（2）因為，，所以，，所以，，所以當時，，單調遞增，所以當時，，單調遞減，由此可知當時，取得極大值即最大值.18．【正確答案】(1)在單調遞增，在單調遞減(2)證明見詳解(3)【詳解】（1）的定義域為，令得，令得，令得，在單調遞增，在單調遞減.（2）由（1）知，，，要證，即證，即證，即證，構造函數，則，令得，令得，在單調遞增，在單調遞減，，即恒成之，當且僅當時等號成立.，，使得，恒成立，故對于任意的，.（3）當時，，若恒式立,即恒式立，即，即恒成立，由（2）可知恒成立，當且僅當時等號成立，令，則恒成立，在單調遞增，，使得成立，，，所以．19．【正確答案】(1)證明見解析；(2)（i）證明見解析；（ii）【詳解】（1）證明：依題意得，則，設函數，則，所以在上單調遞增，即在上單調遞增，因為，所以存在唯一零點，使得.當時，，在單調遞減；當時，，在單調遞增；所以有唯一極值點，且，故滿足的整數的值為.（2）（i）證